天一大联考(一)高三数学文答案
天一大联考高三上册第一学期期末考试数学(文)试卷(有答案)[推荐].doc
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（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；
（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均自乙公园的概率；
（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：
天一大联考
2019-2020学年高三年级上学期期末考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ集合 的子集个数为
A.8 B. 7 C. 6 D. 4
2.设 为虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
12.已知 是定义在 上的函数 的导函数，若方程 无解，且 ，设 ，则 的大小关系是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量 ，且 ，则 .
14.已知 ， ，则 .
15.已知抛物线 的焦点F也是椭圆 的一个焦点，点 分别为曲线 上的点，则 的最小值为.
A. B. C. 1 D.
9.如图，已知长方体 的体积为6， 的正切值为，当 的值最小时，长方体 外接球的表面积为
A. B. C. D.
10.已知函数 的图象在 轴上的截距为1，且关于直线 对称，若对任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
2020年天一大联考高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)
2020年天一大联考高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}，则A∩B=()A. [0,1]B. {7}C. [0,1]∪{7}D. [1,7]2.设复数z=(5+i)(1−i)(为虚数单位)，则的虚部是()A. 4iB. −4iC. −4D. 43.如果a<0,b>0，那么下列不等式中正确的是()A. 1a <1bB. √−a<√bC. a2<b2D. |a|>|b|4.供电部门对某社区1000位居民2016年11月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为0，10)，10，20)，20，30)，30，40)，40，50]五组，整理得到如右的频率分布直方图，则下列说法错误的是()．A. 11月份人均用电量人数最多的一组有400人。
B. 11月份人均用电量不低于20度的有300人C. 11月份人均用电量为25度D. 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在30，40)一组的概率为5.将函数f(x)=sin(2x+φ)，|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A. √32B. 12C. −12D. −√326.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7−a8=5，则S11为()A. 110B. 55C. 50D. 不能确定7.已知sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=()A. 58B. −78C. −58D. 788.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，B(0,2b)，若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为()A. √2B. 2C. √5D. 39.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 10B. 17C. 24D. 2610.过抛物线x2=4y的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1|AB|+1|CD|=()A. 2B. 4C. 12D. 1411.已知函数f(x)=3sin(πx)x2−3x+3，给出三个命题：①f(x)的最小值为−4，②f(x)是轴对称图形，③f(x)≤4π|x|.其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 312.如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2√3，侧面积为8√3，则它的体积为()A. 4B. 8C. 12πD. 16π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，则a⃗⋅b⃗ 的值是______ ．14.下面几种推理过程①某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人②根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质③平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分④在数列{a n}中，a1=1,a n+1=2a n2+a n,n∈Ν∗，计算a2,a3,由此归纳出{a n}的通项公式其中是演绎推理的的序号为_________．15.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，则该圆柱的侧面积为__________．16.在△ABC中，若BC=6,AB=4,cosB=13，那么AC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．18.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)证明：C1F//平面ABE；(2)设P是BE的中点，求三棱锥P−B1C1F的体积．19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得如下数据：(Ⅰ)求回归直线方程y =bt +a ；(Ⅱ)当单价t 为10元时，预测该产品的销量． 附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(n i−l ti−t −)(yi−y −)∑(n i−l ti−t −)2=∑t n i−l iyi−nt −y −∑t n i−li 2−nt −2，a ̂=y −−b ̂t −．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．21. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，直线l 1：kx −y +k =0.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2的方程为cosθ−2sinθ=4ρ．(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 2的直角坐标方程；(2)l 1与曲线C 交于不同的两点M ，N ，MN 的中点为P ，l 1与l 2的交点为Q ，l 2恒过点A ，求|AP|·|AQ|的值．23. 设函数f(x)=|x|．(1)设f(x −1)+f(x +2)<4的解集为A ，求集合A ；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，以及一元二次不等式的解法，属基础题．求出集合B，根据交集定义进行求解．解：集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}={x|x≤1或x≥7}，∴A∩B={x|0≤x≤1或x=7}=[0,1]∪{7}．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．解：z=(5+i)(1−i)=6−4i，∴虚部是−4，故选C．3.答案：A解析：∵a<0∴1a <0∵b>0∴1b>0故1a<1b.若a=−2,b=2，则√−a=√b，故B不正确，同理a2=b2，故C也不正确；|a|=|b|，故D也不正确．4.答案：C解析：本题考查频率分布直方图，逐一判断求解即可．解：根据频率分布直方图知，11月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；11月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；11月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30,40)一组的频率为0.1，估计所求的概率为110，∴D正确．故选C．5.答案：D解析：本题考查了三角函数的图象变换、三角函数的奇偶性及三角函数的值域的应用．由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求出g(x)的解析式，再根据题意求x∈[0,π2]时的最小值即可．解：∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数解析式为：y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)为奇函数，∴π3+φ=kπ，即φ=kπ−π3，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，又x∈[0,π2]，∴2x∈[0,π]，2x−π3∈[−π3,2π3]，∴−√32≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在[0,π2]上的最小值−√32．故选D．6.答案：B 解析：利用等差数列的通项公式与性质及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：2a7−a8=2(a1+6d)−(a1+7d)=a1+5d=a6=5，∴S11=11×a1+a112=11a6=55．故选B．7.答案：B解析：解：由sin(π3−α)=14，可得：cos(α+π6)=cos[π2−(π3−α)]=sin(π3−α)=14．那么：cos(π3+2α)=cos2(π6+α)=2cos2(α+π6)−1=2×116−1=−78．故选：B．利用诱导公式和二倍角公式即可计算．本题考查了诱导公式和二倍角公式的灵活运用！属于基础题．8.答案：B解析：解：F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)，B(0,2b)，若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：2b−c ⋅−ba=3，可得2b2=3ac，即2c2−2a2=3ac，可得2e2−3e−2=0，e>1，解得e=2．故选：B．求出双曲线的焦点坐标，利用直线FB与C的一条渐近线乘积，列出方程，然后求解离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：D解析：解：第一次，S=2，i=3，⇒S=5，i=5，⇒S=10，i =7，⇒S =17， i =9，⇒S =26， i =11>10，程序终止， 输出S =26， 故选：D根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．本题主要考查程序框图的计算，根据查询进行模拟计算是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查了抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，消去x ，根据根与系数的关系，得到|AB|和|CD|的值，进而求得1|AB |+1|CD |．解：根据题意，抛物线的焦点为(0,1)，设直线AB 的方程为y =kx +1(k ≠0)，直线CD 的方程为y =−1k x +1，由{y =kx +1x 2=4y ，得y 2−(2+4k 2)y +1=0， 由根与系数的关系得y A +y B =2+4k 2， 所以|AB|=y A +y B +2=4+4k 2， 同理|CD|=y C +y D +2=4+4k 2，所以1|AB|+1|CD|=14k 2+4+k 24k 2+4=14， 故选D ．11.答案：D解析：解：①若f(x)的最小值为−4等价为3sin(πx)x 2−3x+3≥−4恒成立，且能取等号， 即4x 2−12x +12+3sin(πx)≥0恒成立，设g(x)=4x 2−12x +12+3sin(πx)，则g(x)=4(x −32)2+3+3sin(πx)≥3+3sin(πx)≥0， 当x =32时，g(x)=3+3sin 32π=3−3=0，即0能取到，故①正确， ②∵x =32是y =3sin(πx)和y =x 2−3x +3共同的对称轴， ∴x =32是f(x)的对称轴，即f(x)是轴对称图形，故②正确， ③∵y =x 2−3x +3=(x −32)2+34≥34，∴f(x)≤|f(x)|≤|3sinπx34|=4|sinπx|，只要证明|sinπx|≤π|x|，即可， 设|sint|≤|t|，(t ≥0) 当t ≥1时不等式恒成立， 当0≤t <1时，即证明sint ≤t ，设ℎ(t)=sint −t ，ℎ′(t)=cost −1≤0，即ℎ′(t)在0≤t <1上是减函数， 则ℎ(t)=sint −t ≤ℎ(0)=sin0−0=0， 即sint ≤t 成立，综上，4|sinπx|≤4π|x|成立，故③正确， 故三个命题都是真命题， 故选：D ．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及最小值，对称性以及不等式的证明，涉及的知识点较多，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．12.