第五章单因素模型与多因素模型_图文.
因素模型
因素模型杨长汉1证券资产价格的决定因素是多种多样的，西方学者在研究中采取了多种多样的方法去探讨证券价格的决定因素。
最主要的两种模型就是单因素模型和多因素模型。
一、单因素模型(Single-Index Model)夏普(William Sharp)于1963年建立了单因素模型2。
单因素模型是指证劵价格的影响因素只有一个，而如果有两个或两个以上的因素，则称为多因素模型。
单因素模型的基本思想是：当市场指数上升时，市场中大部分证券资产的价格就会上涨；相反，当市场指数下降时，市场中大部分证券资产的价格就会下降。
单因素模型中有以下两个基本假设条件：第一，证券的风险分为系统性风险和非系统性风险，而这里所讲的因素仅指系统性风险。
第二，一个证券的非系统性风险与其他证券的非系统性风险之间的相关系数为零，两种证券之间的相关性仅取决于共同的市场因素。
在单因素模型中，主要有两个基本因素会造成证券收益率的波动：一是宏观经济环境因素，比如GDP 增长率、利率、通货膨胀率等，这些因素的变化会引起证券市场中所有证券收益率的变化，相对于市场中的系统性风险；二是微观因素的影响，如公司的财务状况、公司的经营状况以及突发事件等，这些因素的变化只会引起个别证券收益率的变化，相当于市场中的非系统性风险，可以通过多样化的投资组合进行分散。
我们以股票的收益率和股价指数的收益率为例，可以得到如下单因素模型公式： it it i mt it r A R βξ=++这一公式揭示了股票的收益率与市场指数收益率之间的关系。
其中，it r 为t 时期证券i 的收益率，mt R 为t 时期市场指数的收益率，i β为斜率，表明股票收益率波动对市场指数波动的反应程度，代表两者的相关关系，it A 是截距项，反映市场指数为零时股票收益率的大1 文章出处：《中国企业年金投资运营研究》 杨长汉 著杨长汉，笔名杨老金。
师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA 教育中心教师、金融学博士。
《因素模型》课件
因素模型可以用于研究消费者行为， 如购买决策、消费习惯等，为企业 制定营销策略提供支持。
05
因素模型的优缺点
优点
因素模型能够有效地解释和预测市场 行为，帮助投资者更好地理解市场动 态。
因素模型有助于识别市场的非理性行 为，减少投资者的盲目跟风和过度投 机。
因素模型提供了量化的风险评估，有 助于投资者制定更加科学和稳健的投 资策略。
结合其他理论和模型， 完善因素模型的假设 条件和理论基础。
06
结论与展望
对因素模型的总结
因素模型的概念
因素模型是一种统计模型，用于描述一组变量之间的关系。它通常用于投资组合优化、风 险管理等领域。
因素模型的原理
因素模型的基本原理是将一组相关的变量归结为少数几个公共因子，这些因子能够解释这 组变量的绝大部分变异。通过这种方式，可以简化数据的复杂性并更好地理解其内在结构 。
跨领域应用
除了传统的投资组合优化和风险管理领域，因素模型还可以应用于其他领域，例如市场营销、社交网络分析等。未来 可以进一步探索其在这些领域的应用价值。
混合模型
将因素模型与其他统计模型相结合，例如与主成分分析、聚类分析等模型混合使用，可以更全面地揭示 数据的内在结构和关系。未来可以进一步研究混合模型的应用和效果。
THANK YOU
感谢各位观看
量的影响程度和方向。
03
因素模型的参数估计
参数估计的方法
最小二乘法
加权最小二乘法
通过最小化误差的平方和来估计参数，是 一种常用的线性回归参数估计方法。
在最小二乘法的基础上，对不同的观测值 赋予不同的权重，以减小误差较大的观测 值对参数估计的影响。
最大似然法
Hale Waihona Puke 贝叶斯估计通过最大化观测数据的似然函数来估计参 数，能够考虑到数据的概率分布，适用于 具有复杂概率模型的参数估计。
第五章因素模型课件
证券对因子共同作出反应的假设，使得我们没有 必要直接估计证券之间的协方差，而只需要通过 证券的敏感性和因素的方差即可获得协方差。
2）分散化
单因素模型的第二个有意义的特征与分散化有 关。在前面已经说明，分散化导致系统风险的 平均化和个别风险的降低。对任何因素模型， 除了术语上用因素风险和非因素风险分别代替 系统风险和非系统风险外，上述特征总是成立
ri iI iI rI iI
