7.有限元分析建模及若干问题
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
11-有限元若干问题讨论-1
边 界 条 件 的 处 理 与 支 反 力 的 计 算
有限元分析中的若干问题讨论
例：平面问题斜支座的处理（p200）
边 界 条 件 的 处 理 与 支 反 力 的 计 算
单 元 形 函 数 矩 阵 与 刚 度 矩 阵 的 性 质
单元形状函数性质1：0/1性质
3. 考虑单元发生刚体位移的情形 设单元有刚体位移 都为 ，即 ，由于是刚体位移，则单元的位移场函数及节点位移
有限元分析中的若干问题讨论
一、形状函数矩阵的性质
单 元 形 函 数 矩 阵 与 刚 度 矩 阵 的 性 质
二、刚度矩阵的性质
单 元 形 函 数 矩 阵 与 刚 度 矩 阵 的 性 质
3. 考察位移 根据以上讨论，总结出以下性质: 单元刚度矩阵性质5：奇异性质
单元刚度矩阵性质6：行(或列)的代数和为零的性质 刚度矩阵的任一行（或列）代表一个平衡力系；当节点位移全部为线位移时 (即为C0型问题)，任一行（或列）的代数和应为零。
有限元分析中的若干问题讨论
位移边界条件BC(u)在大多数情形下有两种类型
边 界 条 件 的 处 理 与 支 反 力 的 计 算
(5-46)
有限元分析中的若干问题讨论
一、处理边界条件的直接法
边 界 条 件 的 处 理 与 支 反 力 的 计 算
(5-49) (5-50) (5-51)
有限元分析中的若干问题讨论
有限元分析中的若干问题讨论
单 元 的 节 点 编 号 与 总 刚 度 阵 的 存 储 带 宽
由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的DOF数为λ，则每一
个单元在整体刚度矩阵的半带宽(semi bandwidth)为：
其中n为整个结构系统的单元数。显然，对于2D问题，有λ＝2， 对于3D问题，有λ＝3。 因此在计算机中，一般都采用二维半带宽存储刚度矩阵的系数，为 等带宽存储。
第7章 有限元分析概述
3、变形体及受力情况的描述:
基本变量:
u
(位移)
ε
(应变)
ζ
(应力)
（如果考虑三个方向(xyz)的情况，则有对应的向量、张量描述:
ε ij
ζ ij
ui
）
基本方程: ①力的平衡方面 三大类变量 ②几何方面 三大类方程 ③材料方面
求解方法: ①经典解析 ②半解析法 ③传统数值求解 ④现代数值求解(计算机软硬件，规范化，标准化， 规模化，计算机化)
几个概念： 单元：把弹性体假想地分割成有限个离散体，这些离
散体称为单元。 节点：离散单元仅在其顶点处相互连接，连接点成为节点。 要求：这种连接必须满足变形协调条件， 既：不能出现裂缝，不能发生重叠。 节点力：单元之间只能通过节点传递内力，通过节点 传递的内力成为节点力。 节点载荷：作用在节点上的载荷为节点载荷。 节点位移：当弹性体受到外力作用发生变形时，组成它的 各个单元也将发生变形，因而各个节点将产生
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。 第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。把这类 问题称为离散系统。
例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。
平面桁架结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
双向拉索悬索桥
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方 程和相应的边界条件。这类问题称为连续系统。
例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。
目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：
软件名称 简介
MSC/Nastran
MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
著名结构分析程序，最初 由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
有限元法分析
有限元法的分析从百度等搜索到的资料以及老师在课上对有限元法的相关介绍我们可以得知，有限元法是基于近代计算机的快速发展而发展起来的一种近似数值方法，用来解决力学、数学中带有特定边界条件的偏微分方程问题。