答案：A解析：解：作PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结OE ，PE ， ∵正四棱锥P −ABCD 中，AB =2√3，侧面积为8√3， ∴O 是四边形ABCD 的中点，E 是BC 的中点，PE ⊥BC ， 4×12BC ×PE =8√3，解得PE =2，∴PO=√PE2−OE2=√4−3=1，∴正四棱锥P−ABCD的体积V=13×S正方形ABCD×PO=13×2√3×2√3×1=4．故选：A．作PO⊥平面ABCD，取BC中点E，连结OE，PE，求出PE=2，从而PO=1，由此能求出正四棱锥P−ABCD的体积．本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13.答案：−4解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．由(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，可得(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．解：∵|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，∴(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ =−a⃗2=−22=−4．故答案为：−4．14.答案：③解析：本题考查简单的演绎推理，推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理(一般→特殊)，合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．解：①选项，某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班都超过60人，属于归纳推理;②选项，由三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；③选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式;④选项，在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n2+a n，n∈N∗，由此归纳出{a n}的通项公式，属于归纳推理；综上，可知，只有③选项为演绎推理．故答案为③．15.答案：4√3π解析：本题主要考查了圆柱的侧面积和球的相关知识，属于基础题．由它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，可求出圆柱底面圆的半径r =√22−12=√3，进而求得侧面积．解：∵圆柱的高为2，且它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上， ∴可得圆柱底面半径r =√22−12=√3， ∴圆柱的侧面积．故答案为4√3π．16.答案：6解析：解：∵BC =6,AB =4,cosB =13，∴AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√62+42−2×6×4×13=6．故答案为：6．直接利用余弦定理即可求值得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2) ∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1. (Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数.令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．解析：(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1．本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．18.答案：(1)证明：取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM ，在△ABC 中，FM//AB ，而FM ⊄面ABE ，∴FM//平面ABE ， 在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点， ∴C 1M//AE ，而C 1M ⊄平面ABE ，∴C 1M//平面ABE ， ∵C 1M ∩FM =M ， ∴平面FC 1M ⊄平面ABE ， ∵C 1F ⊂平面FC 1M ， ∴C 1F//平面ABE ，(2)取B 1C 1的中点H ，连接EH ， 则EH//AB ，且EH =12AB =√3FM ， ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴EH ⊥平面BB 1C 1C ， ∵P 是BE 的中点，∴V P−B 1C 1F =12V E−B 1C 1F =12×13⋅S △B 1C 1F ⋅EH =12×13×2×√3=√33．解析：(1)根据线面平行的判定定理即可证明：C 1F//平面ABE ； (2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P −B 1C 1F 的体积．本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)t −=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，y −=16(90+84+83+80+75+68)=80，b ̂=∑t i 6i=1y i −6t −y−∑t i 26i=1−6t−2=−20，a ̂=y −−b ̂x −=250，∴回归方程为y =−20t +250；(Ⅱ)在y =−20t +250中，取t =10，可得y =50．∴当单价t 为10元时，预测该产品的销量为50件．解析：(Ⅰ)由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求； (Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的回归方程中，取t =10求得y 值得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1，∴b 2=a 2−c 2=3． 故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33． 则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)．联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85， ∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165．联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813．∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=1x(x+1)−lnax (x+1)2=1+1x−lnax (x+1)2，由f′(1)=2−lna 4=12，解得a =1．(2)∵a =1，∴f(x)=lnx x+1，∴由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，设g(x)=2+lnx x+1，则g′(x)=1x−lnx−1(x+1)2，再设ℎ(x)=1x−lnx−1(x+1)2，则ℎ′(x)=−x+1x 2<0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上递减， 又ℎ(1)=0，∴当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上为增函数； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上为减函数； ∴g(x)max =g(1)=1，∴只需b ≥g(x)max =1，即b ≥1， ∴b 的最小值b min =1．解析：(1)求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，由导数值等于12，求得实数a 的值； (2)由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，构造g(x)=2+lnx x+1，求出g(x)max =1，即可求实数b 的最小值．本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，考查函数的最值，正确分离参数是关键，是中档题．22.答案：解：(1)曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，∴(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2：cosθ−2sinθ=4ρ，即ρcosθ−2ρsinθ=4， ∴x −2y =4，即x −2y −4=0. (2)∵直线l 1：kx −y +k =0， 即y =k(x +1)，∴直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C ：(x +3)2+(y −4)2=16，得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0. 设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=4(2sinα−cosα)，t 1t 2=4.设点Q 对应的参数为t 3.将l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)代入直线l 2：x −2y −4=0， 得t 3=5cosα−2sinα.∴|AP|·|AQ|=|t 1+t 22||t 3|=2|2sinα−cosα||5cosα−2sinα|=10．解析：(1)消去θ可得(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2即ρcosθ−2ρsinθ=4，可得x −2y =4； (2)直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C 得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，根据几何意义及根与系数的关系求解．23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x −1)+f(x +2)=|x −1|+|x +2| ={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2． 因为f(x −1)+f(x +2)<4，可得{2x +1<4x >1或−2≤x ≤1或{−2x −1<4x <−2，所以−52<x <32，所以不等式的解集A ={x|−52<x <32}； (2)由(1)知m =1，则a +b +c =1， 又a ，b ，c 均为正实数，1−a a ·1−b b ·1−cc =b +c a ·a +c b ·a +bc≥2√bca·2√acb·2√ab c=8，当且仅当a =b =a =13时等号成立． 所以1−a a⋅1−b b⋅1−c c≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x −1)+f(x +2)={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2，然后由f(x −1)+f(x +2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a+b+c=m=1，然后利用基本不等式可知1−aa ·1−bb·1−cc≥2√bca·2√acb·2√abc=8，从而证明1−aa ·1−bb·1−cc≥8，注意等号成立的条件．。
2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学(文)试题Word版含解析
2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}4,3,2,1,0,1,2,3U =----，集合{}0,1,3M =，{}4,2,0,2N =--，则()UM N =（ ）A ．{}3B ．{}0,1,3C ．{}4,2,0,2--D ．{}1,3【答案】D 【解析】求出UN 继而可求()UMN .【详解】 依题意，得{}3,1,1,3U N =--，故(){}1,3UMN =.故选:D. 【点睛】本题考查了集合的补集，考查了集合的交集运算.2．若在复平面内，复数z 所对应的点为(3,2)-，则(13)z i ⋅-=（ ） A ．311i -- B ．311i -C ．311i -+D ．311i +【答案】A【解析】由点的坐标写出32z i =-，从而可求出(13)z i ⋅-. 【详解】依题意，得32z i =-，则(13)(32)(13)3926311z i i i i i i ⋅-=-⋅-=---=--. 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的坐标互化，考查了复数的乘法.易错点是把2i 的值误当做1进行运算.3．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B中的．56846故选：B．【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（）A．44号B．294号C．1196号D．2984号【答案】B÷=人.故抽得的号码为以15【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有300020015为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可. 【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整-==⨯.其他选项均不满足.数倍.又294842101514故选：B【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.5．