角的概念的推广练习含答案
1.1.1角的概念的推广（学案）有答案
1.1.1角的概念的推广（学案）有答案1.1.1角的概念的推广（学案）班级姓名一、学习目标：1. 理解“旋转”定义角的概念，掌握“正角”、“负角”、“零角”的意义．2. 理解终边相同的角的意义，掌握与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法.二、学习重点：理解并掌握正角、负角和零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.一、课前预习：1.角的概念的推广（１）“旋转”形成角在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.旋转起始时的射线叫做角的，终止时的射线叫做角的，射线的端点叫做角的 .（２）角的表示方法：①常用字母A ，B ，C 等表示；②也可以用字母α、β、γ等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母x 表示.（３）“正角”、“负角” 与“零角”按逆时针方向旋转所得到的角为，如图1-1中，α为正角；而按顺时针方向旋转所得到的角为，如图1-2中，β为负角.我们还规定：当一条射线没有旋转时，也把它看成一个角，叫做 .这样，零角的始边和终边重合.如果角α是零角，那么0α=?.图1-1 图1-22.象限角与轴上角为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x 轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做3．与α有相同终边的角，连同α在内可以表示为二、预习自测：1.一昼夜时针转过多少度？ - 720°3.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是(C)B.-6060.A30C30-D4.将-885°化为α+ k·360°(0°＜α＜360°，k∈Z)的形式是(B)A.-165°+ (-2)·360°B.195°+ (-3)·360°C. 195°+ (-2)·360°D.165°+ (-3)·360°5.下列命题中正确的是(C)A.第一象限角一定不是负角B.小于90°的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限角D.终边相同的角一定相等6.若α是锐角，则180°－α是(B)A.第一象限角B.第二角限角C.第三象限角D.第四象限角三、合作探究合作探究一：角概念的理解锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？例1.射线OA绕端点O顺时针旋转80 到OB位置，接着逆时针旋转250 到OC位置，然后∠大小.再顺时针旋转270 到OD位置，求AOD-100°合作探究二：终边相同的角1．观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边重合 .2．与30°角的终边相同的角的表达式.390°=30°+ 360°， -330°=30°-360°，30°=30°+0×360°，…α=?有相同始边和终边的角，连同30°角在内可以表示成那么与303．这些有相同的始边和终边的角，叫做终边相同的角.与α有相同始边和终边的角表示为__ x∈{x∣x=α+k?3600 , k∈Z}____________例2:写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式00360720β-≤< 的元素β写出来：(1) 060 (2)021- (3)036314' {}{}{}00000000000000000036060,360360607201,0,1.300,60,42036021,360360217200,1, 2.21,339,69936036314,360360363147202,1,0.35646,314,36S k k k S k k k S k k k ββββββ==?+-≤?+<∴=-∴-==?--≤?-<∴=∴-''==?+-≤?+<''∴=--∴-0314'合作探究三：象限角的理解如果α是第一象限的角，那么α的取值范围可以表示为怎样的不等式？其它几个象限呢？一____ x ∈{x ∣k ?3600<="" ∈z="">二______ x ∈{x ∣k ?3600+900<="" ∈z="">三_____ x ∈{x ∣k ?3600+1800<="" ∈z="">四_____ x ∈{x ∣k ?3600-900<="" ∈z="">合作探究四：轴线角的理解终边落在x 的正半轴上，角的集合为x ∈{x ∣x=k ?3600 , k ∈Z }终边落在x 的负半轴上，角的集合为x ∈{x ∣x=1800 +k ?3600 , k ∈Z }终边落在x 轴上，角的集合为x ∈{x ∣x=k ?1800 , k ∈Z }终边落在y 的正半轴上，角的集合为x ∈{x ∣x=900 +k ?3600 , k ∈Z }终边落在y 的负半轴上，角的集合为x ∈{x ∣x=-900 +k ?3600 , k ∈Z }终边落在y 轴上，角的集合为x ∈{x ∣x=900 +k ?1800 , k ∈Z } 终边落在坐标轴上，角的集合为x ∈{x ∣x=k ?900 , k ∈Z }例3在00～0360间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． 0(1)150- 0(2)650 0(3)95015'-(1)0210第三象限(2)2900 第四象限（3）129045’ 第二象限合作探究五：如果α分别是第一、第二、第三和第四象限的角，2α，3α分别是第几象1. 设θ为第一象限角,求2θ,2θ,-θ所在的象限.2θ:第一、二象限和x 轴正半轴；2θ：一，三；-θ：四五、当堂检测：1、以原点为角的顶点，x 轴正方向为角的始边，终边在坐标轴上的角等于（ D ）（A ）00、900或2700 （B ）k ?3600（k ∈Z ）（C ）k ?1800（k ∈Z ）（D ）k ?900（k ∈Z ）2、如果x 是第一象内的角，那么（ D ）（A ）x 一定是正角（B ）x 一定是锐角（C ）-3600<-2700或00<="" ∈z="" ∈{x="" ∣k="" （d="" ）x="">3、设A={θ∣θ为锐角}，B={θ∣θ为小于900的角}，C={θ∣θ为第一象限的角} D={θ∣θ为小于900的正角}。
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
角的概念的推广(1)
衡山县始边
A
锐角
直角
钝角
╭╮
平角
周角
B 终边 O 终边 C
正角：按逆时针方向旋转而成的角；
α 始边 β A
负角：按顺时针方向旋转而成的角; 零角：射线没有旋转时的角。 ∠AOB=1350 ∠AOC=
- 1350
B β γ α O C δ D
A P
αA β O
O B A
O
[练习2]试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
B
O
B
O
B
O
A
A
A
[练习2]试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
BB
O O
A
[练习2]试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
α2 = (-2) × 360 0 + 300 =- 690 0
α1 =1 ×3600 + 600 =4200
α2 = (-2) × 360 0 + 300 =- 690 0
从终边位置来看，任何一个角α 的终边总能与
00 ~ 3600 范围内的一个正角γ的终边重合，而且任 何角α总能表示为： α=k × 3600 + γ,k ∈Z, 00≤γ<3600
α=450
β=α+2 × 3600=450+7200=7650
B
O
P A
O βα
α= -450
P
A
β=α-2 × 3600= -450-7200= -7650
[练习1]说出下图中角α的大小
角的概念的推广与任意角的三角函数随堂练习(含答案)
角的概念的推广与任意角的三角函数基础巩固强化1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 由sin A >0且tan A <0可知，cos A <0，所以角A 的终边一定落在第二象限．选B.(理)(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三角限角D ．第四象限角 [答案] C[解析] 根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可． 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．2．(文)(2011·杭州模拟)已知角α终边上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.56π B.116π C.23πD.53π[答案] B[解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32， sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－12， ∴角α为第四象限角， ∴α＝2π－π6＝11π6，故选B.(理)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(4sin3，－4cos3)，则α等于( )A ．3B ．－3C ．3－π2 D.π2－3[答案] C[解析] ∵π2<3<π，∴cos3<0，∴点P 位于第一象限， ∴tan α＝－cos3sin3＝sin (3－π2)cos (3－π2)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3－π2， ∵3－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝3－π2. 3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，圆心角为α，则有2R ＋Rα＝12R 2α，即2＋α＝12Rα整理得R ＝2＋4α，由于4α≠0，∴R ≠2.4．已知点P (－3,4)在角α的终边上，则sin α＋cos α3sin α＋2cos α的值为( )A ．－16 B.16 C.718 D ．－1[答案] B[解析] 由条件知tan α＝－43， ∴sin α＋cos α3sin α＋2cos α＝tan α＋13tan α＋2＝16. 5．(文)设0≤θ<2π，如果sin θ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是( )A ．0<θ<3π4 B ．0<θ<π4或3π4<θ<π C.3π4<θ<π D.3π4<θ<5π4 [答案] B[解析] ∵0≤θ<2π，且sin θ>0，∴0<θ<π. 又由cos2θ>0得，2k π－π2<2θ<2k π＋π2， 即k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．∵0<θ<π， ∴θ的取值范围是0<θ<π4或3π4<θ<π.(理)(2011·海口模拟)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( )A ．(π4，π2)B ．(π，5π4)C ．(3π4，5π4)D ．(π4，π2)∪(π，5π4)[答案] D[解析] ∵P 点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，如图，使sin α>cos α的角α终边在直线y ＝x 上方，使tan α>0的角α终边位于第一、三象限，又0≤α≤2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4.6．(文)(2011·新课标全国理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45[答案] B[解析] 依题意：tan θ＝±2，∴cos θ＝±15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B.(理)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2＝( )A ．0 B.22 C ．－1 D ．1[答案] D[解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π2＋2k π，∴cos a ＋b 2＝cos2k π＝1.7．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.[答案] 25[解析] 由条件知x ＝－4m ，y ＝3m ，r ＝x 2＋y 2＝5|m |＝5m ，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.8．(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.[答案] －8[解析] |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y2＝－255，解得y ＝±8，又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点， 可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.9．(文)(2012·南昌调研)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值为________．[答案] －13[解析] cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13. (理)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A cos α，35，则cos α－sin α＝________.[答案] －75[解析] 由条件知，sin α＝35， ∴cos α＝－45，∴cos α－sin α＝－75. 10.(2011·广州模拟)A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC |2的取值范围．