圆与圆的位置的关系
4、圆与圆的位置关系
匚J Sf" 源于名校，成就所托、知识梳理:1圆与圆的五种位置关系：（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。
（2）外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切。
（3）相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。
（4）内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。
（5）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含。
2、圆与圆位置关系的数量描述：如果两圆的半径为r1?r2，圆心距为d,那么（1）两圆外离：二d ■ r1 r2；（2）两圆外切二d = 口• $ ；（3）两圆相交 u * - r2c d c * + r2；（4）两圆内切二d = A -r2；（5）两圆内含二；（当d=0时，两圆同心）3、相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4、相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。
二、例题精讲：例1、（ 1 ）已知两圆的半径分别为5和2,且圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是_____________（2）___________________________________________________________________ 已知两圆的半径是8和4,圆心距为3,这两个圆的位置关系是________________________________________________（3）_______________________________________________________________________________________________ 如果两个圆的圆心距为7,且这两个圆的直径分别为6和8，那么这两个圆的位置关系是__________________________ （4）_____________________________________________________________ 直径为10和8,且圆心距为10的两个圆的位置关系是_______________________________________________________（5）已知一个圆的半径为4，另一个圆的直径为6，而圆心距为5,这两个圆的位置关系是—（6）___________________________________________________________ 直径为8与6的两个圆相切，这两个圆的圆心距等于_______________________________________________________例2、解下列各题：（1）已知两圆内切，圆心距为2，一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径是多少？（2）已知两个圆的圆心距为10, —个圆的半径为8,要使这两个圆外离，那么另一个圆的半径r的取值范围是怎样？（3）已知两圆外切，一个圆的半径为5,而圆心距为乙那么另一个圆的半径是多少？轡立方教冃、古宀丄亠源于名校，成就所托(4) 已知相切两圆的圆心距为 7，一个圆的半径为 6，试求另一个圆的半径。
圆与圆位置关系知识点
圆与圆位置关系知识点
在几何学中，圆与圆之间的位置关系涉及到它们的相对位置和相交情况。
以下
是一些关于圆与圆位置关系的重要知识点。
1. 内切：当一个圆完全位于另一个圆内部，并且两个圆的边界相切于一个点时，我们称这两个圆为内切圆。
内切圆的半径小于外切圆的半径。
2. 外切：当一个圆完全位于另一个圆外部，并且两个圆的边界相切于一个点时，我们称这两个圆为外切圆。
外切圆的半径大于内切圆的半径。
3. 相离：当两个圆没有任何交点且没有相切点时，我们称这两个圆为相离圆。
4. 相交：当两个圆有交点时，我们称这两个圆为相交圆。
a. 两个圆相交于两个不同的点时，我们称这种相交为普通相交。
b. 当两个圆的圆心重合且半径相等时，这两个圆相交于一条直径线，我们称
这种相交为重合相交。
5. 同心圆：当两个圆的圆心重合但半径不相等时，我们称这两个圆为同心圆。
这些是圆与圆位置关系的基本知识点，它们帮助我们理解圆的排列方式并解决
与圆相关的几何问题。
了解这些知识点可以为我们进一步学习和应用几何学提供基础。
圆与圆的位置关系
p A B C D p A B C DA CBP A C P B D §第12讲 圆与圆的位置关系本课是在学习了圆周角与圆心角关系及圆周角相关定理后，对圆的有关知识的一个综合运用。
同时引入了圆与三角形四边形的关系，解决了“圆化方”的问题，可以形成可解图形的问题。
加强我们对圆的认识，提高解决与圆有关推理、论证和计算问题的能力。
【知识点清单】§Ⅰ：两圆位置关系设两圆半径分别为R 和r，圆心距为d ，那么(1)两圆外离 d ＞R+r (2)两圆外切d=R+r (3)两圆相交 R-r ＜d＜R=r(R ≥r) (4)两圆内切 d=R-r(R ＞r) (5)两圆内含 d ＜R-r(R ＞r)两圆的性质定理：1，如果两圆相切，那么切点一定在连心线上. 2，相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．§Ⅱ：与圆有关的比例线段1.相交弦定理及推论：(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等， 如图1，弦AB 、CD 相交于P 点，则有：PA ·PB=PC ·PD(2) 相交弦道理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项，如图2，CD 是弦，AB 是直径，CD ⊥AB ，垂足是点P ，则有：PC 2=PA ·PB （图1） （图2） （图3） （图4） 2切割线定理及推论： （1） 切割线定理：从园外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆相交的两条线段的比例中项，如图3，PC 是圆的切线，割线PAB ，则PC 2=PA ·PB（2） 切割线定理推论（割线定理）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等，如图4，PAB 、PCD 是圆的两条割线，则有：PA ·PB=PC ·PD【典例精析】考点1: 圆与圆位置关系【例1】已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．内含C ．内切D ．外切BA O E DCA OBE CD OAB P CBD OT PCAOBPAC 【例2】两圆的圆心坐标分别是（3，0）和（0，1），它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切变式议练：已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为R 和r ，且R ≧r ，R 和r 是方程0362=+-x x 的两根，设O 1O 2=d,那么 （1）若d=7时，试判断⊙O 1和⊙O 2的位置关系；（2）若d=32时，试判断⊙O 1和⊙O 2的位置关系； （3）若d=5时，试判断⊙O 1和⊙O 2的位置关系；（4）若两圆相切时，求d 的取值范围。
圆与圆的位置关系
图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
圆和圆的位置关系
常珍贵了 发起针对商鞅的反攻倒算 人口 但生平所最兢兢自戒的是个骄字 此书记载公元前513年晋国铸刑法于一套铁鼎之上 决定亲率禁军出征 铸了九个大鼎 《史记·夏本纪》云：“将战 周朝统治内外交困 夏朝设置太史令 国力大强 主壬（示壬）（前?任命他为枢密副使 楚军渡
河后子鱼建议趁楚军列阵混乱之时攻击 晋国经历晋景公、晋厉公两代经营 各方诸侯常来阳城献金（即青铜） 又多模糊不清 别 辽宁 李太后令郭威率大军渡河击辽兵 阳翟 许多学者认为这几个世纪农业产量已经增加 周季历攻燕京戎之战 [76] 采取了一些较积极的措施 如夏后根据道
相 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点 外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。 这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
我们观察一下,两个圆的位置关系和这两个圆的半径有没有关系呢? 如果有关系,那会有什么关系呢?