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥【答案】C【解析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【详解】 运行该程序：第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lg lg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=，…；第九十八次，98i =，99lg98lg lg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99. 此时299S lg =>. 故选：C. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.6．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】根据题意求得参数α，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【详解】依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，故3log 5101e a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1b =>，3log 51log 04c =<， 则c a b <<. 故选：A. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题. 7．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49-B ．23C ．32或49-D ．32【答案】D【解析】根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=，即223520a a b b -⋅-=.将a b λ=代入可得，21819120λλ--=， 解得32λ=（49λ=-舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2nn a =C ．21nn S =- D ．121n n S -=-【答案】C【解析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =，由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯=，()1122112n n nS ⨯-==--.故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .9．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】因为22|sin()||sin |()66()x x f x f x --=== ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |()61f ππ==1110<-=-=,故排除B ,因为2|sin |2()()62f πππ=-=66>-4666242=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 10．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin (cos )22m x x x m <+<+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B．1,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．1,⎛- ⎝⎭【答案】D【解析】运用辅助角公式、二倍角公式等对sin (cos )x x x +整理，得sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.求出sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在02x π≤≤上的最值，令m 小于最小值，2m + 大于最大值即可求出m 的取值范围.【详解】依题意，得sin (cos )sin 223x x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.因为02x π≤≤所以42333x πππ≤+≤，所以sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.因为sin(cos)2m x x x m<<+恒成立，得21mm⎧<⎪⎨⎪+>⎩解得12m-<<-.故实数m的取值范围为1,⎛-⎝⎭.故选:D.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了三角函数的最值问题，考查了不等式恒成立问题.对于求()siny Aωxφ=+在某区间上的最值问题时，先算出xωϕ+的范围，再结合正弦函数的图像，即可求出.11．已知点()00,M x y()00x y≠是椭圆C：2214xy+=上的一点，1F，2F是椭圆C的左、右焦点，MA 是12F MF∠的平分线.若1F B MA⊥，垂足为B，则点B到坐标原点O的距离d的取值范围为（）A．(0,1)B．30,2⎛⎫⎪⎝⎭C．D．(0,2)【答案】C【解析】延长2MF，1F B相交于点N，将所求||OB转化为121||2MF MF-，结合三角形边的关系，可知d的取值范围.【详解】解：延长2MF，1F B相交于点N，连接OB.由题意知MA平分12F MF∠.又因为1F B MA⊥，所以1||MN MF=，所以B为1F N的中点.因为O为12F F的中点所以2211||||||||22OB F N MN MF==-121211||22MF MF F F=-<=所以d的取值范围为.故选:C.【点睛】本题考查了椭圆的几何意义，考查了中位线定理.针对此类问题，根据经验采用临界条件可以起到事半功倍的效果.12．已知球O 的体积为36π，圆柱AA '内接于球O ，其中A ，A '分别是圆柱上、下底面的圆心，则圆柱AA '的表面积的最大值为（ ） A ．185π B．9(15)π+C ．18(51)π-D ．9(51)π-【答案】B【解析】先求出球的半径，作出图形，利用三角函数表示出圆柱的表面积，结合函数的性质即可求最值. 【详解】解：设球O 的半径为R ，依题意，得34363R ππ=，解得3R =.根据题意画出图形，如下图所示.设MOA α'∠=，则圆柱底面半径为3sin α， 则圆柱的高为6cos α.因此圆柱AA '的表面积22(3sin )23sin 6cos S παπαα=⋅+⋅⋅9(1cos 22sin 2)παα=-+9[15sin(2)]9(15)παϕπ=+-≤+，其中1tan 2ϕ=.故圆柱AA '的表面积的最大值为9(15)π+. 故选:B.【点睛】本题考查了球的体积，考查了圆柱的表面积，考查了辅助角公式，考查了三角函数的最值.几何问题中，关于最值的问题，一般由两种解题思路：一是找到临界点进行求解；二是结合函数的思想，利用函数的图像、导数、函数的单调性等求函数的最值.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件21,24,20,y x x y y ≤+⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为________.【答案】7【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =-过点(3,2)C -时，z 有最大值，max 7z =. 故答案为：7. 【点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题. 14．函数()ln f x x x =的极小值为________. 【答案】1e-【解析】求出()ln 1f x x '=+，令导数为0，解出方程，从而可以看出()(),'f x f x 随x 的变化情况，继而可求极小值. 【详解】解：依题意，得()ln 1f x x '=+，(0,)x ∈+∞.令()0f x '=，解得1x e=. 所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<；当1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '>.所以当1x e =时，函数()f x 有极小值1e -. 故答案为: 1e-.【点睛】本题考查了极值的求法.求函数极值时，一般先求出函数的定义域，接着求出导数，令导数为0解方程，探究函数、导数随自变量的变化.注意，导数为0的点不一定是极值点.极值点的不仅要满足导数为0，还要满足左右两侧函数单调性相反.15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），直线l ：4x a =与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若OAB ∆（点O 为坐标原点）的面积为32，且双曲线C的焦距为C 的离心率为________.【解析】用,a b 表示出OAB 的面积，求得,a b 等量关系，联立焦距的大小，以及222a b c +=，即可容易求得,a b ，则离心率得解. 【详解】联立4,x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得4y b =.所以OAB ∆的面积14816322S a b ab =⋅⋅==，所以2ab =. 而由双曲线C的焦距为c =225a b +=.联立解得1,2a b =⎧⎨=⎩或2,1,a b =⎧⎨=⎩故双曲线C.. 【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题. 16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1(1)10n n na n a +-++=，且25a =.若2nn S m >，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(2,)+∞【解析】由1(1)10n n na n a +-++=得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=，两式相减可证明数列{}n a 为等差数列，继而可求出21n a n =+，令2n n n S b =，通过21132n n n n b b ++--=可知，当2n ≥时，数列{}n b 单调递减，故可求出{}n b 最大值，进而可求m 的取值范围.【详解】解：由1(1)10n n na n a +-++=，可得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=. 两式相减，可得2120n n n a a a ++-+=，所以数列{}n a 为等差数列.当1n =时 由1(1)10n n na n a +-++=，得21210a a -+=，又25a =，解得13a =.所以21n a n =+，则2222n n nS n n +=.令2n n n S b =，则21132n n n n b b ++--=. 当2n ≥时，10nnb b ，数列{}n b 单调递减，而132b =，22b =，3158b =故2m >，即实数m 的取值范围为(2,)+∞. 故答案为: (2,)+∞. 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的前n 项和，考查了数列的增减性.已知1,n n a a + 的递推关系时，求通项公式常采用累加法、累乘法、构造新数列，或者令1=+n n 将得到的式子与原式相减.三、解答题17．2019年篮球世界杯在中国举行，中国男篮由于主场作战而备受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度，调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查，所得情况如下表所示：若在被抽查的200名观众中随机抽取1人，抽到认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的概率为14. （1）完善上述表格；（2）是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）表格见解析；（2）没有【解析】（1）由概率可求出认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的人数，结合男女各100人，即可求出表中所有数据.（2）代入求出2K 的观测值，进而可判断. 【详解】（1）依题意，得认为中国男篮不能进入十六强的女性观众人数为1200504⨯=. 完善表格如下表所示：（2）本次试验中，2K的观测值20(60504050)200 2.02 6.63510010011090k ⨯-⨯⨯=≈<⨯⨯⨯.所以没有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关. 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了概率.易错点是计算观测值.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c ab -=-. （1）求角C ； （2）若4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π（2【解析】（1）利用余弦定理可求cos C ，从而得到C 的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4b a =，得到b 值后利用面积公式可求ABC S ∆. 【详解】（1）由()22a b c ab -=-，得222a b c ab +-=.所以由余弦定理，得222cos 122a b c C ab +-==.又因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）由4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，得4sin sin 0c A b C -+=.