[解析] (1)∵A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，∴tan α＝43，∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋832－169＝20. (2)设A 点的坐标为(cos α，sin α)， ∵△AOB 为正三角形，∴B 点的坐标为(cos(α＋π3)，sin(α＋π3))，且C (1,0)， ∴|BC |2＝[cos(α＋π3)－1]2＋sin 2(α＋π3)＝2－2cos(α＋π3)．而A 、B 分别在第一、二象限， ∴α∈(π6，π2)． ∴α＋π3∈(π2，5π6)， ∴cos(α＋π3)∈(－32，0)． ∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3).能力拓展提升11.(文)设α是第二象限角，且|sin α2|＝－sin α2，则α2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] C[解析] ∵α是第二象限角，∴α2是第一、三象限角， 又∵sin α2≤0，∴α2是第三象限角，故选C.(理)若α是第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α2|cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2 [答案] A[解析] ∵α为第三象限角，∴α2为第二、四象限角 当α2为第二象限角时，y ＝1－1＝0，当α2为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0.12．(文)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析]解法1：如图，由单位圆中三角函数线可知，当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.∴复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应点在第二象限．解法2：∵cos θ＋sin θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4.∴π<θ＋π4<3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4<0. ∵π2<θ－π4<π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4>0， ∴当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.故选B.(理)(2011·绵阳二诊)记a ＝sin(cos2010°)，b ＝sin(sin2010°)，c ＝cos(sin2010°)，d ＝cos(cos2010°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d [答案] C[解析] 注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin(－32)＝－sin 32<0，b ＝sin(－12)＝－sin 12<0，c ＝cos(－12)＝cos 12>0，d ＝cos(－32)＝cos 32>0，∴c >d ，因此选C.[点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合训练．13．已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－15，则m 的值为________．[答案] －4[解析] r ＝32＋m 2＝m 2＋9， 依题意sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9，∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15.即m ＋3m 2＋9＝－15，解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去． 故m ＝－4.14．(文)已知下列四个命题(1)若点P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255； (2)若α>β且α、β都是第一象限角，则tan α>tan β； (3)若θ是第二象限角，则sin θ2cos θ2>0； (4)若sin x ＋cos x ＝－75，则tan x <0. 其中正确命题的序号为________． [答案] (3)[解析] (1)取a ＝1，则r ＝5，sin α＝25＝255； 再取a ＝－1，r ＝5，sin α＝－25＝－255，故(1)错误．(2)取α＝2π＋π6，β＝π3，可知tan α＝tan π6＝33，tan β＝3，故tan α>tan β不成立，(2)错误．(3)∵θ是第二象限角，∴sin θ2cos θ2＝12sin θ>0，∴(3)正确． (4)由sin x ＋cos x ＝－75<－1可知x 为第三象限角，故tan x >0，(4)不正确．(理)直线y ＝2x ＋1和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则sin(α＋β)＝________.[答案] －45[解析] 将y ＝2x ＋1代入x 2＋y 2＝1中得，5x 2＋4x ＝0，∴x ＝0或－45，∴A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，故sin α＝1，cos α＝0，sin β＝－35，cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－45. [点评] 也可以由A (0,1)知α＝π2，∴sin(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝cos β＝－45. 15．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12， 所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 16．周长为20cm 的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面，求此圆锥的体积．[解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r ，S ＝12rl ＝12(20－2r )·r ＝(10－r )·r ， ∴当r ＝5时，S 取最大值．此时l ＝10，设卷成圆锥的底半径为R ，则2πR ＝10， ∴R ＝5π， ∴圆锥的高h ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＝5π2－1π， V ＝13πR 2h ＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2·5π2－1π＝125π2－12.1．(2011·深圳一调、山东济宁一模)已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4[答案] D[解析] 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4. 2．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其所对圆心角的弧度数为( )A.π3B.2π3C. 3D. 2 [答案] C[解析] 设圆的半径为R ，由题意可知：圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR ＝ 3.3．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°＝sin65°>sin25°>0，y ＝log 12x 为减函数，∴a <c <b .4．如图所示的程序框图，运行后输出结果为( )A ．1B ．2680C ．2010D ．1340 [答案] C[解析] ∵f (n )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π3＋π2＋1＝2cos n π3＋1.由S ＝S ＋f (n )及n ＝n ＋1知此程序框图是计算数列a n ＝2cos n π3＋1的前2010项的和．即S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2π3＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 3π3＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2010π3＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋…＋cos 2010π3＋2010＝2×335×cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋cos 4π3＋cos 5π3＋cos 6π3＋2010＝2010.5．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．[解析] ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x .∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同理可求得sin α＋1tan α＝65－66.。
角的概念和推广示例解析试题
卜人入州八九几市潮王学校角的概念和推广例如解析一.本周教学内容角的概念和推广二.重点、难点本节重点是终边一样的角的概念、象限角的概念【典型例题】[例1]︒-<<︒-630990α，且α与︒120角的终边一样，求α？解：由角α与︒120角终边一样，那么︒+︒⋅=120360K α，Z K ∈令︒-<︒+︒⋅<︒-630120360990K 12121213-<<-K 又由Z K ∈，故3-=K 那么︒-=︒+︒⨯-=9601203603α即所求角α为︒-960[例2]角α是第三象限角，求2α是第几象限角？ 解：由α是第三象限角，那么︒+︒⋅<<︒+︒⋅270360180360K K α，Z K ∈ 当n K2=，Z n ∈时︒+︒⋅<<︒+︒⋅135360290360n n α 当12+=n K ，Z n ∈时︒+︒⋅+<<︒+︒⋅+135180)12(290180)12(n n α︒+︒⋅<<︒+︒⋅3153602270360n n α故2α为第二象限角或者第四象限角 [例3]角α的终边与120°的终边一样，求在︒-360到︒180范围内与3α角终边一样的角的集合。
解：由角α的终边与120°终边一样，那么α︒+︒⋅=120360K ，Z K ∈︒+︒⋅=401203K α令︒<︒+︒⋅≤︒-180********K又由Z K ∈，那么1,0,1,2,3---=K 代入︒+︒⋅=401203K α 得︒︒︒-︒-︒-=160,40,80,200,320α[例4]时针指到3点后，当分针在1小时内走55分钟时，时针到分针的夹角是多少度？解：时针每走1分钟相当于转过︒-=︒-660360的角，故分针一共走过的角度为 时针每走1小时相当于转过︒-=︒-3012360的角，故时针一共走过 因此时针到分针的夹角为︒-=︒--︒-5.212)5.117(330 [例5]在一般的时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角是多少度？解：自零时到分针与时针第一次重合，设时针转过︒x ，那么分针转过︒+)360(x ，由时针转过1°相当于经过30136012=小时，故时针转过1°相当于经过2分钟，又分针转过 1°相当于经过61分，故61)360(2⋅+=⋅x x 36011=x 11360=x 因此，当分针与时针第一次重合时，分针转过的角为[例6]{}锐角=A ，{}的角到︒︒=900B ，{}第一象限的角=C ，{}的角小于︒=90D ，求B A ，C A ，D C ，D C解：依题意，有{}︒<<︒=900ααA ，{}︒<≤︒=900ααB由︒≤︒+︒⋅9090360K 得0≤K故{}Z K K K K D C ∈≤︒+︒⋅<<︒⋅=且0,90360360αα [例7]集合{}Z K K K A ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,12036030360αα，{}Z K K K B ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,135********αα，求集合B A 解：{}Z K K K B ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,135********αα利用图象，B A 即图中阴影局部的交 故{}Z K K K B A ∈︒+︒⋅<<︒+︒⋅=,12036060360αα [例8]{}Z K K A ∈︒±︒⋅==,30120αα，{}Z K K B ∈︒+︒⋅==,9060ββ，那么集合A 和B 有何关系？解：设A ∈θ，那么︒+︒⋅=30120K θ或者︒-︒⋅=30120K θ，Z K ∈ 即︒+︒⋅-=9060)12(K θ或者︒+︒⋅-=9060)22(K θ，故B ∈θ，因此B A ⊆设B ∈θ那么Z K K ∈︒+︒⋅=,9060θ当Z n n K ∈=,2时，︒+︒⋅=90120n θ即θ)1(+=n ︒-︒⋅30120那么A ∈θ；当12-=n K ，Z n ∈时， 即︒+︒⋅=30120n θ，那么A ∈θ因此，A ∈θ，A B ⊆综上，B A =一.选择题1.〕 ①第一象限角是锐角②第二象限角比第一象限角大③三角形的内角是第一或者第二象限角④{}{}的正角小于锐角︒=90 A.0个B.1个C.2个D.3个2.以下表示中不正确的选项是〔〕A.终边在坐标轴上的角的集合是{}Z K K ∈︒⋅=,90ααB.与︒-50的终边一样的角的集合是{}Z K K ∈︒+︒⋅=,310360ααC.终边在第二、四象限的角平分线上的角的集合是{}Z K K ∈︒-︒⋅=,45360αα D.终边在直线x y =上的角的集合是{}Z K K ∈︒+︒⋅=,45180αα 3.集合{}Z K K M∈︒⋅==,45αα，{}Z K K N ∈︒±︒⋅==,4590ββ，那么集合M 和N 的关系是〔〕A.≠⊂M N B.N M = C.≠⊃M N D.不确定 二.填空题1.假设α和β的终边满足以下位置关系时，α和β满足怎样的数量关系： 〔1〕重合时，=-βα；〔2〕关于x 轴对称时，=+βα； 〔3〕关于y 轴对称时，=+βα；〔4〕关于原点对称时，=-βα。
