经济数学课件第一章 函数
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x2 1 0 x (, 1) (1, )
x 1 0 x (1, )
D( f ) (1, ) [(, 1) (1, )] (1, )
例2
求分段函数 g(x)
x3,2 x 4 2x2 1, x 2
的定义域，并作其图形。
§1.3 函数的几何特征
一、单调性 1、概念
对y f (x), x D,若对x1, x2 D,且x1 x2,总有f (x1) f (x2 ) （或f (x1) f (x2 )）,则称f (x)为在D上的递增（或递减）函数
是两个相同的函数，因为俩决定因素一致
y x 2与y x2 3x 2 x 1
是两个不同的函数，因为它们的定义域不同
பைடு நூலகம் 二、函数的表示法
1、表格法 2、图像法 3、解析法
4、三种常用表示法的比较
表格法有准确的数据，便于查找；图像法直观，便于了解 变化情况及变化趋势；解析法则便于进行数学的分析和运算。 实际应用中应依具体情况选用合适方式。
（3）去心邻域：O (x0 ) \ {x0} (x0 , x0 ) (x0, x0 ) 当然也可考虑去心左邻域和去心右邻域。
（4）无穷远点的M邻域：
OM () {x x M} (, M ) (M , ), M 0
4、理解举例
解不等式 x 2 x 1，并用区间表示该不等式的解集。
5、分段函数
所谓分段函数，是指函数的对应关系在不同区域上不一样
的函数。一般的表示是将函数的定义域按表达式的不同，分成 几段来表示，它还是一个函数，不是几个函数。如
x, x 0
(1)绝对值函数y x
x, x 0
(2)取整函数y [x] n, n x n 1,即不超过x的最大整数
对于取整函数，有如下结论：对x R,有[x] x [x] 1
解：根据绝对值的几何意义，上述不等式表示的 实际上是到点—2的距离小于到点1的所有点的集合， 因此从数轴上满足上述要求的点集为 {x x 1}
2 用区间表示为：(, 1)
2
§1.2 函数概念
一、变量与函数
1、函数概念 设x, y为变量, D为实数集,且x D,若对x D，按某一确定的对应法则f ,
X
3 2 1 0 1 2
3
二、实数的绝对值及其基本性质 x, x 0
1、定义：对于x R,规定x的绝对值 x x, x 0
2、绝对值的几何意义 (1) x : 表示数轴上的点 x 到原点的距离；
(2) x y : 表示数轴上的点 x 到点 y 的距离；
(3) x a, a 0 : 表示到原点的距离不超过a的点的集合。
2、邻域
(1)点x0的 邻域 : 在数轴上到点x0的距离小于 ( 0)的点的集合, 记作
O (x0 ) (x0 , x0 ), 其中x0称为邻域的中心, 称为邻域的半径
当不需强调邻域的半径时也简记为O(x0 ),也有些记为U (x0 )
（2）单侧邻域 左邻域：(x0 , x0 ]
右邻域：[x0, x0 )
即为 {x a x a}
3、绝对值的基本性质：对x, y R,则有如下一些常用结论
(1) x 0
(2) x x
(3) x x x (4) x y x y
(5) x y x y (7) x x ( y 0)
yy
(6) xy x y
三、区间与邻域 1、区间： (a,b) {x a x b}
y R与之对应,则称f 为定义在D上的一个函数,记作
f : D R,简记为y f (x), x D
y f (x) xD
因变量
自变量
函数概念中涉及的有关概念：自变量,因变量,函数值,定义域D( f ),值域R( f )
2、决定函数的因素：
两函数相同 两函数的定义域和对应法则均相同
如： y 1与y sin2 x cos2 x
（3）若为对数函数，则要求真数为正，底数为正且不能为1； （4）若函数是由几个函数进行四则运算形成的，则函数的定 义域应为各构成函数的定义域的交集，即是各构成函数定义域 的公共部分。