而这些偏微分方程是工程实践中常见的固体力学和流体力学问题的基础。
有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散化”，所以它在历史上的发展也是围绕着这两个点进行的。
有限元法用于解决工程问题的微分方程的近似解，主要考虑怎么分割单元。
比如，可以分割为长方形单元、三角形单元等形状的单元，不同形状的分割的出来的结果也是不尽相同的，边界条件也会影响有限元法的解。
有限元法是将问题先分解，再进行合并，网格划分是分解，从单刚到总刚是合并，我们将这些复杂的处理量交给计算机处理，把一个困难的问题转化成一个个小的简单的问题交给计算机处理，最终得到问题的解，因此，有限元法可以说是将一个大问题转化为若干个简单问题的叠加的方法。
有限元法再物理原理上的理解可以概括为，“求解使系统能量泛函数极小值的系统状态”。
这个角度是根据划分的网格和网格内部的特定点建立相应函数。
在数学原理上，有限元法是求解满足特定微分方程的数值解。
这个角度上可以看作是加权残值的一种形式，将甲醛积分时的权函数与拟合解函数的试函数取为相同的函数。
有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似系统，也就是形成相应的数值模型。
有限元法的计算步骤归纳为以下3个基本步骤：网格划分、单元分析、整体分析。
有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。
因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。
单元之间通过节点相连接。
由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成四面体或六面体单元的实体网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的面网格，如图对于弹性力学问题，单元分析就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。
有限元法课后习题答案
1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩 .5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。
7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。
8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。
9、弹性力学平面问题方程个数有8，未知数8个。
10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1. 诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。
模态分析若干问题解释
1.如何理解模态分析中的“阶”，一个结构有1阶，2阶，3阶......，怎么理解？在理解“阶”之前，要先理解与“阶”紧密相连的名词“自由度”。
自由度是指用于确定结构空间运动位置所需要的最小、独立的坐标个数。
空间上的质点有三个自由度，分别为三个方向的平动自由度；空间上的刚体有六个自由度，分别为三个平动、三个转动自由度。
一个连续体实际上有无穷多个自由度，有限元分析时将连续的无穷多个自由度问题离散成为离散的有限多个自由度的问题，此时，结构的自由度也就有限了。
因此，可以这样理解，一个自由度对应一阶，连续体有无穷多阶。
像弹簧--质量模型为单自由度系统，故对应的频率只有一阶。
两自由度系统有两阶。
一个具体的系统，每一阶对应着特定的频率、阻尼和模态振型。
延伸问题：“同一个结构为什么各阶频率、阻尼和模态振型又不相同？”这是因为虽然结构还是这个结构，但是参考各阶运动的结构上的质量和刚度都不相同，参考每阶响应的并不是结构所有的质量和刚度，而是这一阶“活跃的”有效质量（结构中的部分质量），所以各阶所对应的模态参数不完全相同。
2.如何理解无阻尼固有频率、有阻尼固有频率和固有频率？通常在振动教材中都会定义无阻尼固有频率和有阻尼固有频率，无阻尼固有频率对应的是刚度/质量的平方根，有阻尼固有频率为无阻尼的固有频率乘以（1-阻尼比平方）的平方根。
书本上这么定义完全是出于方便书写公式的目的，当然了也对应的一定的物理意义。