1.2角的概念推广基础练习题
1.2角的概念推广基础练习题一、单选题1．1000︒是以下哪个象限的角（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列各角中，与27︒角终边相同的是（ ） A ．63︒B ．153︒C ．207︒D ．387︒3．若角α为第二象限角，则角2α为（ ）象限角A ．第一B ．第一或第二C ．第二D ．第一或第三 4．下列说法正确的是（ ） A ．第一象限角一定小于90︒ B ．终边在x 轴正半轴的角是零角C ．若360k αβ+=⋅︒（k Z ∈），则α与β终边相同D ．钝角一定是第二象限角5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则必有（ ） A ．90αβ︒+=B ．36090()k k Z αβ︒︒+=⋅+∈C ．360()k k Z αβ︒+=⋅∈D ．(21)180()k k Z αβ︒+=+⋅∈6．下列各角中，与角330°的终边相同的是( ) A ．150°B ．－390°C ．510°D ．－150°7．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对8．与角2021︒终边相同的角是（ ） A ．221°B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒9．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角二、填空题 10．若角2θ的终边与4π的终边重合，且3θ∈[0,2)π，则4θ=_______________.11．2020是第______象限角.12．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈________.13．终边在x 轴上的角α的集合是______.14．已知：①1240︒，②300-︒，③420︒，④1420-︒，其中是第一象限角的为_________(填序号).15．在0°到360°范围内与角380°终边相同的角α为________．三、解答题16．若角α是第二象限角，试确定2,2αα的终边所在位置．17．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．18．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．（1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．参考答案1．D 【分析】首先写出终边相同的角的集合，再判断 【详解】10002360280=⨯+，280角的终边在第四象限，所以1000角的终边也是第四象限.故选：D 2．D 【分析】写出与27︒终边相同角的集合，取k 值得答案. 【详解】与27︒角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z αα=︒+⋅︒∈， 取1k =，可得387α=︒. ∴与27︒角终边相同的是387︒. 故选：D 【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题. 3．D 【分析】根据α的范围，求出2α的范围即可. 【详解】因为角α为第二象限角， 所以()22,2k x k k Z ππππ+<<+∈， 所以(),422x k k k Z ππππ+<<+∈，当2k n =()n Z ∈时，()22,422x n n n Z ππππ+<<+∈，此时2α是第一象限角；当21k n =+()n Z ∈时，()5322,422x n n n Z ππππ+<<+∈，此时2α是第三象限角； 所以2α是第一或第三象限角，【点睛】本题主要考查了象限角的范围，属于基础题. 4．D 【分析】分别由钝角、终边相同的角及象限角的概念逐一判断四个命题得答案． 【详解】A.第一象限角范围是2k πx 2k π,2k z π<<+,所以不一定小于90°.所以A 错误.B. 终边在x 轴正半轴的角α2k π,k z =.不一定是零角 . .所以B 错误C.若360,k αβ+=⋅︒则360,?k k z αβ=⋅︒-. 则α应与β-终边相同. .所以C 错误D.因为钝角的取值范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以钝角一定是第二象限角. .所以D 正确. 故答案为D. 【点睛】本题考查了任意角的概念，象限角，是基础的概念题． 5．D 【分析】根据角α与角β的终边关于y 轴对称，有12129036090360,,k k k k Z αβ，即可得解.【详解】角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以12129036090360,,k k k k Z αβ，21129036090360360180k k k k αβ，12,k k Z ∈即360180(21)180,kkkZ αβ，故选：D 【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数6．B 【解析】分析：由终边相同的角的公式，表示出与角330的终边相同的角，再进行验证即可. 详解：与角330的终边相同的角为()360330k k Z α=⋅+∈， 令2k =-，可得390α=-，故选B.点睛：本题主要考查终边相同的角，考查了终边相同的角的表示方法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 7．D 【分析】先根据题意得出A ∩B ，再比较A ∩B 与小于90°的角、锐角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论． 【详解】解：∵A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}， ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°； 对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°， 故选D ． 【点睛】此题考查了象限角、任意角的概念，交集及其运算，熟练掌握基本概念是解本题的关键． 8．A 【分析】根据终边相同的角相差360的整数倍，逐个判断即可. 【详解】2021360=5︒÷余221，故A 正确，B 、 C 、 D 中的角均不与角2021︒终边相同.故选：A . 【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题. 9．B 【分析】通过α是第四象限角，写出其对应角的集合，然后求出180°+α对应角的集合即可得到答案． 【详解】∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限， 故选B. 【点睛】本题考查了象限角和轴线角，基本知识的考查，深刻理解基本概念是解题的关键． 10．24π或38π 【分析】由终边相同角的关系得出4,363k k Z θππ=+∈，再由3θ的范围确定θ，进而得出4θ.【详解】 由题意可知，2,24k k Z θππ=+∈，则4,363k k Z θππ=+∈ 3θ∈[0,2)π，6πθ=或32πθ=则348θπ=或424θπ= 故答案为：24π或38π【点睛】本题主要考查了终边相同的角性质的应用，属于基础题. 11．三 【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为三． 【点睛】本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题． 12．{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z . 【分析】 首先确定0360范围内角α的范围，根据终边相同角的定义可求得满足题意的角α的范围. 【详解】 在0360范围内，终边落在阴影内的角α满足：30150α<<或210330α<<∴满足题意的角α为：{}{}30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅{}{}302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}()(){}3021801502180302118015021180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{}30180150180n n αα=+⋅<<+⋅，k Z ∈，n Z ∈本题正确结果：{}30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈ 【点睛】本题考查根据终边位置确定角所处的范围，重点考查了终边相同的角的定义，属于基础题. 13．{}|,k k Z ααπ=∈ 【分析】直接利用终边相同角的概念得到答案. 【详解】解：终边在x 轴上的角α的集合是{}|,k k Z ααπ=∈，故答案为：{}|,k k Z ααπ=∈ 【点睛】本题考查了角的终边，属于简单题. 14．②③④ 【分析】利用终边相同的角转化到0360︒︒判断.【详解】因为12401080160︒=︒+︒，30036060-︒=-︒+︒，42036060︒=︒+︒，1420436020-=-⨯+︒︒︒.所以②300-︒，③420︒，④1420-︒是第一象限角， 故答案为：②③④ 【点睛】本题主要考查象限角以及终边相同的角的应用，属于基础题 15．20° 【详解】与角380°终边相同的角α为380360,()k k Z α=+⋅∈， 又α在0°到360°，所以1,20.k α=-= 【点睛】1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为)22()(0k k Z πααπ+≤<∈的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．2．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角． 16．角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限. 【分析】写出第二象限角的集合，然后利用不等式的基本性质得到2α，2α．【详解】 ∵角是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2）,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2,k n n Z =∈时， ∴ 22,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限． 当21,k n n Z =+∈时， ∴5322,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限． 综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【点睛】本题考查了象限角和轴线角，关键是写出第二象限角的集合，是基础题 17．{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析 【分析】把α＝－1 910°加上360k ⋅︒可得与α＝－1 910°终边相同的角的集合，分别取k ＝4，5，6，求得适合不等式－720°≤β＜360°的元素β. 【详解】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°. 【点睛】该题考查的是有关角的概念的问题，涉及到的知识点有终边相同的角的集合，终边确定，落在某个范围内的角的大小的确定，属于简单题目.18．（1）{}160360,S k k Z αα==+⋅∈；（2）{}230180,S k k Z αα==+⋅∈；（3）{}33018060180,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈【分析】（1）可得出终边落在射线OB 上的一个角为60，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（2）可得出终边落在射线OB 上的一个角为30，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线OB 上的角的集合为{}160360,S k k Z αα==+⋅∈； （2）终边落在直线OA 上的角的集合为{}230180,S k k Z αα==+⋅∈； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为{}3036060360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈，终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为{}210360240360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈{}3018036060180360,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈()(){}30211806021180,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈，因此，终边落在阴影区域内的角的集合为{}33036060360,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈⋃()(){}30211806021180,k k k Z αα++⋅≤≤++⋅∈ {}3018060180,k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的表示，解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.答案第9页，总9页。
角的概念的推广 (1)
