第五章运输问题及解法

最小元素法中的退化情况
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B4 产量
产地
销地
B1 3 3 1
B2 11 9 2
B3 3 4 10
B4 10 8 5
5 3
3
6
6 5
2 4 0
6
7 4 9
A1 A2 A3
出现退化时，要在同时被划去的行列中 任选一个空格填0，此格作为有数字格。
2.检验（闭回路法:计算空格的检验数） 2.检验（闭回路法: ①找出任意空格的闭回路—除此空格外，其余顶点均 找出任意空格的闭回路— 为有数格。如可找（ A1 B1 ）→ （ A1 B3 ） → （ A2 B3） → ②计算出空格的检验数—等于闭回路上由此空格起奇 计算出空格的检验数— 数顶点运价与偶数顶点运价的代数和。如 数顶点运价与偶数顶点运价的代数和。如σ11＝c11 -c13+c23-c21=1
2.产销不平衡问题 2.产销不平衡问题
此时分为两种情形来考虑： 供不应求：即产量小于销量时有 供过于求： 供过于求：即产量大于销量时有
这 两 种 情 形 都 可 以 化 为 ∑ a i = ∑ b j的 形 式 来 求解
二.运输问题的模型
产销平衡问题模型
Min Z = ∑∑ cij xij ∑ xij = ai j ( p ) ∑ xij = b j i xij ≥ 0
B2
B3
B4
产量 7 4 9
3 6
3 6
4 1
5
3 3
6
Baidu Nhomakorabea3 1 4 2
10
5
位势法步骤： ①由有数格cij=ui+vj求得ui和vj （先令u1=0），原有数格 原有数格 （基变量）的检验数σ =0； （基变量）的检验数σij=0 ②空格σij= cij — (ui+vj) ； σ ③由此可得检验数表。 当找出σij<0的格后，调整方法仍用闭回路法。 <0的格后，调整方法仍用闭回路法。
1 2 3 1 2 3 4
用线性规划法处理此问题。 用线性规划法处理此问题。 产销平衡表 设由产地i到销地 的运量为x 到销地j的运量为 设由产地 到销地 的运量为 ij， 销地 模型为： 模型为： B B B B 产量 min z= 3x11+11x12+3x13+10x14 产地 +x21 +9x22 +2x23 +8x24 A 7 +7x31 +4x32+10x33+5x34 A 4 A 9 x11+x12+x13+x14=7 销量 3 6 5 6 x21+x22+x23+x24=4 x31+x32+x33+x34=9 x11+x21+x31=3 单位运价表 x12+x22+x32=6 销地 x13+x23+x33=5 B1 B2 B3 B4 产地 x14+x24+x34=6 A1 3 11 3 10 xij≥0 (i=1,2,3; j=1,2,3,4)
将约束方程式展开可得
= a1 x11 + L + x1 n x 21 + L + x 2 n = a2 O M xm1 + L + xmn = a m x 21 + L xm1 = b1 x11 + x12 + x 22 + L xm 2 = b2 O O O M x1 n + x2 n + L xmn = bn
5 3 6
2 1 3
经再计算新方案的检验数全部大于0。所以，该新 方案为最优方案，可计算得总运费为85元。 注：若闭回路的偶数顶点中同时有两个格以上运量 为θ，则调整后其中一个变空格，其余填0。（保证 基变量个数不变）
2.确定初始方案的方法之二—伏格尔法（Vogel法） 2.确定初始方案的方法之二—伏格尔法（Vogel法）
B3 3 2 10
B4 10 8 5
3 6
3 6
4 1
5
3 3
6
7 4 9
A1 A2 A3
初始方案运费 Z0=3×1+6×4+4×3+1×2+3×10+3×5=86(元)
表上作业法要求，调运方案的数字格必须 为m+n-1个，且所有数字格不构成闭回路。一 般，用最小元素法给出的方案符合这一要求。
闭回路:从方案中某一始格出发，沿同行或同 列前进，当遇到一个数字格时可以可转90度 或继续前进，按此方法进行，直到回到始点 的一个封闭曲线。同行或同列最多有两个点。
（Ⅰ）运输问题的常用解法： 最小元素法（确定初始方案）→闭回路法（检 最小元素法（确定初始方案）→闭回路法（检 验当前方案）→闭回路法（方案调整） 验当前方案）→闭回路法（方案调整） 以下面例题说明这种方法的具体步骤： 例12：某食品公司下设3个加工厂A ， A ，A ， 12：某食品公司下设3个加工厂A 和4个门市部B ， B ，B ，B 。各加工厂每天的 个门市部B 产量、各门市部每天的销售量以及从各加工厂 到各门市部的运价如下表所示。 问：该公司应如何调运，在满足各门市部销 售需要的情况下，使得运费支出为最少？
三.运输问题的解法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用 线性规划法中的单纯形法来解决。但是： 1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯 1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯 形表太大； 2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0， 2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0 会使问题更加复杂。 以上两个原因使得我们不得不利用运输 问题的特点设计出它的特殊解法——表 问题的特点设计出它的特殊解法——表 上作业法。 上作业法。
⑴求各行各列运价最小与次小之差额，选其中最大 的行或列中最小运价进行供应； ⑵如果某一行或某一列按照这种方法已被供应满， 则划去该行或该列，在剩下的行列中重复这种方法， 即得最优方案。
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量
销地 产地
B2
B3
B4
产量 7 4 9
5 3 6
3 6 5
2 1 3
6
B1 3 1 7 2
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B4 产量
产地 销地
（ A2 B1 ）；