一般说来，无阻尼结构的频率便是无阻尼的固有频率，但现实中所说的固有频率，在没有特殊说明的情况下都是指有阻尼固有频率，因为现实中的结构都是有阻尼的。
人们通常说的固有频率都是指有阻尼固有频率。
另外，在有限元计算中，如果是实模态分析（不考虑阻尼），那么此时的求解出来的频率就是无阻尼的固有频率，如果是复模态分析（考虑非比例阻尼）得出来的固有频率是有阻尼固有频率。
现实中的结构，除了含有阻尼机制的结构外，一般阻尼比都小于10%，因此，阻尼对结构的固有频率的影响是非常小的。
第七讲有限元分析建模及若干问题
M
M
L
9-6 模型简化
2、力学问题的简化 、 根据计算结构的几何、受力及相应变形等情况， 根据计算结构的几何、受力及相应变形等情况，对其相应 的力学问题进行简化，从而达到减小计算时间和存储空间 的力学问题进行简化， 的目的。 的目的。 1）对称结构受对称载荷作用 ）
p y
x 对称面
对称面上只有沿对称方向的位 移没有垂直对称面方向的位移
9-6 模型简化
• b、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移动， 、固定铰支：它与活动铰支的区别在于整个支座不能移动， 但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。 但是被支撑的结构可绕固定轴线或铰自由转动。如图。 • c、固接支座（即插入端）：其特点是结构与基础相连后，既 、固接支座（即插入端）：其特点是结构与基础相连后， ）：其特点是结构与基础相连后 不能移动也不能转动，支反力除支反力外还有反力矩。如图。 不能移动也不能转动，支反力除支反力外还有反力矩。如图。
9-4 有限元建模的基本内容
• 有限元建模在一定程度上是一种艺术，是一种物体发生的物理相互 有限元建模在一定程度上是一种艺术， 作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人， 作用的直观艺术。一般而言，只有具有丰富经验的人，才能构造出 优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是： 优良的模型。建模时，使用者碰到的主要困难是：要理解分析对象 发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性； 发生的物理行为；要理解各种可利用单元的物理特性；选择适当类 型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、 型的单元使其与问题的物理行为最接近；理解问题的边界条件、所 受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。 受载荷类型、数值和位置的处理有时也是困难的。 • 建模的基本内容： 建模的基本内容： • 1、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、线性与非线 、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、实体、 流体、流固耦合…..）-----取决于工程专业知识和力学素养。 取决于工程专业知识和力学素养。 性、流体、流固耦合 ） 取决于工程专业知识和力学素养 • 2、单元类型的选择（高阶元 低阶元？杆/梁元？平面 板壳？ ….. ） 低阶元？ 梁元 平面/板壳 梁元？ 板壳？ 、单元类型的选择（高阶元/低阶元 -----取决于对问题和单元特性的理解及计算经验 取决于对问题和单元特性的理解及计算经验 • 3、模型简化（对称性 反对称性简化、小特征简化、抽象提取、支 反对称性简化、 、模型简化（对称性/反对称性简化 小特征简化、抽象提取、 坐等简化） 坐等简化） • 4、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？） 、网格划分（手工、半自动、自动，单元的形状因子？） • 5、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理） 、载荷、约束条件的引入（载荷等效、边界处理） • 6、求解控制信息的引入 、
有限元分析ppt
分 片 近 似位
移 函 数
m(xm ym ) Fmy
vm um
vi i(xi yi )
Fmx ui
vj
y
Fix x
Fiy
uj
j(xj yj)