角的概念的推广年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共23题，题分合计115分) 1.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是2.将-885°化为α + k ·360°(0°＜α＜360°，k ∈Z )的形式是 A.-165°+ (-2)·360° B.195°+ (-3)·360°C. 195°+ (-2)·360°D.165°+ (-3)·360°3.下列命题中正确的是A.第一象限角一定不是负角B.小于90°的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限角D.终边相同的角一定相等4.若α是锐角，则180°－α是A.第一象限角B.第二角限角C.第三象限角D.第四象限角5.在[360°,1440°]中与-21°16′终边相同的角有A.1个B.2个C.3个D.4个6.在[360°,1620°]中与21°16′终边相同的角有A.2个B.3个C.4个D.5个7.角α=45°+k ·180°,k ∈Z 的终边落在A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限8.下列命题中正确的是A.终边在y 轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k ·360°(k ∈Z ),则α与β终边相同9.与120°角终边相同的角是A.-600°+k ·360°,k ∈ZB.-120°+k ·360°,k ∈ZC.120°+(2k +1)·180°,k ∈ZD.660°+k ·360°,k ∈Z10.若角α与β终边相同,则一定有A.α+β=180°B.α+β=0°C.α-β=k ·360°,k ∈ZD.α+β=k ·360°,k ∈Z11.为终边相同的角可以表示则与角若αα,21︒-=12.若α是第四象限角,则180°-α是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角13.若α与β的终边互为反向延长线,则有A.α=β+180°B.α=β-180°C.α=-β D .α=β+(2k +1)180°,k ∈Z14.若α是第四象限角,则π-α是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角15.与-463°终边相同的角可以表示为(k ∈Z )A.k ·360°+463°B.k ·360°+103°C.k ·360°+257°D.k ·360°-257° 16.下列各对角中终边相同的角是 A.π22π2πk +-和(k ∈Z ) B.-3π和322π C.-9π7和9π11 D.9π1223π20和 17.若α是第四象限角,则π-α一定在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限18.若α和β的终边关于y 轴对称,则必有A.α+β=2πB.α+β=(2k +21)π,(k ∈Z )C.α+β=2k π,(k ∈Z )D.α+β=(2k +1)π,(k ∈Z )19.命题p :α是第二象限角,命题q :α是钝角,则p 是q 的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件20.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)21.角α的终边与角β的终边关于y 轴对称,则β为A.-αB.л-αC.(2k л+1)л-α(k ∈Z )D.k л-α(k ∈Z )22.集合{}Z ∈︒±︒⋅==k k A ,30180αα,集合{}Z ∈︒⋅-+︒⋅==k k B k ,30)1(180αα,则A.A =BB.A ⊄BC.B ⊄AD.A B B A ⊄⊄且23.终边在直线y =-x 上的角的集合是 A.{}Z ∈︒⋅+︒=k k ,18045αα B.{}Z ∈︒⋅+︒=k k ,180135αα C.{}Z ∈︒⋅+︒=k k ,36045αα D.{}Z ∈︒⋅+︒=k k ,360135αα二、填空题(共12题，题分合计47分) 1.与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 .2.若α为锐角，则180°＋α在第__________象限，－α在第______________象限.3.若α为锐角，则-α+k ·360°，k ∈Z 在第___________象限.4.第二象限角的集合可表示为___________________.5.角α的终边落在一、三象限角平分线上,则角α的集合是___________.6.角α是第二象限角,则180°+α是第象限角;-α是第象限角;180°-α是第________象限角.7.与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 .8.α为第四象限角,则2α在_________________.9.角α=45°+k ·90°的终边在第 象限.10.终边在第一或第三象限角的集合是 .11.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 . 12.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).三、解答题(共7题，题分合计66分) 1.写出与370°23′终边相同角的集合S ,并把S 中在-720°～360°间的角写出来.2.在直角坐标系中作出角α=60°+k ·180°,k ∈Z ,β=60°+k ·90°,k ∈Z 角的终边.3.写出终边在x 轴上与y 轴上的角的集合.4.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360°(2)720°(3)1080°(4)1440°5.已知A ={锐角},B ={0°到90°的角},C ={第一象限角},D ={小于90°的角}.求A ∩B ,A ∪C ,C ∩D ,A ∪D.6.将下列各角表示为α+k ·360°(k ∈Ζ,0°≤α<360°)的形式,并判断角在第几象限.(1)560°24′(2)-560°24′(3)2903°15′(4)-2903°15′(5)3900°(6)-3900°7.设θ为第一象限角,求2θ,2θ,-θ所在的象限.角的概念的推广答案一、选择题(共23题，合计115分)1.2588答案：C2.2589答案：B3.2617答案：C4.2618答案：B5.2622答案：C6.2623答案：C7.2624答案：A8.2628答案：D9.2629答案：A10.2630答案：C11.2587答案：B12.2637答案：C13.2638答案：D14.2981答案：C15.3034答案：C16.3170答案：C17.3173答案：C18.3333答案：D19.3349答案：B20.3352答案：C21.3427答案：C22.2646答案：C23.2647答案：B二、填空题(共12题，合计47分)1.2619答案：240°2.2620答案：三四3.2621答案：四4.2625答案：{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}5.2626答案：{α|α=45°+k·180°,k∈Z}6.2627答案：四三一7.2631答案：40° 320°8.2640答案：第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上9.2641答案：一 二 三 四10.2639答案：{α|k ·180°<α<90°+k ·180°,k ∈Z }11.2632答案：三 六12.2633答案：－120° －1440°三、解答题(共7题，合计66分)1.2642答案：S ={α|α=10°23′+k ·360°,k ∈Z }在-720°～360°之间的角分别是10°23′ -349°37′ -709°37′.2.2643答案：3.2644答案：终边在x 轴上的角的集合是:{}Z ∈︒⋅==n n S ,180ββ. 终边在y 轴上的角的集合是:{}Z ∈︒+︒⋅==k k S ,90180ββ. 4.2634答案：5.2635答案：A ∩B =A A ∪C =C C ∩D ={α|k ·360°<α<90°+k ·360°,k ∈Z ,k ≤0}A ∪D =D6.2636答案：(1)∵560°24′=200°24′+360° ∴560°24′与200°24′终边相同在第三象限(2)∵-560°24′=159°36′+(-2)·360° ∴-560°24′与159°36′终边相同在第二象限(3)∵2903°15′=23°15′+8·360° ∴2903°15′与23°15′终边相同在第一象限(4)∵-2903°15′=336°45′+(-9)·360° ∴-2903°15′与336°45′终边相同在第四象限(5)∵3900°=300°+10·360° ∴3900°与300°终边相同在第四象限(6)∵-3900°=60°+(-11)·360° ∴-3900°与60°终边相同在第一象限7.2645答案：2θ是第一或第二象限的角,或角的终边在y 轴的正半轴上;2θ是第一象限或第三象限角;-θ是第四象限角.精心整理，仅供参考编辑文案使用，请按实际需求再行修改编辑2020年2月17日。
(完整版)角的概念的推广练习题
角的概念的推广练习题班级________ 姓名________一、选择题：1、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 2．若α 是第四象限角，则2α是（ ）． A ．第二象限角 B ．第三象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四限角 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝4、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C5.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是 ( )︒︒︒︒30-D C30 60-B. 60.A6.若α是锐角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二角限角C.第三象限角D.第四象限角 7、如果x 是第一象内的角，那么（ ）（A ）x 一定是正（B ）x 一定是锐角（C ）-3600<x <-2700或00<x <900 （D ）x ∈{x ∣k ⋅3600<x <k ⋅3600+900 k ∈Z }8、设A={θ∣θ为正锐角}，B={θ∣θ为小于900的角}， C={θ∣θ为第一象限的角}，D={θ∣θ为小于900的正角}。
【精品推荐】高中数学北师大版必修四课后训练1.2角的概念的推广 Word版含答案
课后训练1．设A＝{锐角}，B＝{小于90°的角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()．A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D2．在四个角－20°，－400°，－2 000°，600°中，第四象限的角的个数是()．A．0个B．1个C．2个D．3个3．将－885°化为α＋k×360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()．A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是()．A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k×360°－45°≤α≤k×360°＋120°，k∈Z}D．{α|k×360°＋120°≤α≤k×360°＋315°，k∈Z}5．若角α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在象限为()．A．第一象限B．第一、二象限C．第一、三象限D．第一、四象限6．α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－240°，则β＝()A．－240°B．－60°C．k×180°－60°(k∈Z)D．k×360°－60°(k∈Z)7．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第__________象限角．8．(1)角α终边上一点的坐标是(3，－3)，则角α的集合是__________．(2)把25°角的终边按顺时针方向旋转4.5周，所得的角是__________．9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．10．如图所示：(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．参考答案1答案：D2答案：C3答案：B4答案：C5答案：C6答案：D7答案：一或三8答案：(1){α|α＝315°＋k×360°，k∈Z}(2)－1 595°9答案：(1)－190°(2)170°10答案：(1)终边落在OA上的角的集合为{α|α＝k×360°＋135°，k∈Z}，终边落在OB 上的角的集合为{β|β＝k×360°＋330°，k∈Z}(2){α|k×360°－30°≤α≤k×360°＋135°，k∈Z}。
高一数学角的概念的推广试题
高一数学角的概念的推广试题1.如将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是（）。
A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨慢是逆时针旋转∴分针拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为×2π=【考点】本题主要考查弧度制，集合的关系。
点评：分针转过的角是负角，但这里是将分针拨慢。
2.用弧度制表示，终边落在坐标轴上的角的集合为。
【答案】【解析】终边落在X轴上的角集为{α|α=k•180°，K∈Z}；终边落在Y轴上的角集为{α|α=k•180°+90°，K∈Z}；即{α|α=2k•90°，K∈Z}，{α|α=（2k+1）·90°，K∈Z}，所以可化简为{α|α=n•90°，n∈Z}，即。
【考点】本题主要考查弧度制，轴线（象限界）角的概念及表示。
点评：注意讨论终边在坐标轴上的各种情况，并注意化简。
3.若，则是第象限角。
【答案】一、三．【解析】因为，所以k=2n时，，是第一象限角；当k=2n+1时，，是第三象限角，故答案为是第一、三象限角。
【考点】本题主要考查弧度制，象限角的概念及表示。
点评：注意讨论k的取值。
4.若，则的范围是。
【答案】【解析】因为，所以，，故。
【考点】本题主要考查弧度制，不等式的性质。
点评：易错题，注意本题限定了。
5.一个半径为R的扇形，若它的周长等于它所在圆的周长的一半，则扇形圆心角的度数为。
【答案】【解析】利用弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度角。