3、求函数定义域举例 例1 求函数f (x) ln(x 1) 1 的定义域
x2 1 解：要使函数的表达式有意义，必须有 x 1 0且x2 1 0
(3)符号函数y sgn x
1, x 0 0, x 0 1, x 0
三、函数定义域
1、函数定义域的确定原则：
若为反映实际问题的函数，则要考虑实际问题对于自变量 的要求；其次，还要求保证函数的数学表达式有意义。
2、确定函数自然定义域时应考虑的内容 （1）若有开偶次方根，要求被开方式非负；
（2）若为分式函数，则要求分母不能为零；
证明：
x13
x23
( x1
x2 )(x12
x1x2
x22 )
(x1
x2 )[(x1
1 2
x2 )2
3 4
x22 ]
当x1 x2时, 有x13 x23
表示数轴上某一段点的集合。包括区间端点、区间长度 等，区间包括开区间、闭区间、半开半闭区间，还区分有限 区间、无限区间。
另外，还有下列常见的区间：
[a,b],(a,b],[a,b),(, ),(, a),(, a],(a, ),[a, )
注：无穷大不是一个很大的数，而是一个变化趋势，它 表达的是不管给定多么大一个数，它都比这个数还要大，因 此在区间的端点上，都不能包含无穷大，无穷大只能是开。
上述定义中若函数值的不等式中不带等号，则称为严格单 调递增（或递减）函数，单调递增和单调递减函数统称为单调 函数，数集D称为函数的单调区间。
2、几何特征 单调函数在平面直角坐标系中的图像从左至右的 特征为
单调递增函数：不降 严格单调递增函数：上升
单调递减函数：不升 严格单调递减函数：下降
3、理解举例 例1 证明函数y x3在(, )内是严格单调的
第一章 函数
§1.1 预备知识
一、实数与数轴 1、实数：有理数与无理数统称为实数。全体实数组成的集合称为实数集R。 2、数轴：是一条有原点，正方向和长度单位的直线。 3、实数与数轴上的点具有一一对应关系 ：包括如下两层含义 （1）实数集中任意一个实数对应着数轴上唯一的点。 （2）数轴上任意一点唯一地对应着实数集中的一个实数。
x 1 0 x (1, )
D( f ) (1, ) [(, 1) (1, )] (1, )
例2
求分段函数 g(x)
x3,2 x 4 2x2 1, x 2
的定义域，并作其图形。
§1.3 函数的几何特征
一、单调性 1、概念
对y f (x), x D,若对x1, x2 D,且x1 x2,总有f (x1) f (x2 ) （或f (x1) f (x2 )）,则称f (x)为在D上的递增（或递减）函数
是两个相同的函数，因为俩决定因素一致
y x 2与y x2 3x 2 x 1
是两个不同的函数，因为它们的定义域不同
பைடு நூலகம் 二、函数的表示法
1、表格法 2、图像法 3、解析法
4、三种常用表示法的比较
表格法有准确的数据，便于查找；图像法直观，便于了解 变化情况及变化趋势；解析法则便于进行数学的分析和运算。 实际应用中应依具体情况选用合适方式。
（3）去心邻域：O (x0 ) \ {x0} (x0 , x0 ) (x0, x0 ) 当然也可考虑去心左邻域和去心右邻域。
（4）无穷远点的M邻域：
OM () {x x M} (, M ) (M , ), M 0
4、理解举例
解不等式 x 2 x 1，并用区间表示该不等式的解集。
5、分段函数
所谓分段函数，是指函数的对应关系在不同区域上不一样
的函数。一般的表示是将函数的定义域按表达式的不同，分成 几段来表示，它还是一个函数，不是几个函数。如
x, x 0
(1)绝对值函数y x
x, x 0
(2)取整函数y [x] n, n x n 1,即不超过x的最大整数
对于取整函数，有如下结论：对x R,有[x] x [x] 1
解：根据绝对值的几何意义，上述不等式表示的 实际上是到点—2的距离小于到点1的所有点的集合， 因此从数轴上满足上述要求的点集为 {x x 1}
2 用区间表示为：(, 1)