单 元 平 衡单
刚 方 程
整 体 平 衡总
刚 方 程
方
程
求 解
节 点 位
移
函
数
阶梯轴（梁）
A E (1)
(1)
A E (2) (2)
F
1
2
3
3
Φ1
Φ2
Φ3
l(1)
ui
vi
u
v
j j
um
vm
Fxi
Fyi
F
Fxj Fyj
Fxm Fym
y
vm
m
um vj
vi
j uj
i
ui
Fym
m
Fyi
i
Fxm Fyj
j Fxj Fxi
x
平面应变板单元
1.2.3 .1 单元刚度的概念 单元分析的主要工作是：通过研究单元力和单元位移
之间关系，建立单元刚度矩阵。 对任意单元而言，描述单元力和单元位移之间关系的
l(2)
F1
F2
F3
分为两个单元，共有三个节点。整体结构中，节点 载荷F及节点位移Φ都用大写。其脚标为节点在总体 结构中的编码，简称为总码。
1.1 有限元法概述
二．一个简单的应用实例
1. 离散化
① 局部码：各单元内，节点的编码； ② 各节点的位移分量及载荷分量分别用小写φ及f标记 ③ 所有节点位移的集合为该单元节点位移矢量{φ}，节
有限元考试复习资料(华东交通大学)
有限元考试复习资料（含习题答案）1试说明用有限元法解题的主要步骤。
（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。
（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。
（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。
（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。
2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。
P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。
3.什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。
则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。
这种问题就称为轴对称问题。
可以用轴对称单元求解。
4.什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。
比例阻尼的特点为具有正交性。
其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。
5.何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
①优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。
由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
机械结构有限元分析
pp21
1
=
kk2111
k12 k22
1
δδ21
1
~ (a)
大连理工大学工程机械研究所
杆件结构
pp23
2
=
kk2322
k23 k33
2
δδ23
2
~ (b)
pp34
3
=
kk3433
k34 k44
3
δδ34
3
~ (c)
大连理工大学工程机械研究所
杆件结构
n 以节点2上的节点载荷和节点力见的相互
n 有限元方法是处理连续介质问题的一种 普遍方法，离散化是有限元方法的基础。
n 有限元方法是摆脱了各种各样的工程背 景而成为一种具有普遍意义的数学方法。
大连理工大学工程机械研究所
绪论
n 有限元方法是将一个连续体有无限多个自由度 （属于无限维空间），转化成一个有限自由度 （属于有限维空间），建立有限元方程，求其 近似解。
n 将以上方程合并，表达成矩阵的形式，
大连理工大学工程机械研究所
杆件结构
QQQ231
Q4
=
kk211111
0
k112 k212 + k222
k322
n 简写为：
0
k223 k323 + k333
k433
0
0
k334
k434
δδδ231
δ4
K {δ} = {Q}
K = [k]1 + [k]2 + [k]3
大连理工大学工程机械研究所
杆件结构
n 在梁的两端，节点只连着一个单元，节 点载荷就等于该节点的节点力，各有
有限元建模方法分析概要
三、有限元模型
§3-4 有限元建模方法
有限元模型除节点、单元外，还包含本身所具有的边界 条件(约束条件、外载等) 有限元模型的基本构成：