计算弧长与半径之比得。
【考点】本题主要考查弧度制。
点评：扇形中弧长、半径、弦长等关系相互表示，联系密切，应熟练掌握。
弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度角。
6.把化成的形式是（）A．B．C．D．【答案】D；【解析】除以360，商为负整数且比被除数是正角是绝对值大1，商为k，余数为，故选D。
【考点】本题主要考查终边相同角的概念及表示。
角的概念的推广习题精选
角的概念的推广习题精选一．填空题1．与终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．2．已知的终边在轴上的上方，那么是第__________象限的角．3．已知角的终边落在第一、四象限及轴正半轴，则角的集合为____________；终边在坐标轴上的角的集合为____________．4．若角与的终边关于轴对称，则与的关系是__________；若角与的终边互相垂直，则与的关系是___________．5．给出下列命题：①和的角的终边方向相反；②和的角的终边相同；③第一象限的角和锐角终边相同；④与的终边相同；⑤设，，则．其中所有正确命题的序号是______________．二．选择题6．下列命题中，正确的是（）．A．始边和终边都相同的两个角一定相等B．是第二象限的角C．若，则是第一象限角D．相等的两个角终边一定相同7．与角终边相同的角可写成（）（）．A．B．C．D．8．经过3小时35分钟，时针与分针转过的度数之差是（）．A．B．C．D．9．若两角、的终边关于原点对称，那么（）．A．B．C．D．10．设，且的终边与轴非负半轴重合，则这样的角最多有（）．A．二个 B．三个 C．四个 D．五个三．解答题11．求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1）；（2）．12．求，使与角的终边相同，且．13．如图所示，写出图中阴影部分（包括边界）的角的集合，并指出是否是该集合中的角．14．已知角是第三象限的角，试判断、所在的象限．15．若角的终边经过点，试写出角的集合，并求出集合中绝对值最小的角．16．写出终边在函数的图象上的角的集合，并指出其中在内的角．参考答案：一．填空题1．，三，，2．一、三3．，4．，5．②、④、⑤二．选择题6．D 7．C 8．C 9．D 10．D三．解答题11．（1），其中的最小正角为，最大负角为；（2），其中的最小正角为，最大负角为．12．由，知符合条件的角为，，，，．13．阴影部分角的集合为，是该集合中的角．因为．14．在第二、四象限；在第一、三、四象限．15．所求集合为，集合中绝对值最小的角为．16．，，，，．提示：先由可知所求角在的值为或，由此即可写出集合．。
高中数学角的概念的推广习题有答案解析
角的概念的推广一、选择题1.下列命题中正确的是( )A.第一象限的角必是锐角B.终边相同的角必相等C.相等角的始边相同时,终边位置必相同D.不相等的角终边位置必不相同2.-1 122°角的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列各组角中,终边相同的角是( )A.390°与690°B.-330°与750°C.480°与-420°D.300°与-840°4.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下列关系中正确的是( )A.A=B=CB.A⫋CC.A∩C=BD.B∪C=C5.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=()A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}6.已知α为第三象限角,则α所在的象限是( )2A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限二、填空题7.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了度;时针转了度.8.设集合M={α|α=k·90°,k∈Z}∪{α|α=k·180°+45°,k∈Z},N={β|β=k·45°,k∈Z},则集合M 与集合N的关系是.三、解答题9.求终边在直线y=-x上的角的集合S.10.已知α=-1 910°.(1)将α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α所在象限;(2)求θ,使θ与α终边相同,且-720°≤θ<0°.11.已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内,求α.一、选择题1.200°是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.若α是第四象限角,则180°-α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角二、解答题3.已知集合A={α|30°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°≤β≤45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.4.如图所示.(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.一、选择题1.C 可用排除法,如390°角在第一象限,不是锐角,故排除A;终边相同的角相差360°的整数倍,如390°角与30°角终边相同,但两角不相等,故排除B;390°角与30°角不相等但终边相同,故排除D.故选C.2.D 因为-1 122°=-4×360°+318°,所以-1 122°角的终边所在的象限是第四象限.3.B 若α与β终边相同,则α-β=k·360°,k∈Z,750°=-330°+3×360°.4.D 由题意得A={α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z},B={α|0°<α<90°},C={α|α<90°},∴B∪C=C.5.C 由-180°<k·90°-36°<180°(k∈Z)得-144°<k·90°<216°(k∈Z),∴-14490<k<21690(k∈Z),∴k=-1,0,1,2,∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°},故选C.6.D 由k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,得k 2·360°+90°<α2<k 2·360°+135°,k∈Z. 当k 为偶数时,α2为第二象限角;当k 为奇数时,α2为第四象限角.二、填空题7.答案 30;2.5解析 将时钟拨慢5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的角度都是正角.这时,分针转过的角度是360°12=30°, 时针转过的角度是30°12=2.5°.8.答案 M ⫋N解析 集合M 中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图①.集合N 中的各类角的终边用直线(包括坐标轴所在的直线)表示如图②.比较图①和图②,不难得出M ⫋N.三、解答题9.解析 因为直线y=-x 是第二、四象限的角平分线,在0°~360°之间所对应的两个角分别是135°和315°,所以S={α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|α=n·180°+135°,n∈Z}.10.解析(1)-1 910°=-6×360°+250°,因为250°角为第三象限角,所以-1 910°角为第三象限角.(2)θ为-110°或-470°.11.解析在0°~360°范围内,终边落在阴影部分的角为30°<α<150°或210°<α<330°,所以满足题意的角α={α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}= {α|2k·180°+30°<α<2k·180°+150°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°<α<(2k+1)·180°+150°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.一、选择题1.C 200°是第三象限角.2.C 若α是第四象限角,则-α是第一象限角,将-α的终边逆时针转180°到第三象限,故180°-α是第三象限角.二、解答题3.解析如图,集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内,集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内,因此集合A∩B={α|30°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}.4.解析(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由题图可知,在-180°~180°范围内,终边落在阴影部分的角β满足-30°≤β≤135°,因此所求角的集合是所有与之终边相同的角组成的集合,故该集合可表示为{γ|-30°+k·360°≤γ≤135°+k·360°,k∈Z}.。
高一数学必修第一册 第5章 第一节 课时1 角的概念的推广(解析版)
第5章 第一节 课时1 角的概念的推广一、单选题1．如图，圆O 的圆周上一点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈，24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角是（ ）A ．864-B ．432C ．504D ．864【答案】D【分析】求出点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以24即可求解. 【详解】因为点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈， 所以点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数为3603610=， 设24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角为3624864⨯=， 故选：D ．2．下列各角中与60终边相同的角是（ ）A ．300-B ．240-C ．120D ．390【答案】A【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.【详解】30060360-=-，24060300-=-，0106602=+，39060330=+， 因此，只有A 选项中的角与60终边相同. 故选：A.3．下列角的终边与37角的终边在同一直线上的是A ．37-B ．143C ．379D ．143-【答案】D【分析】根据与37角的终边在同一直线上的角可表示为()37180k k Z +⋅∈，然后对k 赋值可得出正确选项.【详解】与37角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +⋅，k Z ∈，当1k =-时，37180143-=-，所以，143-角的终边与37角的终边在同一直线上. 故选D ．【点睛】本题考查终边在同一直线上的两角之间的关系，熟悉结论：与角α的终边在同一直线上的角为()180k k Z α+⋅∈，属于基础题. 4．若角2α与240角的终边相同，则α= A ．120360,k k Z +⋅∈ B ．120180,k k Z +⋅∈ C ．240360,k k Z +⋅∈ D ．240180,k k Z +⋅∈【答案】B【分析】由题意得出()2240360k k Z α=+⋅∈，由此可计算出角α的表达式. 【详解】因为角2α与240角的终边相同，所以()2240360k k Z α=+⋅∈， 则120180k α=+⋅，k Z ∈. 故选B.【点睛】本题考查终边相同的角之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5．若角αβ、的终边相同，则αβ-的终边在． A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上 D ．y 轴的非正半轴上 【答案】A【分析】可用终边相同的公式表示,αβ，再作差根据范围判断即可【详解】设122,2,αa k πβa k πk Z =+=+∈，则()122,k k k Z -=-∈αβπ，终边在x 轴的非负半轴上 故选A【点睛】本题考查任意角的概念，终边相同的角的表示方法，属于基础题 6．如果角α的终边上有一点()0,3P -，那么α A ．是第三象限角 B ．是第四象限角 C ．是第三或第四象限角 D ．不是象限角 【答案】D【分析】根据点P 的位置，可判断出角α终边的位置.【详解】因为点P 在y 轴的负半轴上，即角α的终边落在y 轴的非正半轴上，所以α不是象限角． 故选D.【点睛】本题考查根据角的终边上的点判断出角的终边的位置，考查对任意角概念的理解，属于基础题.7．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【答案】C【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果. 详解：若α是第一象限角，则：90α︒-位于第一象限， 90α︒+位于第二象限， 360α︒-位于第四象限， 180α︒+位于第三象限，本题选择C 选项.点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度. 8．已知角2α是第一象限角，则α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第一或第二象限或y 轴的非负半轴上【答案】D【分析】由象限角可得到角2α的范围,进而可求得α的范围,即可得出α的终边所在位置. 【详解】∵由角2α是第一象限角,∴可得π2π2π,22k k k α<<+∈Z ,∴4π4ππ,k k k α<<+∈Z .即α的终边位于第一或第二象限或y 轴的非负半轴上. 故选:D.【点睛】本题考查了象限角,熟练利用角的范围是解题的关键,属于基础题.9．集合(){}180190,nA x x n n Z ==⋅+-⋅∈与{}36090,B x x m m Z ==⋅+∈之间的关系是 A ．ABB ．B AC ．A B =D ．A B =∅【答案】C【分析】对集合A 中的整数n 分偶数和奇数两种情况讨论，并将集合A 中的等式化简，由此可判断出集合A 与集合B 之间的关系.