式中：r i代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数
rI代表相同时期市场指数I的收益率 ε iI是随机误差项
ßiI 代表了证券市场线的斜率，它表明了每当市 场收益变化1%，证券收益变化的程度。用市 场模型来描述证券收益，可以帮助我们确定系 统性风险和非系统性风险，证券系统性风险等 于市场收益的标准差乘以ß值，因此，β 代表了 股票相对于市场的系统风险，非系统性风险等 于非系统性收益的标准差σ ε 。如果β >1，表 明了此股票的风险大于市场的风险，反之，则 表明了股票的风险小于市场的风险；如果截距 aiI为正，则证券的表现要优于市场，反之，则 劣于市场。
• 两边求期望得 E(Ri ) i i E(G)
• 假定上例中，α i =4%，β i =2，则 Ri 4% 2G i
这一关系也可用下面的图形表示
ri
24
·
20
·
16
·
12
·
8
·
4
0
2
4
6
8 GDP
为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用 一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合 图中的点。那么，图中这条直线的回归方程 则为Ri=4%+2GDP
多因素模型分析.完美版PPT
三、套利定价模型（APT）
资本资产定价模型无法用值完全解释不同资产之 间收益率的差异，而且它的导出建立在很多不现 实的假设基础上，这就为其它资产定价模型打开 了大门，这些模型中最具竞争力的是套利定价模 型（APT）（arbitrage pricing theory)。
套利定价模型背后的逻辑基础与资本资产定价模 型类似，都是投资者只有在承担了不可分散的风 险时才能获得补偿。
然而，1977年，Roll在一篇有创见性的模型检验 评论中指出：既然市场投资组合永远不可能观察 到，那么资本资产定价模型就永远不会得到检验， 而所有对该模型的检验都是对该模型及模型中市 场投资组合的联合检验。
近年来，Fama和French（1992）又检验了1963 年到1990年间值与期望收益率的关系，与他在 1974年得到的结论正好相反，发现这两者竟然毫 无关系。
无论是股票、债券还是房地产，既然它们在争夺既定数量的投资资金，那么一个好的风险收益模型所提供的风险度量方法就应当可以
他们将这一结果归因于所选取的标准普尔500股 应用到各种投资标的之上，而不论该投资标的是金融资产还是实物资产。
CAPM模型的基本假设：
票指数中包含了大量低值的股票，而高值的股 模型好坏的最终检验标准是看它是否行之有效，也就是说它所度量出的风险与收益在长时间内对于不同投资项目是否为正相关。
二、CAPM的实证检验
资本资产定价模型是否行之有效，值是否是风险 的最好近似，它是否与期望收益正相关，对于这 些问题的回答一直是争论的焦点。
根据CAPM理论，任何证券的值与其期望收益率 E（r）存在线性关系，而描述这一关系的直线称 为证券市场线。
由于直接检验市场组合的有效性十分困难，所以 传统的检验者都把注意力集中到对值与期望收益 率E（r）线性关系的检验上。
投资规划-因素模型
单因素模型的一般形式
ri E(ri ) i F ei
• 表示不同公司对未预期到的宏观经济事件的敏感度 不同。
ri i i (rm rf ) ei
Ri i i Rm ei
SIM
单因素模型的假设条件
① 随机误差项的期望值为零；
E(ei ) 0
② 随机误差项与共同因素F不相关；
cov(ei , F ) 0
5. 依据因素的数量，可分为单因素模型和多因素模型
1963年，夏普提出单指数模型，旨在简化资产组合理论 的复杂计算问题。
单因素模型的前提假设
1. 证券的风险分为系统性风险和非系统性风险，因素 对非系统性风险不产生影响；
2. 一个证券的非系统性风险对其他证券的非系统性风
险不产生影响，两种证券的回报率仅仅通过因素的
（用最小二乘法OLS对观测数据进行拟合得到）
年份 1 2 3 4 5 6
IGDPt（%） 5.7 6.4 8.9 8.0 5.1 2.9
股票A收益率（%） 14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
rt
r6 13.0%
案例1：样本期间的散点图
e6 3.2%
4%
IGDP6 2.9%
Chapter7 因素模型
