一种有限元网格节点编号的优化算法
考虑结构优先级的船舶有限元网格优化算法
考虑结构优先级的船舶有限元网格优化算法陈有芳; 王丽荣; 张少雄; 章志兵【期刊名称】《《船海工程》》【年(卷),期】2019(048)006【总页数】4页(P28-30,35)【关键词】船舶结构有限元; CAD/CAE一体化; 网格优化; 消除短边【作者】陈有芳; 王丽荣; 张少雄; 章志兵【作者单位】中国船级社技术研究开发中心北京 100007; 武汉理工大学交通学院武汉 430063; 华中科技大学材料科学与工程学院武汉 430074【正文语种】中文【中图分类】U661.43船舶结构规范对于船舶结构有限元网格有特殊的规则要求。
在船舶结构CAD/CAE 一体化实现中，由于船舶结构布置的复杂性，采用反映真实船舶结构布置的三维几何模型进行有限元网格划分时，通常意义上的基于CAD几何的网格自动划分结果难以达到预期的效果，难以生成完全满足船舶规范要求的有限元模型，需要大量的人工干预[1-4]。
在基于CAD几何进行船体网格自动划分时，通常会出现部分壳单元存在过短单元边的情况，导致网格质量差，不满足规范对于网格形状的要求，影响计算精度。
如图1a)为CAD几何模型，图1b)为网格自动划分的结果，出现了较短的单元边。
NX Simcenter 3D有限元建模软件提供了塌陷边、消除重复节点等功能，可以实现一定公差范围内的节点合并，但是通用软件合并规则并不符合船舶结构有限元网格准则。
因此，考虑定制开发以满足船舶结构有限元网格要求的自动合并节点功能。
图1 基于CAD几何的船体结构有限元网格划分(定制开发前)1 船舶结构有限元网格特殊要求船舶结构有限元网格壳单元的长宽比应不超过3。
尽量少使用三角形壳单元。
对于可能出现高应力或高应力梯度的区域，壳单元的长宽比应尽量接近于1且避免使用三角形单元。
三角形单元多用在开孔周围以及凳和舱壁的连接处。
划分网格时一般要求网格质量能达到计算指标要求(如长宽比、锥度比、内角、翘曲量等)。
机械设计的有限元分析及结构优化
机械设计的有限元分析及结构优化摘要：有限元分析是机械设计中重要的工具，能够模拟材料和结构，通过将复杂的实际结构，离散成有限数量的元素，并利用数值计算方法，评估结构的各方面性能。
但是，进行有限元分析，并不能保证最优的设计，因此需要进行结构优化。
通过调整设计参数，寻找最佳的几何形状或材料分布，以满足给定的性能指标和约束条件。
基于此，探讨有限元分析和结构优化的相关内容，提出了以下观点，仅供参考。
关键词：机械设计；有限元分析；结构优化引言：有限元分析是一种重要的数值仿真方法，通过将复杂结构，离散为有限数量的小单元，可以对其进行力学行为和性能的模拟与评估。
结构优化则旨在通过调整材料、形状和布局等参数，以最大限度地提高结构的性能和效率。
有限元分析技术，在机械设计中的应用，涵盖材料力学、热力学、流体力学等方面的问题，因此需要进行深入的研究，以促进机械设计的发展和创新。
一、项目概况某公司是一家制造工程设备的企业，正在开发一种新型的机械设计。
为了确保该机械设计在使用过程中的安全性、可靠性和效率，最后决定利用有限元分析和结构优化，来进行设计验证和改进。
通过有限元分析软件对新型的机械设计，进行模拟和分析，以评估其在不同情况下的变化数据。
这可以帮助确定机械设计构中的薄弱点和缺陷，并指导后续的优化工作。
二、机械结构静力学分析（一）有限元方法运用有限元方法通过将结构离散化为许多小的单元，对每个单元进行分析，并将其连接起来形成整体结构，来研究机械结构的力学行为。
有限元方法的关键步骤包括以下几个方面：第一，将机械结构离散化为许多小的单元，以便更好地进行分析。
这些单元可以是三角形、四边形或其他形状的网格单元。
第二，在进行离散化后，需要选择适当的位移插值函数，来描述每个单元内部的位移变化。
常见的插值函数有线性插值函数和二次插值函数等。
第三，利用所选的位移插值函数，可以通过解决每个单元内部的应力方程，来计算单元的力学特性，如应力、应变和变形等。
有限元网格结点编号_欧阳兴
收稿日期:2000-10-22基金项目:国家高技术863计划资助项目(863-511-820-020) 作者简介:欧阳兴(1968-),男,江西都昌人,博士生,100083,北京.有限元网格结点编号欧阳兴 陈中奎 施法中(北京航空航天大学机械工程及自动化学院)摘 要:在有限元分析中,求解高阶线性代数方程组时整体刚度矩阵所需存储与由网格结点编号决定的顺序有关.在基于等带宽存储的求解法与基于变带宽存储的求解法的基础上推导出它们的关系.据此,提出了有限元网格结点编号的前沿法与矩形法,并给出了这两种编号法的内存消耗与结点数量的关系.理论分析和实例表明这两种编号法能有效地减少计算机内存消耗.关 键 词:有限法;刚度矩阵;线性方程;结点编号;排序中图分类号:TB 115文献标识码:A 文章编号:1001-5965(2002)03-0339-041 问题的提出在有限元分析中,由于求解如下形式的高阶线性代数方程组,需要耗费计算机大量的内存和计算时间:K x =f(1)其中 K 是整体刚度矩阵;x 是未知向量;f 是已知向量.K 具有大型、对称、带状、稀疏、正定和主元占优等特点.有限元分析的求解效率很大程度上取决于方程组(1)的求解方法,包括K 的存储方法.因为(1)的求解时间在有限元分析的求解时间中占了很大的比重.当单元增多、结点增多、网格加密和未知数大量增加时,尤为如此.为了提高有限元分析效率,必须结合K 的特点,研究出方程组(1)的高效求解方法.方程组(1)的求解方法主要有两大类:直接求解法和迭代求解法.直接求解法以高斯消元法为基础,求解效率高.迭代求解法有赛德尔迭代法和超松弛迭代法.高斯消元法是目前求解线性方程组最普遍的方法,有一般高斯消元法和基于带状存储的高斯消元法.当K 的阶数非常高时,为了减小内存消耗,考虑到K 的对称性和带状性,带状存储法只存储以主对角线为中心的斜带形区域的半边.带状存储法有等带宽存储法和变带宽存储法.基于变带宽存储的求解法与基于等带宽存储的求解法相比算法更复杂,但内存消耗更少,因而有限元分析中越来越多地采用基于变带宽存储的求解法,如活动列求解器(active column solv -ers)[1]和前沿求解法(frontal solution methods)[2].带状存储法中,(1)所需要的存储空间不仅与(1)中x 的个数有关,而且与x 的顺序有关.而(1)中x 的分量次序与有限元网格结点的编号有关,不同的有限元网格结点编号很可能使(1)所需要的存储空间差别很大.文献[3],[4]提出了有限元网格结点的编号算法.这些算法是通过减小K 的带宽来减少方程组(1)所需要的存储空间,因而只适合于等带宽存储法.本文提出了一种新的有限元网格结点编号算法,这种算法仅与网格模型中结点空间位置及结点的连接关系有关,与网格模型中结点初始编号无关,既适合于等带宽存储法,又适合于变带宽存储法,并且使(1)需要的内存空间非常少.2 结点编号问题的数学描述设一个有限元网格模型总共n 个结点和e 个单元,结点编号和单元编号都从0开始,对于i =0,1,,,n -1,具有编号为i 的结点记为v i ,对于i =0,1,,,e -1,具有编号为i 的单元记为u i .设A =(a ij )n @n 为表示有限元网格模型的结点相连矩阵,a ij 它的第i 行第j 列元素,因而:1)a ij =1,如果i =j 或者v i ,v j 在同一单元内;2002年6月第28卷第3期北京航空航天大学学报Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics June 2002Vol.28 No 132)a ij=0,其它.A是n阶对称方阵.如果每个结点都仅有一个自由度,则不仅K与A阶数相同(都是n),而且它们的零元素与非零元素对应位置完全相同,即它们具有相同的稀疏结构.设每个结点的自由度为f,在A=(a ij)n@n中,将每个1换成f@f个1组成的方阵,将每个0换成f@f个0组成的方阵,这样得到f@n阶方阵记B,则B与K具有相同的稀疏结构,因此有限元网格结点编号算法只需考虑A.以下元素都是针对A,行标和列标都从0开始.对于i=0,1,,,n-1,记第i行第1个元素1的列标为s i,显然s i=min{j|v j与v i在同一单元内,j=0,1,,,n-1}(2)又记l i=i-s i+1(3) s i称为结点v i的最小相关结点号,l i称为第i行半行带宽或称为结点v i的半行带宽.对于j=0,1,,,n-1,记第j列第1个元素1的行标为t j,称c j=j-t j+1为第j列半列带宽.A的半带宽B可以从以下两式得到:B=max{l i|i=0,1,,,n-1}(4)B=max{c j|j=0,1,,,n-1}(5)对应于等带宽存储法,A的半带形区域(包括主对角线)元素个数为A0=nB-B(B-1)P2(6)此时,K的半带形区域(包括主对角线)元素个数为K0=[nB-B(B-1)P2]f2(7)对应于变带宽存储法,A的半带形区域(包括主对角线)元素个数为A1=E n-1i=0l i=E n-1i=0(i-s i+1)(8)此时,K的半带形区域(包括主对角线)元素个数为K1=f2E n-1i=0(i-s i+1)(9)显然A0[A1,K0[K1,因此,变带宽存储法比等带宽存储法更节省内存.由n个结点组成的有限元网格有n!个不同的结点编号,对于这n!个不同的结点编号中任意一个结点编号(记为h,h=0,1,,,n!-1),由有限元网格模型中单元与结点的相互关系,可以立即计算其对应的B,A0,A1,K0和K1.可将B, A0,A1,K0和K1看成以h为自变量的函数,记为B(h),A0(h),A1(h),K0(h)和K1(h).因此,对应于等带宽存储法和变带宽存储法,有限元网格模型的结点最佳编号是分别求解g,使B(g)=min{B(h),h=0,1,,,n!-1}(10)和A1(g)=min{A1(h),h=0,1,,,n!-1}(11)虽然n!是有限数,但对于一般的有限元网格模型来说,n!非常大,所以不可能通过直接求出n!个B(h)及A1(h),再比较n!个B(h)或A1(h)的大小,来求出h.本文根据结点与单元的相互关系导出以下算法.3算法原理算法用到的数据结构包括:整个网格模型的数据包括结点数组和单元数组,每个结点的数据包括结点坐标、结点编号和结点所属的单元数组,每个单元的数据包括单元编号和依序构成单元的结点数组.由(2)、(3)、(4)、(6)、(8)、(10)、(11)等式可归纳出两种结点编号方法.311前沿法先寻找一个边角结点.因边角结点所在的单元数少,可以通过比较结点所属的单元数组的大小,使结点所属的单元数组最小的结点编号为0,依次给0,1,,,n-2号结点所在单元的未编号结点进行编号.图1采用4@5个四边形单元组成的网格模型的结点编号作为前沿法结点编号的示意.24232221202915141312192887611182732510172601491625图1前沿法结点编号312矩形法对矩形区域来说,采用前沿法的图1不是最佳结点编号,图2才是最佳结点编号.一般地,若整个网格模型是一矩形区域,由(a-1)(b-1)个340北京航空航天大学学报2002年四边形单元组成,共有ab个结点,排列成a行b 列.若按图2所示进行结点编号,可得如下结论.49141924293813182328271217222716111621260510152025图2矩形区域的最佳结点编号由(4)式得:B=a+2(12)由(6)式得:A0=(a+2)ab-(a+2)(a+1)P2(13)由(8)式得:A1=1+2+,+2+(a+1)+(a+2)+,+ (a+2)+,+(a+1)+(a+2)+,+(a+2)=ba2+2ba-a2-b(14)当b=a时,由(14)式得:A1=a3+a2-a(15)在(14)式中,交换a与b可得:A1=ab2+2ab-b2-a(16)因为当a<b时,ba2+2ba-a2-b<ab2+ 2ab-b2-a.