数学平面向量的数量积

合集下载

数量积

§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是等腰三角形．( )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．( )(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( )(6)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－43或λ>0.( )1．(2014·重庆)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于( ) A ．－92B ．0C ．3D.1522．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________．题型一平面向量数量积的运算例1 (1)(2013·湖北)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C. －322D ．－3152(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．(1)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6 D ．6题型二求向量的模与夹角例2 (1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B ．－126C.112D ．－112(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(3)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．(1)(2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．(2)(2014·江西)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 题型三数量积的综合应用例3 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．已知向量m ＝(2sin(ωx ＋π3)，1)，n ＝(2cos ωx ，－3)(ω>0)，函数f (x )＝m ·n 的两条相邻对称轴间的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈[－5π6，π12]时，求f (x )的值域．高考中以向量为背景的创新题典例：(1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2)，且a ∘b 和b ∘a 都在集合{n2|n ∈Z }中，则a ∘b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12(2)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．A 组专项基础训练 (时间：45分钟)1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( ) A ．－12 B.12C ．－1D ．12．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4．向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( ) A ．(－7,8) B ．(9，－4) C ．(－5,10)D ．(7，－6)5．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．106．(2014·北京)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 7．(2013·课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 8．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________． 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.10．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．312．在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ等于( ) A.13 B.23 C.43D ．2 13.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝________.14．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．15．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．§5.4 平面向量应用举例1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题2．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．()(4)在△ABC中，若AB→·BC→<0，则△ABC为钝角三角形．()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.()1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．(2014·山东)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m等于()A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－33．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．题型一向量在平面几何中的应用例1 如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：P A ＝EF .(1)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →等于( ) A.3＋33B.92C. 3D.94(2)在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34题型二向量在三角函数中的应用例2 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．(1)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6D.π3，π3(2)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．题型三平面向量在解析几何中的应用例3 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx＝________. 跟踪训练3 (2013·湖南改编)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为________．三审图形抓特点典例：如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝ ________.A 组专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →2．平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形D ．菱形3．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线5.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76πD.73π6．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.7．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________．8．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．9．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，其中α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值． (2)若AC →·BC →＝－1，求tan(α＋π4)的值．B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |212．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．14．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．15．在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，向量n ＝(2－sin A，cos A)，若|m＋n|＝2.(1)求内角A的大小；(2)若b＝42，且c＝2a，求△ABC的面积．。

平面向量的数量积-高考数学复习

＝＋ · －＝－ .
若两个向量的夹角为锐角，则3 k ＞0，即 k ＞0.
又 a ＋ kb ， b ＋2 ka 不共线，∴ k ≠
2
2
，∴ k ＞0且 k ≠ .
2
2
方法总结
1. 向量夹角问题的两个注意点
(1)切记向量夹角的范围是[0， π].
(2)非零向量 a 与 b 夹角为锐角⇔ a ·b ＞0且 a 与 b 不共线；非零向量 a 与 b
＝4，则 − ＝( D
A. 5
B. 3
)
C. 2
D. 1
＋ 2 ＝ a 2＋ b 2＋2 a ·b ＝49⇒2 a ·b ＝49－9－16＝24，∴ − 2 ＝
a 2＋ b 2－2 a ·b ＝9＋16－24＝1，∴ − ＝1.
3. (2022·新高考Ⅱ卷)已知向量 a ＝(3，4)， b ＝(1，0)， c ＝ a ＋ tb .
1，｜ c ｜＝ 2 ，且 a ＋ b ＋ c ＝0，则 cos < a － c ， b － c >＝(
D )
(1)法一：∵ a ＋ b ＋ c ＝0，∴ a ＋ b ＝－ c ，∴ a 2＋ b 2＋2 a ·b ＝ c 2.
∵｜ a ｜＝｜ b ｜＝1，｜ c ｜＝ 2 ，∴1＋1＋2 a ·b ＝2，解得 a ·b ＝0.
夹角为钝角⇔ a ·b ＜0且 a 与 b 不共线.
方法总结
2. 求向量夹角的两种方法
(1)定义法：当 a ， b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角θ，需求出 a ·b 及
| a |,| b |或得出它们之间的关系，由 cos
·
θ＝
求得.
||||
(2)坐标法：若已知 a ＝( x 1， y 1)与 b ＝( x 2， y 2),则 cos 〈 a ， b 〉=