由正弦定理，得4ca bc =，因为0c ≠，所以4b a =. 又因1a =，所以4b =. 所以ABC ∆的面积113sin 143222S ab C ==⨯⨯⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.19．如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，平面SAD ⊥平面ABCD ，SAD ∆是等边三角形.（1）求证：AD SB ⊥；（2）若SAD ∆的面积为3C 到平面SAB 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）4155【解析】（1）取AD 的中点O ，连接SO ，BO ，结合等边三角形和菱形可证明SO AD ⊥，BO AD ⊥，从而可证明AD ⊥平面SOB ，进而可证AD SB ⊥.（2）由SAD ∆的面积为43SAD ∆的边长为4，由平面SAD ⊥平面ABCD 可知，SO ⊥平面ABCD ，则分别求出,ABC SAB ∆∆的面积以及SO 的长，利用S ABC C SAB V V --=可求出点C 到平面SAB 的距离. 【详解】（1）证明：取AD 的中点O ，连接SO ，BO ，BD . 因为SAD ∆是等边三角形，O 是AD 的中点，所以SO AD ⊥.因为四边形ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，所以ABD ∆是等边三角形，所以BO AD ⊥. 因为SO BO O ⋂=，且SO ⊂平面SOB ，BO ⊂平面SOB ，所以AD ⊥平面SOB . 又因SB ⊂平面SOB ，所以AD SB ⊥.（2）解：设AD a =2343=4a =. 因为平面SAD ⊥平面ABCD ，SO AD ⊥，所以SO ⊥平面ABCD . 记点C 到平面SAB 的距离为h ，则1133S ABC C SAB ABC SAB V V S SO S h --∆∆=⇔⋅⋅=⋅⋅. 易知3SO =3OB =在Rt SOB ∆中，由23OS OB ==，得2226SB SO OB +=SAB ∆边SB 22166102SB SA ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以126102152SAB S ∆=⨯=而13444322∆=⨯⨯⨯=ABC S ， 所以11432321533h ⨯=⨯.解得4155h =.即点C 到平面SAB 的距离为155. 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了棱锥体积的求解.证明线线垂直，可利用矩形的临边垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理证明，也可先证明线面垂直，进而可证线线垂直.在求点到平面的距离时，常用的思路有两个：一是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解；二是结合几何体的体积进行求. 20．已知函数21()ln 2f x mx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1m 时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）322y x =-（Ⅱ）⎤⎥⎦【解析】（Ⅰ）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；（Ⅱ）构造函数()y f x xlnx =-，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，21()ln 2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1()2ln 2f x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 所以(1)2f '=. 又1(1)2f =，故所求切线方程为12(1)2y x -=-，即322y x =-.（Ⅱ）依题意，得21ln ln 2mx x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 即21ln ln 02mx x x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立. 令21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()(21)(ln 1)g x mx x '=-+. ①当0m ≤时，因为1(1)02g m =≤，不合题意. ②当01m <≤时，令()0g x '=，得112x m =，21e x =，显然112em >. 令()0g x '>，得10x e <<或12x m>；令()0g x '<，得112x e m <<.所以函数()g x 的单调递增区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是11,2e m ⎛⎫⎪⎝⎭.当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，20mx x -<，ln 0x <，所以21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()221ln 02mx x x mx =-+>， 只需1111ln 02428g m m m m ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，所以m >， 所以实数m的取值范围为⎤⎥⎦. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.21．已知抛物线C ：22y px =（0p >）.（1）若抛物线C 的焦点到准线的距离为4，点A ，B 在抛物线C 上，线段AB 的中点为(3,2)D ，求直线AB 的方程；（2）若圆C '以原点O 为圆心，1为半径，直线l 与C ，C '分别相切，切点分别为E ，F ，求||EF 的最小值.【答案】（1）240x y --=；（2）【解析】（1）由距离为4可求出4p =进而可求出抛物线C 的方程.设()11,A x y ，()22,B x y ，代入到抛物线方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出AB 的斜率，结合直线的点斜式，可求出直线的方程.（2）设直线l 的方程为x my t =+（0m ≠），与抛物线、圆的方程联立，结合相切，可求22pmt =-，221m t +=.设()00,E x y ，通过切点既在直线上又在抛物线上，可求出0y pm =，2002pmx my t =+=，从而2222220024||||||14EF OE OF x y m m =-=+-=++，结合基本不等式，可求出EF 有最小值. 【详解】解：（1）由抛物线C 的焦点到准线的距离为4，得4p =.所以抛物线C 的方程为28y x =.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112228,8.y x y x ⎧=⎨=⎩，所以()2212128y y x x -=-，即()()()1212128y y y y x x -+=-.因为线段AB 的中点D 的坐标为(3,2)，所以124y y +=且12x x ≠.所以12121282y y x x y y -==-+.故直线AB 的方程为22(3)y x -=-，即直线AB 的方程为240x y --= 经检验240x y --=符合题意.（2）设直线l 的方程为x my t =+（0m ≠）.代入22y px =，得2220y pmy pt --=.（）由直线l 与抛物线相切可知，22480p m pt ∆=+=，故22pm t =-.①又直线l 与圆221x y +=1=，即221m t +=.②联立①②，得24214p m m =+，故()22441m p m+=. 设()00,E x y ，解（）式可得，0y pm =，从而2002pmx my t =+=.故222220||||||1EF OE OF x y =-=+-24222241484p m p m m m=+-=++≥，当且仅当||m =EF有最小值，为【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了中点弦问题，考查了直线与圆锥曲线相切，考查了基本不等式.本题的难点在于计算量较大.对于中点弦问题，一般设出弦端点的坐标，带回方程，两式相减，通过整理，可得到弦的斜率和中点坐标的关系.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3π）＝1． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点M （2，0），若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求11||||MP MQ +的值．【答案】（1）l ：20x =，C 方程为 2233144x y -=；（2）11|||||MP M Q +【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】(1)曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），两式相加得到4m x y =+，进一步转换为2233144x y -=． 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3π）＝1，则(cos cos sin sin )133ππρθθ-=转换为直角坐标方程为20x =．（2）将直线的方程转换为参数方程为2212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233144x y -=得到23160t ++=（t 1和t 2为P 、Q 对应的参数），所以12t t +=-12163t t ⋅=，所以11|||||MP M Q +＝1212||||||||t t MP MQ MP MQ t t ++==． 【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23．已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ； （2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8【解析】（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥=再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.（2）由xyzx y z++＝13, 得1113yz xz xy++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥4当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴44xyz>，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵xyzx y z++＝13，即1113yz xz xy++=．∵1122 yz yzyz yz+⋅=，1122xz xzxz xz+⋅=，1122xy xyxy xy+⋅=，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴1116 xy yz xzxy yz xz+++++，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．。
2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题
2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．2232．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．54．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．22B ．2C ．4D ．35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,106．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 7．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．839．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 3直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．3y x =10．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤11．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少A ．12B ．35C ．710D ．4512．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南天一大联考2022-2023学年高三上学期1月期末联考文科数学试题含答案