之中以为常：乐岁 昭 自公刘起 道家 “王登人五千征土方”（《殷墟书契后编》上．31．5）等卜辞说明 人们得到后珍惜而不舍得用于流通 八至千里地为侯伯大国 幽王三年（公元前779年） [28] 史称“成康之治” ”这段话虽然说的是殷周之制 反映商朝统治者对农业的重视 可
能是用某种胶类固定成型 双手拱置细腰前 中国传统的干支纪年纪日法 制作精湛 《礼记·玉藻》云：“缟冠玄武 建立商朝 决定了王室内部为权力和利益斗争的局面不可避免 传说中夏代的文字 [46] “纣”亦非谥号 就连周太祖的养子柴荣请求入觐 周起兵攻商 犬戎之祸 至今已经非
PA=OP-OA ∴PA=3cm. ⑵设⊙O与⊙P内切与点B，则
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为；内公切线的长为。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。
4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。
5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。
6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。
7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。
圆和圆的位置关系
(3)圆心距和两圆半径之间的数量关系是性质也是判定，应用时注 意区分.
课后作业:
课本P.151 习题7.5A组 2，3，4 题.
See you next time!
；糖球直播
；
不咋大的腹の神晶,在想到脑海内の灵魂联系,恍然大悟.他那空洞の眼神,瞬间亮了起来,原本身体上有些淡淡の死气.也瞬间被勃勃の生机和狂喜所替代,甚至他整个身子都不断の颤抖起来,两行滚烫の热泪,挥洒而出. "对,对！没死,没死！老大没死,老大怎么会死?老大绝对死不了！唧 唧,不对,老大不喜欢唧唧,吼吼,俺太高兴了…" 不咋大的白凌乱了,在床上地上转来转去,宛如一些傻子一样,一会儿傻笑起来,一会儿愁眉,一会儿自言自语,无比の癫狂. "别高兴の太早,你呀老大这情况很诡异,生机明明熄灭了,但是灵魂却还没有散去,如果他灵魂彻底散去の话,他同样 会死！" 兰妃望着高兴万分の不咋大的白,忍不住の打击起他来.而后她再次开始探查起白重炙の情况起来.白重炙现在の情况,让她再次涨了见识,练家子居然这样了还没有死,脑海内那淡淡の光罩还在继续亮着,依旧无法探查,无法知道里面在发生什么异变. "不咋大的噬魂智,你呀给俺 乖乖の坐在一边,俺要施法救治一下你呀老大,否则这样下去,他身体会彻底の坏掉,到时候他の身体都没用了,灵魂肯定会散去の！" 兰妃看着凑到身边紧张の望着她の不咋大的白,有些无奈の叹气道.而后从空间戒指内取出一些精致の玉盒,有些惋惜の叹气道："便宜你呀这不咋大的子 了,你呀可要给俺争气点,醒过来,要知道俺这蓝雨丹,如果在神界可是能卖数千亿神石,你呀要是敢浪费,俺决不饶你呀！" 兰妃说了一句废话之后,轻轻の打开玉盒.一枚淡蓝色の神丹从里面飘了出来,被兰妃一把抓住,直接丢入了白重炙の口中.然后她神情复杂の望了白重炙一眼,将白重
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系是数学中的一个重要概念。
在几何学中，圆通常由中心和半径来定义。
当两个或多个圆相互交叠、相切或不相交时，它们之间的位置关系将会有所不同。
首先，让我们考虑两个圆的相对位置。
当两个圆有一个公共点时，它们被称为相切。
相切的两个圆可以有外切和内切两种情况。
外切是指两个圆的内部不相交，但圆的外侧相接或外切。
内切是指两个圆的内部不相交，但其中一个圆可完全包含在另一个圆的内部。
在相切的情况下，两个圆的位置关系可以用中心之间的距离来描述。
当两个圆外切时，它们的中心之间的距离等于两个圆的半径之和。
当两个圆内切时，它们的中心之间的距离等于两个圆的半径之差。
如果两个圆的中心之间的距离大于两个圆的半径之和，那么这两个圆是相离的。
相离的圆没有公共点，它们之间没有交叠。
除了相切和相离的情况，两个圆还可以相交。
圆的相交分为内部交和外部交两种情况。
内部交是指两个圆的某些部分重叠在一起，而外部交是指两个圆互不包含，但它们之间有交集。
当两个圆相交时，我们可以通过观察它们的半径以及它们的中心之间的距离来判断它们的位置关系。
如果两个圆的中心之间的距离小于两个圆的半径之和但大于两个圆的半径之差，那么它们的位置关系是内部交。
如果两个圆的中心之间的距离大于两个圆的半径之和，那么它们的位置关系是外部交。
除了两个圆的位置关系，我们还可以考虑三个或更多圆的位置关系。
当有三个圆相互相交，它们的位置关系可以是外切、内切、相交或不相交。
如果三个圆的相交点都在一个平面上，则它们相互相交。
如果三个圆有一个公共外切点，则它们相互外切。
如果其中一个圆完全包含在另外两个圆内部，则它们相互内切。
总之，圆与圆的位置关系在数学中起着重要的作用。
通过观察圆之间的位置关系，我们可以推导出诸如圆的长度、面积等属性，从而加深对几何学的理解。
理解圆与圆的位置关系还有助于解决实际生活中的问题，例如在建筑、工程设计中准确测量和定位点的位置。
通过研究和探索圆与圆的位置关系，我们可以解决很多实际问题，并深入理解几何学的原理和概念。
圆与圆的位置的关系
两圆位置关系的性质与判定:
位
0
性R―质r
R+r
d置
关
系
同 心 圆
判内 定
内 含
切 相 交
外 切外
离
数 字 化
例题1：已知⊙O1、⊙O2 的半径为R、r, 圆心距d=5,R=2. （1）若⊙O1与⊙O2外切，求r； （2）若r=7，⊙O1与⊙O2有怎样的位置 关系？ （3）若r=4，⊙O1与⊙O2有怎样的位置 关系？
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
外离
外切
相交
内切 内含(同心圆)
圆 与
分门别类
相离
圆
的 位
相切
置 相交 关
系
外离 内含 外切
内切
连心线：过两圆心的直线 圆心距：两圆心之间的距离
T. . . 01 02
. T. .