1．节点数据 (1)节点编号 (2)坐标值 (3)坐标参考系代码 不同的节点可根据需要参考不同的坐标系 (4)位移参考系代码 位移参考系——节点的位移自由度所参考的坐标系 (5)节点总数
①设置过渡单元 ——梁单元与薄壁结构过渡单元、体—壳过渡单元、疏密过渡 单元等。 ②主从节点和位移规格数 ——从节点和主节点之间通过假设的刚臂连在一起。从节点的 自由度由主节点的相应自由度和两点的相对位置决定。
3.缩小解体规模的常用措施
3.1 对称性和反对称性 对称性——几何形状、物理性质、载荷分布、边界条件、
——简化模型的变形和受力及力的传递等与实际结构 一致。如应力应变、连接条件和边界条件等，均应与实 际结构相符合。
确定模型的可靠性判断准则：
物理力学特性保持；相应的数学特性保持。
1.有限元离散模型的有效性确认
2)精确性
—— 有限元解的近似误差与分片插值函数的逼近 论误差呈正比。在建立有限元模型时，根据问题的 性质和精度要求，选择一阶精度元、二阶精度元和 高阶精度元等不同类型的单元。
§3-4 有限元建模方法
有限元分析是设计人员在计算机上调用有限元程序 完成的。了解所用程序的功能、限制以及支持软件运 行的计算机硬件环境。 分析者的任务： 建立有限元模型、进行有限元分析并解决分析中出 现的问题以及计算后的数据处理。 一、有限元法应用 采用有限元法计算，可以获得满足工程需求的足够 精确的近似解。解决几乎所有的连续介质和场的问题， 包括建筑、机械、热传导、电磁场、流体力学、流体 动力学、地质力学、原子工程和生物医学等方面问题。
重力坝溢流坝段有限元建模分析
重力坝溢流坝段有限元建模分析发表时间：2020-09-17T15:55:01.373Z 来源：《建筑实践》2020年第14期作者：张宇1，周波2，唐德秀2[导读] 结合四川某重力坝坝址区地形地质条件，对其溢流坝段进行有限元建模张宇1，周波2，唐德秀21.四川大学工程设计研究院有限公司，四川成都 610065；2.四川蜀禹水利水电工程设计有限公司，四川成都 610072摘要：结合四川某重力坝坝址区地形地质条件，对其溢流坝段进行有限元建模，进行以下分析：（1）材料参数的选取；（2）计算工况及荷载组合。
关键字：有限元；计算工况；荷载组合；重力坝溢流坝段1 工程概况重力坝是由砼或浆砌石修筑的大体积挡水建筑物，其基本剖面是直角三角形，整体是由若干坝段组成。
重力坝在水压力及其他荷载作用下，主要依靠坝体自重产生的抗滑力来满足稳定要求；同时依靠坝体自重产生的压力来抵消由于水压力所引起的拉应力以满足强度要求。
该工程位于德跃镇—古蔺县城间古蔺河上，是以防洪和县城应急供水为主，兼顾生态环境供水的混凝土重力坝。
坝顶高程650.00m，最大坝高56.00 m，水库正常蓄水位647.50 m，设计洪水位645.56 m，死水位639.50 m。
该碾压砼重力坝位于弱风化基岩上，基岩体为侏罗系中统上沙溪庙组（J2S2）地层之泥质粉砂岩、粉砂质泥岩、砂岩，局部夹泥质粉砂岩和砂岩薄层或透镜体，但基岩岩性软弱，强度较低，可能存在地基承载能力问题；碾压砼重力坝溢流坝段闸室采用弧形钢闸门挡水，闸门支绞牛腿及相邻闸墩部位的受力较复杂；灌浆廊道局部应力情况复杂等问题。
因此重力坝底板、灌浆廊道、闸墩、牛腿的受力配筋能否满足运行要求，对工程的安全性具有重要的意义，有必要对重力坝溢流坝段闸室结构、灌浆廊道的安全性进行相应的计算。
固针对工程区域的地形地貌和闸室的结构参数，建立三维有限元计算模型。
2 计算模型与方法结合工程溢流坝段的设计资料（地层岩性、地质构造、基岩岩体力学参数、地基处理方案、灌浆廊道结构型式、荷载组合等），分析工程区域的地质环境和基岩工程特性，对地质原型进行合理概化，为计算模型的建立提供依据。
关于岩土工程有限元分析中的若干问题
如果想要对工程的数据进行直接的分析，也想要对工程当中的风险进行全面的分析，选择有限元分析是最好的方法，有限元分析的优势就是在于可以分析输数值和工程的风险。岩土工程在建设过程中最重要的就是监控，而有限元分析法中能够起到很好的监控作用，所以整个岩土工程的细节都可以用有限元分析方法分析出来，在整个分析过程中，其实岩土工程的位置和它的形状大小，在分析方法中都显得不太重要，可以直接用边坡进行安全系数的计算，同时整个强度贮备系数和画面系数都可以进行计算。从实际出发，如果要计算整个岩土工程的破坏系数和他的极限，承受能力，如果采用有限元分析法进行计算，可以更有效并且简洁地计算出结果。相对来说环境条件比较恶劣的岩土环境，想对极限值进行测量，那么就用有限元分析方法这个方法，能起到极佳的好作用。又清晰明了，又操作简便，这就是有限元分析法的优势之处。
