直线方程(直线方程完美总结 归纳)
直线方程
考点一斜率与倾斜角
例1. 已知直线l . A . 60° B . 30° C . 60°或120° D . 30°或150°
例2.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.
考点二三点共线
例1.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．
考点三斜率范围
例1.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.
例2.已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y
x
的最大值与最小值。
二、直线方程
考点四直线的位置关系
例1.已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得： （1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.
例2.已知直线1l 的方程为223,y x l =-+的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。
例3.ABC ?的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ?为直角三角形，求m 的值.
例4.已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点.
（1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.
考点五定点问题
例1.已知直线31
=++.（1）求直线恒经过的定点；
y kx k
（2）当33
-≤≤时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.
x
考点六周长及面积
例1.已知直线l过点(2,3)
-，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l的方程．
考点七反射
例1.光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.
考点八点到直线距离
例1.已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a =（）. A B C 1 D 1
例2.求过直线1110
:33
l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.
考点九平行线的距离
例1.若两平行直线3210
x y
--=和60
x ay c
++=之间的距离为
13，求
2
c
a
+
的值.
考点十对称问题
例1 .①与直线2360
x y
+-=关于点（1，-1）对称的直线方程
②求点A（2，2）关于直线2490
x y
-+=的对称点坐标
例2.在函数2
4
y x
=的图象上求一点P，使P到直线45
y x
=-的距离最短，并求这个最短的距离. 例3.在直线:310
l x y
--=上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。
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直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，
如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2
高中物理 第三章相互作用章末总结教案 新人教版必修1
一、教材分析 本章在物理知识方面可分为两部分：第一部分是1节至3节，主要讲述了重力、重力产生的原因、重心、力、力的三要素、力的效果、四种基本相互作用、弹力产生的条件、弹力、压力、支持力、拉力、力的图示、力的示意图、形变、胡克定律、静摩擦力、静摩擦力产生的条件、滑动摩擦力、滑动摩擦力产生的条件、最大静摩擦力、滚动摩擦力、流体阻力、滑动摩擦力跟压力成正比。第二部分是4节至5节，主要讲述了力的平行四边形定则、力的合成、合力、分力、共点力、作图法求力、用直角三角形知识求力、力的分解、矢量、标量、三角形定则、共点力的平衡等概念。 在物理技能方面,主要设计及使用了弹簧秤、初步训练设计实验、收集数据、数据处理和总结规律的技能、运用数学工具解决物理问题的能力等基本技能。 在物理过程方面,主要讲述了人类是从力产生的效果开始认识力、“重心”概念的形成、微小形变的放大过程、摩擦力的实验探究、实验探究互成角度的两个共点力的合成等过程。 在物理的思想方法方面,主要讲述了等效代换、微小量放大的方法、控制变量、客观求实的科学研究态度等思想方法。 二、教学目标 1、通过实验认识滑动摩擦、静摩擦的规律，能用动摩擦因数计算摩擦力。 2、知道常见的形变，通过实验了解物体的弹性，知道胡克定律 3、通过实验，理解力的合成与分解，知道共点力的平衡条件，区分矢量和标量，用力的合成与分解分析日常生活中的问题 三、教学重点 三种性质力――重力、弹力、摩擦力；力的合成与分解。 四、教学难点 用力的合成与分解分析解决实际问题。 五、教学过程
（一）投影全章知识脉络，构建知识体系 （二）本章复习思路突破 Ⅰ 物理思维方法 l 、具体——抽象思维方法 从大量生活实例中抽象出“力是物体间的相互作用”，再把这种抽象具体形象化――用有向线段进行描述，通过这种方法，把对力的计算转化为几何问题来处理。 2、等效替代方法 合力和分力可以等效替代，而不改变其作用效果。这是物理学中研究实际问题时常用的方法。 Ⅱ 基本解题思路 1、认清研究对象：从题目所给的信息来选取有关物体作为研究对象，是解题的出发点。 2、正确受力分析：分析研究对象受哪些力的作用，画出受力图，做到不多力，不少力。 3、列方程求解：据物理规律先用字母列方程，整理出待求量的表达式，统一单位，代入数据求解。 （三）知识要点追踪 关于受力分析 力 重力 ①大小：G=mg ，g =9.8N/kg ②方向：竖直向下 ③等效作用点：重心 弹力 大小：由物体所处的状态、所受其它外力、形变程度来决定 方向：总是跟形变的方向相反，与物体恢复形变的方向一致 摩擦力 滑动摩擦力：大小，N F F μ=；方向，与物体相对滑动方向相静摩擦力：大小，m F F <<0；方向，与物体相对运动趋势方向相反 力的合成与分解 基本规则：平行四边形定则，2121F F F F F +≤≤= 一个常用方法：正交分解法
高中数学直线与圆的方程知识点总结
高中数学直线与圆的方 程知识点总结 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：
①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式： ①两点间距离：2 2122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2 2 00B A C By Ax d +++= ③平行直线间距离：2 2 21B A C C d +-= 4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2 ,2( 2 121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)3 2,32(2 1 21y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )3 2,32(2 121 y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题
最新线段、射线、直线知识点总结及习题