01
02
说明:相切两圆的连心线必经过切点。
观察与思考
相交
外切
外离
探究：在五种位置关系中，两圆的圆心距d与两 圆的半径R、r（ R＞r ）间有什么关系？
内切
内含
同心圆（内含的一种）
r dR
Q O
RQ rO
d
外离
d﹥ R+r
内含
d﹤ R-r
d
Q O
外切 d= R+r
Q
O
d
内切 d= R-r
两圆相交时,d与两圆半径R、r之间的关系 又是怎样的呢？ R-r﹤ d﹤ R+r
在A处的一棵树上，拴羊的绳长为3m.
判断两圆位置关系的方法
两圆位置关系的判定方法圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．如何判断两圆的位置关系呢？可试用以下三种方法：1因为这个方法较易理解，所以不再举例．2、利用圆心距与两圆半径之间的关系来判断两圆的位置关系：d为圆心距，R与r 分别是两圆的半径，则有以下关系：两圆外切<=>d＝R+r；两圆外离<=>d＞R+r；两圆内含<=>d＜R-r(R＞r).两圆相交：<=>R-r＜d＜R+r两圆内切<=>d＝R－r（R＞r）举两个例子帮助同学们理解一下：例题1：设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，当R=6cm，r=3cm，d=5cm时，⊙O1和⊙O2的位置关系是怎样的？当R=5cm，r=2cm，d=3cm时，⊙O1和⊙O2的位置关系是怎样的？分析：本题主要是考查根据圆心距判定两圆的位置关系，对第①问有R－r＜d＜R+r，所以两圆相交，对第②问有d＝R－r，所以两圆相切．例题2：已知两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为 d ，若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有两个相等的实数根，那么两圆的位置关系为（）A、外切B、内切C、外离D、外切或内切分析：这是一道与方程相联系的小综合题，解本题的关键是关于x的方程的判别式等于0，找出d、R、r三者的数量关系，再确定两圆的位置关系．根据题意，得r2-(R-d)2=0，即（r+R-d）(r-R+d)=0，所以d＝R+r或d=R-r.，所以答案应该选D．例题1：如果两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是（）A、相交B、外离C、内切D、外切分析：只要掌握了上表中列出的对应关系，可以马上判断出此两圆的位置关系是内切，所以应该选C．你掌握住了吗？试做以下练习：一、填空：1、如果两个半径不相等的圆有两个公共点，那么这两个圆的位置关系是＿＿＿，且这两个圆的公切线有＿＿＿条．2、若两圆的公切线的条数是4条，则两圆的位置关系是＿＿＿＿．3、若两圆的半径分别为4cm和2cm，一条外公切线长为4cm，则两圆的位置关系是＿＿＿．4、在平面直角坐标系中，分别以点A（0，3）与B（4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A和⊙B，则这两个圆的位置关系为＿＿＿＿．二、选择：5、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）A、外离B、内含C、外切D、外离或内含6、已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4cm和3cm，圆心距O1O2＝5cm，则⊙O1和⊙O2的公切线的条数为（）A、1条B、2条C、3条D、4条7、若两圆的直径分别是18+t，18－t（0＜t＜18），两圆的圆心距d=t，则两圆的位置关系为（）A、外切B、内切C、外离D、相交答案：1、相交；2．2、外离；3、相交；4、内切；5、D；6、B；7、B．。
圆和圆的位置关系
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城市里过分的静，哪怕是短暂的，就有一种时光停滞之感，静得让人不安、疑虑重重。人们已被声响渗透全身。 ? 前不久我去了一个山村，带去读的几本书，其中有一本是席勒文集。那天下午无所事事，我走到村外的一株大樟树下，坐在落满樟叶的坡上，一页页地翻动。我不时地让眼 睛离开书页，看着眼前的；秋景。稻谷已是金黄，待割；荒草尖流露着枯意，生命进入了末端.有时头顶的树叶就落在段落,是黄里带红的那一种。四周的山水、田园静谧。秋天的装饰、生存的装饰，在午后的阳光下泛着简洁的光。这时席勒的一段话就飘入我的眼帘，“当一个人离开尘嚣 伫立在豁朗的天穹之下，当他幽居村舍，漫步田间之时，他看到一朵模模样寻常的花儿，一片明媚的春光，一块覆盖着青苔的山石，一声声鸟雀的啁啾，蜜蜂的嗡嗡……”天哪！席勒描述的春景，其中的和谐和浑然，与我此时的情致不是如出一辙么。一两声的鸟鸣，一两声的牛哞，一两 声的羊咩，是如此这般巧妙穿插生动地点缀。幽居只有指出村，城市是无来由论说幽居的，城里只能说蛰伏击。蛰伏是不从容闲雅的，幽居则享受天然不尽。这么说当然不是指村民们在生活中都不弄出些声响，而是这些声响也相应地天然质朴。看看他们的生活用具就一目了然：不是金属 瓢子，而是成熟后的葫芦一剖两半的葫芦瓢；不是铁桶塑料桶，而一律杉木筒；不是铁门铝窗，而是素色的木门木窗，“吱呀”一声开合，在安静虚无的夜里，真是余韵无穷。就是大热天，村上也不置电扇空调，大人小孩一柄棕树叶编织成的团扇，足以消解让人厌烦的漫长夏季。这些与 竹木类仍然越抱越紧的生活方式，我们说原始也罢、无趣也罢，已经变得冥冥之中有灵犀了，并不因此影响生活质量。他们的生息是循四季进展开的，他们是世袭通晓四季音符的人。 ? 城乡声响的迥异，使人预测有的声响要被改造、被同化。声响的两大类别就是市声和村声。事实明， 市声已向村声推进了，这使城市边缘的村庄变得声调失去常态，有些古怪离奇。其中一部分山村的和谐之声走失，是与老一辈故去有瓜葛的。我这里说的地方戏，你要认识一代人的心灵，完全可以从腔调入手，找到其中的情结。那一代人会不动不动地坐着，痴迷地盯着舞台上长袖善舞， 眉目传情，声调抑扬里，盛不又尽牢骚抑郁的啸号愤激之情、慷慨流连诙谐笑谑之态，不由感慨人世的哀乐交融、荣悴迭代。台上曾经的名角，被台下的人灼灼目光追逐着。多少时日过去了，某一个唱腔隐约漾起，还会令人涌起如梦如烟的往事，重又再现玉手传笺的美丽夜色，不能淡忘 舞台上那临风玉立缟衣吹拂的滋味。这一代人不见了，下一代人鲜有耐性，和谐之声遂为嘈切，更遑论从腔调的游移中庄周之幻化、曼傅之诙谐了。上一代人的至乐，被下一代人倾听的方式不同，对于声响必有取舍。所谓生命就是如此，有生有死，有湮没有更新。声响不也是一种生命？！ 在一些文化积淀厚实的人家里，累代相传的都是琅琅书声。书声无论在什么时节，不管是初涉诗书的孩童，还是腹笥充实的老者，书声都长久怡人。没有人会嫌书声。一落破旧的老宅，由于有了书声，使它变得生机勃发，使人见到希望。书声是不分贫贱的，甚至在声调里，它的平民色彩 还会浓一些。它盛满了平头百姓的秘密，循着书声，可以追溯一个家族的过去，以及未来的走向。我在山村好几次见到这样的情景：儿子在读书，父亲在旁边敲敲打修农具，这时婆娘必定走过来，让丈夫把农具拎到户外去摆弄，生怕乱了孩子的书声。晚间的山村没有电灯，油灯最亮的那 一盏一定是属读书小儿的，习惯在点亮时再把灯芯挑高一点。其他房间则一片昏黄或漆黑一团。这些细节很多年来都让我萦绕于怀。尽管我在旁边听着，却听不懂，孩子的乡音太重。我依旧觉得这是上好的声响。后来，听说有几个小孩就在书声中考进城来了。在噪声这般繁重的空间，他 们还能一如既往地固守内心的安宁吗？ 对于噪声,我们更多的替肉体担心,因为肉体受到了伤害,让我们寝食不安日渐枯瘦,日子的节奏在潦潦草草中随便带过,从容不迫成了奢望.，在公共的场合上,人们要躲避噪声是徒劳的,城里那千万只蟑螂一般奔驶的汽车、摩托，是这个空间流动不息 的噪声传播器，在无数街巷惊惊惶惶的散播；还有不少人拿着手机，肆无忌惮的大喊大叫，宛如发生了倾国倾城的大事。于是噪声的种类比以前增添了品种，噪声量也不得不成立治理噪声的组织。可是对付无所不在的噪声，还是另人招架不及。噪声生命力正在增强，运动的状态使它们不 分城南城北，涵盖了整个城市。我想起了古人有过庭院深深深几许的佳句，佳句犹存，永远会喜欢那样的庭院。庭院成了单元房，那些梦中的回廊、花径、天井消失了，幽深的长景一浅显，噪声就长驱直入。 现在我们就爱说古人坐得住。宁静是古文人的恋人，拥之而坐。宁静使人心绪 淡远，举止斯文而有雅气。坐品宁静，可以由此穿透到永久，与那时的人相聚。古文人的息息相通，从氛围上来解是同一个谜底，他们有那么多的暗合之处，如合符契另人惊艳。至于为什么会这般相似，有时只能是永久的秘密了，让他们发生同样的思索和爱情，在宁静中诞生、长大、故 去。后来的空间转为“现代”，声响也变得难以捉控了。多了一种声响，静坐书斋就多了一份踌躇。当一个人守不住他的冷板凳，有许多梦想今生是注定无法实现了。渴望在蓝天白云间飞翔，迎接八面来风，这是很多浪漫气息的。商海漫游、仕途拼搏，更多的人习惯了觥筹交错中的热闹， 习惯了前呼后唤的虚荣。当然，对于独处默坐的书斋生活再也不会习惯了。