高考线性回归方程总结

第二讲 线性回归方程

一、相关关系：

1、⎩⎨

⎧<=1

||1||r r 不确定关系：相关关系

确定关系：函数关系

2、相关系数：∑∑∑===-⋅

---=

n

i i

n

i i

n

i i

i

y y x x y y x x r 1

2

1

2

1

)

()

()

)((，其中：

（1）⎩⎨

⎧<>负相关正相关0

0r r ；（2）

相关性很弱；相关性很强；3

.0||75.0||<>r r

例题1：下列两个变量具有相关关系的是（ ）

A.正方形的体积与棱长；

B.匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间；

C.人的身高和体重；

D.人的身高与视力。

例题2：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等n n n x x x n y x y x y x ≥的散点图中，若所有样本点),2,1)(,(n i y x i i =都在直线12

1

+-=x y 上，则样本相关系数为（ ）

2

1.2

1.

1.1.-

-D C B A 例题3：r 是相关系数，则下列命题正确的是：

（1）]75.0,1[--∈r 时，两个变量负相关很强；（2）]1,75.0[∈r 时，两个变量正相关很强；

（3）)75.0,3.0[]3.0,75.0(或--∈r 时，两个变量相关性一般； （4）（4）1.0=r 时，两个变量相关性很弱。 3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。

例题4：在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是（ ） A.预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上； B.解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上； C.可以选择两个变量中的任意一个变量在x 轴上； D.可以选择两个变量中的任意一个变量在y 轴上； 例题5：散点图在回归分析过程中的作用是（ ）

A.查找个体个数

B.比较个体数据的大小

C.研究个体分类

D.粗略判断变量是否线性相关

二、线性回归方程：

1、回归方程：a x b y

ˆˆˆ+= 其中2

1

2

1

1

21

)()

)((ˆx

n x y

x n y

x x x y y

x x b

n i i n

i i

i n i i n

i i

i

--=

---=∑∑∑∑====，x b y a

ˆˆ-=（代入样本点的中心） 例题1：设),(),,(),,(2211n n y x y x y x 是变量n y x 的和个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（过一、二、四象限），以下结论正确的是（ ） A.直线l 过点),(y x B.当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 C.的和y x 相关系数在0到1之间 D.的和y x 相关系数为直线l 的斜率

例题2：工人月工资y （元）依劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为

x y

9060ˆ+=，下列判断正确的是（ ） A.劳动生产率为1000元时，工资为150元； B.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高150元； C.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高90元；

D.劳动生产率为1000元时，工资为90元；

例题3：设某大学的女生体重)(kg y 与身高)(cm x 具有线性相关关系，根据一组样本数

据)2,1)(,(n i y x i i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y

，则不正确的是（ ）

A.y 与x 具有正的线性相关关系；

B.回归直线过样本点的中心),(y x

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg

例题4：为了了解儿子的身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

则y 对x 的线性回归方程为（ ）A.1-=x y B.1+=x y C.x y 2

1

88+

= D.176=y

2、残差：

（1）残差图：横坐标为样本编号，纵坐标为每个编号样本对应的残差。 （2）残差图呈带状分布在横轴附近，越窄模型拟合精度越高。 （3）残差平方和

∑=-n

i i i

y

y

1

2)ˆ(越小，模型拟合精度越高。 3、相关指数：∑∑==---

=n i i

n

i i i

y y

y

y

R 1

2

122)()ˆ(1

（1）其中：

∑=-n

i i i

y

y

1

2

)ˆ(为残差平方和；∑=-n

i i y y 1

2)(为总偏差平方和。

（2）)1,0(2∈R ，越大模型拟合精度越高。 例题5：下列说法正确的是（ ）

（1）残差平方和越小，相关指数2R 越小，模型拟合效果越差； （2）残差平方和越大，相关指数2R 越大，模型拟合效果越好； （3）残差平方和越小，相关指数2R 越大，模型拟合效果越好； （4）残差平方和越大，相关指数2R 越小，模型拟合效果越差； A.（1）（2） B.（3）（4） C.（1）（4） D.（2）（3） 例题6：关于回归分析，下列说法错误的是（ ）

A.在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，则因变量不能由自变量唯一确定；

B.线性相关系数r 可以是正的，也可以是负的

C.样本点的残差可以是正的，也可以是负的

D.相关指数2R 可以是正的，也可以是负的 例题7：下列命题正确的是（ ）

（1）线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱； （2）残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；

（3）用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好； （4）随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，但它是一个不可观测的量；

（5）i e

ˆ表示相应于点),(i i y x 的残差，且0ˆ1

=∑=n

i i

e

。

A.（1）（3）（5）

B.（2）（4）（5）

C.（1）（2）（4）

D.（2）（3） 例题8：已知x 与y 之间的几组数据如下表：