学习目标 1. 了解因素模型的建立、特征 2. 了解因素模型的贡献 3. 掌握在因素模型下单个证券及证券组
合的预期收益率和风险
主要内容
单因素模型 多因素模型 因素模型的估计 因素模型与CAPM
引言
• 法玛在市场有效性的理论表述和实证研究上都有 重大贡献。
• 法玛弗兰齐 (K. French)等人对 CAPM 的不足进 行批判--又一影响重大的贡献。
因素模型讲课
i i RM
2 ( Ri )
2 (i
i RM
ei )
2 (i ) 2 (i RM ) 2 (ei )
2Cov(i , i RM ) 2Cov(i , ei ) 2Cov(i RM , ei )
2 (i RM ) 2 (ei )
i2
2 M
2 (ei )
系统风险 非系统风险
ri i i rM ei
上式就是确定证券收益率的单指数模型，由夏普 于1963年提出，又称为夏普模型。这一模型大 大简化了马克维滋证券选择模型的运算，在现实 中有广泛的运用。
一、单因素模型
单指数模型——另一种表示法 由于股票市场收益率水平在超过或低于无风险利率时， 其意义代表了宏观经济状态。 由于在不同时期内无风险利率有时不一样，因此单纯 用市场证券组合收益率来反映宏观因素的影响就不十 分准确。 所以我们常把指数模型写成超额收益的形式：
价上升３％，即 A 3% ；股票持有期初，期
望收益率为５％，则股票Ａ的收益率为：
rA aA AF A 5% 1.18% 3% 16.8%
6
一、单因素模型
（三）单指数模型 由于单因素模型没有提出具体测度某种是否影响证 券收益的方法，其用途有限。 一般认为证券指数收益率是宏观因素的有效代表， 从而有：
2Cov( p , ep ) 2Cov( p RM , ep )
n
2 ( p RM ) 2 (ep ) 2Cov( p RM , xiei ) i 1
n
p2
2 M
2 (ep ) 2 p
xiCov(RM , ei )
i 1
p2
2 M
2 (ep )
单指数模型中证券组合的风险
单指数模型的意义
第五章 单因素模型与多因素模型
E ( Ri ) = α i + β i E ( rM )
E ( Ri ) = (1 − β i )rf + E (rM ) β i
根据资本资产定价模型，如果均衡存在，则
这意味着，单因素模型和资本资产定价模型的 参数之间必然存在下列关系：
如果：α i = (1 − β i )rf 即对证券的阿尔法的估计值刚好是证 券均衡定价时的截矩， 则 β i = β i 即在由CAPM决定的收益 率中的测度证券的市场风险大小的指 标与在因素模型决定的收益率中的因 素敏感性大小的值相同，意义相同。
因素模型中的因素常以指数形式出现（如GNP指 数、股价指数、物价指数等）,所以又称为指数 模型。 单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题，一是 提供一种简化地应用CAPM的方式；二是细分影响 总体市场环境变化的宏观因素，如国民收入、通 胀率、利率、能源价格等具体带来风险的因素因 素模型
一、单指数模型的估计
经济状况影响着大部分企业，因而对经济前景的预期的变 化被认为对绝大部分证券的收益率产生深刻影响。然而经 济并不是一个简单、统一的实体，因而我们需要确认一些 具有广泛作用的共同影响力，比如：1.国内生产总值；2. 利率水平；3.通货膨胀率；4.石油价格水平。 多因素模型对现实的近似程度更高。这一简化形式使得证 券组合理论广泛应用于实际成为可能，尤其是20世纪70年 代以来计算机的发展和普及以及软件的成套化和市场化， 极大地促进了现代证券组合理论在实践中的应用。
ri = α Ii + β Ii rI + ε iI
式中：r i代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数 ri代表相同时期市场指数I的收益率 εiI是随机误差项
例子：考虑股票A，有αIi =2%，ß 票A的市场模型为：
6第五章 因素模型
cov(ei , f1) = 0,cov(ei , f2 ) = 0
28
在两因素模型中， 在两因素模型中 ， 对于证券 i ， 其 回报率的均值
ri = ai + bi1 f1 + bi2 f2
其回报率的方差
证券i对因素2的敏感度 对因素2
16
其回报率的均值（期望值） 对于证券i，其回报率的均值（期望值）为