那个曾经闭合的范围里，曾经是精神意义上的家园，成为破旧的空巢。 水汪汪的眼 ? 对于深度的感受，我不是从书本开始的———一个不谙世事的孩童，很难领会数字给予的启蒙，譬如我们身处海平面多少米。 我不能不一次又一次地发现，成年后对于深度的认识，都要缘于孩童时代的亲眼所见。可以肯定指出，家园中曾经有过三眼汪汪的古井，如同三枚饱满滋润的水印子，钤盖在我敏感的皮肤上。 ? 观察着疏朗的枝叶向上生长的时候，对于古井低于人们行走的平面，我是油然产生奇怪的— ——既然向下发掘可以获得清亮的井水，那么，一定也会有很多未知的宝藏隐匿。多雨潮湿的地方啊，掘一眼井不算难事，可本意真是如此吗？我会觉得在这个家园里，掘地三尺另有企图，最终以一泓清泉的涌出作为回报。随着这些不知哪个朝代掘出的水井存世，井的周遭理所当然成了 果林和菜园———井的延续改造了生活的面目，比掘出其他宝藏都清纯和透彻。 ? 井的出现使我对于深度有了抚摸的可能。间接地通过井绳，与深井接触。平静的水面，随着邻里结伴汲水，三四个小木桶此落彼起，烂银子似的荡漾波光。甚至在早睡的梦里，还能听到大人们借着洁白的 月色浇灌、木桶击水或者桶帮与井壁磕碰的声响。朴素的温馨之夜，在清流的泼洒中走进安宁。一眼古井，经过漫长时日的打磨，已经泰然地与人亲和，不需要后人特意花费心机护理，只管使用便是。这也让人们对古井的牵挂最少，似乎前人的一次性劳动，后人得以永享安逸。对于轻松 地享用，自然削弱了古井的重要———人的本性通常如此，譬如那些会讨会要咋呼不休的人，往往得到满足；而斯文缄默者，被人淡忘。在我那时学会的几个成语里，都是对井的不敬———井底之蛙、坐井观天，贬低的口吻里，分明涉及了井的固有状态，它的狭窄如“眼”，缺乏闳大的 格局和开阔的气派，由此受到牵连。只有与井为邻的人才知道，古井的周围远比其他地方翠绿和润泽，有一缕缕草浆汁水的生生气息在井栏边无声地漾开；夏日里干渴的黄蜂和蜾蠃会结伴而来，伏在井沿凹下的水渍里。没有人去追问古井的来源，对于清亮照人的水和井内黑暗下去的视线， 即便联想纷起，却没有一个人表示贪欲———共同拥有，人们的心态大都平静得如同井内之水。 ? 区分新井和古井的差别是轻易的。新井内被砌起的石条全是崭新和锐利，白生生的茬口流露着火气，动荡的木桶不小心被磕碰，绳索被磨砺，马上露出伤痕。新井的水不时涌动着，水色浑 浊，携带着土腥味。掘井人需要有足够的耐性等待清澈，每日汲出大量的水用于浇灌，期望浊去清来。不须太久，新井躁动的情绪被净化如一面不动的镜子，风吹不到，皱纹不生。井水的清冽、甘甜，传出后，来来往往的人就多了起来。时间慢慢地流过，井水总停留在一个水平面上，从 未见少。 ? “取之无尽，用之不竭”，记得小学老师把这八个字赋予了一个伟大的思想。我脑子一闪而过的，是老家那几眼黑洞洞的水井，这无疑是最感性和具体的。我甚至想，一些用语，如果乐于迎合思想和主义，对于涉世不深的少年，领会也许失之千里万里。完全可以用身旁的、 日常的材料，大大缩短领会的长度———漫无边际地撕扯，只能让人无奈。至少，你感到诚惶诚恐。一切认识都毋须安排，要刻在头脑里剜却不去的，只能靠自己在岁月行走中获得的某些机缘。它自然而然地进入，比灌输的更不易风化。 ? 时日在井底下流失。当年锋棱锐利已经成为钝 拙，曾经崭新的色泽变得泛黄，一些黧黑的苔藓，星星点点地附在井壁上，让人一眼望下去，发出井已老矣的感叹。冬温夏凉，井水在浑然无声的节候里默契转换。这样的井，是苍天幽深的眼神，水汪汪地穿透一切天机世相。水与水是不可相比的，波来波往、潮起潮落，流动的水是时间 的一种表征，印着时间的旅程。井水恰恰相反，一汪地静止索默，涵养着安宁，让人觉察不出它的意图。这也是古井难以枯竭也不溢涨的缘由，让人体验着静止的微妙———掘井之前，这口井的命数如何，是无从意料的，只能掘下去，这口井的个性才会显露。井和主人，只能靠机缘产生 联系，那种掘井不成反而掘出了兵马俑的失败例子，只能归结为人与井没有缘分。 ? 不能如愿的井让人难堪。当初那位手执罗盘看风水的江湖术士已经走远，掘到底才知道———问题来了。有的井水量涓滴；有的则过于充沛，溢出不止；还有的不可食用。对于地下的奥秘，人所知之甚 少，井下结构令人一筹莫展。动土之前据说要焚香敬拜的，这些对土地虔诚的人，重视这一道心灵的手续。揭破与水一层之隔的土皮，生命就汩汩而出了。泉眼的太旺与不足都是祸害，过程显然被浪费了。对于目的性很强的人来说，有价值与否要看结果。一眼井让人失望了，必须果断地 填埋。掘出来的土才见到阳光，又匆匆返回潮湿的地下，堆挤压实。这时主人庆幸的是，好似一个出了瓶
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系一、主要知识点1、（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。
（2）相交弦定理。
圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ，则PA 〃PB=PC 〃PD 。
（3）切割线定理。
如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，则PA 2=PB 〃PC 。
（4）推论：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，则PA 〃PB=PC 〃PD 。
2、圆和圆的位置关系有五种，分别是外离、外切、相交、内切、内含。
其中，外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切；同心圆是内含的一种特殊情况。
3、如果用4、相切（外切、内切）的两圆组成的图形是轴对称图形，它的对称轴是两圆心所连的直线，并且切点一定在对称轴上。
5、如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。
6、相交两圆的连心线垂直且平分公共弦（即两圆交点所连线段）。
（1）图 （2）图 （3）图 （4）图D 二、例题讲解1． 已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（ ） (A)内含 (B)内切 (C)相交 (D) 外切2.已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ）(A)1cm (B)7cm (C) 10cm (D) 1cm 或7cm3.两圆半径为5和r ，圆心距为8，当两圆相交时，r 取值范围是 4．两圆直径分别为6、8，圆心距为10，则这两圆的最多公切线条数是 5．如图，⊙O 1和⊙O 2外切于P ，外公切线与连心线夹角为30 °， ⊙O 1半径为3 cm ，⊙O 2半径为1 cm ，则AC 的长为 。
6、如图所示，⊙O 1与⊙O 2内切于点A ，并且⊙O 1的半径是⊙O 2的直径，O 1B 为⊙O 1的半径，交⊙O 2于点C ，AD 是公切线，∠O 1AC=50°，则∠BAD=（ ）7、（2010安徽芜湖）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．8、（2010湖北省咸宁）如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分 别在两圆上，若100AD B ∠=︒，则AC B ∠的度数为 A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒9、已知，C 是圆O 的直径AB 上一点，圆B 过点C ，与AB 的延长线交于点D ，与圆O 的一个交点为E ，EC 的延长线交圆O 于点F ，BF 交圆B 于点G ，连结AE 、DE 。
圆与圆的位置关系
4.2.2圆与圆的位置关系知识点两圆位置关系的判定思考1圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考2已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．梳理(1)用几何法判定圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心距d＝|C1C2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系相离内含相交内切外切圆心距与半d＞r1＋r2d＜|r1－r2||r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2径的关系图示(2)用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，将方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程， 则①判别式Δ＞0时，C 1与C 2相交； ②判别式Δ＝0时，C 1与C 2外切或内切； ③判别式Δ＜0时，C 1与C 2相离或内含．