【例3】下列说法错误的是 （） A、线段AB与线段BA是同一条线段C、直线AB与直线BA是同一条直线B 、射线AB 与射线BA是同一条射线 直线、线段、射线讲义 知识点1、线段、直线、射线的概念 线段：一段拉直的棉线可近似地看作线段，线段有两个端点。 射线：将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，射线有一个端点。如手电筒、探照灯射出的光线等。 直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。如笔直的铁轨 知识点2、线段、射线、直线的区别与联系 联系：三者都是直的，线段向一个方向延长可得到射线，线段向两个方向延长可得 到直线，故射线、线段都是直线的一部分，线段是射线的一部分。 典型例题】【例1】如图，下列几何语句不正确的是 A、直线AB与直线BA是同一条直线 B、射线OA与射线OB是同一条射线 C、射线OA与射线AB是同一条射线 D、线段AB与线段BA是同一条线段 【例2】指出右图中的射线（以O为端点）和线 O A B C 段。
【例 4】下列说法正确的是（ ） A 、直线虽然没有端点， 但长度可以度量 B 、射线只有一个端点， 但长度是可 以确定的 C 、线段虽然有两个端点，但长度却可以变化的 D 、只有线段的长度是可以确定的， 直线、射线的长度不可以度量 例 5 】读出下列语句，并画出图形 1）直线 AB 经过点 M ． 2）点 A 在直线 l 外． 3）经过 M 点的三条直线． 4）直线 AB 与 CD 相交于点 O ． 5）直线 l 经过 A 、B 、C 三点，点 C 在点 A 与点 B 之间． 例 6 】读句画图（在右图中画） 1） 连结 BC 、 AD 2） 画射线 AD 3） 画直线 AB 、CD 相交于 E 4） 延长线段 BC ，反向延长线段 DA 相交与 F 5） 连结 AC 、 BD 相交于 O 知识点 4、直线 类型一、点和直线的位置关系：点在直线上或点在直线外 题型一、过平面上的点画直线 例 1 已知同一平面内有 ABCD 四个点，经过这四个点中的任意两个点共能画多少条直 线？ 解： 1、四个点都在同一直线上只能画一条直线 2、有三点在同一直线上能画四条直线。 3、任意三点都不在同一直线上画六条直线 题型二、直线相交问题 例 2 、两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有 3 个交点，四条直线相交 最多有 6 个交点，五条直线相交最多有 10 个交点， N 条直线相交最多有 N ×（ n-2 ） /2 个交点。 类型二、直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（也就是说：两点确定一条 直线） 例题 1 要整齐地载一行树，只要确定两端的树坑位置，就能确定这一行树坑所 D A BC
高中物理必修一第三章相互作用知识点总结
高中物理必修一第三章相互作用知识点总结 一、重力，基本相互作用 1、力和力的图示 2、力能改变物体运动状态 3、力能力物体发生形变 4、力是物体与物体之间的相互作用 （1）、施力物体（2）受力物体（3）力产生一对力 5、力的三要素：大小，方向，作用点 6、重力：由于地球吸引而受的力 大小G=mg 方向:竖直向下 重心：重力的作用点 均匀分布、形状规则物体：几何对称中心 质量分布不均匀，由质量分布决定重心 质量分部均匀，由形状决定重心 7、四种基本作用 （1）万有引力（2）电磁相互作用（3）强相互作用（4）弱相互作用 二、弹力 1、性质：接触力 2、弹性形变：当外力撤去后物体恢复原来的形状 3、弹力产生条件
（1）挤压（2）发生弹性形变 4、方向：与形变方向相反 5、常见弹力 （1）压力垂直于接触面，指向被压物体 （2）支持力垂直于接触面，指向被支持物体 （3）拉力：沿绳子收缩方向 （4）弹簧弹力方向：可短可长沿弹簧方向与形变方向相反6、弹力大小计算（胡克定律） F=kx k 劲度系数N/m x 伸长量 三、摩擦力 产生条件： 1、两个物体接触且粗糙 2、有相对运动或相对运动趋势 静摩擦力产生条件： 1、接触面粗糙 2、相对运动趋势 静摩擦力方向：沿着接触面与运动趋势方向相反 大小：0≤f≤Fmax 滑动摩擦力产生条件： 1、接触面粗糙
2、有相对滑动 大小：f＝μN N 相互接触时产生的弹力 N可能等于G μ动摩擦因系数没有单位 四、力的合成与分解 方法：等效替代 力的合成：求与两个力或多个力效果相同的一个力 求合力方法：平行四边形定则（合力是以两分力为邻边的平行四边形对角线，对角线长度即合力的大小，方向即合力的方向） 合力与分力的关系 1、合力可以比分力大，也可以比分力小 2、夹角θ一定，θ为锐角，两分力增大，合力就增大 3、当两个分力大小一定，夹角增大，合力就增大，夹角增大，合力就减小（0＜θ＜π） 4、合力最大值F=F1+F2 最小值F=|F1-F2| 力的分解：已知合力，求替代F的两个力 原则：分力与合力遵循平行四边形定则 本质：力的合成的逆运算 找分力的方法： 1、确定合力的作用效果 2、形变效果
高二立体几何与直线方程的知识点总结
立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高， ' h为斜高，l为母线） ()l r r S+ =π2 圆柱表 ()l r r S+ =π 圆锥表 ()2 2R Rl rl r S+ + + =π 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh = 柱， 2 V Sh r h π == 圆柱， 1 3 V Sh = 锥， h r V2 3 1 π = 圆锥 ' 1 () 3 V S S h =++ 台 '22 11 ()() 33 V S S h r rR R h π =++=++ 圆台 （4）球体的表面积和体积公式： 3 4 = 3 V R π 球； 2 4 S R π = 球面
二、点、直线、平面之间的关系 （一）、立体几何网络图： 1、线线平行的判断： （1）、平行于同一直线的两直线平行。 （3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（12）、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断： （7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 （10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断：（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 判定定理： 性质定理： ★判断或证明线面平行的方法 ⑴利用定义(反证法)：lα=? I，则l∥α (用于判断)； ⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)； ⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)； ⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。 2线面斜交和线面角：l∩α = A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交， 则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°； 当直线垂直于平面时，θ=90° 4、线面垂直的判断： ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 图2-3 线面角
(完整版)高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠
垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）；
高一数学必修2直线与方程知识点总结