因此,图3中先按行对结点进行编号比图2中先按列对结点进行编号得到的A1和B要大.在图2中,将从左到右作为x轴正向,从下到上作为y轴正向,定义关系/<0为p(x0,y0)< q(x1,y1),当且仅当x0<x1或x0=x1且y0<y1.则图2所示的结点编号可看作结点从小到大的排序.对于一般的网格模型,虽然单元和结点不如图1~图3所示的矩形区域的单元和结点那样排列得非常规则,但由于同一单元的所有结点的空间位置接近,因而可以采用图2所示的方法进行结点编号.若一般的网格模型中结点、单元的连接关系不与图2所示的矩形区域的单元和结点连接关系相似,则需计算多个排序方法所得编号对应的B或A1,再比较求出最好的结点编号.以下叙述求一般的网格模型的最佳的结点编号方法.24252627282918192021222312131415161767891011012345图3矩形区域的行优先编号如果待编号网格模型是平面网格模型,即所有结点在同一平面内,则可认为网格模型中所有结点有一个坐标分量是同一常数.否则,经平移、旋转坐标系变换可将所有结点的一个坐标分量变换成同一常数.不妨设所有结点z坐标相同,因而z坐标与结点编号无关,下面只有两个坐标的点可认为省写了z坐标.分别定义关系/<0为1)p(x0,y0)<q(x1,y1)当且仅当x0<x1或x0=x1且y0<y1.2)p(x0,y0)<q(x1,y1)当且仅当x0<x1或x0=x1且y0>y1.3)p(x0,y0)<q(x1,y1)当且仅当y0<y1或y0=y1且x0<x1.4)p(x0,y0)<q(x1,y1)当且仅当y0<y1或y0=y1且x0>x1.按这4种结点/<0关系的定义,分别排序得到对应的4种结点编号及对应的B或A1,再比较求出最好的结点编号.如果待编号网格模型不是平面网格模型,则必须把结点按x,y,z3个坐标排序编号.和上述方法一样,因为x,y,z3个坐标分量的排列次序可以任意,而且每个坐标分量可以从大到小也可以从小到大.因而有48种3坐标字典排序方法来定义结点/<0关系.同样分别排序得到对应的48种结点编号及对应的B或A1,再比较求出最好的结点编号.313前沿与矩形结合法大部分情况下矩形法比前沿法更节省内存,只有在一些特殊情况下前沿法比矩形法更节省内存.无论如何,都可以将两种方法结合起来,即通过计算和比较两种方法对应的B或A1,求出最好的结点编号.4实例与总结本文处理的一个实例中,整个网格模型有6684个结点和7321个单元,其中三角形单元1452个,四边形单元5869个.采用变带宽存储法并且实数用双精度浮点数(double)存贮.每个结点自由度为5个.未经本文结点编号而采用初始结点编号需要5801511926MB内存;应用本文前沿法,结果只需要1271346289MB内存;应用本文矩形法,结果只需要861866638MB内存.341第3期欧阳兴等:有限元网格结点编号由(15)式可知,当网格模型基本呈正方形时应用矩形法,K所需要存贮元素个数为O(n3P2).同样可推出,当网格模型基本呈正方形时,应用本文前沿法,K所需要存贮元素个数为O(n3P2).由(14)式可知,当网格模型为长条矩形,K所需要存贮元素个数比网格模型基本呈正方形时还要少.应用矩形法,当网格模型形状非常复杂时与网格模型形状为正方形时基本接近.而大多数结点编号算法K所需要存贮元素个数为O(n2).因而本文算法明显优于这些算法.一般地,设每个实数需要r个字节内存(采用双精度浮点实数r=8,采用单精度浮点实数r= 4),每个结点的自由度为f,采用矩形法K所需要内存大约为r f2n3P2,采用前沿法K所需要内存大约为4P3r f2n3P2.参考文献[1]Bathe K J.Fi nite elenent procedures in engineeri ng analysis[M].Prentice-Hall,Inc,Enge wood Cli ffs,NJ,1982.441~449.[2]Irons B M.A frontal solution program for finite element analysis[J].Int J Numer M eth Engng,1986,23:239~256.[3]Cuthill E,M ckee J.Reducing the bandwidth of s parse symme tricma xtrices[A].Proc24th Nat Conf of the ACM[C].1969.157~ 172.[4]Gibbs N E,Poole W G,Stockmeyer P K.An al gori thm for reducethe bandwidth and profile of a sparse matrix[J].SIMA J Num Anal, 1976,13(2):236~250.Numbering of Fin ite Element Mesh NodesOUYANG Xing C HEN Zhong-kui SHI Fa-zhong(Beijing University of Aeronautics and As tronautics,School of Mechanical Engineering and Automati on) Abstract:In finite element analysis,the storage needed by a total stiffness matrix for solving a large-scale sys-tem of linear equations is related to the sequenace determined by numbering of mesh nodes.Based on the solutions for both constant and varible bandwidth storages,their relationship is derived.On the above basis,the frontal meth-od and rectangle method are proposed,the relationships between memory spending for both methods and a mount of nodes are given.Theoretical analyzing and practical examples have proved that the two methods can efficiently de-crease the memory spending of computer.Key words:finite element methods;stiffness matrix;linear equations;numbering of nodes;sorting 342北京航空航天大学学报2002年。
一种用于流固耦合分析的有限元网格简捷更新方法
一种用于流固耦合分析的有限元网格简捷更新方法苏波;钱若军;韩向科【摘要】针对流固耦合分析中的移动边界问题,在拟固体二步法的基础上,提出一种新的有限元网格更新方法:第一步(预测步),将流体网格作为指定位移边界条件下的拟固体,进行线弹性分析;第二步(校正步),根据第一步计算得到的应变场,采用主剪应变方法,赋予主剪应变较大的单元以较大的杨氏模量,对所构造的非均质固体进行运动分析,得到理想的更新网格.采用不同算法对不同运动类型(包括平动、转动、变形)和不同运动幅度下的二维、三维网格运动进行计算,结果表明:与一步法和ChiandUssi法相比,文中提出的方法具有较强的适用性,能显著地减小单元的畸变,使网格保持优良的计算性能,适用于大变形流固耦合问题中的网格更新计算.%Based on the pseudo-solid two-step (PSTS) model, a new mesh update method-PSS-PSTS method is proposed to solve moving boundary problems for fluid-structure interaction analysis. In the first step (predictor), a linear pseudo-solid model is first conducted to the fluid mesh subjected to prescribed displacement boundary. In the second step (corrector), based on the strain field computed in the first step, PSS (principal shear strain) method endows the element with greater Young modulus due to its larger principal shear strain, then the motion of the established non-homogeneous solid model is computed and taken as the desired fluid update mesh.Some examples of 2D/3D FEM mesh update under different motion types (translation, rotation and deformation) and different motion scale computed by PSS-PSTS method are studied. The results show that the PSS-PSTS method is highly effective in preventing extremely distortedelements and makes the mesh maintain high computation quality compared with the one-step method and the two-step methods proposed by Chiandussi. It can be used for mesh update computation for fluid-structure interaction problems with large deformation.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2011(045)003【总页数】9页(P16-24)【关键词】流固耦合;有限元;网格更新;拟固体【作者】苏波;钱若军;韩向科【作者单位】江苏大学理学院,212013,江苏镇江;同济大学土木工程学院,200092,上海;同济大学土木工程学院,200092,上海【正文语种】中文【中图分类】O242.2;TU311.3对于具有明显耦合界面的流固耦合问题，如土木工程领域中膜结构的风振破坏现象，根据运动学协调条件，当结构发生大位移变形时，必然会改变流场（风场）的边界，因此在进行耦合分析时，需要有效的算法来计算流体域的网格运动，使更新后的网格既能跟踪流固耦合边界，同时又能避免单元的畸变，以保持优良的计算性能.流体域网格更新主要有2种基本方法［1］.第一种是以获得网格节点运动速度为目标的节点速度更新方法：对于形状简单的流体域，可以采用代数方法，如拉格朗日—欧拉矩阵方法［2］；对于复杂的流体域，可利用势流原理直接获得网格节点的速度，如变形梯度法［3］.但是，上述方法的计算公式比较抽象，难以理解和应用.第二种是以更新网格位置为目标的节点位移更新方法，目前广泛应用于流固耦合问题的有限元数值解法中［4—7］.最通常的做法是将任意拉格朗日—欧拉（ALE）描述下的流体网格看成“拟固体”，将网格点的变形看作是拟固体产生弹性变形的结果.