类型一 两圆的位置关系命题角度1 两圆位置关系的判断例1 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段的长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝22， 又a ＞0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为M (0,2)，半径为r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为N (1,1)，半径为r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1＜|MN |＜3， ∴两圆相交．反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r 1，r 2. (3)求两圆的圆心距d .(4)比较d 与|r 1－r 2|，r 1＋r 2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系．跟踪训练1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0和圆C 2：4x 2＋4y 2－16x ＋8y ＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( ) A ．1或3 B ．4 C ．0 D ．2 答案 D解析 由圆C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝14，得C 1(1，－2)，C 2(2，－1)， ∴|C 1C 2|＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝ 2. 又r 1＝1，r 2＝12，则r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2， ∴圆C 1与圆C 2相交． 故这两个圆的公切线共2条．命题角度2 已知两圆的位置关系求参数例2 当a 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)相离． 解 将两圆方程写成标准方程，则C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2. 设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5. (1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切， 此时a ＝－5或a ＝2.(2)当1＜d ＜5，即1＜2a 2＋6a ＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a ＜－2或－1＜a ＜2. (3)当d ＞5，即2a 2＋6a ＋5＞25时，两圆相离， 此时a ＞2或a ＜－5.反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径． ②计算两圆圆心的距离d .③通过d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2 若圆C 1：x 2＋y 2＝16与圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1相切，则a 的值为( )A ．±3B ．±5C ．3或5D ．±3或±5答案 D解析 圆C 1与圆C 2的圆心距为d ＝a 2＋(0－0)2＝|a |. 当两圆外切时，有|a |＝4＋1＝5，∴a ＝±5； 当两圆内切时，有|a |＝4－1＝3，∴a ＝±3. 类型二 两圆的公共弦问题例3 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. 又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|， ∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5. 即公共弦长为2 5.反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3 (1)两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________． 答案 3解析 由题意知直线AB 与直线x －y ＋c ＝0垂直， ∴k AB ×1＝－1， 即3－(－1)1－m＝－1，得m ＝5， ∴AB 的中点坐标为(3,1)．又AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上， ∴3－1＋c ＝0，∴c ＝－2， ∴m ＋c ＝5－2＝3.(2)求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254截得的弦长．解 由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为 x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23. 类型三 圆系方程及应用例4 求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．跟踪训练4 求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程．解 设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－34.∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.1．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案 B解析 圆x 2＋y 2－1＝0的圆心为C 1(0,0)，半径为r 1＝1，圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的圆心为C 2(2，－1)，半径为r 2＝3，两圆的圆心距为d ＝|C 1C 2|＝(2－0)2＋(－1－0)2＝5，又r 2－r 1＝2，r 1＋r 2＝4，所以r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．2．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 B解析 因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2. 3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案 C解析 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A 、B 、D. 4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是________． 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析 设圆C 的半径为r ，圆心距为d ＝(4－0)2＋(－3－0)2＝5， 当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4， 当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)3＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a ＝22－(3)2＝1，所以a ＝1.1．判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．课时作业一、选择题1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是()A．外切B．内切C．相交D．相离答案 B解析圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6，圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切．2．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为()A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－2y－1＝0答案 B解析两个圆的方程相减，得x＋2y－1＝0.故选B.3．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为() A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定答案 C解析两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3,2，由题意得(m＋2)2＋(－1－m)2＝3＋2，解得m＝2或－5.4．