高一数学必修 2 直线与方程知识点总结 (一)高一数学必修2 直线与方程知识点总结一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0180 (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜 率反映直线与轴的倾斜程度。 当时，; 当时，; 当时，不存在。②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1) 当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 (2)k 与P1、P2 的顺序无关;(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0 时，k=0 ，直线的方程是y=y1 。 当直线的斜率为90 时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示. 但因l 上每一点的横坐标都
等于x1 ，所以它的方程是x=x1 。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：（）直线两点，④截矩式： 其中直线与轴交于点, 与轴交于点, 即与轴、轴的截距分别为。 ⑤ 一般式：（A ，B 不全为0） 注意：各式的适用范围特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：（b 为常数）; 平行于y 轴的直线：（a 为常数）; （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系 平行于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （二）垂直直线系 垂直于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （三）过定点的直线系 （ⅰ ）斜率为k 的直线系：，直线过定点; （ⅱ ）过两条直线，的交点的直线系方程为 （为参数），其中直线不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直
直线与圆知识点总结
直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66 ，，π ππ ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ （答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k = ， 直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则 x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经 过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3) 的直线的点斜式方程是___________（答：1(2)y x -=-）；（2）直线(2)(21)(34)m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--）；（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______（答：1a >） 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
直线与方程例题解析
第三章：直线与方程的知识点 一、基础知识 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<或),0[πα∈ 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点 1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2 1 21y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<
直线的方程知识点及题型归纳总结
直线的方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 斜率与倾斜角 我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。 x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合 的直线的倾斜角为0，倾斜角不是 2 π 的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。 当0k =时，直线平行于轴或与轴重合； 当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式 1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式 12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式 121212tan (,)2 y y k x x x x π αα-= =≠≠- 3.直线方程的几种形式 （1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+ （3）两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。 注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式： 1x y a b +=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。 （5）一般式：2 2 0(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =r 是这 条直线的一个法向量）
高三总复习直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022
二、两直线的位置关系 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'
(完整版)点、直线、平面之间的位置关系知识点总结,推荐文档
点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推；线面垂直判定定理 线面垂直的定义两平面的法线垂直则两平面垂直 面面垂直判定定理线面平行判定定理 线面平行性质定理线面平行转化面面平行判定定理 面面平行性质定理
3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：；b c c a b a //////?? ??面面平行传递性：；γαβγβα//////?? ??线面垂直、线面垂直线面平行： ；?ααββα//a a a ??? ????⊥⊥线面垂直线线平行（线面垂直性质定理）：；?b a b a //?? ??⊥⊥αα线面垂直面面平行：；?βαβα//?? ??⊥⊥a a 线面垂直、面面平行线面垂直：；?βαβα⊥?? ??⊥a a //线线平行、线面垂直线面垂直：；?αα⊥?? ??⊥b a b a //线面垂直、线面平行面面垂直：。?βααβ⊥?? ??⊥a a //备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行；；；ααα////a a b b a ????????αββα////a a ?????ααββα//a a a ??? ????⊥⊥②线线平行:；；；；////a a a b b α βαβ??????=? b a b a //????⊥⊥αα////a a b b αβαγβγ??=???=? b c c a b a //////????③面面平行:；；；,////,//a b a b O a b αααβββ????=???? βαβα//????⊥⊥a a γαβγβα//////????
