大学生数学竞赛习题及详细解答

一、 填空题（每小题4分，共40分）1. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∞→x t x x t t f 2)11(lim )(，则=')(t f ．解：)(t f tx x x t 2)11(lim ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∞→tte 2=，t t t e t te e t f 222)21(2)(+=+='∴．2. 设曲线L 的方程为te x 2=，te t y --=，则L 的拐点个数为 ．解：)(21213-22t ttt t t e e e e x y dx dy +=+=''=--， )32(412/)32(215-423-222tt t t t t t e e e e e x dx dy dxy d +-=--=''⎪⎭⎫ ⎝⎛=--． 022<dxyd ，∴无拐点，即L 的拐点个数为0．3. 设2)1()(x e x x f +=，则=)0()2009(f．解：n n xx n e ∑∞==0!1 ，n n x x n e 20!12∑∞==∴，12020!1!1)1()(2+∞=∞=∑∑+=+=∴n n n n x x n x n e x x f ．令200912=+n ，则20082=n ，1004=n ，∴2009次幂项的系数!100412009=a ． 又!2009)0()2009(2009f a =，!1004!2009)0()2009(=∴f ． 另解：利用2009阶Peano 型余项（或者拉格朗日型余项）的麦克劳林公式，或者高阶导数的乘法法则．4. 设x e f xsin 1)(+='，则=)(x f ．解：x e f xsin 1)(+=' ，⎰⎰-+=+=∴x d e e x de x e f x x x x sin )sin 1()sin 1()(⎰-+=xdx e e x x x cos )sin 1(．而⎰xdx e xcos ⎰=x d e x sin ⎰-=xdx e x e x xsin sin ⎰+=x d e x e xxcos sin)cos cos (sin ⎰-+=xdx e x e x e x x x ⎰-+=xdx e x x e x x cos )cos (sin ，⎰∴xdx e x cos C x x e x ++=)cos (sin 21．)(x e f ∴x e x )sin 1(+=C x x e x ++-)cos (sin 21C x x e x +-+=)cos sin 2(21．C x x x x f +-+=∴)]cos(ln )sin(ln 2[21)(．另解：x e f xsin 1)(+=' ，令xe t =，则t x ln =，)sin(ln 1)(t tf +='∴，dxxx x x x dx x x f ⎰⎰⋅⋅-+=+=∴1)cos(ln )]sin(ln 1[])sin(ln 1[)(dx x x x ⎰-+=)cos(ln )]sin(ln 1[．而dx x ⎰)cos(ln dx xx x x x ⎰⋅⋅+=1)sin(ln )cos(ln dx x x x ⎰+=)sin(ln )cos(lndxxx x x x x x 1)cos(ln )sin(ln )cos(ln ⋅⋅-+=⎰dx x x x x ⎰-+=)cos(ln )]sin(ln )[cos(ln ．而dx x ⎰∴)cos(ln C x x x ++=)]sin(ln )[cos(ln 21． -+=∴x x x f )]sin(ln 1[)(Cx x x ++)]sin(ln )[cos(ln 21C x x x ++-=)]sin(ln )cos(ln 2[21．5. 设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且⎰-+=-02)1()(xx x e x dt t x f ，则=)1(f ．解：⎰--02)(xx dt t x f⎰-=-=x xtx u du u f 2))((⎰=2)(x xdu u f ，⎰+=∴2)1()(x xx e x du u f ．对方程两边求导，有xxxe e x f x x f ++=-⋅1)(2)(2． 令1=x ，有e e f f ++=-1)1()1(2，e f 21)1(+=∴． 6. =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ． 解：原式n nk kn nk n nk n 1)(41lim 41lim 12122⋅-=-=∑∑=∞→=∞→621arcsin 2arcsin 4110102π===-=⎰x dx x ．7. 设曲线)(x f y =在原点处有拐点及切线x y 2=，且满足微分方程0='-'''y y ，则曲线的方程为 ．解：)(x f 为0='-'''y y 满足00==x y ，20='=x y ，00=''=x y 的特解．由特征方程03=-r r ，得特征根01=r ，12-=r ，13=r ， 得微分方程的通解为xx e C e C C y 321++=-．由初始条件，有0)0(321=++=C C C y ， 2)0(32=+-='C C y ，0)0(32=+=''C C y ，解得01=C ，12-=C ，13=C ．∴曲线方程为x x e e y --=．8. 设yxxy z )(=（0>x ，0>y ），则=∂∂==12y x xz ．解：由)ln (ln ln y x yxz +=，有)1ln (ln 11)ln (ln 11++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅++='y x y x x y x y z z x， )1ln (ln 1)(++⋅='∴y x yxy z yx x．)12(ln 4)12(ln 2212+=+⋅='∴==y x x z ．.9. 已知{}n a 为等差数列，01≠=-+d a a n n ，0≠n a （ ,2,1=n ），且∞=∞→n n a lim ，则级数∑∞=+111n n n a a 的和是 ． 解：)111(lim 11322111+∞→∞=++++=∑n n n n n n a a a a a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++-+-=++∞→)(1lim 1132232112n n n n n a a a a a a a a a a a a d )111111(lim 113221+∞→-++-+-=n n n a a a a a a d 1111)11(lim 1da a a d n n =-=+∞→． 