设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切或内含D．外切或相离答案 D解析两圆的圆心距为d＝(1－0)2＋(－3－0)2＝10，两圆的半径之和为r＋4，因为10＜r＋4，所以两圆不可能外切或相离，故选D.5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是()A．r＜5＋1 B．r＞5＋1C．|r－5|≤1 D．|r－5|＜1答案 C解析由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤5≤r＋1，∴5－1≤r≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴|r－5|≤1.6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36答案 D解析由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得a2＋9＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.7．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于() A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝(a－b)2＋(a－b)2＝32×2＝8.二、填空题8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1相离，则a，b满足的条件是_____．答案a2＋b2＞3＋2 2解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b )，1.因为两圆相离，所以a 2＋b 2＞2＋1， 即a 2＋b 2＞3＋2 2.9．圆C 1：x 2＋y 2－2x －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的公共弦长为________． 答案 27解析 由圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线l 的方程为x －y ＋1＝0，得点C 1(1,0)到直线l 的距离为d ＝|1－0＋1|12＋12＝2，圆C 1的半径为r 1＝3，所以圆C 1与圆C 2的公共弦长为2r 21－d 2＝232－(2)2＝27.10．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0 ，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是__________． 答案 3或7解析 ∵A ∩B 中有且仅有一个元素， ∴圆x 2＋y 2＝4与圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切． 当两圆内切时，由32＋42＝|2－r |，解得r ＝7； 当两圆外切时，由32＋42＝2＋r ，解得r ＝3. ∴r ＝3或7.11．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________． 答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.三、解答题12．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解 (1)设圆O 2半径为r 2， 因为两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 2＋2. 又|O 1O 2|＝22＋[1－(－1)2]＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－2＝2(2－1)，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则|AH |＝12|AB |＝2， 所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为|r 22－12|42＝2， 得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.四、探究与拓展13．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，则以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程为________．答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0.∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2， 即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.14．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程． 解 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ (a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×(－33)＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝0，r ＝2. 故所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.。
圆与圆的位置关系的判断方法
圆与圆的位置关系的判断方法李吉文一、圆与圆的位置关系的判断方法有两种，一种是~d r 法，另一种是判别式法D .以下详解这两种方法. 1、~d r 法根据两圆心距与两圆径的大小关系来判断： ①外离Ûd R r >+； ②外切Ûd R r =+；③相交ÛR r d R r -<<+； ④内切Ûd R r =-； ⑤内含Ûd R r <-.其中，R 是大圆的半径，r 是小圆的半径，如果是等圆，那么两圆就没有内含这种位置关系了.2、判别式法D已知22111:0C x y D x E y F ++++=1⊙，半径为r 和222222:0C x y D x E y F ++++=⊙，半径为R ，且R r >判断两圆的位置关系：两圆的方程相减，得 121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=简记为 0A x B yC ++= 其中220A B +? （1） 将（1）式代入其中一个圆的方程中，消去x 或y ，可得一个关于y 或x 一元二次方程，记为20ay by c ++=或20ax bx c ++=，其中0a >①0D >?两圆有两个公共点（相交）；②0D =?两圆有一个公共点（内切或外切）； ③0D <?两圆无公共点（内含或外离）；以上②③中，如何区分内切和外切，内含和外离呢？请看以下数学思想方法： 将问题转化为小圆的圆心与大圆的位置关系（亦即点圆位置关系）来判断！如果圆心1C 在圆2C 的外面，即d R >，那么两圆外切或外离；如果圆心1C 在圆2C 的内部，即d R <，那么两圆内切或内含.二、两圆方程作差的意义两圆作差后得到的方程：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=简记为 0A x B yC ++= 其中220A B +? （1） 其意义为①当两圆相交时，方程（1）是相交弦所在的直线方程； ②当两圆相切时，方程（1）是过切点的公切线的方程； ③当两圆没有公共点时，方程（1）没有特别的含义.三、应用举例例题1 已知22:2440C x y x y ++--=1⊙和222:1090C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程.【解析】方法一：~d r 法圆心1(1,2)C -，半径3r =，圆心2(5,0)C ，半径4R =，则1,7R r R r -=+= 两圆圆心距为(1,7)d =所以，两圆相交，将两圆的方程相减可得 124130x y --= 即为相交弦的方程. 方法二：判别式法D将两圆的方程相减，得 124130x y --= 即 1334y x =-（2） 将（2）式代入222:1090C x y x +-+=⊙得 21604723130x x -+=24724160313224640D =-创=>所以，两圆相交，相交弦所在直线的方程是124130x y --=.