本文在文献的基础上，总结和归纳了已有的拟固体法，并由此提出了根据单元最大主剪应变修正单元杨氏模量的拟固体二步法，简称“PSS—PSTS法”，通过编制有限元程序对不同运动类型（包括平动、转动和变形）及不同运动幅度下的网格变形进行计算分析，研究了PSS—PSTS法作为网格更新算法应用于大变形流固耦合分析的有效性.1 衡量网格质量的指标网格移动的最终目的是获得满足指定结构位移的高质量的有限单元网格，因此为评价方法的优劣，应该给出衡量网格质量的指标.对于平面三角形单元，网格质量可以根据单元的内接圆和外接圆半径之比来衡量［8］式中：为单元的外接圆半径；为单元的内接圆半径.对于三维四面体单元，也可以用He来衡量，此时为四面体单元的外接球半径，为四面体单元的内接球半径.网格整体质量可以用所有单元的平均值来衡量式中：Havg为单元平均内外径比；Ne为网格的单元数.可以用所有单元中的最大值来衡量更新的网格是否有效限制了单元最大内外径比一种有效的网格移动方法应该不仅能维持网格的整体质量，还能限制或完全避免出现极大内外径比的单元，这可以通过Havg和Hmax的值来衡量.2 拟固体法如果把网格域简单作为各向同性的线弹固体来求解，则变形后的网格会产生较大的扭曲.为得到具有良好计算性能的有限元网格，实际计算时往往根据影响网格性态的主要因素（如单元杨氏模量、单元内外径比、单元到移动边界的距离等）对单元刚度矩阵进行直接或间接的修正.根据处理方法的不同，拟固体法可分为一步法和二步法两大类［6］.2.1 一步法一步法是指在计算网格运动时，根据网格的初始几何形状和运动边界条件，对单元的杨氏模量直接进行一次性修正.修正一般采用下式进行［9—10］其中的取值原则是提高较小单元的刚度，使较小单元产生较小的位移，较大单元产生较大的位移，以有助于得到较好的计算网格.杨氏模量还可以根据几何准则进行修正，如使离移动边界越近的单元的杨氏模量越大［7］.此外，为使变形后的单元具有良好的几何形态，可根据计算确定合适的泊松比［6］.2.2 二步法二步法的核心是根据预测—校正理论，采用以下2个步骤计算网格运动.（1）第1步为预测步，在给定边界位移的条件下，假定拟固体是均质弹性体模型，并对此拟弹性体进行线性结构分析，从而求得单元应变.第1步有限元格式为式中表示t＋Δt时刻第1步中的整体刚度矩阵，由单元刚度集成而得；t＋ΔtΔUg1表示t＋Δt时刻第1步ALE网格的增量位移.在具体计算单元刚度时，杨氏模量取常数.（2）第2步为校正步，假定拟固体为非均质固体模型，根据第1步计算得到的应变场，修正单元的杨氏模量.第2步的有限元格式为式中表示t＋Δt时刻第2步中的整体刚度矩阵，由单元刚度集成而得；t＋ΔtΔUg2表示t＋Δt时刻第2步的ALE网格的增量位移.在具体计算单元刚度时，单元杨氏模量根据第1步计算得到的应变场t＋ΔtΔUg1进行修正.2.3 二步法中单元杨氏模量的计算二步法的核心是：根据第1步计算得到的应变场，采用有效的方法对第2步中的单元刚度进行修正，从而构造出理想的非均质拟固体材料，使更新后的网格满足计算性能的要求.2.3.1 Chiandussi法 Chiandussi［7］根据一维杆件产生常应变的原理，提出3种修正杨氏模量的方法，即分别根据单元应变场、单元畸变能密度和单元主应变来修正单元杨氏模量.（1）根据单元应变场修正单元杨氏模量.当单元杨氏模量Ei采用式（7）时，结构将产生一个常应变场式中：为均质弹性体的杨氏模量.当不考虑泊松比，并将式（7）作平均化处理后，单元的杨氏模量可用以下2种简化形式表示（2）根据单元应变能密度修正单元杨氏模量.根据二步法第1步的计算结果，可以计算出单元应变能密度在二步法的第2步中修正单元杨式模量，使之与单元应变能成正比，或直接采用U值（3）根据单元畸变能密度修正单元杨氏模量.根据二步法第1步的计算结果，可以计算出单元畸变能密度2.3.2 PSS—PSTS法笔者提出根据单元最大主剪应变修正单元杨氏模量的拟固体二步法，简称PSS—PSTS法.根据弹性力学知识可知，剪切应变表示2个微分线段间夹角的变化，因此，单元最大主剪应变的大小能反映出单元的畸变程度.根据二步法第1步的应变计算结果，可以计算出每个单元的最大主剪应变，然后在第2步中根据单元的最大主剪应变修正单元杨氏模量，使主剪应变较大的单元具有较大的杨氏模量，即式中：γmax为单元的最大主剪应变.对于三维问题，γmax＝max（γ1，γ2，γ3），其中γ1、γ2、γ3为单元的3个主剪应变，计算公式如下对于二维问题，可以直接采用主剪应变修正单元杨氏模量在二步法第2步中修正单元杨式模量，使之与单元畸变能密度成正比，或直接采用Ud值3 网格更新算例分析3.1 二维算例分析图1为一用三角形单元剖分后的正方形有限元网格，区域大小为｜x｜≤20，｜y｜≤20.内部正方形区域大小为｜x｜≤5，｜y｜≤5.初始网格中单元最大内外径比Hmax＝2.399 6，平均内外径比Havg＝2.06.图1 二维正方形初始有限元网格指定内部正方形产生3种不同的运动类型——平动、转动和变形，如图2所示，每种运动类型对应由小到大的3种运动幅度，见表1.表1 二维网格的不同运动类型和运动幅度注：b为内部正方形的边长.运动类型运动幅度平动 d＝0.1bd＝0.2bd＝0.5b转动θ＝0.1π θ＝0.2π θ＝0.5π变形δ＝0.1b δ＝0.2b δ＝0.5b根据前述理论进行编程，采用4种不同的拟固体方法对表1所列的不同类型及幅度下的网格运动进行计算：方法1为一步法，杨氏模量取任意常数；方法2为根据单元应变场修正单元杨氏模量的Chiandussi法；方法3为根据单元畸变能密度修正单元杨氏模量的Chiandussi法；方法4为本文提出的PSS—PSTS法，按公式（16）修正杨氏模量.3.1.1 二维网格运动类型Ⅰ——平动当内部正方形分别沿x、y方向均产生0.5b 位移时，采用方法4计算得到更新后的有限元网格，见图3.图2 内部正方形的3种不同运动类型图3 平动后的二维有限元网格（方法4，d＝0.5b）采用不同方法计算得到更新后网格的单元最大内外径比Hmax和单元平均内外径比Havg，见表2.根据表2的计算结果，绘制出相应的Hmax—运动幅度和Havg—运动幅度关系图，见图4、图5.表2 更新后二维网格的质量指标（平动）计算方法 d＝0.1bd＝0.2bd＝0.5b Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 2.498 2.077 2.954 2.132 50.627 2.725方法2 2.723 2.068 3.134 2.093 103.040 2.798方法3 2.741 2.068 3.627 2.094 162.730 3.132方法4 2.702 2.067 3.150 2.090 24.635 2.398图4 二维网格平动后的Hmax—运动幅度关系图图5 二维网格平动后的Havg—运动幅度关系图根据表2及图4、图5可以看出：当平动尺度较小时（对应于d＝0.1b和d＝0.2b），4种方法的计算结果相差不大；当平动尺度较大时（对应于d＝0.5b），方法4计算得到的 Hmax、Havg均优于其他3种方法的计算结果；方法2、方法3所计算的Hmax、Havg值虽然大于方法1的计算值，但更新后的网格单元没有发生纠缠在一起的现象，而方法1由于更新后的网格单元出现纠缠现象而使计算失效.3.1.2 二维网格运动类型Ⅱ——转动当内部正方形产生绕中心的旋转运动（θ＝0.5π）时，采用方法4计算得到更新后的有限元网格，见图6.图6 转动后的二维有限元网格（方法4，θ＝0.5π）采用不同方法计算得到更新后网格的Hmax和Havg值，见表3.根据表3的计算结果绘制相应的Hmax—运动幅度、Havg—运动幅度关系图，见图7、图8.表3 更新后二维网格的质量指标（转动）计算方法θ＝0.1π θ＝0.2π θ＝0.5π Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 4.538 2.192 86.867 3.203 6.440 15 103方法2 6.525 2.244 61.781 3.195 2.663 42.515方法3 6.291 2.254 1 191.6 4.916 1 094.7 15.783方法4 4.335 2.166 9.730 2.530 215.64 5.638图7 二维网格转动后的Hmax—运动幅度关系图图8 二维网格转动后的Havg—运动幅度关系图根据表3及图7、图8可以看出：当内部正方形发生转动时，方法4的计算结果要明显优于其他3种方法的计算结果，计算得到的网格质量指标Hmax、Havg均最小；当转动尺度较大时（对应于θ＝0.5π），采用方法4更新后的网格单元没有发生纠缠在一起的现象（见图7），而采用另3种方法得到的计算网格则发生了明显的单元纠缠，使计算失效.3.1.3 二维网格运动类型Ⅲ——变形当内部正方形上、下表面产生变形时，采用方法4计算得到更新后的有限元网格，见图9.图9 变形后的二维有限元网格（方法4，δ＝0.5b）采用不同方法计算得到更新后网格的Hmax和Havg值，列于表4.根据表4的计算结果，绘制出相应的Hmax—运动幅度、Havg—运动幅度关系图，见图10、图11.表4 更新后二维网格的质量指标（变形）计算方法δ＝0.1bδ＝0.2bδ＝0.5b Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 2.522 2.068 4.188 2.094 11.920 2.366方法2 2.528 2.069 2.922 2.099 29.222 2.784方法3 2.511 2.070 2.851 2.108 347.580 3.769方法4 2.480 2.067 2.767 2.092 7.221 2.357从表4及图10、图11可以看出：当内部正方形发生较小变形时（对应于δ＝0.1b，δ＝0.2b），4种方法的计算结果区别不大；当变形尺度较大时（对应于δ＝0.5b），采用方法3计算得到的网格质量指标Hmax、Havg值明显大于其他3种方法的计算值.4种方法计算得到的变形后的网格单元均没有发生纠缠在一起的现象，而方法4的结果最优.3.2 三维算例分析图10 二维网格变形后的Hmax—运动幅度关系图图11 二维网格变形后的Havg—运动幅度关系图图12 三维初始有限元网格图12为一用四面体单元剖分后的正方体有限元网格，区域大小为｜x｜≤20，｜y｜≤20，｜z｜≤20.内部正四面体（中空部分）大小为｜x｜≤5，｜y｜≤5，｜z｜≤5.初始网格中Hmax＝15.10，Hevg＝4.42.指定内部正四面体产生3种不同的运动类型——平动、转动和变形，每种运动类型对应由小到大的3种运动幅度，参见表1（注意，此时b变为正四面体底边长）.下面采用与二维算例一致的4种拟固体方法对三维网格运动进行计算分析.3.2.1 三维网格运动类型Ⅰ——平动当内部正四面体在xy平面内分别沿x、y、z 方向产生0.5b位移时，采用方法4计算的更新后的有限元网格如图13所示，采用不同方法计算得到的更新后网格的Hmax和Havg值列于表5.根据表5的计算结果绘制出相应的Hmax—运动幅度和Havg—运动幅度关系图，见图14、图15. 图13 平动后的三维有限元网格（方法4，d＝0.5b）表5 更新后三维网格的质量指标（平动）d＝0.1bd＝0.2bd＝0.5b计算方法Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 15.103 4.478 30.124 4.684 53 630 19.514方法2 14.973 4.437 14.992 4.499 1 169 6.038方法3 14.9734.437 14.992 4.499 58 050 11.293方法4 14.448 4.442 15.311 4.518 4 2195.540图14 三维网格平动后的Hmax—运动幅度关系图图15 三维网格平动后的Havg—运动幅度关系图从表5及图14、图15可以看出：由方法2、方法4计算得到的Hmax、Havg值均优于方法1的计算结果；方法3的计算结果较差，当d＝0.5b时，其Hmax值反而略大于方法1的值；方法4和方法2相比，计算结果相差不大，然而在细节上，方法4的Hmax值略大于方法2的计算结果，但同时其Havg值低于方法2的，整体网格性能有所提高.3.2.2 三维网格运动类型Ⅱ——转动当内部正四面体依次产生绕z轴、x轴、y轴的旋转运动时（旋转角θz＝θx＝θy＝π/6，以代数和θ＝0.5π表征旋转程度.