【详解】对于集合A ，当n 为偶数时，设()2n k k Z =∈，()180********nx n k =⋅+-⋅=⋅+；当n 为奇数时，设()21n k k Z =+∈，()180********nx n k =⋅+-⋅=⋅+.所以，集合{}36090,A x x k k Z ==⋅+∈，因此，A B =. 故选C.【点睛】本题考查角的两个集合之间包含关系的判断，解题的关键就是对整数n 进行分类讨论，并将集合A 中的等式化简，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 10．若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合{|}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分k 为偶数和奇数讨论，即可容易判断选择. 【详解】当k 取偶数时，2,k n n Z =∈，2π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈，故角的终边在第一象限. 当k 取奇数时，21,k n n Z =+∈，532π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈， 故角的终边在第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查图形中阴影部分对应角度的集合，属简单题.二、多选题11．（多选）下列四个选项中正确的是（ ） A ．-75°角是第三象限角 B ．225°角是第二象限角 C ．475°角是第二象限角 D ．-315°是第一象限角【答案】CD【分析】根据象限角的定义结合图像逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A ，如图1所示，-75°角是第四象限角，故A 错误；对于B ，如图2所示，225°角是第三象限角，故B 错误；对于C ，如图3所示，475°角是第二象限角，故C 正确；对于D ，如图4所示，-315°角是第一象限角，故D 正确．12．下列命题中，假命题的是（ ） A ．终边在x 轴的非正半轴上的角是零角 B ．第二象限角一定是钝角 C ．第四象限角一定是负角D ．若()360k k βα=+⋅︒∈Ζ，则α与β终边相同 【答案】ABC【解析】角的概念和辨析，按照概率逐一进行判断即可.【详解】终边在x 轴负半轴上的角是2,k k αππ=+∈Z ，零角是没有旋转的角，所以A 为假命题；第二象限角应表示为2,2,2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，是由无数多个区间的并集构成，所以B为假命题；第四象限角表示为32,22,2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k ≥时，就是正角，所以C 为假命题；若()360k k βα=+⋅︒∈Z ，则α与β终边相同，所以D 为真命题. 故选：ABC.13．（多选）已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】AC【分析】由角2α的终边的位置，可得角2α的范围：3602360180k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，即得角α的范围：18018090k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，再对k 分奇数和偶数讨论可得解. 【详解】因为角2α的终边在x 轴的上方，所以3602360180k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，则有18018090k k α⋅<<⋅+，k Z ∈.故当2k n =，n Z ∈时，36036090n n α⋅<<⋅+，n Z ∈，α为第一象限角； 当21k n =+，n Z ∈时，360180360270n n α⋅+⋅<<⋅+，n Z ∈，α为第三象限角.【点睛】本题考查角2α和角α的终边的位置关系，关键在于由角的终边的位置得角的范围，再分k 为奇数和偶数讨论，属于基础题.14．下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）． A ．540αβ+=︒ B ．360αβ+=︒ C ．180αβ+=︒ D ．90αβ+=︒【答案】AC【解析】假设α，β为0180内的角，可得180αβ+=，再由终边相同角的表示即可求解.【详解】假设α，β为0180内的角，如图所示：由α和β的终边关于y 轴对称，所以180αβ+= 根据终边相同角的概念，可得()36018021180,k k k Z αβ+=+=+∈， 所以满足条件的为A 、C 故选：AC三、填空题15．将90︒角的终边按顺时针方向旋转30︒所得的角等于________． 【答案】60︒【分析】顺时针旋转所得角为负角，即903060︒︒︒-=．【详解】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为90(30)60︒︒︒+-=． 【点睛】此题考查角定义逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，属于简单题目． 16．已知角α为钝角，角4α与角α有相同的始边与终边，则角α=______．【答案】120【分析】由题意得出()4360k k Z αα=⋅+∈，可得出120k α=⋅，再由90120180k <⋅<求出整数k 的值，即可得出角α的值.【详解】若角4α与角α有相同的始边与终边，则()4360k k Z αα=⋅+∈，即()120k k Z α=⋅∈．又角α为钝角，则90120180k <⋅<，所以1k =，所以120α=． 故答案为120.【点睛】本题考查利用终边相同求角的值，解题的关键就是利用两角终边相同这一条件得出角的表达式，根据题中条件列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.四、双空题17．如图，花样滑冰是冰上运动项目之一．运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．运动员顺时针旋转两圈半所得角的度数是______，逆时针旋转两圈半所得角的度数是______．【答案】 900-︒ 900°【分析】根据正角和负角及任意角的定义即可得出答案.【详解】解：顺时针旋转两圈半所得角的度数是236018()0900-⨯︒+︒=-︒，则逆时针旋转两圈半所得角的度数为900°． 故答案为：900-︒；900°五、解答题18．在与530°角终边相同的角中，找出满足下列条件的角β． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)720360β-︒≤<-︒． 【答案】(1)190β=-︒ (2)170β=︒(3)550β=-︒【分析】（1）写出与530°角终边相同的角为360530k ⋅︒+︒，k ∈Z ，再根据3603605300k -︒<⋅︒+︒<︒，即可的解；（2）根据0360530360k ︒<⋅︒+︒<︒，即可的解； （3）根据720360530360k -︒≤⋅︒+︒<-︒，即可的解.【详解】(1)解：与530°角终边相同的角为360530k ⋅︒+︒，k ∈Z ，由3603605300k -︒<⋅︒+︒<︒且k ∈Z ，可得2k =-，故所求的最大负角190β=-︒； (2)解：由0360530360k ︒<⋅︒+︒<︒且k ∈Z ，可得1k =-，故所求的最小正角170β=︒； (3)解：由720360530360k -︒≤⋅︒+︒<-︒且k ∈Z ，可得3k =-，故所求的角550β=-︒． 19．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．（1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．【答案】（1）{}160360,S k k Z αα==+⋅∈；（2）{}230180,S k k Z αα==+⋅∈；（3）{}33018060180,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈【分析】（1）可得出终边落在射线OB 上的一个角为60，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（2）可得出终边落在射线OB 上的一个角为30，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果.【详解】（1）终边落在射线OB 上的角的集合为{}160360,S k k Z αα==+⋅∈； （2）终边落在直线OA 上的角的集合为{}230180,S k k Z αα==+⋅∈； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为{}3036060360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈，终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为{}210360240360,k k k Zαα+⋅≤≤+⋅∈{}3018036060180360,k k k Zαα=++⋅≤≤++⋅∈()(){}30211806021180,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈，因此，终边落在阴影区域内的角的集合为{}33036060360,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈⋃()(){}30211806021180,k k k Z αα++⋅≤≤++⋅∈{}3018060180,k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的表示，解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.20．如图，半径为1的圆的圆周上一点A 从点()1,0出发，按逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A 在1min 内转过的角度为1(080)θθ︒<<︒，2min 到达第三象限，15min 回到起始位置，求θ．【答案】96θ=︒或120°．【分析】由题意列出关于θ的关系式，直接求解即可【详解】由题意，得()0180180227015360k k θθθ⎧︒<<︒⎪︒<<︒⎨⎪=⋅︒∈⎩Z ，即()9013524k k θθ︒<<︒⎧⎨=⋅︒∈⎩Z ，解得96θ=︒或120°．。
角的概念推广与弧度制练习题
角的概念推广与弧度制1 1 ．．下列四个命题中，正确的是下列四个命题中，正确的是（ ）A ．第一象限的角必是锐角．第一象限的角必是锐角B ．锐角必是第一象限的角．锐角必是第一象限的角C ．终边相同的角必相等．终边相同的角必相等D ．第二象限的角必大于第一象限的角．第二象限的角必大于第一象限的角 2 2 ．．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 （ ） A ．42cm B ．22cm C ．4π D ．2π2cm3 3 ．．已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求此弧对的圆心角的弧度数，求此弧对的圆心角的弧度数 （ ）A ．1.2 B ．1.44 C ．1 D ．5/6 4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所对的弧长是A 2B 1sin 2C 2sin1D sin2 5．一条弦长等于半径的21，则此弦所对圆心角，则此弦所对圆心角（ ）A ．等于6p 弧度弧度B ．等于3p弧度弧度C ．等于21弧度弧度 D ．以上都不对．以上都不对（ ）6．若扇形的周长为20，则使扇形的面积最大时的半径是，则使扇形的面积最大时的半径是（ ）A ．10 B ．203C ．5 D ．4 7. 扇形的周长是10cm,面积是4平方厘米，求圆心角所对的弦长___________________ 8 8 ．．在0°到360°范围内，与角°范围内，与角 -120°终边相同的角是°终边相同的角是 （ ） A ．120° B ．60° C ．180° D ．240°9 9 ．．已知α是锐角，那么2α是（ ）A ．第一象限角．第一象限角B ．第二象限角．第二象限角C ．小于180°的正角°的正角D ．不大于直角的正角．不大于直角的正角10 10 ．．已知a 是第三象限的角，则2a是 （ ）A ．第一或二象限的角．第一或二象限的角B ．第二或三象限的角．第二或三象限的角C ．第一或三象限的角．第一或三象限的角D ．第二或四象限的角．第二或四象限的角1111．．已知角a 2的终边在x 轴的上方，那么a 是（ ）A ．第一象限角．第一象限角B ．第一、二象限角．第一、二象限角C ．第一、三象限．第一、三象限D ．第一、四象限角．第一、四象限角1212．．集合{}{}Z n ,90180n |N ,Z n ,90180n |M o o o o α×=b b =Î+×=a a =则（ ）A ．N M ÌB ．N M ÉC ．M=N D ．以上答案都不对．以上答案都不对1313．．若两角a 、b 的终边关于原点对称，那么的终边关于原点对称，那么（ ）A ．ΖÎ×=-k k ，360b aB ．ΖÎ×+=+k k ，360180b aC ．ΖÎ×=+k k ， 360b aD ．ΖÎ×+-=-k k ，360180b a1414．．设3600<<b ，且b 6的终边与x 轴非负半轴重合，则这样的角最多有轴非负半轴重合，则这样的角最多有（ ） A ．二个．二个 B ．三个．三个C ．四个．四个D ．五个．五个1515．．3-=a ，则a 终边在终边在（ ）A ．第一象限．第一象限B ．第二象限．第二象限C ．第三象限．第三象限D ．第四象限．第四象限1616．．下列各组角中终边相同的是下列各组角中终边相同的是（ ）A ．p )12(+k 与p )14(±k ，Z ÎkB ．2pk 与2pp +k ，Z Îk C ．6p p +k 与62p p ±k ，Z ÎkD ．3p p ±k 与3p k ，Z Îk1717．．集合{}p a p a pp a a <<-þýüîíìÎ-= Z ,52k k = （ ）A ．þýüîíì-p p 103,310 B ．þýüîíì-p p 54,107 C ．þýüîíì--p p p p 107,54,103,5D ．þýüîíì-p p 107,103 1818．．已知集合þýüîíìÎ+==Z ,42k k x x M p p ，þýüîíìÎ+==Z ,24k k x x N p p ，则，则 （ ） A ．N M = B ．N M É C ．N M Ì D ．Æ=N M1919．．与一p 617角终边相同的角是_________________，它们是第_______象限角，其中最小正角是_____________，最大负角是______________。