直线与方程知识点总结(学生版)
I直线方程知识点总结 一、基础知识梳理 知识点 1：直线的倾斜角与斜率 （ 1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 （ 2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的为该直线的斜率，即k=tan 注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当=90 0时，k 不存在）（3）过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠ x2)的直线的斜率公式： k=tan y 2 y 1（当x 1＝x2时，k不存在，此时直线的倾斜角为900） . x2x1 知识点 2：直线的方程名称方程 斜截式y=kx+b 点斜式y-y0=k( x-x0) 两点式y y 1 =y y1 y2y1y2y1 截距式x y +=1 a b 一般式Ax+By+C=0已知条件局限性 k——斜率 b——纵截距 (x0， y0)——直线上 已知点， k——斜率 (x1，y1) ，(x2，y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 A C C ，，分别为 B A B A、 B 不能同时为零斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 二、规律方法提炼 1、斜率的求法一般有两种方式 （ 1）已知倾斜角,利用k tan ；（2）已知直线上两点，利用 k y2y 1 ( x1 x 2 ) x2x1 2、求直线的一般方法 （1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性； （2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程； 3、与直线方程有关的最值问题的求解策略： ○1 首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○2 然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. II两直线的位置关系
热力学与统计物理第六章章末总结
第1节粒子运动状态的经典描述 一．回顾 1.最概然分布 （1）分布：粒子在能级上的分布 （2）最概然分布：概率最大的分布 2.粒子运动状态描述--力学运动状态 (1)经典力学描述（2）量子力学描述 二．粒子向空间描述 1.运动状态确定 自由度为r的粒子，任意时刻的力学运动状态由r个广义坐标（q）和r个广义动量（p）的数值确定，则粒子的能量为 2. 向空间 （1）空间：由r个广义坐标和r个广义动量构成一个直角坐标系，这个2r维的空间，就称为空间。 （2）代表点（相点） （3）相轨迹. 3．常见粒子的描述 1. 自由粒子 定义：不受力的作用而作自由运动的粒子。 描述：粒子能量为 2. 线性谐振子 3. 转子 第2节粒子运动状态的量子描述 1．波粒二象性与测不准关系 1.波粒二象性 德布罗意关系 2. 测不准关系 2．常见粒子的量子态描述 1线性谐振子 2. 转子 （1）， 当L 确定时，可将角动量在其本征方向投影（z轴） （2）能量 （3）简并与简并度 3. 自旋角动量
自旋角动量（）是基本粒子的内禀属性 4. 自由粒子 （1）一维 （2）三维 容器边长L,动量和能量分量 x: , y: z; 总动量和总能量 （3）量子态数 第3节系统微观运动状态的描述 1、系统 1、对象：组成系统的粒子为全同近独立粒子 2、全同粒子系统具有完全相同的内禀属性的同类粒子的系统 3、近独立粒子系统：系统中的粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单粒子能量。 4、系统的能量 N个全同近独立粒子 . 2、系统的微观状态的经典描述 1、力学方法：。 2、可分辨全同粒子 系统中任意两个粒子交换位置，系统的力学运动状态就不同。 3、量子描述 1、全同性原理 2、状态的描述 （1）、定域系：全同粒子可辨 非定域系：全同粒子不可分辨 定域系需要要确定每个粒子的个体量子数； 非定域系确定每个个体量子态上的粒子数 （2）、微观粒子的分类 玻色子：自旋量子数位整数 费米子：自旋量子数为办整数 4、系统分类 1、玻色系统：玻色子不受泡利原理控制； 2、费米系统：费米子受泡利原理约束，不可分辨； 3、玻尔兹曼系统：粒子可分辨，同一个个体量子态上粒子数不受限制。
最新直线与方程和圆与方程-知识点总结
第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，倾斜角的取值范围是0180α?≤
最全面的直线知识点总结
直线的知识点总结 一、 直线的倾斜角与斜率： 1. 直线的倾斜角： 1) 定义：当直线与x 轴相交时，沿x 轴正方向为始边，按照逆时针方 向旋转所得的最小正角； 规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0； 2) 范围：直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<； 2. 直线的斜率： 1) 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率。直线的斜率常用k 表示。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 2) 公式： tan k α= a.当[) 90,0∈α时，0≥k ，当α=0°时，斜率k =0；当090α ?<，随着α的增大，斜率k 也增大； 当() 180,90∈α时，0