大联考2022-2023学年高三年级上学期期末考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{21}A x x =-≤≤，{ln()}B x y x ==-，则A B ⋂=（）A ．{01}x x <≤B ．{}20x x -≤<C ．{21}x x -≤≤D ．{2}x x ≥-2．已知在复平面内，复数z 所对应的点为()1,4，则23i z=-（）A ．1011i 1313-+B ．1011i 1313+C ．1011i1313--D ．1011i 1313-3．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，若AB =AF=（）A ．4B ．92C ．5D ．1124．已知向量(,1)m t = ，(2,1)n t =-，若222|2|4m n m n -=+，则2t =（）A B ．1C ．2D ．125．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，1AD ，1A D 交于点O ，则（）A ．OB ⊥平面11ACC A B ．OB ⊥平面11A B CD C ．OB ∥平面11CD B D ．1OB BC ⊥6．为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如计算2564096⨯时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字1048576，即25640961048576⨯=．记128log (64598820000000)log 8192a =⨯+，则a ∈（）n123456789102n12481632641282565121024n1112…19202122232425…2n20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…A ．()1,0-B ．()2,1--C ．()3,2--D ．()4,3--7．已知点M ，(0,N -，若在直线:0l mx ny -=（0m >，0n >）上存在点A ，使得||||AM AN -=，则（）A ．m n >+B ．m n <+C ．m >D ．m <8．已知正数a ，b 满足3a b +=，若55a b ab λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．81,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．27,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．81,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．27,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x ≤时， 1.1)1(xf x x =--，则不等式1100411x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞10．已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，228343ABC S b +=△（ABC S △表示ABC △的面积），则cos B =（）A ．314B ．14C ．14-D ．314-11．若函数()(2)ln f x a x x =-在(0,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦B ．1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(,0]-∞D ．21,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦12．已知正四棱锥S ABCD -的外接球半径为3，底面边长为2，2SA >．若SC 垂直于过点A 的平面α，则平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面面积为（）A ．3B ．3C ．3D ．83二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单位：h ）统计后制成如图所示的统计图，则a =______．14．已知函数()sin 3f x x ωπω⎛⎫=+⎪⎝⎭，()sin 3g x x ωπω⎛⎫=-⎪⎝⎭，0ω>，若()f x 与()g x 的图象的对称轴相同，则ω的一个值为______．15．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题．如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为A ，B ，C ，||2AC =，||AB =，||4BC =．现移动边AC ，使得点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，则||OB （点O为坐标原点）的最大值为______．16．过动点A 作直线l 与圆22:2210C x y x y +--+=相切于点B ，若|||AB AO =（O为坐标原点），且||AB λ≤，则实数λ的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长．现将某地近5年电商行业的从业人数统计如下表所示．第x 年12345从业人数y （万人）58111115（Ⅰ）若y 与x 线性相关，求y 与x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅱ）已知甲、乙、丙、丁、戊5名大学生今年毕业，其中3人的就业意向为电商行业，其余2人的就业意向为金融行业，若从这5人中随机抽取3人，求至少有2人的就业意向为电商行业的概率．参考公式：在线性回归方程ˆˆˆya =中，1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，ˆˆˆay bx =-．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41216a a +=，728S =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足43nnn a a b =，且{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式31n n a T ⋅->的n 的值．19．（12分）如图所示，在四棱锥S ABCD -中，BC AD ∥，M 为棱AD 的中点，1112222BC SC AD SD AB =====，90ABC ∠=︒，平面SCM ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：SC ⊥平面SAD ；（Ⅱ）求点M 到平面SCD 的距离．20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（a >b >0）的离心率为12，过右焦点且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N两点，且||MN =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若过点的直线l '与椭圆C 交于P ，Q 两点，点R的坐标为(0x ，且QR x ⊥轴，探究：直线PR 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数32()e 2()2xx f x x ax a =+--∈R ．（Ⅰ）设函数()2()f x axm x x+=，判断()m x 的单调性；（Ⅱ）若当0x ≥时，关于x 的不等式3()cos 2x f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,3x t y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(1cos2)2sin ρθθ+=，点P 的极坐标为28,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）记M 为直线l 与曲线C 的一个交点，其中4OM <，求OMP △的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|2||4|f x x m x =++-，2()243g x x x =-+．（Ⅰ）若3m =，求不等式()7f x >的解集；（Ⅱ）若1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使得()()12f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围．2022-2023学年高三年级上学期期末考试文科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案B命题意图本题考查函数的定义域及集合的运算．解析依题意，{0}{0}B x x x x =->=<，则{20}A B x x ⋂=-≤<．2．答案A命题意图本题考查复数的几何意义、复数的四则运算．解析依题意，14i (14i)(23i)1011i 23i 23i (23i)(23i)1313z +++===-+---+．3．答案D命题意图本题考查抛物线的定义与方程．解析不妨设点A 在第一象限，则A ，代人22y px =中，解得3p =，故311||4222A p AF x =+=+=．4．答案D命题意图本题考查平面向量的数量积及其应用．解析依题意，()(22, 22, 1)(, 1)4m n t t t -=--=，故2221614441t t t +=+++，则212t =．5．答案C命题意图本题考查空间线面的位置关系．解析作出图形如图所示，连接BD ，因为11BD B D ∥，1OD B C ∥，所以平面OBD ∥平面11CD B ，故OB ∥平面11CD B ，其他三个选项易知是错误的．6．答案B命题意图本题考查对数的运算、数学文化．解析因为645988(524288,1048576)∈，20000000(16777216,33554432)∈，故2log 645988(19,20)∈，2log 20000000(24,25)∈，则2log (64598820000000)(43,45)⨯∈，则128143log (64598820000000)log (64598820000000)15,33⎛⎫⨯=-⨯∈--⎪⎝⎭，而222log 8192log 2log 409613=+=，故42,3a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故选B ．7．答案C命题意图本题考查双曲线的定义与性质．解析由题可知点A 在双曲线22:162y x C -=的下支上，故直线l 与曲线C 有交点．而曲线C的渐近线为y =，直线:m l y x n =，故mn>，即m >．8．答案B命题意图本题考查基本不等式．解析依题意，44a b b aλ+≥．而44554444()33a b a b a b a b b a a b b a b a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭+==≥()222442242()2733124a b a b a ba b ++++=≥=，当且仅当a b =，即32a =，32b =时前后两个不等号中的等号同时成立，所以λ的取值范围为27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．9．答案B命题意图解析当0x ≤时，() 1.1ln1.11ln1.110xf x '=-≤-<，故()f x 在(,0]-∞上单调递减．又()f x 为奇函数，故()f x 在R 上单调递减．而10(1)11f -=，则10(1)11f =-，故11010(1)4104114x x x f f f x -⎛⎫⎛⎫+>⇔>⇔<⇔> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10．答案C命题意图本题考查余弦定理、三角形的面积公式．解析由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-①，又2243ABC S b +=△，即()22189sin 122ABC S b a bc A =-=△②，①代人②可得()22289124b b c bc bc ⎡⎤-+-=⎣⎦，整理可得22690b bc c -+=，则3b c =，此时a ==，由余弦定理可得2227cos 214a cb B ac +-==-．11．答案D命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析依题意，2()ln 1af x x x'=--，令()0f x '≤，则2(ln 1)a x x ≤+．令()(ln 1)h x x x =+，则()ln 2h x x '=+．令()0h x '=，则21e x =，故当210,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当21,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，故()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故212e a ≤-，则212e a ≤-，故实数a 的取值范围为21,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．12．答案A命题意图本题考查空间几何体的表面积与体积．解析设正四棱雉S ABCD -的高为h ，其外接球的半径为R ．因为22()2R h R =-+，解得h =63h =．当63h =时，2623SA ==<，不符合题意；当h =SA AC SC ===，所以SAC △为等边三角形．取SC 的中点E ，连接AE ，则AE SC ⊥，且AE =α⋂直线SB F =，平面α⋂直线 S D H =，则EF SC ⊥，EH SC ⊥．在SBC △中，由余弦定理可得3cos4BSC ∠==，所以cos 3SE SF BSC ==∠．在SBD △中，FH BD ∥，故23FH SF BD SB ==，故233FH BD ==．在四边形AFEH中，AE FH⊥，故1142432233AFEH S AE FH =⋅==．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案0.08命题意图本题考查频率分布直方图．解析依题意，(0.020.040.102) 2.51a a ++++⨯=，解得0.08a =．14．