《三角函数》专题1 角的概念的推广(Word版含答案)
《三角函数》专题1-1 角的概念的推广（5套，4页，含答案）知识点：图示典型例题：1.—225°是第象限角？（③）2.与30°终边相同的角是：( ④) A－30°B210°C390°D－360°3.在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为⑤．4.不相等的角的终边位置（⑥）A.一定不相同B.一定相同C.可能相同D.以上都不对5.已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是（⑦）A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．A≠⊂C D．A＝B＝C随堂练习：1.－1120°角所在象限是（⑧）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.与－1050°终边相同的最小正角是⑨.3.写出－720°到720°之间与－1068°终边相同的角的集合____________．（⑩）4.以下列四个命题：①大于90°的角是钝角；②第二象限的角一定是钝角；③第二象限的角必定大于第一象限的角；④负角也可能是第一象限角．其中不正确．．．命题的个数有（11）A．1个B．2个C．3个D．4个《三角函数》专题1-2 角的概念的推广1.与1991°终边相同的最小正角是__，绝对值最小的是，它们是第_ 12象限角．2.下列角中终边与330°相同的角是（13）A．30°B．－30°C．630°D．－630°3.若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝____14____.4.A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B＝( 15)A. {锐角}B.{小于90°的角}C. {第一象限角}D.以上都不对5.若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____16____．1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．17(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.2.求θ，使θ与－900°角的终边相同，且θ∈[－180°，1260°]．（18）3.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(19)A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D4.将分针拨快10分钟，则分针所转过的度数为____20____．《三角函数》专题1-4 角的概念的推广1.下列各组角中，终边相同的角是（21）A．280°与580° B．－125°与485° C．－360°与0°D．12°与364°2.已知角α终边上有一点P(0，b)（b＜0），则α是（22）A．第三象限角B．第四象限角C．第三或第四象限角D．以上都不对3.如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的－360°到360°之间的角．234.下列四个命题中正确的是（24）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角5.钟表经过4小时，时针转了度，分针转了25度．1.与－1778°角的终边相同且绝对值最小的角是26．2.给出下列四个命题，其中正确的命题有(27)①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1个B．2个C．3个D．4个3.在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是___28_____．4.设E＝｛小于900的角｝，F＝｛锐角｝，G＝｛第一象限的角｝，M＝｛小于900但不小于00的角｝，则有（29）A．F⊆G⊆E B.F⊆E⊆G C.M⊆(E∩G) D.(E∩G)∩M＝F5.时钟走过3小时20分，则分针所转过的角度为________，时针所转过的角度为____30___．① 答案：(1)一条射线 端点 旋转 (2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转② 答案：第几象限角③ 答案：2；④ 答案：C ；⑤ 答案：120°与300°；⑥ 答案：C ；⑦ 答案：B ；⑧ 答案：D ；⑨ 答案：30°；⑩ 答案：{}0000708,348,12,372--；11答案：C ；12 答案：191°，－169°，三；13 答案：B ；14 答案：－110°或250°；解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°＜θ＜360°， ∴k ＝－1或0.∴θ＝－110°或250°.15 答案：D ；16 答案 －960°； 解析 ∵2小时40分＝223小时， ∴－360°×223＝－960°.17 答案：解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．18 答案：{}o o o o o 1260,900,540,180,180-；19 答案：D ；[锐角θ满足0°＜θ＜90°；而B 中θ＜90°，可以为负角；C 中θ满足k ·360°＜θ＜k ·360°＋90°，k ∈Z ；D 中满足0°＜θ＜90°，故A ＝D .]20 [答案] －60°；21答案：C ；22 答案：D ；23 答案：240°，60°，－120°，－300°；24 答案：B ；25 答案：－120°，－1440°；26 答案：22°；27 [答案] D ；[解析]由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.28答案{－620°，－260°，100°，460°}；解析与100°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}令k＝－2，－1，0，1，得α＝－620°，－260°，100°，460°.29答案：D；--；30答案：1200,100。
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角的概念的推广习题精选.填空题1.与-490■终边相同的角的集合是,它们是第象限的角，其中最小的正角是,最大负角是■2.已知2。
的终边在x轴上的上方，那么a是第象限的角.3.已知角Q的终边落在第一、四象限及*轴正半轴，则角的集合为；终边在坐标轴上的角的集合为.4.若角a与0的终边关于V轴对称，则。
与°的关系是；若角a与月的终边互相垂直，则与月的关系是.5.给出下列命题：30°和-30"的角的终边方向相反；-330°和-390"的角的终边相同；第一象限的角和锐角终边相同；口 =（2^ + 1）* 180°与8 =（4A:±l）,180a（^eZ）的终边相同；M = {x\x = 45°+ k, 90°, ke Z）财={舟=90-+如45二El},则M3.其中所有正确命题的序号是-.选择题6.下列命题中，正确的是（）.A.始边和终边都相同的两个角一定相等B.-135°是第二象限的角aC.若450°<a< 540° ,则4是第一象限角D.相等的两个角终边一定相同7.与-460■■角终边相同的角可写成（kel）（）.A. 460°+^'360°B. 100"+妇36（TC. 260°+如360°D. -260°+/360°8.经过3小时35分钟，时针与分针转过的度数之差是（）.A. 1182.5°B. -1182.5° c. 1182.3°D. -1182.3°9.若两角必、，的终边关于原点对称，那么（）.A a-0 = k,360°9 Are ZB ” + ^=180°+/360。
，keZC a* B = k、360°, ke ZD”一月=一180°+上・360°, keZ10.设<P< 360°,且60的终边与X轴非负半轴重合，则这样的角最多有( ).A.二个B.二个C.四个D.五个.解答题11.求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：(1)一210"；(2) -1484°37/12.求°,使°与一900。
《角的概念的推广》习题
《角的概念的推广》习题《角的概念的推广》习题第一类：时针、分针旋转问题1、分针转2小时15分，所转的角度是多少？若将时钟拨慢5分钟，时针、分针各转了多少度？2、自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转多少度？3、自行车大轮m齿，小轮n齿，大轮转一周小轮转多少度？第二类：终边角问题讨论1、若a与β的终边角相同，则a-β的终边角一定在（）A、x的非负半轴上B、x的非正半轴上C、y的非正半轴上D、y的非负半轴上2、如果a与x+450有相同的终边角,β与x-450有相同的终边角,那么a与β的关系是（）A、a+β=0B、a-β=0C、a+β= k?360°D、a-β=900+ k?360°3、若a与β的终边关于直线x-y=0对称，且a=-300，则β= _______。
第三类：象限角和轴线角讨论1、a是四象限角，则180°-a是（）A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角2、判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）小于90°的角是锐角；（）（2）第一象限角小于第二象限角；（）（3）终边相同的角一定相等；（）（4）相等的角终边一定相同；（）（5）若a∈〔90°，180°〕，则a 是第二象限角．（）3、如果a=450+ k?180°则a 是第（）象限角？A、第一或第三象限角B、第一或第二象限角C、第二或第四象限角D、第三或第四象限角4、若a是一象限角，那么2a、分别是第几象限角？5．设a 是第二象限角，则的终边不在（）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．已知β∈｛a |a=k?180+(-1)K?450, ｝,判断a的终边所在的象限。
第四类：综合练习易错题1．判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）集合P＝｛锐角｝，集合Q＝｛小于90°的角｝，则有P＝Q；（2）角a 和角2a 的终边不可能相同；（3）在坐标平面上，若角β的终边与角a 终边同在一条过原点的直线上，则有b ＝kp＋a ，k∈Z；（4）若a 是第二象限角，则2a 一定是第三或第四象限角；（5）设集合A＝{射线OP}，集合B ＝{坐标平面内的角}，法则f：以x轴正半轴为角的始边，以OP为角的终边，那么对应f：OP∈Ａ→是一个映射；（6）不相等的角其终边位置必不相同．2．角的顶点在坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，那么终边在下列位置的角的集合分别是：（1）x轴负半轴________；（2）坐标轴上________；（3）直线y＝x________；（4）两坐标轴及y＝±x________．3．“x是钝角”是“x是第二象限角”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件4．S是与－374°15′终边相同的角的集合，M＝{b｜｜b｜＜360°}，则＝（）．A．S B．{14°15′}C．{14°15′，－14°15′} D．{－14°15′，345°45′}5．如图4－1所示，如按逆时针旋针，终边落在OA位置时的角的集合是________；终边落在OB位置时的集合是________．6．已知a的终边与-6900的终边关于Y轴对称，则a=________；已知b的终边与-6900的终边关于原点对称，其中绝对值最小的b=________；7．集合M=｛x|x= k?90° 450 }与P=｛x|x=m?45° }之间的关系为（）A．M P B．P M C．M=P D．M∩P=8．设角a的终边落在函数y＝-|x|的图象上，求角a的集合。
1.1.1 角的概念的推广 学案(含答案)