ri = ai + bi f
其回报率的方差
因素风险
（5.3） 5.3）
非因素风险
2 2 f 2 ei
σ = bi σ +σ
2 i
而言， 对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
σij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi f + ei , aj + bj f + ej )
Cov ( Ri , RM )
24
CAPM中 与市场组合M的关系为： CAPM中，资产i 与市场组合M的关系为：
Ri − rf = ( Rm − rf ) β i
单指数模型为： 单指数模型为：
Ri − r f = α i + ( Rm − r f ) β i
其中： 超过CAPM CAPM预测的期望 其中：αi是资产i超过CAPM预测的期望 收益部分。 收益部分。 为零。 CAPM理论认为， CAPM理论认为，均衡状态下αi为零。 理论认为
第五章 因素模型
在之前的理论应用中， 在之前的理论应用中，为了得到投 资者的最优投资组合，要求知道： 资者的最优投资组合，要求知道：
–预期收益率率均值向量 预期收益率率均值向量 –预期收益率方差-协方差矩阵 预期收益率方差预期收益率方差 –无风险利率 无风险利率
05单指数与多因素模型
塔值了：
未来的＝a＋b(现在的β) 然而，没有理由把我们自己限定在这样简单的预测法则下。为什
么不在预测贝塔时也考虑其他变量呢？例如，如果我们相信，公 司的大小和负债率是贝塔的两个决定因素，那么我们可以把等式 扩展为：
现在的＝a＋b1(过去的β)＋b2(公司大小)＋b3(负债率)
这种方法是由罗森堡（ R o s e n b e rg）与盖伊（G u y）提出来的，
指数模型中股票风险的测度
每种证券有两种风险来源：市场的或系统
的风险，它们的区别源于它们对宏观经济 因素的敏感度，这个差异反映在RM上，以 及对公司特有风险的敏感度，这个差异反 映在e上。如果我们记市场超额收益RM的方 差为σM2，则我们可以把每个股票收益率的 方差拆分成两部分：
很容易看出，简化后的指数模型为什么这么有用。对于
指数模型与单因素模型的关系 ������
指数模型可以看作单因素模型的特例， 是将单因素模型中的宏观因素具体为具有 代表性的市场指数。它意味着，证券收益 的不确定性来自微观风险和宏观风险，而 其中，宏观风险具体是证券市场总体的风 险，即系统性风险。
根据指数模型,我们可以把实际的或已实现
指数模型的估计
指数模型与分散化
随着越来越多的证券组成资产组合，由于
分散了公司特有风险，资产组合的方差下 降。然而，分散化的能力是有限的。甚至 对于一个相当大的n，仍然存在着部分风险， 因为所有资产实际上仍暴露于一般或市场 的因素之上。因此，我们说系统风险是不 可分散的。
资本资产定价模型与指数模型
巨大的证券市场，马克维茨程序要求的估计数量在利用 指数模型时仅仅需要其中的很小一部分。
另一优点不那么明显但同样重要。简化的指数模型对于
资本资产定价模型与单因素模型
SML ： ri = rf + β[ E(rm) – rf ]
βi = [ Cov (ri,rm) ] / σm2
2024/10/12
投资分析 对外经济贸易大学
8
W1 W2 … WGE
… Wn
2024/10/12
协方差矩阵
W1
W2
…
Cov(r1,r1) Cov(r1,r2) …
2 m
E(Ri ) R f [E(Rm ) R f ]
即证券市场线
2024/10/12
投资分析 对外经济贸易大学
12
证券市场直线
E(r)
E(r)
CML
E(rM)
M
E(rM)
rf
2024/10/12
rf (r)
投资分析 对外经济贸易大学
SML
E(rM-rf)
M
=1
13
证券市场线的经济意义
在均衡状态，单个资产的边际风险带来的边际收 益等于风险的市场价格
有29.58％与市场组合的变化有关
2024/10/12
投资分析 对外经济贸易大学
31
波音公司的贝塔值
贝塔值
月收益率 0.94 周收益率 1.05 日收益率 0.37
标准差
0.21 0.27 0.26
2024/10/12
投资分析 对外经济贸易大学
R2
0.26 0.21 0.03
32
阿尔法与贝塔战略---股票选择与市场时 机选择
E(rM) – rf M
2024/10/12