10. 设L 为圆周122=+y x ，则{}=++⎰ds y x y x yL2222sin )cos(π ．解：原式L ds y x ds x ds y ds y L Lyx L L 21)(21cos 22222L -=+-=-=-==⎰⎰⎰⎰↔方程对称性的方程πππ-=⋅-=221．二、 计算题（10分）设0)1(=f ， 2)1(='f ，求xe x xf x x cos )cos (sin lim220-+→．解：原式[]xe x x x xf x x f x x x cos 1cos sin lim 1cos sin )1(1)1cos (sin lim 2202200--+⋅-+-+-+=→→∴；变形；连续乘法))(21())(1(1))(21())((lim )1(22222220)1(x o xx o x x o x x o x f x f +--++-+-++⋅'=→'存在；泰勒公式 )(23)(2)(lim222222202)1(x o x x o x x o x x f ++-+=→=' 32)1(23)1(21lim 20=++=→o o x ．三、 计算题（10分）设可导函数)(x f y =由方程3223323=+-y xy x 所确定，求)(x f 的极值点与极值． 解：视)(x f y =，对方程两边求导，得06)2(33222=⋅+⋅+-dxdyy dx dy xy y x ， 即 0)(222=---dxdy y x y y x ．由原方程知，有 x y ≠， 02=-+∴dxdyy y x ．……………………………………①令0=dxdy，得x y -=，代入原方程，有3223333=--x x x ， 解得唯一驻点2-=x ，此时2)2(=-=f y ．再对①式两边求导，得0)(21222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+dx y d y dxdy dx dy ．………………………………………②在驻点2-=x 处，有0202012222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-=x dx yd ，041222>=∴-=x dx yd ， 2-=∴x 为)(x f 的极小值点，)(x f 有极小值2)2(=-f ．四、 证明题（10分）试证：当0≠x 时，有不等式21)4(arctan 10<-<πx e x 成立． 证明：令te tf arctan )(=，t tg =)(，则对0≠x ，在0与x 构成的闭区间上)(t f 与)(t g 满足柯西中值TH 条件，所以存在介于0与x 之间的ξ，使得)()()0()()0()(ξξg f g x g f x f ''=--，即22)(11104arctan ξξξξπe e e e x e x +=⋅+=--． 由212)(102=<+<ξξξξe e e e ，即得21)4(arctan 10<-<πxe x ，证毕． 另证：利用拉格朗日中值定理，或者泰勒中值定理．五、 计算题（10分）计算二次积分dy e x dx dy e x dx I y xy x2210130113}1){sin(}1){sin(⎰⎰⎰⎰+-+=--．解：⎰dy e y 2积不出来，∴考虑交换积分次序．dye x dx dy e x dx I y xy x2210130113}1){sin(}1){sin(⎰⎰⎰⎰+++=∴<--交换上下限下限，上限第二个积分的内积分有 ．相应二重积分区域D 如图所示．⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==+=1yx )sin(32232)1)(sin(yyy Dy D x Dy dx dy edxdy edxdye x I 后先左右对称为奇函数121011222-====⎰⎰e ededy ye y y y ．六、 计算题（10分）求幂级数∑∞=-+11213n n n x n 的收敛半径、收敛域及和函数．解：21211221333)1(lim )()(lim x x n x n x u x u n n n n n nn n =+=-+++∞→+∞→ ，∴收敛区间为31<x ，收敛半径为31． 当31±=x 时，级数为∑∑∞=∞=+±=±11133)3(313n n nn n n ，发散．∴收敛域为)31,31(-． ∑∑∑∞=∞=++∞=-++=+=0201221121)3)(1(93)1(3n n n n n n n n x n x xn xn)(9)(9)1(9010132'='=+=∑∑∑∞=+∞=+∞==n n n n n nx y y x yx y n x 令2222)31(9)1(19)1()1()1(9)1(9x x y x y y y x y y x -=-⋅=--⋅--⋅='-=．七、 计算题（10分）求曲面积分⎰⎰∑++++=23222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz I ，其中∑是球面4)1()1()1(222=-+-+-z y x的内侧． 解：（ 直接计算困难，∴考虑借助高斯公式）．记222z y x r ++=，则3r x P =，3r yQ =，3rz R =． 522623333)(r x r r r xr x r r xx x P -=⋅⋅-=∂∂=∂∂，有对称性可知，5223r y r y Q -=∂∂，5223rz r z R -=∂∂， 有033522=-=∂∂+∂∂+∂∂r r r z R y Q x P ，)0,0,0(),,(≠∀z y x ．∴可以改变积分闭曲面． 记22221:ε=++∑z y x （320-<<ε），取内侧，则⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=++++=1113232221)(zdxdy ydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz Iε方程改变积分闭曲面ππεεεεε4343131)3(13313:322221-=⋅⋅-=Ω⋅-=-=⎰⎰⎰≤++Ωz y x Gauss dV 方程。