θ＝0.1π和θ＝0.2π时类似处理），采用方法4计算得到的更新后的有限元网格如图16所示，采用4种方法计算得到的更新后网格的Hmax和Havg值列于表6.图16 转动后的三维有限元网格（方法4，θ＝0.5π）表6 更新后三维网格的质量指标（转动）计算方法θ＝0.1π θ＝0.2π θ＝0.5π Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 13.37 4.463 177.7 4.673 10 230 8.534方法2 16.70 4.470 27.79 4.637 3 883 7.970方法3 16.83 4.470 28.63 4.639 10 790 8.386方法4 14.75 4.447 16.09 4.536 5 054 5.929根据表6的计算结果绘制出相应的Hmax—运动幅度和Havg—运动幅度关系图，见图17、图18.由表6及图17、图18可以看出，当转动尺度增大时（对应于θ＝0.2π和θ＝0.5π），采用二步法（方法2～方法4）计算的Hmax、Havg值均优于一步法（方法1）的计算结果.对比不同的二步法，方法2、方法4的计算结果要明显优于方法3的计算结果；方法4的Hmax值虽略大于方法2的计算结果，但其Havg值却明显小于方法2的.3.2.3 三维网格运动类型Ⅲ——变形当内部正四面体上、下表面产生变形时（网格点沿球面布置），用方法4算得的更新后的有限元网格见图19.图17 三维网格转动后的Hmax—运动幅度关系图图18 三维网格转动后的Havg—运动幅度关系图图19 变形后的三维有限元网格（方法4，δ＝0.5b）采用4种不同方法计算得到的更新后网格的Hmax和Havg值见表7，根据表7的计算结果绘制出相应的Hmax—运动幅度和Havg—运动幅度关系图，如图20、图21所示.表7 更新后三维网格的质量指标（变形）δ＝0.1bδ＝0.2bδ＝0.5b计算方法Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 16.059 4.415 18.428 4.488 125 000 19.359方法2 16.586 4.428 17.008 4.504 18 450 7.570方法3 16.7194.428 17.227 4.502 3 078 6.425方法4 16.587 4.421 17.470 4.485 1 5405.737图20 三维网格变形后的Hmax—运动幅度关系图图21 三维网格变形后的Havg—运动幅度关系图由表7及图20、图21可以看出：当网格变形较小时（对应于δ＝0.1b和δ＝0.2b），4种方法的计算结果相差不大；当网格变形较大时（对应于δ＝0.5b），由方法2～方法4计算得到的 Hmax、Havg值均优于方法1的计算结果；对比不同的二步法，方法4的计算结果要明显优于方法2和方法3的计算结果，计算得到的网格质量指标Hmax、Havg均最小.4 结论算例分析结果表明：对于二维问题，当网格发生不同类型和不同幅度的运动时，采用本文提出的PSS—PSTS法（即方法4）进行网格更新后计算得到的网格质量指标Hmax、Havg值均较小，即该方法不仅能维持网格的整体质量，还能有效限制或者完全避免出现极大内外径比的单元；对于三维问题，在各种运动形式下，采用方法2和方法4均能有效地控制具有极大内外径比单元的产生，同时采用方法4计算得到的Havg值较小，即整体网格计算性能最优.总之，与一步法和Chiandussi方法相比，PSS—PSTS法具有更强的适用性，能显著地减小单元的畸变，使网格保持优良的计算性能，适用于大变形流固耦合问题中的网格更新计算.（编辑葛赵青）【相关文献】［1］张雄，陆明万，王建军.任意拉格朗日—欧拉描述法研究进展［J］.计算力学学报，1997，14（1）：91—102.ZHANG Xiong，LU Mingwan，WANG Jianjun.Re—search progress in arbitrary Lagrangian—Eulerian meth—od［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，1997，14（1）：91—102.［2］ HUGHES T J R，LIU W K，ZIMMEMRANN T grangian—Eulerian finite element formulation for in—compressible viscous flows［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1981，29（3）：329—349.［3］ HUERTAS A，LIU W K.Viscous flow with large free surface motions［J］.Computer Methods in Ap—plied Mechanics and Engineering，1988，69（3）：277—324.［4］周宏，李俊峰，王天舒.用于有限元模拟的网格更新方法［J］.力学学报，2008，40（2）：267—272.ZHOU Hong，LI Junfeng，WANG Tianshu.Mesh update algorithm in ALE finite methodwithin free sur—face flow［J］.Chinese Journal of Theoretical and Ap—plied Mechanics，2008，40（2）：267—272.［5］ SOULI M，ZOLESIO J P. Arbitrary Lagrangian—Eulerian and free surface methods in fluid mechanics［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and En—gineering，2001，191（3/4/5）：451—466.［6］ XU Zhenlong，ACCORSI M.Finite element mesh up—date methods for fluid—structure interaction simulations［J］.Finite Elements in Analysis and Design，2004，40（9/10）：1259—1269.［7］ CHIANDUSSI G，BUGEDA G，ONATE E.A simple method for automatic update of finite element meshes［J］.Commun Nume Meth Engng，2000，16（1）：1—19.［8］ BRAESS H，WRIGGERS P.Arbitrary Lagrangian—Eulerian finite element analysis of free surface flow［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and En—gineering，2000，190（1/2）：95—109.［9］ MASUD A.A space—time finite element method for fluid—structure interaction ［D］.Stanford，CA，USA：Stanford University，1993.［10］TEZDUYAR T E，SATHE S，KEEDY R，et al.Space—time finite element techniquesfor computation of fluid—structure interactions［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2006，195（17/18）：2002—2027.。
有限元综述.(优选)
有限元综述蔡璟、吕丹丹、李川摘要：有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法。
1965年“有限元”这个名词第一次出现，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。
如今，有限元在工程上得到广泛应用。
本文首先介绍了有限元的研究背景和意义，其次从它的诞生、主要特点以及解题步骤三方面阐述相关概念，再讨论传统有限元算法及优化算法、有限元与其他算法结合得到的混合算法两个方面来分类阐述各自的研究现状与特点，最后总结有限元算法的应用以及发展趋势。
关键词：有限元法，FEM，经典算法，优化算法，网格优化，Herrmann算法，时域有限元，混合算法，矩量法，时域有限差分，应用研究，边界元法，光滑粒子法，发展趋势前言有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法，其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。
自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，解决了物理场应用中的限制。
经历几十年的发展，有限元法已经被广泛用于各个领域。
1.研究背景和意义有限元法的思想首先由 R. Courant 在 1943 年提出，十九世纪六十年代数值分析科学家认识了有限元基本思想，建立了有限元方法的数学基础。
其中，我国数学家冯康独立地提出了有限元方法，将其命名为“基于变分原理的差分格式”，对有限元方法的创始及奠基工作做出了重要贡献。
以变分原理为基础建立起来的有限元法,因其理论依据的普遍性,不仅广泛地被应用于各种结构工程,而且作为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域中的问题,例如热传导!渗流!流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。
一种基于有限元分析的杨氏模量的能量等效方法
一种基于有限元分析的杨氏模量的能量等效方法吴晓东;盛美萍;张安付;屈忠鹏【摘要】基于能量等效原则,本文提出了一种特定阻尼结构中粘弹性材料等效杨氏模量常值的获得方法.通过有限元优化分析,对比橡胶材料动态杨氏模量和杨氏模量常值在同一阻尼结构的能量特性,从而找到了最能表征粘弹性材料动态杨氏模量的等效杨氏模量常值.经验证,该方法获取的等效杨氏模量常值在能量特性上能很好地反映动态杨氏模量,能为该结构的数值计算和软件仿真提供便利.【期刊名称】《电子设计工程》【年(卷),期】2014(022)013【总页数】4页(P41-43,47)【关键词】有限元分析;粘弹性材料;动态杨氏模量;能量等效【作者】吴晓东;盛美萍;张安付;屈忠鹏【作者单位】西北工业大学航海学院,陕西西安710072;西北工业大学航海学院,陕西西安710072;西北工业大学航海学院,陕西西安710072;西北工业大学航海学院,陕西西安710072【正文语种】中文【中图分类】TN04在研究结构振动特性中，杨氏模量一种常用的参数，用于描述固体材料抵抗形变能力。
在结构动态特性研究中，对于常用金属材料，可以使用通过静力试验测得的杨氏模量值，但对于粘弹性材料，当其受动态力激励时，其杨氏模量是随激励频率变化的，通常称为动态杨氏模量，因此，在研究具有粘弹性结构动态特性中就不能使用静力试验测得的粘弹性材料静态杨氏模量。