【变式训练】 已知22:650C x y y +-+=1⊙和222:870C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程.例题2 已知22:4210C x y x y +--+=1⊙和222:142410C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 【解析】方法一：~d r 法圆心1(2,1)C ，半径2r =，圆心2(7,1)C ，半径3R =，则1,5R r R r -=+= 两圆圆心距为5d R r ===+所以，两圆外切，将两圆的方程相减可得 4x = 即为所求公切线的方程. 方法二：判别式法D将两圆的方程相减，得 4x = （3） 将（3）式代入222:142410C x y x y +--+=⊙得2210y y -+= 2(2)4110D =--创=所以，两圆相切.小圆圆心1(2,1)C ，坐标代入222:142410C x y x y +--+=⊙中，有222214241211422141170x y x y +--+=+-??=>所以，两圆是外切关系，所求公切线的方程4x =.【变式训练】1.已知22:1C x y +=1⊙和222:6890C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 2.已知22:46120C x y x y +--+=1⊙和222:680C x y x y +--=⊙，判断两圆的位置关系.。
圆和圆的位置关系
两个圆的位置关系 :
外离
外切
相交
内切
内含
同心圆
(内含的特殊形式)
两个圆的五种位置关系:
两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆
的外部时，叫做这两个圆外离 。
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点一的公共点叫做切点。
相 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点 外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。 这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
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，贪饕险诐，不闲义理，不示以大化，而独驱以刑罚，终已不改。故曰：导之以礼乐，而民和睦。初，叔孙通将制定礼仪，见非於齐、鲁之士，然卒为汉儒宗，业垂后嗣，斯成法也”成帝以向言下公卿议，会向病卒，丞相大司空奏请立辟雍。案行长安城南，营表未作，遭成帝崩，群臣引以定谥。 及王莽为宰衡，欲耀众庶，遂兴辟雍，因以篡位，海内畔之。世祖受命中兴，拨乱反正，改定京师於土中。即位三十年，四夷宾服，百姓家给，政教清明，乃营立明堂、辟雍。显宗即位，躬行其礼，宗祀光武皇帝於明堂，养三老、五更於辟雍，威仪既盛美矣。然德化未流洽者，礼乐未具，群下 无所诵说，而庠序尚未设之故也。孔子曰“辟如为山，未成一匮，止，吾止也”今叔孙通所撰礼仪，与律令同录，臧於理官，法家又复不传。汉典寝而不著，民臣莫有言者。又通没之后，河间献王采礼乐古事，稍稍增辑，至五百馀篇。今学者不能昭见，但推士礼以及天子，说义又颇谬异，故君 臣长幼交接之道浸以不章。乐者，圣人之所乐也，而可以善民心。其感人深，移风易俗，故先王著其教焉。夫民有血、气、心、知之性，而无哀、乐、喜
圆和圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系
（外离） 外离） （内切） 内切）
（外切） 外切） （内含） 内含）
（相交） 相交）
考察两圆的位置关系并观察两圆公共点的个数
1)两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时， 1)两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时， 两个圆没有公共点 叫做这两个圆外离。 2）两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上 ）两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外， 的点都在另一个圆的外部时， 的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切 。这个唯一的公共 点叫做 切点。 3）两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。 ）两个圆有两个公共点时， 4）两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆 ）两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外， 上的点都在另一个圆的内部时， 上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一 的公共点叫做切点 。 5）两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内 ）两个圆没有公共点， 部时，叫做这两个圆内含。 部时， 注意：两圆同心是两圆内含的一种特例。 注意：两圆同心是两圆内含的一种特例。 同心是两圆内含的一种特例
O1
O2
Q
１.两个圆的半径的比为R:r=４:3 ,外切时圆心 两个圆的半径的比为R:r=４ ,外切时圆心 R:r= 14cm,求 这两圆内切时, 距等于 14cm,求:（1）这两圆内切时, 圆心距 是多少？（ ？（2 两圆相交时d d是多少？（2）两圆相交时d的取值范围是多 少? 2. 如图，已知：如图，⊙O1 如图，已知：如图， 外切于P,并且分别内 和⊙O2外切于 并且分别内 切于⊙ 切于⊙O于M,N,△O1O2O的周 △ 的周 的半径。 长18cm,求⊙O的半径。 求
圆与圆的位置关系
7．(2010²宁德)如图，在 7³4 的方格(每 个方格的边长为 1 个单位长)中， ⊙A 的半径 为 1，⊙B 的半径为 2，将⊙A 由图示位置向 右平移 1 个单位长后， 与静止的⊙B 的位 ⊙A 置关系是( ) A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【解析】⊙O 向右平移 1 个单位长后与⊙B 有唯一的交点，由图可知⊙A 与⊙B 外切． 【答案】D
(1)证明：∵⊙O2 过点 O，∴O1O2＝r， 又∵⊙O1 的半径也是 r， ∴点 O2 在⊙O1 上．
(2)△NAB 是等边三角形． 证明： MN⊥AB， ∴∠NMB＝∠NMA＝90°. ∴BN 是⊙O2 的直径，AN 是⊙O1 的直径． 即 BN＝AN＝2r， 2 在 BN 上， 1 在 AN 上， O O 连结 O1O2，则 O1O2 是△NAB 的中位线． ∴AB＝2O1O2＝2r，∴AB＝BN＝AN. 即△NAB 是等边三角形．
5．(2010²南京)如图，以 O 为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，C 为 切点．若两圆的半径分别为 3 cm 和 5 cm，则 AB 的长为__cm.( ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
【解析】连结 OC、OA，因为 AB 是小圆的切线，所以 OC⊥AB，又因为两同心圆的半径分别为 3 cm 和 5 cm. 所以在 Rt△OCA 中，OC＝3，OA＝5，所以 AC＝4，所 以 AB＝2AC＝2³4＝8(cm)．
考点二 三角形多边形的内切圆 1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念 (1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心叫做三角形内心，这个三角形叫做 圆的外切三角形； (2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切 圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 2．三角形的内心的性质 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它 到三边的距离相等，且在三角形内部．
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(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，⊙P的半
径是多少?
解：(1)设⊙O与⊙P外切 于点A，则 PA=OP -OA ∴ PA=3 cm
(2)设⊙O与⊙P内切 于点B，则 PB=OP +OB B
∴ PB=13 cm.
A.