高中数学基础之平面向量的数量积及应用

高中数学基础之平面向量的数量积及应用平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.平面向量数量积的几何意义：设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 一、平面向量数量积的运算例1 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则BC→·AF →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118答案 B解析如图，由条件可知BC→＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2.因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC→|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.例2 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.答案 12解析如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m ＞0，n ＞0，则由AB→·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD→·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.例3 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE→＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 2918解析在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD→＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos60°＋2×16＋23×12×cos60°＋23×16×12×cos120°＝2918.方法：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常用两种方法：一是定义法，二是坐标法．定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系．(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.二、平面向量数量积的应用.例4 已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1B ．12C ．34D ．32答案 D解析 ∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2，∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32.故选D.例5 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案223解析因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，又a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.例6 若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3解析 ∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0，∴4k －6－6＜0，∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.例7 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案 712解析因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，所以(λAB→＋AC →)·(AC →－AB→)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|·cos120°－9λ＋4＝0，即(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＋4＝0，解得λ＝712.例8 已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD→|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2a ·b ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎪⎫3－2×3×2×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.故选A. 例9 已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB→，则实数m n的值为( ) A.16 B ．14 C ．6 D ．4答案 A解析因为向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，OA →与OB →的夹角为60°，所以OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，所以AB→·OC →＝(OB →－OA →)·(mOA →＋nOB →)＝(m －n )OA →·OB →－m |OA →|2＋n |OB →|2＝3(m －n )－9m ＋4n ＝－6m ＋n ＝0，所以m n ＝16.故选A.例10 已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________．答案 5解析建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )．所以|P A →＋3PB →|＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )．当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|min＝5.例11 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.故选A.例12 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ．2D ．22 答案 C解析设OA→⊥OB →，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为线段AB 的中点，因为|a |＝|b |＝1，所以AB ＝2，AD ＝22，(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－12＝0，所以|CD→|＝22，上式表明，DC→是有固定起点，固定模长的动向量，点C 的轨迹是以22为半径的圆，因此|c |的最大值就是该轨迹圆的直径 2.故选C.例13 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB →的最大值是________．答案 2解析如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC→·OB →＝OM →2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号，所以OC →·OB →的最大值为2.极化恒等式(1)极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式．(2) 极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a ·b ＝14(|AC →|2－|BD →|2)．(3) 极化恒等式的三角形模式：在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB→·AC →＝AM →2－14BC →2.可以利用极化恒等式来求数量积、求最值、求模长．平面向量有“数”与“形”双重身份，它沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解．。

平面向量数量积公式

平面向量数量积公式介绍平面向量是二维空间中具有大小和方向的量。

数量积（又称点积或内积）是平面向量运算的一种形式，用于确定两个向量的相关性以及它们之间的夹角。

数量积公式平面向量数量积公式表示为：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，A和B是平面向量，|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度），θ则表示向量A和B之间的夹角。

公式解释平面向量数量积公式的等式左边A · B表示向量A和B之间的数量积。

数量积可以通过两个向量的模和它们之间的夹角来计算。

公式右边的|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度）。

向量的模可以通过求平方根来得到，即|A| = √(A1^2 + A2^2)和|B| = √(B1^2 + B2^2)，其中A1和A2分别为向量A在x轴和y轴上的分量，B1和B2类似地代表向量B在x轴和y轴上的分量。

公式右边的cos(θ)表示向量A和B之间的夹角的余弦值。

夹角的余弦可以通过向量的数量积和向量模之间的关系来计算，即cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)。