现已有多种实验方法[1,2]测量动态杨氏模量，如正弦力激励法、谐振实验法、自由衰减法、振动梁法。
动态杨氏模量比静力法测得的杨氏模量更真实地反映结构动态能量特性，但对结构动态能量特性的软件仿真和数值计算中，输入动态杨氏模量较为困难或者无法输入，例如Autosea软件是计算结构动态特性的常用软件，但是只能在Autosea软件中输入杨氏模量的常值，这就造成了软件仿真的误差。
针对此问题，本文提出了一种运用有限元分析，以得到既能反映动态杨氏模量的能量特性，又能便于在软件中输入等效杨氏模量，用于该结构的动态特性计算。
基于Voronoi图的二维多晶体有限单元建模方法
基于Voronoi图的二维多晶体有限单元建模方法张晶【摘要】At the micro level most of the metal materials are polycrystal with random shapes and sizes,while the traditional finite element software can't simulate this microstructure well.Many research results show that Voronoi could simulate the microstructure of materials well.In this paper,a two-dimensional Voronoi meshing method is used to simulate the microstructure of metal materials,and the finite element program used MATLAB software is written for finite element analysis,then compared with the results of ANSYS analysis to prove the feasibility of the finite element program.%在细观尺度下,大多数金属材料是多晶体,其晶粒具有随机的形状和大小,而传统的有限元软件使用的单元多为三角形或四边形单元,不能很好地表现这种微观结构特点.大量研究表明,采用Voronoi方法能够很好地表征材料的微观结构.采用二维Voronoi网格划分方法模拟金属材料的微观结构,应用MATLAB软件编写有限元程序,进行有限元分析,分析结果与ANSYS有限元结果进行对比,证明该方法具有可行性.【期刊名称】《新技术新工艺》【年(卷),期】2017(000)006【总页数】3页(P44-46)【关键词】多晶体;Voronoi图;有限元分析;MATLAB【作者】张晶【作者单位】昆明理工大学,云南昆明 650000【正文语种】中文【中图分类】TP301工程中所用金属材料大多是多晶体，在细观尺度下，多晶体的晶粒都是不规则的多面体结构。
机械零件有限元分析-5-第四讲-网格划
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理现象。
均匀性
网格的分布应尽量均匀，以提 高计算精度和稳定性。
局部细化
对于关键区域或需要更高精度 的地方，应进行局部网格细化
。
边界条件处理
在边界区域，应根据实际情况 处理网格，以避免出现奇异性
和不合理的解。
03
网格划分的方法和技术
结构化网格划分
01
02
03
结构化网格
按照一定的规则和顺序对 有限元模型进行网格划分， 每个网格单元具有相同或 相似的形状和尺寸。
详细描述
对于形状不规则、结构复杂的机械零件，网格划分变得困难，需要采用特殊的有 限元网格划分方法，如自适应网格、非结构化网格等。
实例三：多物理场耦合的网格划分
总结词
多物理场、耦合、复杂度增加
详细描述
对于涉及多个物理场耦合的机械系统，如热-力耦合、流-固耦合等，网格划分变得更加复杂。需要采用多物理场 耦合的有限元网格划分方法，如分区耦合、全局耦合等。
网格划分的重要性和意义
网格划分是有限元分析的关键 环节，它决定了模型的离散精 度和计算规模。
合适的网格划分能够提高计算 精度，降低模型的自由度，从 而减少计算时间和资源消耗。
不合理的网格划分可能导致计 算精度降低，甚至出现数值不 稳定或计算失败的情况。
02
网格划分的基本概念
网格划分的定义
网格划分是将连续的物理模型离散化 为有限个小的单元，每个单元称为网 格或节点。
自适应移动节点
03
根据计算结果动态移动网格节点，以保持网格质量。
05
实例分析
实例一：简单零件的网格划分
总结词
规则、简单、容易划分
详细描述
有限元模型中自由度层次的带宽优化算法
有限元模型中自由度层次的带宽优化算法王家林【摘要】为提高有限元分析的计算速度,针对有限元模型中节点在整体结构自由度向量中参与自由度个数不等的情况,建立了自由度层次的带宽优化算法.根据自由度的邻接关系设置邻接矩阵,由邻接矩阵建立树层次结构,并利用顶点可移动判据对树宽进行优化,对树层次结构中的同层顶点按照未编号下层度的升序编号.该方法无需人工干预也能获得Burgess算法的最优带宽,能解决有限元模型中同时使用多种单元、主从节点或非节点连接技术引起的带宽优化问题.【期刊名称】《西南交通大学学报》【年(卷),期】2009(044)002【总页数】4页(P186-189)【关键词】有限元法;自由度;带宽优化【作者】王家林【作者单位】重庆交通大学土木建筑学院,重庆,400074【正文语种】中文【中图分类】工业技术第 44 卷第 2 期2009年 4 月西南交通大学学报JOURNAL OFSOUTHWESTJIAOTONG UNIVERSITY Vol.44No.2Apr.2009文章编号: 0258-2724(2009)02 -0186-04 DOI:10.3969/j.issn.0258-2724.2009.02.008有限元模型中自由度层次的带宽优化算法王家林（重庆交通大学土木建筑学院，重庆 400074 ）摘要：为提高有限元分析的计算速度，针对有限元模型中节点在整体结构自由度向量中参与自由度个数不等的情况，建立了自由度层次的带宽优化算法，根据自由度的邻接关系设置邻接矩阵，由邻接矩阵建立树层次结构，并利用顶点可移动判据对树宽进行优化，对树层次结构中的同层顶点按照未编号下层度的升序编号．该方法无需人工干预也能获得 Burgess 算法的最优带宽，能解决有限元模型中同时使用多种单元、主从节点或非节点连接技术引起的带宽优化问题．关键词：有限元法；自由度；带宽优化中图分类号：0242.21文献标识码： A Bandwidth OptimizationAlgorithmofFiniteElementModelsatLevelofDegreeofFreedom WANGJialin( Schoolof Civil Eng. andArchitecture,ChongqingJiaolong University,Chongqing400074,China) Abstract: Basedonthe fact that the numbersof degreeof freedom(DOF)of nodesparticipatingin theDOF vectorof structuresare notthe same,an algorithmwasproposedtooptimizethe bandwidthof finiteelementmodelsatthe level of DOFtoraisethe calculationspeedof finiteelementanalyses. In this algorithm,thetreelevelstructureis establishedfromanabuttingmatrixbasedontheabuttingrelationshipamongD OFs.Whenthe widthof the treestructureis optimized,criterions areputforwardtojudgewhetheravertexis movable.Thevertices atthe samelevel arenumberedbytheir unnumbereddegreesatthenextlevel.Intwoinvestigatedexamples,theproposedoptimizationalgorithmgetsthesame bandwidthsasBurgess'sbandwidthswithoutmanualintervention.Thepropose dalgorithmatthe level of DOFcanbeusedtosolve theproblemsinducedbyvarioustypesof'elements, host-subordinate nodesornon-nodalconnec.tionmethod.Keywords:riniteelementmethod;degreeof freedom;bandwidthoptimization有限元分析涉及到求解大型线性方程组Kr=b ，其中凡阶方阵K 通常具有对称、正定和稀疏的特点，一般采用 L1或 LDL'r 等三角分解方法求解，恰当地对方程中自由度进行排序，可以大幅度减少分解后三角矩阵 L 中非零元素的数目，既有助于节省存储空间，更能够有效地减少对零元素的运算，提高计算速霞．将方阵 K 按等带宽或变带宽的方式进行存储和分解是一种常见的方案．在这种情况下，分解后 L 中的非零元素将限制在方阵 K 的带宽内，只要减小方阵 K 的带宽，就能提高求解方程组的速度．传统的有限元法按节点编号进行带宽优化是基于这样一个前提：每个节点在结构整体自由度向量中参与的自由度个数相同，带宽与节点编号差成正比．收稿日期：2008-07-03基金项目：重庆市教委科研项目( 243-111)作者简介：王家林（ 1968- ），男，教授，博士，研究方向为加筋结构有限元分析，电话：135******** ， E-mail:jialinwang@163． com第44卷2期 2009年4月西南交通大学报JOURNAL OF SOUTHWEST JIAOTONG Vol.44 No.2 Apr.文章编号: 0258-2724(2009)02 -0186-04 DOI: 10.3969/j. issn.0258-2724.2009.02.008要：为提高有限元分析的计算速度，针对有限元模型中节点在整体结构自由度向量中参与自由度个数不等的情况，建立了自由度层次的带宽优化算法，根据自由度的邻接关系设置邻接矩阵，由邻接矩阵建立树层次结构，并利用顶点可移动判据对树宽进行优化，对树层次结构中的同层顶点按照未编号下层度的升序编号．