每单位风险溢价， 是市场组合的夏普比率，也是 风险的市场价格
投资分析 对外经济贸易大学
什么是单因素模型
授课教师：张宗新 复旦大学金融研究院
第五章
因素模型与套利定价理论（APT）
第一节 指数模型
一、因素模型的产生
1、资本资产定价模型（CAPM）在实际应用的两大 问题： （1）要计算风险市场组合，计算量非常巨大。 （ 2 ）证券市场线实际上只考虑了风险市场组合的 预期回报率对证券或证券组合的期望收益率的影 响，即把市场风险（系统风险）全部集中地表现 在一个因素中，并没有将影响证券收益的宏观经 济变量（如国民收入、利率、通货膨胀率、能源 价格等）考虑在内。
（3）因素模型的非均衡特征
ri ai bi F
非均衡特征的体现：
ai
和 的区别； ri rf iM (r rf ) M
rf
四、多因素模型
多因素模型形成：将影响证券收益的系统性因素 扩展到多个。
1、双因素模型的一般形式：
实例：（具体化的）双因素模型定价 R a b F b
2、多因素模型
同样，考虑到多种因素对证券回报率的影响， 可以进一步将因素模型进行拓展，从而形成含 有种因素的多因素模型：
Rit ai bi1 F1t bi 2 F2t bik Fkt eit
五、指数模型估计与因子识别 (一)模型估计方法
1.时间序列法：因素的值是已知的，而敏感度需要 估计，且对每个证券的分析是多个时期逐个进行 的。 2.横截面法：敏感度是已知的，而因素的值需要估 计，且对每一组证券的分析是每一时期逐个进行。
Cov( i , j ) 0
Cov(F , i ) 0
2 Cov( F , F ) F
Cov( Ri , R j ) Cov(ai bi F i , a j b j F j ) Cov(bi F i , b j F j )
风险资产的定价模型
风险资产的定价模型简介风险资产的定价模型是金融学中的重要理论框架，用于解释和预测资产价格的变动。
这些模型通过对风险因素与预期收益之间的关系进行建模，为投资者提供了评估和决策的工具。
本文将介绍几种常见的风险资产的定价模型，并讨论它们的优缺点。
1. 单因素模型单因素模型是一种基本的风险资产定价模型，认为资产的收益率与单一的风险因素相关。
最著名的单因素模型是资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）。
CAPM假设资产的预期收益与市场的整体风险相关，市场风险可以用市场组合的收益率来衡量。
CAPM的公式如下：$$E(R_i) = R_f + \\beta_i \\cdot (E(R_m) -R_f)$$其中，E(R i)是资产i的预期收益率，R f是无风险收益率，E(R m)是市场组合的预期收益率，$\\beta_i$ 是资产i的贝塔系数，表示资产相对于市场的风险敏感性。
CAPM的优点在于简单易用，模型的参数可以通过历史数据进行估计。
然而，CAPM也存在一些问题，如对市场风险的衡量过于简化，忽视了其他风险因素对资产收益的影响。
2. 多因素模型为了解决CAPM的不足，学者们提出了多因素模型来更全面地考虑影响资产收益的各种因素。
多因素模型认为资产的收益率与多个风险因素相关。
最常见的多因素模型之一是三因素模型（Three-Factor Model）。
该模型将资产的收益率分解为市场风险、规模因素和价值因素三个部分。
三因素模型的公式如下：$$R_i = \\alpha_i + \\beta_{iM} \\cdot R_m + \\beta_{iSMB} \\cdot SMB + \\beta_{iHML}\\cdot HML + \\varepsilon_i$$其中，R i是资产i的收益率，$\\alpha_i$ 是超额收益率，R m是市场组合的收益率，SMB是小市值股票相对于大市值股票的收益率差异，HML 是高价值股票相对于低价值股票的收益率差异，$\\varepsilon_i$ 是误差项。
投资金融之单一指数和多因素模型PPT课件( 61页)
Let: Ri = (ri - rf) Rm = (rm - rf)
Risk premium format
Ri = ai + ßi(Rm) + ei
证券特征线 Security Characteristic Line
Excess Returns (i)
Ri =αi + ßiRm
SCL
. . .... . .. .. . .. . . . ..