1.1.1 角的概念的推广学案（含答案）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角.负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角.终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.知识点一角的相关概念1角的概念角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2角的分类按旋转方向可将角分为如下三类类型定义图示正角按照逆时针方向旋转而成的角负角按照顺时针方向旋转而成的角零角当射线没有旋转，称它形成了一个零角3角的运算各角和的旋转量等于各角旋转量的和.知识点二终边相同的角终边相同角的表示设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为S|k360，kZ，集合S的每一个元素都与的终边相同，当k0时，对应元素为.知识点三象限角在平面直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.象限角角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.轴线角终边落在坐标轴上的角.1.经过1小时，时针转过30.提示因为是顺时针旋转，所以时针转过30.2.终边与始边重合的角是零角.提示终边与始边重合的角是k360kZ.题型一任意角概念的理解例11给出下列说法锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角.直角或锐角.其中正确说法的序号为________.2将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.答案12120解析1锐角指大于0且小于90的角，都是第一象限角，所以对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180的角还有负角.零角，所以错误.2分针每分钟转6，由于顺时针旋转，所以20分钟转了120.反思感悟解决此类问题要正确理解锐角.钝角.090角.象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练1写出下列说法所表示的角.1顺时针拧螺丝2圈；2将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解1顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为720.2拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900.题型二终边相同的角命题角度1求与已知角终边相同的角例2在与角10030终边相同的角中，求满足下列条件的角.1最大的负角；2最小的正角；3360720范围内的角.解与10030终边相同的角的一般形式为k36010030kZ，1由360k360100300，得10390k36010030，解得k28，故所求的最大负角为50.2由0k36010030360，得10030k3609670，解得k27，故所求的最小正角为310.3由360k36010030720，得9670k3609310，解得k26，故所求的角为670.反思感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.跟踪训练2写出与1910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来.解由终边相同的角的表示知，与角1910终边相同的角的集合为|k3601910，kZ.720360，即720k3601910360kZ，3k6kZ，故取k4,5,6.当k4时，43601910470；当k5时，53601910110；当k6时，63601910250.命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例3写出终边在直线yx上的角的集合.解终边在yxx0上的角的集合是S1|120k360，kZ；终边在yxx0上的角的集合是S2|300k360，kZ.因此，终边落在直线yx上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ，即S|1202k180，kZ|1202k1180，kZ|120n180，nZ.故终边在直线yx上的角的集合是S|120n180，nZ.反思感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并.跟踪训练3终边在直线yx上的角的取值集合是A.|n360135，nZB.|n36045，nZC.|n180225，nZD.|n18045，nZ答案D解析角的取值集合为|k360135，kZ|k36045，kZ|2k118045，kZ|2k18045，kZ|n18045，nZ，故选D.题型三象限角的判定例4在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.1150；2650；395015.解1因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角.2因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.3因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角.反思感悟判断象限角的步骤1当0360时，直接写出结果.2当0或360时，将化为k360kZ，0360，转化为判断角所属的象限.跟踪训练4下列各角分别是第几象限角请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S 中适合不等式360720的元素写出来.160；221.解160角是第一象限角，所有与60角终边相同的角的集合S|60k360，kZ，S中适合360720的元素是601360300，60036060，601360420.221角是第四象限角，所有与21角终边相同的角的集合S|21k360，kZ，S中适合360720的元素是21036021，211360339，212360699.终边相同的角的应用典例一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆半径为1的圆上爬动，两只蚂蚁均从点A1,0同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角其中0180，如果两只蚂蚁都在第14s时回到A点，并且在第2s时均位于第二象限，求，的值.解根据题意，可知14，14均为360的整数倍，故可设14m360，mZ,14n360，nZ，则180，mZ，180，nZ.由两只蚂蚁在第2s时均位于第二象限，知2，2均为第二象限角.因为0180，所以022360，所以2，2均为钝角，即9022180，于是4590，4590.所以4518090，4518090，即m，n，又，所以mn，从而可得m2，n3，即，.素养评析通过对实际问题进行分析，建立终边相同角的模型解决问题，这就是数学核心素养数学建模的具体体现.1.下列说法正确的是A.第一象限的角一定是正角B.三角形的内角不是锐角就是钝角C.锐角小于90D.终边相同的角相等答案C解析355是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90，所以B错误；锐角小于90，C正确；45与405角的终边相同，但不相等，所以D 错误.故选C.2.与457角终边相同的角的集合是A.|k360457，kZB.|k36097，kZC.|k360263，kZD.|k360263，kZ答案C解析4572360263，故选C.3.2019是第________象限角.答案三解析因为20195360219，故2019是第三象限角.4.与1692终边相同的最大负角是________.答案252解析16924360252，与1692终边相同的最大负角为252.5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合S1|k180，kZ；终边落在y轴上的角的集合S2|k18090，kZ.终边落在坐标轴上的角的集合SS1S2|k180，kZ|k18090，kZ|2k90或2k190，kZ|n90，nZ.1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.注意1为任意角.2k360与之间是“”号，k360可理解为k360.3相等的角终边一定相同.终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.4kZ这一条件不能少.。
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第一章§2
一、选择题
1．与600°终边相同的角可表示为(k∈Z)()
A．k·360°＋220°B．k·360°＋240°
C．k·360°＋60°D．k·360°＋260°
2．已知S＝{α|α＝k·360°－175°，k∈Z}，则集合S中落在－360°～360°间的角是()
A．185°B．－175°
C．185°，－175°D．175°，－175°
3．下列说法中正确的是()
A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角
C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等4．若α为第二象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是()
A．第一象限B．第一、二象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()
A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z
6．判断下列角的集合的关系：
设集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则()
A．A包含于B B．B包含于 A C．A∩B＝∅D．A＝B
二、填空题
7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝____________________.
8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝______________.
9.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界)，那么角α的集合是________．
三、解答题
10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角．
做完后，请看后面答案订正
一、选择题
1．与600°终边相同的角可表示为(k∈Z)()
A．k·360°＋220°B．k·360°＋240°
C．k·360°＋60°D．k·360°＋260°
[答案] B
[解析]与600°终边相同的角α＝k·360°＋600°＝k·360°＋360°＋240°＝(k＋1)·360°＋240°，k∈Z.∴选B.
2．已知S＝{α|α＝k·360°－175°，k∈Z}，则集合S中落在－360°～360°间的角是()
A．185°B．－175°
C．185°，－175°D．175°，－175°
[答案] C
[解析]k＝1,0时，α＝185°，－175°.
3．下列说法中正确的是()
A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角
C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等[答案] C
[解析]－330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角、360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．
4．若α为第二象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是()
A．第一象限B．第一、二象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
[答案] D
[解析]当k为偶数时，设k＝2n，n∈Z，
则k·180°＋α＝n·360°＋α为第二象限角；
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，
则k·180°＋α＝n·360°＋180°＋α为第四象限角，故选D.
5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()
A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z
[答案] B
[解析]特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.
直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，
∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，
即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
6．判断下列角的集合的关系：
设集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则()
A．A B B．B A
C．A∩B＝∅D．A＝B
[答案] D
[解析]因为集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·90°，k∈Z}∪{α|α＝2k·90°，k∈Z}＝{α|α＝m·90°，m∈Z}，而集合B ＝{β|β＝k·90°，k∈Z}．所以A＝B，故选D.
二、填空题
7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝____________________.
[答案]{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}
[解析]点P在y轴的负半轴上，又270°的终边是y轴的负半轴，则S＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}．
8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝______________.
[答案]k·360°＋60°，k∈Z
[解析]先求出β的一个角为α＋180°＝60°.
再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z.
9.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界)，那么角α的集合是________．
[答案]{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}
[解析]当角的终边在一，三象限角平分线上时α1＝k·360°＋45°，α2＝k·360°＋180°＋45°，而α1＝2k·180°＋45°，α2＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z，∴α1，α2表示为α＝n·180°＋45°，n∈Z，同理角的终边在二，四象限角平分线上时，β＝n·180°＋135°，n∈Z.
三、解答题
10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角．
[解析]与530°终边相同的角为k×360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°<k×360°＋530°<0°，k∈Z
可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°<k×360°＋530°<360°且k∈Z
可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°<k×360°＋530°<－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.。