该方法无需人工干预也能获得 Burgess 算法的最优带宽，能解决有限元模型中同时使用多种单元、主从节点或非节点连接技术引起的带宽优化问题． OptimizationAlgorithmofFiniteElementModelsatLevelofDegreeofFreedom WANG Jialin ( Schoolof Civil Eng. andArchitecture,ChongqingJiaolong University,Chongqing400074,China) Basedonthe fact that the numbersof degreeof freedom(DOF)of nodesparticipatingin theDOF vector of structures are not the same, an algorithmwasproposedtooptimizethe bandwidthof finiteelementmodelsatthe level of DOFtoraisethe calculationspeedof finiteelementanalyses. this algorithm,thetreelevelstructureis establishedfromanabuttingmatrixbasedontheabutting relationshipamongDOFs.Whenthe widthof the treestructureis optimized,criterions areputforward tojudgewhetheravertexismovable.Thevertices atthe samelevel arenumberedbytheir unnumbered degreesatthe nextlevel.Intwoinvestigatedexamples,theproposedoptimizationalgorithmgetsthe same bandwidthsasBurgess'sbandwidthswithoutmanualintervention.Thepropose dalgorithmatthe level of DOFcanbeusedtosolve the problemsinducedbyvarioustypesof'elements, nodesornon-nodalconnec.tionmethod. Key words: riniteelementmethod;degreeof freedom;bandwidthoptimization有限元分析涉及到求解大型线性方程组Kr=b ，其中凡阶方阵 K 通常具有对称、正定和稀疏的特点，或LDL'r等三角分解方法求解，恰当地对方程中自由度进行排序，可以大幅度减少分解后三将方阵 K按等带宽或变带宽的方式进行存储和分解是一种常见的方案．在这种情况下，分解后 L 中的非零元素将限制在方阵 K 的带宽内，只要减小方阵 K 的带宽，就能提高求解方程组的速度．传统的有限元法按节点编号进行带宽优化是基于这样一个前提：每个节点在结构整体自由度向量中参与的自由度个数相同，带宽与节点编号差成正比．作者简介：王家林（ 1968- ），男，教授，博士，研究方向为加筋结构有限元分析，电话：135******** ， E-mail:jialinwang@163． com 第 2 期王家林：有限元模型中自由度层次的带宽优化算法 187在以下情况中，各节点在整体自由度向量中参与的自由度个数会出现不等： (1)-个有限元模型中可能出现多种不同类型的单元，不同类型单元的节点自由度个数不相等，如空间梁单元、退化壳单元、体元可以出现在一个有限元模型中，但这些单元的节点自由度个数不等．(2) 用主从节点方法处理复杂连接问题时，某些节点之间共用部分自由度，又有各自独立的自由度，主从节点的一个典型应用是模拟梁单元之间的铰接：在同一个位置设置多个节点，节点之间共用平移自由度，但各自拥有独立的转动自由度． (3) 在非节点连接方式【 1'2。
改进的三维ODT+单元质量优化方法
改进的三维ODT单元质量优化方法1)刘岩*，关振群*2)*(大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室, 大连116024)摘要：本文针对密度不均匀的四面体网格，提出一种改进的四面体网格ODT光顺方法，解决了经典ODT方法不能优化非均匀密度四面体网格单元质量的问题。
本文算法在经典ODT光顺方法的理论基础上，提出归一化空间和实际空间之间映射方法，从而克服经典ODT不适合优化非均匀密度网格的缺点。
具体来说，根据当前网格尺寸值，把星形结构转换到以核心点为中心的归一化空间；在归一化空间内，应用经典ODT光顺方法对核心点位置进行优化；最后，通过Meanvalue重心坐标计算优化位置在实际空间内的坐标。
光顺算法之后，应用拓扑变换单元质量优化算法，提高四面体网格局部单元质量。
算例表明，本文提出的网格单元质量优化方法有效、健壮，比经典的ODT算法光顺效果更好。
关键词： ODT；Meanvalue重心坐标；四面体单元；光顺；有限元引言有限元网格单元质量优化算法是有限元网格生成算法的重要组成部分。
依据输入的表面网格尺寸，现有的网格自动生成算法可以生成疏密不均、过渡平缓的自适应网格。
而这些初始生成的网格单元质量较差，影响有限元法的计算精度，这就需要结点光顺和拓扑变换等方法对初始生成的网格进行单元质量优化。
现有的网格光顺算法主要分两类：一类是以Laplacian算法为基础；另一类是以优化算法为基础。
在以Laplacian算法为基础光顺方法方面，Field[1]将结点向与之相连接的结点的算数重心移动，这种方法简单、快速，但容易在局部产生负体积单元。
Freitag[2]改进Laplacian算法，仅当结点移动使其连接的单元满足一定的单元质量要求时才可以移动该结点。
虽然Laplacian算法的健壮性好、速度快，但其缺乏理论基础，无法实现网格全局单元质量的优化。
而以优化算法为基础的网格光顺方法则能较好的解决这一问题。
单亲遗传算法在有限元网格节点编号优化问题中的应用
２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎｎ． ０ ｃ． ｅｈ Ｅ ｇｇ １
单 亲遗 传 算 法在 有 限 元 网格 节点 编 号优 化 问题 中 的 应 用
王 立峰 武 哲
（北 京 航 空 航 天 大 学航 空科 学 与 工 程 学 院 ， 京 １０ ９ ） 北 ０ １ １
摘
要
单亲遗传 算法（ Ｇ 是一种序号编码遗传 算法。它具 有遗传操作 简单 、 Ｐ Ａ） 不要 求初始群体 的广泛 多样性 、 不存在“ 早
都 比较 麻 烦 。Ｐ Ａ 取 消 了在 两 条 染 色 体 上 操 作 的 Ｇ 交叉算 子 ， 之 以仅 在 一条 染 色 体 上操 作 的基 因换 代 位等 遗传算 子 ， 化 了遗 传 操 作 过 程 ， 高 了搜 索 简 提
效率 ； 并且 不要求 初 始 种群 的多样 性 ， 存在 “ 熟 不 早
Ｃ ２等特殊 的交 叉 算 子 。这 些 交 叉 算 子 实施 起 来 Ｘ＿ Ｊ
１ 问题 的 提 出
在 有 限元分 析 中 ， 要 将 所 有单 元 和节 点 进 行 需 编号 ， 后按 单 元 和 节 点 编 号 所 对 应 的位 置 ， 所 然 将
形 成 的单 元 刚度 矩 阵装 配 在 整 体 刚 度 矩 阵 中。 如对 于某节 点 自由度 为 ２ 以 “、 示 ） （ 表 的三 节 点三 角形 单元 ， 三个 节 点 的 编号 依 次 为 ｉ ， ， 在 将 设 ， ｋ则
熟收 敛 ” 象 等 特 点 ， 常适 合 于 求解 组合 优 化 问题 。 在 有 限 元 分 析 中 ， 格 节 点编 号 顺 序 决 定 了有 限 元 整 体 刚 度 矩 阵 中 非 现 非 网 零 数 据 的位 置 ， 矩 阵 的 带宽 有 直 接 的影 响 。 为 了减 小 在 实 际 计 算 时 的存 储 量 、 短 计 算 时 间 ， 单 亲 遗 传 算 法 引 入 有 限 元 对 缩 将
某复合盾构刀盘有限元分析及参数优化
文章编号：1009-6582（2020）06-0115-05DOI:10.13807/ki.mtt.2020.06.015修改稿返回日期：2020-01-02作者简介：罗丹（1986-），男，工程师，主要从事机械CAE 分析工作，E-mail ：摘要复合盾构刀盘的力学性能是评价刀盘结构设计是否合理的重要依据。
文章通过有限元法分析了某复合盾构刀盘的受力特性，得到了该复合盾构刀盘的应力和变形分布云图。
针对安全余量不足的主要承载件，采用高强钢替代，最后通过Workbench 的DesignXplorer 模块进行参数优化。
优化后的刀盘强度安全系数为1.54，刀盘重量降低了1.17t，提高了该复合盾构刀盘的安全性和经济性。
研究结果可为刀盘结构设计和材料选型提供参考。
关键词复合盾构刀盘有限元分析高强钢参数优化中图分类号：TP391.9;U455.43文献标识码：A某复合盾构刀盘有限元分析及参数优化罗丹（中国铁建重工集团股份有限公司，长沙410100）1引言复合式盾构常用于穿越软土、砂土、软岩和硬岩等多种地质[1]的隧道工程。
刀盘是复合盾构的关键部件，起着开挖岩土和维持掌子面稳定等功能。
在掘进过程中，刀盘体受到岩土的侧向压力和摩擦力以及刀具的切削反力或破岩推力等多种载荷作用，受力状况极其复杂，工作环境恶劣。
刀盘结构的安全性对盾构施工效率影响尤为重要，如何合理设计刀盘成为当前研究的重点问题。
近年来，国内研究人员从理论分析到数值模拟等多方面对刀盘的力学性能进行了研究，取得了大量研究成果。
张茜[2]基于弹性接触力学模型研究了刀盘与土体耦合作用界面载荷分布规律，实现了对刀盘系统载荷的预估并确定了其相关影响因素；宋克志等[3]运用多元回归分析的方法，分析了盾构掘进参数与刀盘推力的关系，并构建了在泥岩和砂岩地层盾构推力的预测模型；夏毅敏等[4]通过ANSYS 软件对盾构刀盘在土压平衡和土压不平衡两种工况下的受力特性进行了分析，得到两种工况下刀盘的应力和变形分布规律；韩勇[5]对盾构刀盘在满足强度和刚度需求的条件下进行了轻量化优化设计研究。
电网节点编号优化算法的改进
电网节点编号优化算法的改进刘启蒙;杨鉴;戈文江【摘要】为寻求一种最优的电网节点编号方案,以提高电网模型中节点导纳矩阵的求解速度,分析传统节点编号优化法的优缺点,并结合动态法和半动态法的优点,提出一种新的电网节点编号优化算法,通过实例证明了该算法的快速性和有效性.【期刊名称】《河北电力技术》【年(卷),期】2010(029)001【总页数】3页(P33-35)【关键词】电力系统;节点编号优化;算法改进;动态与半动态结合法【作者】刘启蒙;杨鉴;戈文江【作者单位】华北电力大学,河北,保定,071003;河北建投新能源有限公司,石家庄,050001;河北省电力研究院,石家庄,050021【正文语种】中文【中图分类】TM7440 引言由于导纳矩阵节点消去过程中会注入新的非零元素，而消去过程注入新的非零元素与导纳矩阵中的元素排列有关，也就是和节点编号顺序密切相关，不同节点编号方案所产生的注入元素数目也不相同，因此为了充分利用电力网络模型矩阵的稀疏特性，减少不必要的计算，提高求解效率，有必要对网络节点进行节点编号优化。
节点编号优化严格地说是一个组合优化问题，针对不同电网结构会采取不同的节点编号优化方法，对于辐射配电网可采用树状编号、逆流编号等算法，对于复杂电力网络会有大量的节点编号方案，很难求出最优方案，因此目前实际工程应用中广泛采用的是求次优编号的方法，如静态优化法、半动态优化法和动态优化法3类传统优化算法。
1 传统优化算法简介1.1 静态优化法根据导纳矩阵消去过程可知，导纳矩阵小行号的非零元素越少，消去过程中注入新的非零元素越少。
导纳矩阵的行号就是网络的节点号，其每行的非零元素就是相应节点所连接的支路数(非对地支路)，因此按照连接支路最少的节点顺序编号，就是静态优化法。
编号前，统计网络各节点连接支路数，支路少的优先编号，若支路相同，则顺序编号。
静态优化法的主要特点是优化快，编程简单，但优化效果差。
1.2 半动态优化法该方法的基本思想是找到连接支路最少的节点进行编号，然后消去该节点，每消去一个节点，尚未编号节点的支路连接数就会发生变化，然后从未编号节点中查找连接支路最少的节点进行编号。
有限元节点编号优化
有限元节点编号优化
黄志超;包忠诩;周天瑞
【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》
【年(卷),期】2004(028)003
【摘要】从分析最简单最优的矩形单元节点编号着手,分析其特点,得出各个节点的相邻单元节点编号总和除以该节点相邻单元数所得的节点商以及相邻单元最小最大节点编号和都为升序排列,总结出一种新型的有限元节点重编号方法,并举例说明该算法能减少有限元的带宽.