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
3 6
3 6
4 1
5
3 3
6
7 4 9
A1 A2 A3
③计算出此空格的检验数σij,若σij≥０，则该方案为最 优方案，否则转３；
注：检验数的经济意义，以σ 为例，空格表示原方案中X 注：检验数的经济意义，以σ11为例，空格表示原方案中 11=0, 即A1 → B1 的运输量为0。若试着运1单位，则这样所引起的总 A 的运输量为0。若试着运1 费用的变化恰是σ 费用的变化恰是σ11，可见检验数σij的意义是： Ai → Bj增运１ 可见检验数σ 增运１ 单位所引起的总费用的增量。 σij >０，说明若增运一单位则在 总运输量不变情况下，总运费会增加。此时不应在 Ai → Bj上 增运。
Max W = ∑ ai ui + ∑ b j v j
的对偶问题为
C
ui + v j ≤ cij (mn个约束) (d ) u , v 为自由变量 i j
CB B −1是对偶问题的解，CB B −1 = 1 ,u 2 , u m，v1 ,v 2 , v n） （u L L
而σ ij = cij − CB B −1 Pij 且Pij = ei + em + j 从而σ ij = cij − (ui + v j ) 基变量检验数σ ij = cij − (ui + v j ) = 0
3.调整:从σij 为最大正值的空格出发.对其闭回路上的 σ 奇数顶点运量增加θ,偶数顶点的运量减少θ(这才能保 证新的平衡)，其中θ为该空格闭回路中偶数顶点的最 小值。
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B4 产量 7 4 9
A1 A2 A3
销地 产地
B1 3 1 7
B2 11 9 4
第五章 运输问题
一.运输问题的一般提法 在经济建设中，经常碰到物资调拨中 的运输问题。 例如 煤、钢材、粮食、木材等物资，在全 国都有若干生产基地，分别将这些物资调 到各消费基地去，应如何制定调运方案， 使总的运输费用最少？
A1， ， …
运输问题的一般提法是： 运输问题的一般提法是：
1.产销平衡问题 1.产销平衡问题
B2 11 9 4 5
B3 3 2 10 1
B4 10 8 5 3 2
7 0
A1 A2 A3
1 6 1 2
3.求空格检验数的方法之二—位势法 3.求空格检验数的方法之二—
原理：设有运输问题
Min Z = ∑∑ cij xij ∑ xij = ai j ( p ) ∑ xij = b j i xij ≥ 0
共m + n个变量，m + n − 1个方程组成方程组 ui + v j = cij 解出所有的ui ,v j 可由σij = cij − (ui + v j )算出所有非基变量的检验数
销地
仍以例一为例：对偶变量 表面上是7个，实际上只 有6个。∴有一个是自由 变量。
B1 产地 A1 A2 A3 销量
B3 3 2 10
B4 10 8 5
3 6
3 6
4 1
5
3 3
6
σ11=1， σ12=2 =1，
=10， σ22=1， σ24=-1 σ31=10， σ33=12 =1，
∵ σ24=-1<0，∴从（A2 B4） 出发其闭回路上θ=1，调 1<0， 整后得到一个新方案（如下表），运量为θ=1的（A2 （ B3）变空格，得到新方案后再转 2。
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
x11 x12 L x1 n x 21 x 22 L x 2 n L x m 1 x m 2 L x m n
m行 n行 1 1 L 1 1 O 1 1 1 L 1 L 1 1 L 1 1 O 1 1 1 1 O 1 1
0 M 1 i行 M p ij = 0 1 m + j行 M 0
0 M 1 i行 M p ij = 0 1 m + j行 M 0
0 M 0 ei = 1 i行 0 M 0
（Ⅲ）产销不平衡的运输问题
1.产大于销的情况： 1.产大于销的情况： M in Z = C X
n ∑ x ij ≤ a i j =1 ∑ x ij = b j i x ij ≥ 0
M in Z = C X
1 2 3 4 1 2 3
运输问题一般用表上作业 法求解，需建立表格模型： 法求解，需建立表格模型：
A2 A3
1 7
9 4
2 10
8 5
给出初始调运方案最常用的方法 ——最小元素法 最小元素法
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B4 产量
产地 销地
B1 3 1 7
B2 11 9 4
已知:m个产地A1， ，Am， 产量分别是 : a1， ，am， …… …… n个销售地B1， ，Bn，销量分别是: b1， ，bn， …… …… 产销平衡,即∑ ai = ∑ bj ,由Ai → B j的运价为cij。
i =1 j =1 m n
问:应如何调运使总费用最省? 即求Ai → B j的运量xij，使运费可达极小化。
p ij = e i + e m + j
2.m+n个约束中有一个是多余的（ 2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含 个约束中有一个是多余的 有一个平衡关系式
∑
ai =
∑ bj
）
所以R(A)=m+n所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量 即解的mn个变量中基变量 为m+n-1个。 m+n-
表上作业法，实质上还是单纯形法。 表上作业法，实质上还是单纯形法。其步 骤如下： 骤如下： 1.确定一个初始可行调运方案。可以通过 1.确定一个初始可行调运方案。可以通过 最小元素法、Vogel 最小元素法、Vogel 法来完成； 2.检验当前可行方案是否最优，常用的方 2.检验当前可行方案是否最优，常用的方 法有闭回路法和位势法，用这两种方法 计算出检验数，从而判别方案是否最优； 3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方 3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方 案，常采用闭回路法。