2岩土工程有限元分析中的若干问题
岩土工程的有限元分析十分简便，但是风险大，在实际过程中，岩土工程在进行有限元分析过程中，存在着很多问题，这些问题想要得到解决，必须详细进行分析。
2.1初始地应力场问题
影响整个有限元分析法的因素就是初始地应力，如果有限分析法操作员工在分析初始地应力时，并没有直接对初始地应力进行实际地判断，进行有限元分析法分析时，也没有重视这个初始地应力，所以在直接情况下一定要通过现场所测的数据来进行初始地应力的分析。初始地应力场需要用先总体再局部的方式进行测量，整个应力场的情况都能够掌握，同时也可以根据整个应力场情况将对应力分量函数分析出来。
在原本用开挖荷载的计算公式对整个岩土工程的等效节点力进行计算的同时，将应力值的数据在原有基础上一直往上调整，达到满足高斯点的位置，而且这样测算出来的开挖荷载值也能有提高，整个岩土工程中的开挖荷载的计算问题也能够因为这些有解决方式，从误差上来看，会有降低的好效果。
有限元分析中的若干问题考虑
6.1 单元结点编号和带宽
计算机在进行有限元分析时，需要存储所有的单元 和结点信息，即将所有单元和结点进行编号，按顺 序存储在数据库中，然后再按单元和结点编号所对 应的位置，对所形成的单元刚度矩阵装配在整体刚 度矩阵中，随着所求解问题自由度(DOF)的增大， 整体刚度矩阵的规模非常巨大，但大部分的数据为 零，为节省存储空间，一般只需存储非零数据，那 么单元和结点的编号将直接影响到非零数据在整体 刚度矩阵中的位置，我们希望非零数据越集中越好， 反映非零数据集中程度的一个指标就是带宽。
6.2 边界条件的处理与支反力的计算
位移边界条件在大多数情形下有两类： 第一类：零位移边界，即
第二类：给定具体数值的位移边界，即
设所建立的总体刚度矩阵（将其进行分块）为
其中：
为已知， （未知结.1 直接法处理边界条件
（1） 由于 得到
的情形 ，对上页公式的对应位置划行划列后，
可求出未知结点位移 为
（2）
的情形
将总刚方程写成两组方程
将
代入下面的方程，可得到
则可求出未知结点位移 为
（3） “直接法”的特点
6.2.2 对角元素置“1”法
对于边界条件
，可置对应位置的 ，则
这时方程应等价于原方程加上边界条件
，
下面考察这种等价性，就上式中的第j行，有
即为所需要的边界条件。而除第j行外，其它各行
会计入
的影响，但其余各项的影响不变；
这恰好就是原方程加上边界条件
的影响。
6.2.3 对角元素乘大数法
对于边界条件
情形，可将对于位置的krr乘
一个大数 ，对于的pr置为
，即
这时方程应等价于原方程加上边界条件
有限元分析课件
物理模拟方法简介
（1）缝隙法 为了定性地了解接触面压力分布，可在模具的相应部分留有垂直于模
面的窄缝或小孔，根据流入窄缝或小孔的模拟材料外形或高度，定性地判定 接触面正压力分布。
物理模拟方法简介
（2）硬度法 冷变形时，变形程度越大硬化越强，硬度越高，因此可根据硬度
的分布，判别变形不均匀的程度。根据下图能判断出，圆柱体镦粗时变 形可分为三个区，中心区是大变形区，侧面鼓形是中等变形区，上下接 触面是小变形区。
物理模拟方法简介
（4）叠层法 叠层法是利用易变形材料(铅和塑性泥等)制成薄
片，然后叠成试样进行模拟实验的方法。 为了研究挤压时的变形流动情况，可以用颜色
不同的塑性泥层制成试样进行挤压，然后沿子午面切 开，由不同颜色的各层位置变化来观察变形区的情况， 此外，用铅制成薄片重叠成圆柱体进行镦粗，不仅可 观察变形流动，还可以把变形后的铅层分开，通过测 量各层不同部位的尺寸变化，计算出变形体内的应变 分布。
形状、尺寸精度和组织性能的产品的加工方法，称为金属塑性成形，也称为金 属塑性加工或金属压力加工。
如果不考虑切头、去尾、火耗等损失，那么金属材料的体积、质量在塑 性成形前后可看做没有发生变化，因此塑性成形是无屑或少屑的金属加工方法。
塑性成形方法与分类
1、根据加工时工件受力和变形方式的不同，金属塑 性成形方法可分为锻造、挤压、轧制、拉拔、冲压 等。 2、根据金属变形特征的不同，又可将金属塑性成形 分为：体积成形（或称块料成形）和板料成形（冲 压）两大类。 3、金属塑性成形按照加工时工件的温度又可分为热 塑性成形、冷塑性成形和温塑性成形。
物理模拟方法简介
（5）坐标网格法(Coordinate Grid Method) 是研究金属塑性变形分布应用最广泛的一种方法，