【总页数】4页(P281-284)
【作者】黄志超;包忠诩;周天瑞
【作者单位】华东交通大学,机电工程学院,江西,南昌,330013;南昌大学,机电工程学院,江西,南昌,330029;南昌大学,机电工程学院,江西,南昌,330029;南昌大学,机电工程学院,江西,南昌,330029
【正文语种】中文
【中图分类】O242.21
【相关文献】
1.三维有限元网格节点编号优化 [J], 江雄心;万平荣
2.改进遗传算法的ERT有限元网格节点编号优化 [J], 肖理庆;王化祥
3.单亲遗传算法在有限元网格节点编号优化问题中的应用 [J], 王立峰;武哲
4.二维有限元网格的剖分及其节点编号优化 [J], 袁辉;彭一江
5.一种有限元网格节点编号的优化算法 [J], 张媛媛;侯华;程军;赵宇辉
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一种有限元网格节点编号的优化算法
46 48 50 52
节点 号和
12 21 16 27
45
33 45
72
51 63
99
69 48 75 52
节 节 最大最
点Байду номын сангаас点 小节点
数 商 编号和
43
6
6 3.5
7
44
8
6 4.5
9
95
10
6 5.5
11
6 7.5
15
98
16
6 8.5
17
6 10.5 21
9 11
22
6 11.5 23
4 12
An Optimal Algorithm of Node Numbering in Finite Element Mesh
Zhang Yuanyuan1，Hou Hua2 ，Cheng Jun2
1.Colleage of Electronics and Computer Science ,North University of China, Taiyuan（030051） 2.Colleage of Materials Science and Engineering ,North University of China, Taiyuan（030051)
2 优化算法分析
在对物体进行有限元分析时，首先要进行网格划分，通常初始划分网格和确定节点序号 是按照某种规律进行，这样有利于计算机自动划分网格。一般来说，编排出来的网格和节点 所形成的有限元总刚度矩阵，有时半带宽值很大，需要对网格节点进行重新排序，以达到半 带宽值最小的目的。本文采用的有限元网格节点优化排序方法是一种归纳、演绎方法。即对 一种最佳的网格节点编号图进行分析，根据其单元上节点的排列，达到构成刚度矩阵半带宽 值最小时的一些特征进行分析，从其中归纳出若干条规律，通过大量的算例来验证该规律的 正确性、可靠性和优越性。该算法的特点，可通过分析图 1 所示具有较优节点编号图来予以 说明。
适用于电磁场有限元计算的网格剖分算法
第３８卷第６期 计算机应用与软件Ｖｏｌ ３８Ｎｏ．６２０２１年６月 ＣｏｍｐｕｔｅｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｎｄＳｏｆｔｗａｒｅＪｕｎ．２０２１适用于电磁场有限元计算的网格剖分算法章春锋 汪 伟 吴天纬 安斯光（中国计量大学机电工程学院 浙江杭州３１００１６）收稿日期：２０１９－１０－１８。
浙江省自然科学基金项目（ＬＹ１９Ｅ０７０００３）；国家自然科学基金项目（６１７０１４６７）。
章春锋，硕士生，主研领域：电磁场有限元剖分与数值计算。
汪伟，教授。
吴天纬，硕士生。
安斯光，副教授。
摘 要 网格剖分是有限元法的关键，其剖分得到的网格质量决定了有限元法计算结果的准确性。
提出基于Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法生成非结构化三角形网格的新算法。
通过分析Ｌａｐｌａｃｉａｎ平滑函数作用原理，提出新的平滑函数来减少迭代次数；提出一种在优化设计过程中无重构变形方法，通过定义边界网格框架利用坐标映射技术可以快速推导出网格；通过设置质量评估来解决不可终止性的可能和过度迭代，加入边界节点筛选功能，并对剖分得到的三角元进行有限元逆序编号处理。
将该算法与Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法进行剖分效果对比，验证该算法应用于电磁场领域的有效性。
关键词 网格剖分 平滑函数 坐标映射 有限元 电磁场中图分类号 ＴＰ３ 文献标志码 Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００ ３８６ｘ．２０２１．０６．０３５ＭＥＳＨＧＥＮＥＲＡＴＩＯＮＡＬＧＯＲＩＴＨＭＦＯＲＦＩＮＩＴＥＥＬＥＭＥＮＴＣＡＬＣＵＬＡＴＩＯＮＯＦＥＬＥＣＴＲＯＭＡＧＮＥＴＩＣＦＩＥＬＤＺｈａｎｇＣｈｕｎｆｅｎｇ ＷａｎｇＷｅｉ ＷｕＴｉａｎｗｅｉ ＡｎＳｉｇｕａｎｇ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣｈｉｎａＪｉｌｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ３１００１６，Ｚｈｅｊｉａｎｇ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｉｓｔｈｅｋｅｙｏｆｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｑｕａｌｉｔｙｏｆｔｈｅｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｔｈｅｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ．ＡｎｅｗｕｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｔｒｉａｎｇｌｅｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎＰｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．ＢｙａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆＬａｐｌａｃｉａｎｓｍｏｏｔｈｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｅｗｓｍｏｏｔｈｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｉｔｅｒａｔｉｏｎｓ；ａｎｏｎｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｄｅｓｉｇｎ，ｗｈｉｃｈｃａｎｑｕｉｃｋｌｙｄｅｄｕｃｅｔｈｅｇｒｉｄｂｙｄｅｆｉｎｉｎｇｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｇｒｉｄｆｒａｍｅｗｏｒｋａｎｄｕｓｉｎｇｔｈｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｍａｐｐｉｎｇｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ；ｔｈｅｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙｏｆｎｏｎｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎａｎｄｏｖｅｒｉｔｅｒａｔｉｏｎｃａｎｂｅｓｏｌｖｅｄｂｙｓｅｔｔｉｎｇｔｈｅｑｕａｌｉｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｎｏｄｅｆｉｌｔｅｒｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｗａｓａｄｄｅｄｔｏｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ，ａｎｄｔｈｅｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｅｌｅｍｅｎｔｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎｗｅｒｅｎｕｍｂｅｒｅｄｉｎｒｅｖｅｒｓｅｏｒｄｅｒｂｙｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ．ＣｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅＰｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｖｅｄｔｏｂｅｍｏｒｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｉｎｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ Ｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ Ｓｍｏｏｔｈｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｍａｐｐｉｎｇ Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ０ 引 言优异的适应场域边界几何形状以及媒介物理性质变异的能力，使有限元法成为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析和优化设计的主导数值计算方法之一［１］。
基于有限元的结构优化分析方法―拓扑优化(全文)
基于有限元的结构优化分析方法―拓扑优化1.引言结构拓扑优化是近20年来从结构优化研究中派生出来的新分支，它在计算结构力学中已经被认为是最富挑战性的一类研究工作。
1904 年Michell在桁架理论中首次提出了拓扑优化的概念。
自1964年Dorn等人提出基结构法，将数值方法引入拓扑优化领域，拓扑优化研究开始活跃。
20世纪80年代初，程耿东和N.Olhoff在弹性板的最优厚度分布研究中首次将最优拓扑问题转化为尺寸优化问题，他们开创性的工作引起了众多学者的研究兴趣。
1988年Bendsoe和Kikuchi发表的基于均匀化理论的结构拓扑优化设计，开创了连续体结构拓扑优化设计研究的新局面。
1993年Xie.Y.M和Steven.G.P提出了渐进结构优化法。
1999年Bendsoe和Sigmund证实了变密度法物理意义的存在性。
20XX年罗鹰等提出三角XX格进化法，该方法在优化过程中实现了退化和进化的统一，提高了优化效率2.拓扑优化工程背景及基本原理通常的的结构优化按照设计变量的不同分为三个层次：结构尺寸优化，形状优化和拓扑优化。
结构尺寸优化，形状优化在目前已经进展到了很高的水平，但是它们依旧存在不能变更结构拓扑的缺陷，在这样的情况下，人们开始研究拓扑。
拓扑结构形式有两种基本的原理：一种是退化原理，另一种是进化原理。
退化原理的基本思想是在优化前将结构所有可能杆单元或所有材料都加上，然后构造适当的优化模型，通过一定的优化方法逐步删减那些不必要的结构元素，直至最终得到一个最优化的拓扑结构形式。
进化原理的基本思想是把适者生存的生物进化论思想引入结构拓扑优化，它通过模拟适者生存、物竞天择、优胜劣汰等自然机理来获得最优的拓扑结构3.拓扑优化的主要思想拓朴优化的主要思想是将寻求结构的最优拓朴问题转化为在给定的设计区域内寻求最优的材料分布问题，最终得到最佳的材料分配方案，这种方案在拓朴优化中表现为“最大刚度”设计，即同一结构，不同的材料分布形式，在材料相同的情况下，拓朴优化结果可以使结构整体刚度最大。
电阻层析成像有限元节点编号方法研究
【 关键词 】 ： 有限元 ； 节点编号； 带宽； 电阻层析成像
０引言 ห้องสมุดไป่ตู้
矩 阵 Ｋ的半 带 宽定义 为 ：
（ ） ＝ｍａ ｘ （ ￣ （ ） ， １ ≤ｉ ≤ ） （ ３ １
电 阻层 析 成 像 （ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ Ｒ ｅ ｓ ｉ ｓ ｔ ａ ｎ ｃ ｅ Ｔ ｏ ｍｏ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｙ ， 简称 Ｅ Ｒ Ｔ ） 技术 是 电学 层析 成 像技 术 存 在 的 四种 基 本 形式之一 ， 是 过程 层 析 成 像 技 术 中的 一 个 分 支 ， 它 与