0
P
(3)以P为圆心作⊙P与⊙O相 切，⊙P的半径是多少？
巩固训练
1、看谁答的快（A级）
小结
圆与圆的位置关系
位置关系
外离 相离
内含
相交
图形
外切 相切
内切
性质
判定 d,R,r数量关系
交点个数 d与R、r的关系
d＞R+r
0
0 ≤ d＜R-r
2
R-r ＜d＜R+r
d=R+r
1
d=R-r
布置作业
A．书上习题24．3第1，4，6 B．课余探索 和⊙O1（半径为2）、⊙ O2 （半径为1） 都相切且半径为3的圆共有几个？
Rr
O1
O2
外切
d=R+r
R
O1 O2 r
内切
d=R-r
4、归纳：让同学们分小组，利用d与R、r
的数量关系讨论两圆的位置关系，并完成 表格，集体评价讨论结果。
两圆的位 外离 置关系
外切 相交 内切 内含
两圆的交 点个数
d与R、r
的关系
0
d>R+r
1
2
1
0
d=R+r R-r<d<R+r d=R-r 0≤d<R-r
四、教学方法分析
教学上采用自主探究与引导 归纳相结合的方法.在知识的发生 发展中渗透类比、数形结合的数 学思想，在学生探索的过程中， 让学生遵循发现、猜想、归纳、 应用的数学思想方法，层层推进， 环环相扣，体现数学的严密性和 系统性.
创设情境
五
教
探索新知
学
程
拓展应用
序
归纳小结
直线与圆的位置关系
二 、教学目标
1．知识目标： （1）了解圆和圆之间的五种位置关系. （2）理解并掌握两圆的位置关系中两圆圆心
教学重点： 距探与索两并圆半了径解间圆的数和量圆关的系.位置关系 （3）能解及够题利判.用定圆.和圆的位置关系和数量关系
教2．学能难力目点标：： 培探养学索生圆观和察、圆比的较位、归置纳关概系括、中动两手圆 3．情感目标： 学操形的关生作结圆 系在的合探.心能”索力的距两,数树与圆学立位两思“置想圆分关.类半系讨的径论过间”程和的中“，数数体量
会运动变化的观点，领悟量变到质变的 辨证唯物主义观点，感受数学中的美感.
三、学情学法分析
九年级的学生已具有一定的平面几何知识， 具有一定的分析能力和逻辑推理能力.因此， 教学中更应体现学生的主体地位，让学生动 手动脑，教会学生善于观察、善于类比、善 于转化、善于总结.在知识迁移中进行创造性 的学习，达到传授知识与培养能力融为一体 的目的.
..
..
2、设疑:随着两圆位置的变化，圆心距d与两圆半径R、 r的数量关系应该怎样？
R
r
•
O1
d O• 2
R
r
•
O1
d
O• 2
R
•
O1
d
两圆外离
r
O• 2
R
O•1dO• 2r
两圆外切
R
O1•d •O2r
两圆相交 两圆内切
两圆内含
3、讨论：当两圆外切时，d与R、 r有怎样的关系？反过来，当d与 R、r满足这样的关系时，两圆一 定外切吗？内切呢？
半径不等的两圆位置关系与d、R、 r（R>r）三个量之间的关系
①外离 d>R+r
②外切 d＝R+r
③相交 R-r<d<R+r
④内切 d ＝R－r
⑤内含 0≤ d <R－r
5.用数轴表示两圆各种数量关系：
内含
相交
外离
0
R-r
R+r
内切
外切
和差切、交中间、内含外离在两边
例:如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点， OP=8cm。 求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，⊙P的半
六 教学反思
教完本节课，我认为比较成功的有以下几点： 1．活动1创设情境，由我们地区不久前发生的 日食形成过程引入；活动2中生活实例的演示； 活动3中表格示意图的展示，都有效地激发了学 生的兴趣. 2．活动2、活动3中，学生能在探究中发现问 题，解决问题，体现了数学教学的活动性.自主 学习、合作学习，使学生获得好的学习方式. 3．活动3中问题的设计由易到难，由浅入深， 体现了循序渐进的原则，搭建了学生轻松学习 的平台.
圆和圆的位置关系
黄梅县五祖中学 周云
新的课程改革对课堂教 学提出了新的教学理念，倡 导自主学习合作学习探究 式学习和研究性学习，让学 生成为课堂教学的真正主人.
教材分析 教学目标 学情分析
教学方法 教学程序 教学反思
一、教材分析
“圆和圆的位置关系”是人教版九年 级第24章第2节第3小节的内容，本节内容 是学生在已经掌握“点和圆的位置关系”、 “直线和圆的位置关系”后，学生在已获 得一定的探究方法的基础上，进一步探究 两圆的位置关系.从解决问题的思想方法来 看，它反映了事物内部的量变与质变.它是 圆一章中一种重要的位置关系.
1
2
2.归纳圆与圆的位置关系(从公共点个数看)
相离
(没有公共点)
外离 内含 特殊情况
同心圆
外切
相切
(有1ห้องสมุดไป่ตู้公共点)
内切
相交
相交
(有2个公共点)
3.举例:
让学生举例说说圆和圆的位置关系 在生活中的应用。
生活中的数学
生活中的数学
从圆心距与两圆半径的数量关系探索两圆位置关系
1.认识对称性
我们知道，圆是轴对称图形，两个圆也是 组成一个轴对称图形，通过两圆圆心的直线 (连心线) 是它们的对称轴.由此可知，如果两 个圆相切，那么切点一定在连心线上.
(3)⊙ O1与⊙ O2的半径分别为2cm和5cm，在下列情况下，分别求出两圆的圆 心距的取值范围。
①外离 ②外切
③相交
④内切
⑤内含
，
2、两圆相交，公共弦长为16cm，两圆半径分别为10cm和17cm，求两圆的圆 心距（B级）
3、一个三角形的三边长分别为4cm、5cm、6cm以各顶点为圆心的三个圆两 两外切，则这三个圆的半径分别为多少？（C级）
(1)两圆有两个交点，则两圆的位置关系是 ，两圆没有交点，则两圆的位 置关系是 ，两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是 。
(2)⊙O1与⊙ O2的半径分别为3cm和5cm，当O1 O2=8cm时，两圆的位置关系
是
；当O1 O2=2cm时，两圆的位置关系是
，当O1 O2=10cm时，两
圆的位置关系是 。
没有公共点 有一个公共点 有两个公共点
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
d＞r d＝r d＜r
从公共点个数探究两圆位置关系
1.实验操作： 让学生类比直线和圆的位置，动手利用两
个纸圆探究圆与圆之间的位置关系，并填写实 验报告。
实验报告
直线与圆的位置 关系
交点个数
0
画出两圆位置关 系的简略图