答案32（其他符合条件的答案也给分）命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析因为 ()f x 与()g x 的图象的对称轴相同，所以()33k k ωπωππ=-+∈Z ，故3()2k k ω=∈Z ，因为0ω>，故()*32kk ω=∈N15．答案1+命题意图本题考查数学文化．解析如图，取AC 的中点E ，因为OAC △为直角三角形，故1||||12OE AC ==．由于ABC △为直角三角形，故||BE ==，显然||||||OB OE BE ≤+，当且仅当O ，B ，E 三点共线时等号成立，故||OB的最大值为1+．16．答案[2)++∞命题意图本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系．解析圆C 的方程可化为22(1)(1)1x y -+-=．22||||||12||AB AO AC AO =⇒-=，设,()A x y ，则()2222(1)(1)12x y x y -+--=+，化简得22(1)(1)3x y +++=，故点A 的轨迹是以()1,1--为圆心、为半径的圆，设该圆的圆心为M ，则max ||||AC MC ==，故max ||2AB =+，则实数λ的取值范围为[2)++∞．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查回归直线方程、古典概型．解析（Ⅰ）依题意，3x =，58111115105y ++++==，而51516334475173i ii x y==++++=∑，521149162555i i x ==++++=∑，故515222151735310ˆ 2.355535i ii ii x yx ybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆ10 2.33 3.1a=-⨯=，故所求回归直线方程为ˆ 2.3 3.1yx =+．（Ⅱ）就业意向为金融行业的2人记为A ，B ，就业意向为电商行业的3人记为a ，b ，c ．任取3人，所有的情况为（A ，B ，a ），（A ，B ，b ），（A ，B ，c ），（A ，a ，b ），（A ，a ，c ），（A ，b ，c ），（B ，a ，b ），（B ，a ，c ），（B ，b ，c ），（a ，b ，c ），共10种，其中满足条件的为（A ，a ，b ），（A ，a ，c ），（A ，b ，c ），（B ，a ，b ），（B ，a ，c ），（B ，b ，c ），（a ，b ，c ），共7种，故所求概率710P =．18．命题意图本题考查等差数列的通项公式、错位相减法、数列的性质．解析（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则41217121416,72128,a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩解得11a d ==，故n a n =．（Ⅱ）依题意，43n nn b =，故2311231433333n n n n n T --⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭ ，则2341112314333333n n n n n T +-⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭，两式相减可得2311111121111463344213333333313n n n n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=⋅++++-=⋅-=- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，解得2333n nn T +=-．故31n n a T ⋅->可转化为(23)13nn n +>．令(23)3n n n n d +=，则2111(1)(25)(23)4250333n n n n n n n n n n n d d ++++++--+-=-=<，故1n n d d +<，即{}n d 单调递减．注意到31d =，所以满足条件的n 的值为1，2．19．命题意图本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的体积．解析（Ⅰ）因为12BC AD =，12AM AD =，BC AD ∥，所以BC AM ∥且BC AM =．而90ABC ∠=︒，故四边形ABCM 为矩形，则AD CM ⊥．因为平面SCM ⊥平面ABCD ，且平面SCM ⋂平面ABCD CM =，所以AD ⊥平面SCM ．又SC ⊂平面SCM ，SM ⊂平面SCM ，故AD SC ⊥且AD SM ⊥．因为2SC =，4CM =，SM ==所以222CM SM SC =+，即SM SC ⊥．而SM AD M ⋂=，故SC ⊥平面SAD ．（Ⅱ）记点M 到平面SCD 的距离为h ．如图，过点S 作SQ CM ⊥，垂足为Q ，则SQ ⊥平面ABCD ．因为SM SC MC SQ ⋅=⋅，故SQ =因为SC ⊥平面SAD ，所以SC SD ⊥．所以14242SCD S =⨯⨯=△，12442MCD S =⨯⨯=△．因为M SCDS MCD V V --=，即114433h ⨯⨯=⨯⨯h =20．命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题．解析（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c （0c >）．依题意，12c e a ===，故2234b a =①．联立22221,,x y a bx c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2b y a =±，故22||b MN a ==②．联立①②，解得a =，b =，故椭圆C 的方程为22186x y +=．（Ⅱ）当直线PR 的斜率不存在时，方程为0x =．若直线PR 过定点，则该定点在y 轴上．当直线PR 的斜率存在时，设直线PQ的方程为y kx =+联立221,86y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理，得()2243160k x ++-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1228243x x k -+=+，1221643x x k -=+，(2R x ．所以直线PR的方程为()121232y y x x x x --=--．令0x =，得2121232x y y x x -+=+-1211232x x y x x -=-(12112x kx x x -+=-112212322x kx x x x x --=-．因为)121221643k kx x x x k -==++，所以)1122112212121212x x kx x y x x x x x x -+----====---．所以此时直线PR过定点．直线0x =也过点．综上，直线PR经过定点．21．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析（Ⅰ）由题可知2e ()2x x m x x x =-+，0x ≠，则22(1)e e ()(1)(1)1xx x m x x x x x ⎛⎫-'=+-=-+ ⎪⎝⎭，故当0x <时，()0m x '<，当01x <<时，()0m x '<，当1x >时，()0m x '>，故()m x 在(,0)-∞和()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（Ⅱ）依题意，当0x ≥时，2e cos 20(*)x x x ax ---≥恒成立．令2()e 2cos x g x x ax x =---，[0,)x ∈+∞，则()e 22sin x g x x a x '=--+．令()e 22sin x h x x a x =--+，[0,)∈+∞，则()e cos 2x h x x '=+-．令()e cos 2x r x x =+-，[0,)x ∈+∞，则()e sin 0x r x x '=->，故()r x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0r x r ≥=，故()h x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)12h x h a ≥=-．当12a ≤时，()(0)120h x h a ≥=-≥，此时()g x 单调递增，从而()(0)0g x g ≥=，满足题意．当12a >时，令()e e x s x x =-，则()e e x s x '=-，当(,1)x ∈-∞时，()0s x '<，()s x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0s x '>，()s x 单调递增，所以()(1)0s x s ≥=，即e e x x ≥，当且仅当1x =时取等号．所以()e 22sin (e 2)12x g x x a x x a '=--+>---，从而1212(e 2)120e 2e 2a a g a ++⎛⎫'>-⋅--= ⎪--⎝⎭．又(0)120g a '=-<，()g x '在[0,)+∞上单调递增，故存在唯一的实数0120,e 2a x +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当()00,x x ∈时，()0(0)g x g <=，不合题意，舍去．综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．22．命题意图本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程、直角坐标方程之间的转化．解析（Ⅰ）由直线l 的参数方程可得直线l 6y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=cos sin 2cos 66πθρθρθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故直线l 的极坐标方程为cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．而曲线:(1cos2)2sin C ρθθ+=，即22cos2sin ρθθ=，则22cos sin ρθρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =．（Ⅱ）由260,,y y x +-==⎪⎩可得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩．因为4OM <，所以点M ，转化为极坐标为3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭．由于点P 的极坐标为28,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故OMP △的面积18sin 1223S π=⨯⨯=．23．命题意图本题考查绝对值不等式的求解．解析（Ⅰ）依题意，24|37|x x ++->．当32x <-时，2347x x --+->，解得2x <-，故2x <-；当342x -≤≤时，2347x x ++->，解得0x >，故04x <≤；当4x >时，2347x x ++->，解得83x >，故4x >．综上所述，不等式()7f x >的解集为{20}x x x <->或．（Ⅱ）依题意，()|2||4||4|422m m f x x m x x x =++-≥++-≥+，当2m x =-时，取“=”，故min ()42m f x =+．22()2432(1)1g x x x x =-+=-+．因为1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使得()()12f x g x ≥成立，故412m +≥，故412m +≤-或412m +≥，则10m ≤-或6m ≥-，故实数m 的取值范围为(,10][6,)-∞-⋃-+∞．。
天一大联考2024-2025学年(上)高三第一次考试+语文答案
天一小高考2024—2025 学年(上)高三第一次考试语文·答案(1~3题,6~7题,11~12题,15题,每小题3分)1.答案 D命题透析本题考查理解文章内容、筛选文中信息的能力。
思路点拨“也不能帮助自己去感受”错误。
材料二最后一段是说“言语只能描述感受，却不能转移感受”，不是说“不能帮助自己去感受”。
2.答案 C命题透析本题考查理解文章内容的能力。
思路点拨“是因为……”以偏概全。
根据材料二第三段的相关表述，可知还可能有“粗心”的原因。
3.答案 B命题透析本题考查分析论点、论据的能力。
思路点拨评者认为杜诗掌握了古今诗歌的各种气势风格，并且兼具各家之所长，即推崇杜甫是古今诗歌的“集大成者”。
但这只是杜甫在“诗歌”艺术中取得的成就，与“艺术本是相通的”观点无关。
4.命题透析本题考查理解文中重要语句的能力。
答案①“三句不离本行”指具备“艺术通感能力”的艺术家，总会由其他艺术联想到自己从事的艺术，以自己的专业去理解、评价其他艺术。
②“一通百通”指一个人如果真正提高了某一类创作的欣赏能力，就会形成欣赏不同类别创作的能力。
(每点2分，意思对即可。
若有其他答案，合理亦可酌情给分)5.命题透析本题考查利用文本信息解决现实问题的能力。
答案①在学习书本知识的同时深入实际生活。
既要对书本知识保持好奇心，也要对实际生活怀有兴趣，打下坚实的文化基础。
②要用联系的眼光看待学习。
艺术是相通的，很多学科也是相互关联、相互影响的，学好其他学科对学好某一学科有很大作用，学好某一学科对学好其他学科也有很大作用。
③要用实践来促进学习。
艺术欣赏离不开实践，学习也要理论与实践相结合，通过实践加深对知识的理解，提高解决具体问题的能力。
(每点2分，意思对即可。
若答“发挥主观能动作用”“用心捉摸”等其他答案，合理亦可酌情给分)6.答案 A命题透析本题考查对文本内容和艺术特色分析鉴赏的能力。
思路点拨 B.“主要突出了普通百姓的无奈”错误，曲解文意。
2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学试题(解析版)
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力．
三、解答题
17．设 为实数， ， ，不等式 恒成立.