采 用逆 时针 由内而外 的按层 编号 方法 。 步骤 ３ ： 以中心原 点作 为起 始 节 点 ， 从 第 一象 限开 始标号， 则每 个 象 限 的节 点数 为 ７ ２ ， 因此 网格 内所 有 节 点数 即 为 ２ ８ ９ ， 记作 ｔ ｏ ｔ ａ ｌｎ ｕ ｍｂ ｅ ｒ ， 故 最 终 将 产 生 一
设有 限元 网络系 统 的节 点总 数 为 ｎ ，有 限元方 程 分 为 四个象 限 。其 中横轴 和 纵轴 的正 半轴 分属 于第 一
组的整体刚度矩 阵 Ｋ是一个对称方阵， 定义 ￡ （ Ｋ ） 为 与 第二 象 限 ， １ Ｔ 方 向上 的节 点属 于第 三 象 限 ，３ ＇ ｒ ｒ ／ ２方
人 体 生 理 功 能 与疾 病 诊 断方 面 具 有 很 重 要 的 临床 价 但 该 方 法 在 降低 带 宽 方 面 的效 果 并 没 有 从 理 论 上 证
值ｆ 。
明是最优的。本文提供两种编号思路： ①将平面网格
为 了提 高 正 问题 的 计算 效 率 ， 目前 国 内外 学者 在 图形通 过 平 面直 角坐 标 系分 成 为 四块 区域 ， 从横 轴 的 有 限元 编 号优化 方 面进行 了大量 的研 究 。本 文 首先通 正 向开始 ，逆 时 针 依次 为每 个 象 限 的节 点进 行编 号 。 过 直角 坐 标 系对 平面 区 域划 分 为 四个 象 限 ， 在 传 统 的 ②基于传统编号方案及编号思路① ， 对所有节点划分 电阻层 析 成像 拓 扑 结构 的节 点编 号方 法 上进 行 改 动 ，
一种等几何形状优化的网格更新方法
一种等几何形状优化的网格更新方法李杨;张卫红;蔡守宇【摘要】等几何分析方法(Isogeometric Analysis,IGA)采用NURBS实现了计算机辅助几何设计(CAD)、有限元分析(FEA)和结构优化的无缝连接.该方法将几何模型边界的NURBS控制点作为设计变量,使优化过程大大简化.然而,优化过程中由于设计变量的大幅变化使相邻控制点距离过近或过远,导致网格重叠与畸形、计算精度降低甚至迭代过程中断.为此,提出一种基于NURBS控制点间距的网格更新方法,取得了良好的效果.【期刊名称】《机械制造》【年(卷),期】2013(051)004【总页数】4页(P16-19)【关键词】等几何分析;形状优化;NURBS;网格更新【作者】李杨;张卫红;蔡守宇【作者单位】西北工业大学现代设计与集成制造技术教育部重点实验室西安710072【正文语种】中文【中图分类】TH122结构形状优化旨在通过修改结构内外边界几何形状，改善结构特性（如降低应力集中、提高刚度、减轻结构质量），主要包括三步：参数化几何模型的建立；结构响应分析和灵敏度计算；优化算法的实现。
在优化过程中，用于描述结构几何形状的参数作为设计变量，结构质量与响应（如应力、柔顺度、频率等）作为目标函数和约束。
传统的形状优化方法采用计算机辅助几何设计（CAD）进行几何建模，即利用Bezier、B样条或非均匀有理B样条（NURBS）参数化描述。
由于CAD模型无法直接用于有限元分析（FEA），需要划分有限元网格后进行分析和优化［1］，几何模型（CAD）和分析模型（FEA）相互孤立，如图 1（a）所示。
IGA方法将NURBS基函数不仅用于参数化几何建模，而且用于力学场计算［2］，实现了几何模型（CAD）、分析模型（IGA）和优化模型的无缝连接，如图1（b）所示。
由于CAD模型直接用于等几何分析，几何形状的精确表示使分析精度提高。
目前，基于IGA的形状优化已被成功应用于平面线弹性问题［3,4,5］、三维线弹性问题［6］、梁结构［7］和振动腔问题［8］。
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①
②
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图 1 具有较优节点编号图
根据图 1，可以建立各节点的特征表，如表 1，其中单元节点商是单元节号总和除以单 元个数所得的值，节点商是节点号总和除以节点个数所得的值。
相关 节
单元 点
号
1
①
2 ①⑤
3
⑤
4 ①②
①② 5 ⑤⑥
6 ⑤⑥ 7 ②③
②③ 8 ⑥⑦
9 ⑥⑦ 10 ③④
③④ 11 ⑦⑧
12 ⑦⑧ 13 ④ 14 ④⑧ 15 ⑧
相关单元节点编号
1,4,5,2 1,4,5,2 2,5,6,3
2,5,6,3 1,4,5,2 4,7,8,5 1,4,5,2 4,7,8,5 2,5,6,3 5,8,9,6 2,5,6,3 5,8,9,6 4,7,8,5 7,10,11,8 4,7,8,5 7,10,11,8 5,8,9,6 8,11,12,9 5,8,9,6 8,11,12,9 7,10,11,8 10,13,14,11 7,10,11,8 10,13,14,11 8,11,12,9 11,14,15,12 8,11,12,9 11,14,15,12
An Optimal Algorithm of Node Numbering in Finite Element Mesh
Zhang Yuanyuan1，Hou Hua2 ，Cheng Jun2
1.Colleage of Electronics and Computer Science ,North University of China, Taiyuan（030051） 2.Colleage of Materials Science and Engineering ,North University of China, Taiyuan（030051)
6）计算每一个节点的节点序号和，即 NSum 除以相关节点数，建立节点商数组 D，按 照节点顺序排列，判别节点商数组 D 是否按从小到大顺序排列（相邻节点 D 可以相等），若 是，则执行步骤（7）；否则，在单元节点数组成 FN 中，调换相邻节点序号，返回步骤（2）， 重新执行。
7）按照单元排列顺序，依次计算各单元的半带宽值，建立数组 HBW，在 HBW 中取最 大值 HbwMax，即为网格节点矩阵的半带宽值。
1）对于任意网格的有限元网格，只需用上述一条或交叉利用其中两条规律即可使有限 元网格中的节点编号处于较优，但不一定是最优解，这与单元的初始编排形式有关；
2）在实际优化中，有可能会出现不能同时满足这三个条件，程序执行应跳出循环，进 行下一步运算。
3）该方法简单有效，且易实现。
-4-
1 引言
有限元分析时经常会碰到具有稀疏矩阵刚度的方程式。减少稀疏矩阵的带宽可以减少有 限元的计算时间，和减少占用计算机的储存空间。在有限元的计算过程中.可通过节点重编 号来减少带宽。对于节点重编号的研究较多，最典型的有：Cuthill和Mckee[1]基于图论的节 点分层编号方法，可在一定程度上减小刚度矩阵的带宽，此方法后来称为CM方法。Gibbs[2] 提出了更加有效的基于图论的减少稀疏矩阵带宽和外形的方法，此方法后来称为GPS方法。 Akhras[3]通过计算节点商方法来缩小带宽,该方法编程方便，但他的方法过分依赖初始编号， 算法不稳定。此方法后来称为AD方法。欧阳兴提出了前沿法与矩形法，该法特别适用于平 面单元和壳单元[4]。
2 优化算法分析
在对物体进行有限元分析时，首先要进行网格划分，通常初始划分网格和确定节点序号 是按照某种规律进行，这样有利于计算机自动划分网格。一般来说，编排出来的网格和节点 所形成的有限元总刚度矩阵，有时半带宽值很大，需要对网格节点进行重新排序，以达到半 带宽值最小的目的。本文采用的有限元网格节点优化排序方法是一种归纳、演绎方法。即对 一种最佳的网格节点编号图进行分析，根据其单元上节点的排列，达到构成刚度矩阵半带宽 值最小时的一些特征进行分析，从其中归纳出若干条规律，通过大量的算例来验证该规律的 正确性、可靠性和优越性。该算法的特点，可通过分析图 1 所示具有较优节点编号图来予以 说明。
46 48 50 52
节点 号和
12 21 16 27
45
33 45
72
51 63
99
69 48 75 52
节 节 最大最
点 点 小节点
数 商 编号和
43
6
6 3.5
7
44
8
6 4.5
9
95
10
6 5.5
11
6 7.5
15
98
16
6 8.5
17
6 10.5 21
9 11
22
6 11.5 234 Leabharlann 2-5-3 实例分析
下面用本文的优化算法编程所优化的节点编号。图 2 所示单元数为 87，节点数为 107， 半带宽为 310，图 3 为经过一次优化后的节点编号图，半带宽为 230，减少了 25.8%。
图 2 原始节点编号图
图 3 经过一次节点编号优化的节点编号图
图 4 所示单元数为 88，节点数为 193，半带宽为 567；图 5 是经过多次节点编号优化，半带 宽为 386，减少了 31.9%。
一种有限元网格节点编号的优化算法1
张媛媛1，侯华2，程军2
1.中北大学电子与计算机科学技术学院，太原（030051） 2. 中北大学材料科学与工程学院，太原 (030051）
E-mail：yuan_yuanzhang@
摘 要：为提高有限元的计算效率，减少计算数据所需在存储量，本文提出的节点编号优化 算法是一种归纳、演绎方法。通过对在网格半带宽最小时的节点排列的一些特征进行分析， 从其中归纳出三条规律，通过大量的算例来验证该规律的正确性和可靠性，结果表明，对于 任意划分的有限元网格，利用该方法对节点重新编号，可得到较小的半带宽值，节省了计算 机的内存空间，提高了计算效率。 关键词：有限元；网格；节点编号；半带宽；优化
10,13,14,11 10,13,14,11 11,14,15,12
11,14,15,12
表 1 节点特征表
单元节 点号总
和
单元 个数
12
1
28
2
16
1
36
2
80
4
44
2
60
2
128
4
68
2
84
2
176
4
92
2
48
1
100
2
52
1
单元 节点 商 12 14 16 18
20
22 30
32
34 42
44
24
6 12.5 25
4 13
26
对上表进行分析后，可以得知：在满足矩阵半带宽最小条件下的节点排列网格中，具有 以下三条规律：
1）节点编号随节点的单元节点商从小到大排列而排列； 2）节点编号随节点的节点商呈从小到大排列而排列； 3）节点编号随节点的最大最小节点编号和呈从小到大排列而排列。 由此规律提出一个节点排序优化的算法，其具体算法如下： 1）从数据文件中读取要优化网格的节点数，单元数及单元节点序号，建立单元节点数 组 FN； 2）按节点排列顺序，循环寻找每一个节点周围单元的节点序号，建立各节点的相关单
作者简介： 张媛媛（1980－），女，籍贯山西侯马，汉族，硕士研究生，中北大学电子与计算机科学技 术学院，研究方向：多媒体与仿真技术； 侯华，男，汉族，籍贯山西省，博士，副教授，中北大学材料科学与工程学院，研究方向： 液态成型与过程控制技术； 程军，男，汉族，博导，教授，中北大学材料科学与工程学院，目前主要从事液态成型及过 程控制、快速成型技术、计算机在铸造中的应用技术及铸造CAD/CAE/CAM集成应用系统方 面的研究。
Abstract For the sake of enhancing the efficiency of finite element computation, and reducing the needed amount of storage of computation data. In the paper, an optimal method for node labels in the finite element is presented, which is an inductive and deductive method. By the analysis to the order features of the nodes when the network bandwidth is the minimum value, we can induce three regulars. Testing a large number of examples, which show that the presented scheme can reduce bandwidth for arbitrary mesh by renumbering the nodes, proves the correctness and reliability of the regulars. Thus the memory of computer is saved and the compute efficiency is improved. Keywords: finite element method; mesh; node numbering; bandwidth; optimization