(rm - rf) = 0
ßi(rm - rf) = the component of return due to
movements in the market index
ei = firm specific component, not due to market
movements
Risk Premium Format
(ri - rf) = a i + ßi(rm - rf) + ei
Risk
Prem（股票持有期超额收益）oMr Ianrdkeext
Risk Risk
Prem Prem
ia = the stock’s expected return if the
market’s excess return is zero
ßi = index of a securities’ particular return to the factor
F= some macro factor; in this case F is unanticipated movement; F is commonly related to security returns
2) 非预期或风险收益（the unexpected or risky return）: the portion that comes from information that will be revealed .
因素模型
25
2019年6月1日
石河子大学商学院孙家瑜
练习
因素模型
假定股票A和股票B的模型有以下来估计
Ra = 1% + 0.9 Rm+ e a Rb = -2% + 1.1 Rm+ e b M =20% ea =30% eb =10% 求每支股票的标准差和它们之间的协方差
26
2019年6月1日
我们把股票的风险分为系统性风险和非系统风险 在指数模型里，表达如下：
2i = 2i2 M + 2e i
两种股票的协方差是
Cov(Ri,Rj)=Cov(i + i Rm+ e i ， j + j Rm+ e j)
Cov(Ri,Rj)=Cov(i Rm， j Rm)= i j Rm2
15
2019年6月1日
石河子大学商学院孙家瑜
因素模型
单指数模型认为，有三部分内容影响股票期 望收益，第一个是i ，其值通常很小，亦不 受外部因素影响，在既定的时期可以看成一 个常量；e i是公司特有因素对股票的影响， 由于其不确定性，其期望收益为零；真正在
估计股票期望收益的因素时要考虑的只有i Rm，在运用时还要考虑无风险因素。
19
2019年6月1日
石河子大学商学院孙家瑜
因素模型
RP = wiRi = (1/n) Ri = (1/n) i + [(1/n) i ] RM+ (1/n) ei
2p = 2p2 M + 2e p
随着越来越多的股票被加入到组合中，公司的特 有风险将倾向于被消除，非市场风险越来越小
11
2019年6月1日
石河子大学商学院孙家瑜
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双因素模型在t时期的方程式为：R it = α i + β i1 F1t + β i 2 F2 t + ε it F1t和
F2t是两个对证券回报率具有普遍影响的因素，βi1和βi2分别是证券i对两个因素的敏感性。
同单因素模型一样，εit是随机误差项，αi是当两个因素都取值为0是证券i的预期回报率。
在双因素模型中，我们需要为每种证券估计4个参数：αi, βi1, βi2以及随机误差的标准差εit。
对每个因素，需要估计两个参数：因素的预期值以及因素的方差和。
此外还要估计两个因素的协方差 cov(F1, F2。
预期收益率利用上述估计值，证券i的预期收益率可以由下式计算得出：
E(Ri =αi +βi1 E(F1 +βi2 E(F2 方差根据双因素模型，任意证券i的方差为： 2 2 2 2 2 2 σ i = β i1σ F 1 + β i 2σ F 2 + 2 β i1 β i 2 Cov ( F1 , F2 + σ ε i 协方差根据双因素模型，同样可以计算出任意两种证券i和j的协方差为：2 2 σ ij =βi1β j1σ F 1 + βi 2 β j 2σ F 2 + ( β i1β j1 + β i 2 β j1 C ov( F1 , F2
多因素模型的一般式是R it = α i + β i1 F1t + β i 2 F2 t + ..... + ε it 在多因素模型中，一个组合对某一因素的敏感性是对所含证券的敏感性的加权平均，权数为投资于各证券的比例。
r p = ∑ wi ri i =1 N rp = a p + β p1F1 + β p 2 F2 + ε p a p = ∑ wi ai i =1 N β p1 = ∑ wi β i1 i =1 N N β p 2 = ∑ wi β i 2 i =1 ε p = ∑ wiε i i =1 N。