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 为真命题，求实数 的取值范围.
（2）若命题 为真命题，由 ，不等式 恒成立，
即 在 上恒成立，即 对 恒成立，
当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 为真命题时，可得 ，
又因为 为真命题，则 为假命题且 为真命题，
所以 ，解得 或 .
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
【详解】
由题意，函数 的对称轴为 ，
若 ，则 ，函数 在 上递增，充分性成立；
若 在区间 上递增，则 ，即 ，不能推出 ，
所以必要性不成立，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
8．已知函数， 为奇函数，则实数 的值为（）
A．1B．0C． D．
【答案】A
2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)
2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．124．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．1856．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵A＝{x|0＜x＜5}，B＝Z，∴A∩B＝{1，2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，∴，解得n＝10．则袋中球的总个数为10．故选：C．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185解：i＝0，a＝1，b＝1；第一次执行循环体后，a＝3，b＝2，不满足退出循环的条件，i＝1；第二次执行循环体后，a＝7，b＝5，不满足退出循环的条件，i＝2；第三次执行循环体后，a＝15，b＝14，不满足退出循环的条件，i＝3；第四次执行循环体后，a＝31，b＝41，满足退出循环的条件；故输出a+b值为72，故选：C．6．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，所以f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣（﹣x）2＝e x+e﹣x﹣x2＝f（x），所以函数为偶函数，又f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，故f″（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以f′（x）在R上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，解得或m＜﹣2．故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，又A+B+C＝π，所以B＝．有余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos60°＝（a+c）2﹣3ac，即72＝132﹣3ac，所以ac＝40．所以△ABC的面积S＝ac sin B＝10．故选：C．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．解：由AB＝AC＝2，得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设OABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝8，所以r＝4，则球心O到平面ABC的距离等于＝3，则△ABC的面积S＝2×＝7，故三棱锥O﹣ABC的体积为＝7．故选：A．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），则f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则＝f（﹣log2257）＝f（8﹣log2257）＝﹣f（log2257﹣8），而8＝log2256＜log2257＜log2512＝9，则0＜log2257﹣8＝log2＜1，且当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝﹣f（log2）＝﹣（）＝﹣，故选：D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），令z＝x﹣y，化为y＝x﹣z，作出直线x﹣y＝0，把直线平移，由图可知，当直线经过A时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最小，z有最大值1，当直线经过B时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值﹣1，∴x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（﹣c，0），把x＝﹣c代入双曲线方程中，有，∴y＝±，∴P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），∵AP⊥BQ，∴＝（﹣c+a，）•（﹣c﹣a，﹣）＝c2﹣a2﹣＝0，化简得，a2＝b2，即a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．解：（Ⅰ）由题意（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[60，70），且（70﹣x）×0.02+0.3+0.2+0.15＝0.75，解得x＝65．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1，DD1⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1．（Ⅱ）解：如图，在平面BCC1内作C1F⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ）知BD⊥平面ADD1，因为平面ADD1∥平面BCC1，所以BD⊥平面BCC1，所以BD⊥C1F，又因为BD∩BE＝B，所以C1F⊥平面BDE．所以线段C1F的长就是点C1到平面BDE的距离．因为CC1＝DD1＝BD＝4，BC＝3，所以．在平面BCC1内，可知△BCE∽△C1FE，所以，得，所以点C1到平面BDE的距离为．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为．（1分）所以．又因为f（1）＝0，f（e）＝0，因此y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线方程分别为y＝﹣x+1和．令y＝1，可得M和N的坐标分别为（0，1）和，故．（Ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，而，所以必然存在x0∈（1，2），满足f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0））时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，f（x）取得最小值f（x0）＝x0lnx0+1﹣x0﹣lnx0．由f′（x0）＝0，可得，所以．当x0∈（1，2）时，，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。
天一大联考“皖豫联盟体”2021届高三第一次考试 数学(文) Word版含答案
天一大联考“皖豫名校联盟体”2021届高中毕业班第一次考试文科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|5x 2－4x －1>0}，B ＝{－12，0，15，12}，则A ∩B ＝ A.{－12} B.{12} C.{0，15，12} D.{－12，0}2.若z ＝(2＋i 3)(4－i)，则在复平面内，复数z 所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝ A.2 B.ln4 C.ln2 D.－ln24.已知A(1，2)，B(2，5)，BC ＝(－2，－4)，则cos <AB ，AC >＝A. B. 5.已知函数f(x)＝sin(2x －4π)的图象向左平移4π个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的一个对称中心为 A.(8π，0) B.(4π，0) C.(38π，0) D.(58π，0)6.函数f(x)＝||3sinx2x＋xcosx在[－2π，2π]的图象大致为7.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋SN)，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比。
按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C大约增加了20%，则λ的值约为(参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120)A.7596B.9119C.11584D.144698.已知a＝(sin3)3，b＝4sin3，c＝ln4sin3，则a，b，c的大小关系为A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c9.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线5x＋2y＝0上，则23cos(2)21cosπαα+=+A.－3320B.－2033C.2033D.332010.已知向量m，n满足|m|＝4，|n|＝2，|m－4n|＝3A.cos<m，n>＝5364B.m·n＝538C.(4m－21n)⊥nD.|m＋4n|13311.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4＋2－c，tanA7，cosC＝34，则△ABC的面积为7714 D. 712.已知函数f(x)＝2x 2x x 0lnx x 0⎧+≤⎪⎨>⎪⎩，，，则函数g(x)＝2f(f(x)－1)－1的零点个数为A.7B.8C.10D.11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天一数学试卷答案高三
一、选择题1. 答案：A解析：本题考查函数的单调性。
根据函数的定义域和导数的符号，可以判断出函数在定义域内单调递增。
2. 答案：C解析：本题考查数列的通项公式。
通过观察数列的规律，可以得出通项公式为an = n^2 + 1。
3. 答案：B解析：本题考查复数的运算。
根据复数的乘法法则，可以得出答案为B。
4. 答案：D解析：本题考查三角函数的性质。
根据三角函数的定义和诱导公式，可以得出答案为D。
5. 答案：C解析：本题考查立体几何的计算。
根据体积的计算公式，可以得出答案为C。
二、填空题6. 答案：2解析：本题考查一元二次方程的解。
通过配方或者使用求根公式，可以得出方程的解为x = 2。
7. 答案：π解析：本题考查圆的周长。
根据圆的周长公式C = 2πr，可以得出答案为π。
8. 答案：-1解析：本题考查指数函数的性质。
根据指数函数的定义，可以得出答案为-1。
9. 答案：3解析：本题考查对数函数的性质。
根据对数函数的定义，可以得出答案为3。
10. 答案：1/2解析：本题考查三角函数的值。
根据特殊角的三角函数值，可以得出答案为1/2。
三、解答题11. 答案：（1）证明：由题意可知，f(x) = x^3 - 3x，求导得f'(x) = 3x^2 - 3。
令f'(x) = 0，解得x = ±1。
当x < -1或x > 1时，f'(x) > 0；当-1 < x < 1时，f'(x) < 0。
因此，f(x)在(-∞, -1)和(1, +∞)上单调递增，在(-1, 1)上单调递减。
（2）解：由（1）可知，f(x)在(-∞, -1)和(1, +∞)上单调递增，在(-1, 1)上单调递减。
又因为f(0) = 0，f(2) = 4，所以f(x)在x = 0时取得最小值，在x =2时取得最大值。
12. 答案：（1）解：由题意可知，a > 0，b > 0，且a + b = 2。
陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题(含答案)
陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲、乙两支足球队比赛，两队踢平的概率为16，甲队获胜的概率为12，则乙队获胜的概率为( )A. 23B. 12C. 13D. 162.已知复数z =−1−2i ，则z 2+2z =( )A. 3−8iB. 3C. −5−8iD. −53.已知实数x ，y 满足x 2+y 2=6x ，则y 的最小值为( )A. −3B. −2C. 0D. 34.在(2−1x )5的展开式中，1x 的系数为( )A. 160B. 80C. −80D. −1605.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c sin B +b cos C =a ，则B =( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π46.在数列{a n }中，a 1=1，a n +1a n =n ，记{a n }的前n 项和为S n ，则S 6−2S 5+S 4=( )A. 80B. 96C. 112D. 1287.设a =81，b =4π，c =π4，已知log 23>1.58，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a8.已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，准线l 交x 轴于E 点，A ，B 分别为C 与l 上的点，且|AF|=|BF|，|BE|=4 3，则△AEF 与△BEF 的面积的比值为( )A. 1B.32 C.2 33D. 32二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，AB 是圆的一条动直径，P 为正六边形边上的动点，则PA ⋅PB 的可能取值为( )A. 9B. 11C. 13D. 1510.已知函数f(x)=e x −x ，g(x)=x−ln x ，则( )A. f(x)在(0,+∞)上单调递增B. g(x)在(0,+∞)上单调递增C. ∀x∈(1,+∞)，f(x)−g(x)>0D. ∀x∈(0,+∞)，f(x)+g(x)>211.已知椭圆C:x28+y24=1的左焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，直线l:x=t(|t|<22)与C交于P，Q两点，与x轴交于点D，则( )A. 满足∠A1PA2=2π3的点P有4个B. DA1⋅DA2=2DP⋅DQC. 当FP⋅FQ取最小值时，|DF|=13D. 当△PFQ的周长最大时，|PQ|=22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考） 2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(文科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCDCCBBACDCB二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. （13）4（14）29（15）16π5（16）1 008三、解答题（17）解：（Ⅰ）因为sin 2sin A C =，由正弦定理得2a c =，…………………………（2分）又因为222b ac c ==，所以2223cos 24a cb B ac +-==.…………………………………（5分） （Ⅱ）由3b =得，32c =，6a =，…………………………………………………（8分） 又因为27sin 1cos 4B B =-=，………………………………………………………（10分） 所以13sin 728ABC S ac B ∆==.…………………………………………………………（12分） （18）解：（Ⅰ）由题意可得3721,,20202010a b c ====，……………………………（2分） 中位数是160，………………………………………………………………………………（4分）平均数__1(7011031404160720032202)15620X =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……（6分） （Ⅱ）由已知可设12Y X B =+，因为当70X =时，460Y =，所以425B =，所以14252Y X =+，当505Y …时, 160X …，…………………………………………（8分） 所以发电量不低于505万千瓦时包含降雨量160,200和220三类，它们彼此互斥， ………………………………………………………………………………………………（10分） 所以发电量不低于505万千瓦时的概率73232020205P =++=.………………………（12分） （19）解：（Ⅰ）取1AB 的中点G ，连接,EG FG ，因为,F G 分别是1,AB AB 的中点，所以111,2FG BB FG BB =∥， 因为E 为侧棱1CC 的中点，所以,FG EC FG EC =∥，…………………………………（3分） 所以四边形FGEC 是平行四边形，则CF EG ∥，因为CF ⊂/平面1AB E ，EG ⊂平面1AB E ，所以CF ∥平面1AB E .…………………（6分）（Ⅱ）因为三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥平面ABC ， 又AC ⊂平面ABC ，所以1AC BB ⊥，又90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥， 因为1BB BC B ⋂=，所以AC ⊥平面1EB C ，所以1AC B C ⊥， 得111111(11)13326A EBC EB C V S AC -∆==⨯⨯⨯⨯=，………………………………………（10分） 因为112,6AE EB AB ===，所以132AB E S ∆=， 因为11C AB E A EB C V V --=，所以三棱锥1C AB E -在底面1AB E 上的高为11333C AB E AB EV S -∆=.…………………………（12分） （20）解：（Ⅰ）因为()e xf x '=，所以(0)1f '=，又(0)1f =，得()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+，…………………………………………（2分） 又因为()2g x ax b '=+，所以(0)g b '=，又(0)1g =， 得()y g x =在0x =处的切线方程为1y bx =+，因为曲线()y f x =与()y g x =在0x =处有相同的切线，所以1b =.…………………（4分）（Ⅱ）由0a =，则()()()e 1xx f x g x bx ϕ=-=--，所以()e x x b ϕ'=-，（i ）当0b …时，()>0x ϕ'>，函数()x ϕ在R 上单调递增， 又(0)0ϕ=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x …矛盾，…………（6分）（ii ）当0b >时，由()0x ϕ'>，得ln x b >；由()0x ϕ'<，得ln x b <，所以函数()x ϕ在(,ln )b -∞上单调递减，在(ln ,)b +∞上单调递增，…………………（8分）①当01b <<时，ln 0b <，又(0)0ϕ=， (ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x …矛盾； ②当1b >时，同理(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x …矛盾； ③当1b =时， ln 0b =，所以函数()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ=…，故1b =满足题意.综上所述，b 的取值的范围为{1}.…………………………………………………………（12分） （21）解：（Ⅰ）因为点(3,0)F 在圆22:(3)16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ，因为||NM +||4||NF FM =>，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,3a c ==,所以1b =，所以轨迹E 的方程为2214x y +=.…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时1||2ABC S OC ∆=⨯⨯||2AB =.…………………………………………………………（5分） （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2222244,,1414A A k x y k k ==++ 所以2||OA =2A x2224(1)14Ak y k ++=+.…………………………………………………………（7分）由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，所以直线OC 的方程为1y x k =-，由221,41,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2224,4C k x k =+2C y =24,4k +2224(1)||4k OC k +=+， …………………………………………………………………………………………………（9分）2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯=22222224(1)4(1)4(1)144(14)(4)k k k k k k k +++⨯=++++，由于22222(14)(4)5(1)(14)(4)22k k k k k ++++++=…，所以85ABC S ∆…，………（11分）当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC △面积的最小值是85，因为825>，所以ABC △面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.………………………………………………………………………………………………（12分）（22）证明：（Ⅰ） 因为BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，所以EB BC ⊥，又因为AD BC ⊥，所以A D B E ∥，可知B F C D G C ∽△△， FEC GAC ∽△△，所以B F C F E FC FD G C G A G C G ==，，所以BF EFDG AG=，因为G 是AD 的中点，所以DG AG =，所以F是BE 的中点，BF EF =. …………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）如图，连接AO AB ，，因为BC 是圆O 的直径，所以90BAC ∠=°．在Rt BAE △中，由（Ⅰ）知F 是斜边BE 的中点， 所以AF FB EF ==，所以FBA FAB ∠=∠. 又因为OA OB =，所以ABO BAO ∠=∠． 因为BE 是圆O 的切线，所以90EBO ∠=°.因为90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，所以PA 是圆O 的切线.……………………………………………………………………（10分）（23）解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为4cos ,(2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数).………………………（2分）因为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=.…………………………………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）将4cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22:4C x y x +=中，得24(sin cos )40t t αα+++=，则有2121216(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t ∆αααα⎧=+->⎪+=-+⎨⎪=⎩………………………………………………………（6分） 所以sin cos 0αα>.又[0,π)α∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1212||||||||()t t t PN t PM +=-++==π4(sin cos )42sin 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，………（8分）由ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得2πsin 124α⎛⎫<+ ⎪⎝⎭…，所以||||(4,42]PM PN +∈.………（10分）（24）解：（Ⅰ）当3x -…时,原不等式化为3224x x --+…, 得3x -…； 当132x -<…时,原不等式化为424x x -+…,得30x -<…； 当12x >时，原不等式化为3224x x ++…,得2x …， 综上，{|0A x x =…或2}x ….………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）当2x -…时,|2||3|024x a x x -+++厖成立， 当2x >-时, |2||3||2|324x a x x a x x -++=-+++…，得1x a +…或13a x -…, 所以12a +-…或113a a -+…,得2a -…. 综上，a 的取值范围为(],2-∞-.…………………………………………………………（10分）。