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7-6 有限元建模技术
1、模型简化
a、活动铰支 o z y x
动也不能转动，
支反力除支反力 外还有反力矩。 如图。
UY=0, ROTZ=0
35
7-6 有限元建模技术
1、模型简化 B）弹性支座
u a、线弹性支座：当支承结 构或基础受外载产生较大 φ 的弹性变形时，这种支座 称为弹性支座。根据支反 v 力的不同，弹性支承可分 为弹性线支座和弹性铰支 座，它们分别产生弹性线 FX=KX*U, FY=KY*V, 位移/支反力、线性角位 建立一个弹簧单元，实 移/反力矩。如图 常数需输入弹簧的刚度 36
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS 简介 著名结构分析程序，最初由 NASA(美国国家航空航天局)研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件， 例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接 7 与热处理分析软件SysWeld等。
40
7-6 有限元建模技术
3、三角形单元不应出现钝角，矩形单元长宽比 不能太大，不能出现细长形。
单元形状的好劣直接影响单元精度，因此三角 形单元不能有钝角，也不能出现小于150锐角，而矩 形单元则不能出现长宽比过大，当为任意四边形时， 应尽可能使各内角接近900，且边长比也应尽量为1。
UY=0
33
7-6 有限元建模技术
1、模型简化
b、固定铰支：它与 活动铰支的区别 在于整个支座不 能移动，但是被 z o x y
支撑的结构可绕
固定轴线或铰自
由转动。如图。
UX=UY=0
34
7-6 有限元建模技术
1、模型简化
c、固接支座（即插 入端）：其特点 是结构与基础相 连后，既不能移 z o y x
7-3 ANSYS简介
大型通用有限元分析软件ANSYS，自1971年 推出至今，已经发展功能强大、前后处理和图形 功能完备的有限元软件，并广泛地应用于工程领 域。可以分析结构、动力学、传热、热力耦合、 电磁耦合、流固耦合等领域的问题。 ANSYS采用开放式结构：提供了与CAD软件 的接口，用户编程接口UPFs，参数化设计语言 APDL。 ANSYS分为系统层，功能模块层两层结构。 可以使用图形方式，也可以使用批处理方式。
28
Байду номын сангаас
7-6 有限元建模技术
1、模型简化
（3）小特征删除
几何模型简化操作实例
29
7-6 有限元建模技术
1、模型简化
（4）抽象简化 实际工程的结构都是具有尺寸和体积的， 而有限模型的有些单元，如：杆/梁/板壳等是 不具有体积的，因此，建模时，存在如何从实 体几何模型中抽象出有限元模型的问题。常称 为中线/中面的提取。
26
7-6 有限元建模技术
1、模型简化 轴对称结构受非轴对称载荷作用
当轴对称受非轴对称载荷时，将产生非轴
对称的位移，应变和应力，它是一个三维问题。
27
7-6 有限元建模技术
1、模型简化
（3）小特征删除
由于实际机械零件设计中很多结构的变化是 因加工、装配、调试等功能所需的，并非是强度、 刚度设计所重点关注的。因而在对其进行力学分 析计算时，可将这类细小的结构忽略不计。如机 械结构中常有的小孔、倒角、凸台、凹槽等。这 些结构通常尺寸较小，如不省略，反而会导致网 格划分困难，节点单元增加，如图所示为一经细 节删除操作后有限元网格模型。
第七章 有限元分析建模及 若干问题
1
7-1 有限元分析的基本方法
研究分析对象结构对象 形成计算模型 修改模型 选择计算分析程序
上机试算
计算模型合理？
有限元前处理 (建模)
计算结果输出
正式试算，结果分析 修改方案 结构设计方案？
优化设计
设计方案输出
有限元计算及 后处理
2
7-1 有限元分析的基本方法
•载荷、约束 •材料
基于实体的物理模型
力学属性编辑器
•力学问题描述与简化
•单元组、子结构、单元选择
几何元素编辑器
•对称/反对称简化 •中线/中面提取 •小特征删除/抑制
力学模型
•支承连接方式模拟 •装配应力等效等
载荷、约束自动等效
•基于点线面的载荷/约束
网格生成器
•手工编辑/半自动
•自动划分：三角形/四 面体、四边形/六面体…
38
7-6 有限元建模技术
a、单元过渡
因变形体几何尺寸发生突变处，将产生应力集 中，应力随着远离突变处而迅速衰减，所以在建 立有限元计算力学模型时，在应力集中区域过渡 到一般区域，单元网格的尺寸应逐渐增大。