2
§1.2 函数概念
一、变量与函数
1、函数概念 设x, y为变量, D为实数集,且x D,若对x D，按某一确定的对应法则f ,
X
3 2 1 0 1 2
3
二、实数的绝对值及其基本性质 x, x 0
1、定义：对于x R,规定x的绝对值 x x, x 0
2、绝对值的几何意义 (1) x : 表示数轴上的点 x 到原点的距离；
(2) x y : 表示数轴上的点 x 到点 y 的距离；
(3) x a, a 0 : 表示到原点的距离不超过a的点的集合。
2、邻域
(1)点x0的 邻域 : 在数轴上到点x0的距离小于 ( 0)的点的集合, 记作
O (x0 ) (x0 , x0 ), 其中x0称为邻域的中心, 称为邻域的半径
当不需强调邻域的半径时也简记为O(x0 ),也有些记为U (x0 )
（2）单侧邻域 左邻域：(x0 , x0 ]
右邻域：[x0, x0 )
即为 {x a x a}
3、绝对值的基本性质：对x, y R,则有如下一些常用结论
(1) x 0
(2) x x
(3) x x x (4) x y x y
(5) x y x y (7) x x ( y 0)
yy
(6) xy x y
三、区间与邻域 1、区间： (a,b) {x a x b}
y R与之对应,则称f 为定义在D上的一个函数,记作
f : D R,简记为y f (x), x D
y f (x) xD
因变量
自变量
函数概念中涉及的有关概念：自变量,因变量,函数值,定义域D( f ),值域R( f )
2、决定函数的因素：
两函数相同 两函数的定义域和对应法则均相同
如： y 1与y sin2 x cos2 x
（3）若为对数函数，则要求真数为正，底数为正且不能为1； （4）若函数是由几个函数进行四则运算形成的，则函数的定 义域应为各构成函数的定义域的交集，即是各构成函数定义域 的公共部分。
3、求函数定义域举例 例1 求函数f (x) ln(x 1) 1 的定义域
x2 1 解：要使函数的表达式有意义，必须有 x 1 0且x2 1 0
(3)符号函数y sgn x
1, x 0 0, x 0 1, x 0
三、函数定义域
1、函数定义域的确定原则：
若为反映实际问题的函数，则要考虑实际问题对于自变量 的要求；其次，还要求保证函数的数学表达式有意义。
2、确定函数自然定义域时应考虑的内容 （1）若有开偶次方根，要求被开方式非负；
（2）若为分式函数，则要求分母不能为零；
证明：
x13
x23
( x1
x2 )(x12
x1x2
x22 )
(x1
x2 )[(x1
1 2
x2 )2
3 4
x22 ]
当x1 x2时, 有x13 x23
表示数轴上某一段点的集合。包括区间端点、区间长度 等，区间包括开区间、闭区间、半开半闭区间，还区分有限 区间、无限区间。
另外，还有下列常见的区间：
[a,b],(a,b],[a,b),(, ),(, a),(, a],(a, ),[a, )
注：无穷大不是一个很大的数，而是一个变化趋势，它 表达的是不管给定多么大一个数，它都比这个数还要大，因 此在区间的端点上，都不能包含无穷大，无穷大只能是开。
上述定义中若函数值的不等式中不带等号，则称为严格单 调递增（或递减）函数，单调递增和单调递减函数统称为单调 函数，数集D称为函数的单调区间。
2、几何特征 单调函数在平面直角坐标系中的图像从左至右的 特征为
单调递增函数：不降 严格单调递增函数：上升
单调递减函数：不升 严格单调递减函数：下降
3、理解举例 例1 证明函数y x3在(, )内是严格单调的
第一章 函数
§1.1 预备知识
一、实数与数轴 1、实数：有理数与无理数统称为实数。全体实数组成的集合称为实数集R。 2、数轴：是一条有原点，正方向和长度单位的直线。 3、实数与数轴上的点具有一一对应关系 ：包括如下两层含义 （1）实数集中任意一个实数对应着数轴上唯一的点。 （2）数轴上任意一点唯一地对应着实数集中的一个实数。