39
7-6 有限元建模技术
b、分布载荷突变处和集中载荷作用处应设为 结点，附近单元应小一些，如下图所示。
30
7-6 有限元建模技术
1、模型简化
（4）抽象简化 中面：即每个截 面上与各边相切 的圆的圆心轨迹 所形成的面
中线：即每个截 面型心的连线
31
1、模型简化
（5）等效简化
7-6 有限元建模技术
实际工程中，支撑方式和连接方式千变万化， 建模时必须对这些支撑和连接形式进行等效模拟， 使其成为标准的自由度约束形式。
1）建立实际工程问题的计算模型
利用几何、载荷的对称性简化模型
建立等效模型
2）选择适当的分析工具
侧重考虑以下几个方面：
物理场耦合问题 大变形 网格重划分
3
7-1 有限元分析的基本方法
3 ） 前 处 理 (Preprocessing)------ 有 限 元 建 模 (Finite Element Modeling) 建立几何模型(Geometric Modeling，自 下而上，或基本单元组合) 有限单元划分(Meshing)与网格控制 给定约束(Constraint)和载荷(Load)
8
ANSYS简介
ANSYS 图 形 方 式启动界面如图。
9
ANSYS 简介
进入 ANSYS 后显示如下的 GUI窗口:
输入
显示提示信息， 输入ANSYS命令 。能够方便的获 取以前输入的所 有命令。
功能菜单
包含例如文 件管理、选择 、显示控制、 参数设置等功 能。
工具条
将常用的命令 制成工具条， 方便使用。
1、模型简化
7-6 有限元建模技术
例：图示受弯曲作用的工字梁，其上下翼缘厚度 较其高度为小，且剪力可不考虑。 受力分析：上拉下压，前后两面变形自由，表面 应力为0
M
M
L
17
1、模型简化
7-6 有限元建模技术
计算方案：a、三维空间单元，计算量大 b、梁单元，计算量小，但因腹板有 孔，各个截面的抗弯模量计算复 杂，不易处理 c、上下翼缘看作只受拉压的杆，腹 板看作平面应力。
有限元模型
计算参数及控制信息编辑
•计算方法/计算精度选择
•输入/输出控制
静力学问题
有限元计算
动力学问题
•模型
•物理量(位移/应力)全局/局部显示
有限元结果可视化
•面上/体内/截面/动态
14
7-6 有限元建模技术
要建立合理的有限元分析计算模型，除 了要在实践中不断去模索，积累经验外，应 注意以下几个问题。
4）求解(Solution) 求解方法选择 计算参数设定 计算控制信息设定
4
7-1 有限元分析的基本方法
5）后处理(Postprocessing)后处理的目的在于分析计 算模型是否合理，提出结论。 用可视化方法（等值线、等值面、色块图）分 析计算结果，包括位移、应力、应变、温度等；
特殊部位分析：应力集中部位。
11
7-4 有限元建模的基本内容
建模的基本内容：
1、力学问题的分析（平面问题、板壳、杆梁、 实体、线性与非线性、流体、流固耦合…..）----取决于工程专业知识和力学素养。 2、单元类型的选择（高阶元/低阶元？杆/梁元？ 平面/板壳？ ….. ）-----取决于对问题和单元 特性的理解及计算经验
12
5
7-2 算法与有限元软件
从二十世纪60年代中期以来，大量的理论研究 不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多 通用或专用的有限元分析软件。
理论研究的一个重要领域是计算方法的研究， 主要有：
大型线性方程组的解法，非线性问题的解法， 动力问题计算方法。 目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：
6
7-2 算法与有限元软件
15
1、模型简化
7-6 有限元建模技术
（1）物理问题的力学描述
对于所计算的对象，先应分析清楚，给以归类： a、平面问题
b、空间问题（轴对称问题）
c、板壳问题
d、杆梁问题……
如把复杂问题看得简单，会使许多应当考虑的 因素没有考虑影响精度。
反之，把简单问题弄得复杂，会把某些次要因 素没有略去，未突出主要因素，影响计算工作量。 16
y 2P
2P
P
x
(a)
图 6
(b)
21
7-6 有限元建模技术
对称结构受对称载荷作用
p y
对称面
x
对称面上只有沿对称 方向的位移没有垂直 对称面方向的位移 22
b、反对称条件
如图7所示结构对称，但载荷反对称，这时可 利用反对称条件取其1/4进行有限元计算。即在x 轴面上有u=0 ，而在y 轴面上有 v=0，因此在对称 面上位移的对称分量为零，结果如图7(b)所示。