综上所述，平面向量数量积公式说明了如何通过向量的模和夹角来计算两个向量之间的数量积。

数量积应用平面向量数量积在多个数学和物理应用中都有重要作用，例如：1.计算向量的模：通过平面向量数量积公式，可以计算向量的模。

向量的模用于衡量向量的长度和大小。

2.计算向量之间的夹角：通过平面向量数量积公式，可以计算两个向量之间的夹角。

夹角的大小和方向可以帮助我们理解向量之间的关系。

3.判断向量的正交性：如果两个向量的数量积为零，即A · B = 0，则称这两个向量为正交向量。

正交向量的特点是它们之间的夹角为90度。

4.判断向量的平行性：如果两个向量的夹角为0度或180度，即θ =0或θ = π，则称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们之间的数量积等于两个向量的模的乘积。

5.导出向量的投影：通过平面向量数量积公式，可以导出向量在另一个向量上的投影。

平面向量的数量积与平行关系

平面向量的数量积与平行关系平面向量是在平面上具有大小和方向的有向线段，数量积是量化了两个向量之间的相关性的一个数值。

在平面向量中，我们可以通过数量积来判断向量之间的平行关系。

本文将介绍平面向量的数量积以及如何利用数量积来确定向量之间的平行关系。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

如果有两个平面向量a和b，它们的数量积表示为a·b。

此处，·表示数量积的运算符。

数量积的计算公式如下：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a和b之间的夹角。

数量积的结果是一个标量，它可以用于判断向量之间的相似性、正交性和平行关系。

二、平行向量与数量积的关系两个平面向量a和b平行的充要条件是它们的数量积等于零，即a·b = 0。

这可以通过数量积的定义和性质来证明。

如果向量a和b平行，则它们的夹角θ为0或180度，此时cosθ的值为1或-1。

根据数量积的计算公式可得：a·b = |a| |b| cosθ = |a| |b| (1或-1)当cosθ等于1时，即θ为0度，两个向量同向，且关系为|a·b| = |a| |b|，即两个向量的模的乘积等于数量积的绝对值。

当cosθ等于-1时，即θ为180度，两个向量反向，且关系为|a·b| = -|a| |b|，即两个向量的模的乘积的负值等于数量积的绝对值。

综上所述，当a·b等于0时，两个向量a和b平行。

三、利用数量积判断平面向量的平行关系的步骤根据平面向量的数量积与平行关系的性质，可以通过以下步骤来判断平面向量的平行关系：1. 计算两个向量的数量积：a·b。

2. 如果数量积a·b等于0，则两个向量a和b平行。

3. 如果数量积a·b不等于0，则两个向量a和b不平行。

平面向量的数量积

平面向量的数量积可以用于判断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的投影长度等于向量a的数量积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数量积的正负号表示两向量的夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的相似程度
05
平面向量的数量积的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和性质：数量积满足交换律和分配律坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积
几何意义：表示两个向量在垂直方向上的投影长度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
性质：数量积满足交换律和分配律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ，其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积

初三数学教材平面向量的数量积与向量积

初三数学教材平面向量的数量积与向量积平面向量在初三数学教材中占据着重要的地位，其中数量积和向量积是我们需要重点学习和掌握的概念。

数量积与向量积是平面向量运算中的两个重要概念，它们具有不同的性质和应用场景。

下面将分别对数量积和向量积进行详细介绍。

1. 数量积数量积又称为内积或点积，表示为两个向量的数量积是一个标量。

设有向量a和向量b，它们的数量积定义为：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|表示向量a的模或长度，|b|表示向量b的模或长度，θ表示向量a和向量b的夹角。

从公式中可以看出，数量积等于向量模的乘积与夹角的余弦值的乘积。

数量积具有以下性质：(1) 交换律和分配律：a·b = b·a，(a+b)·c = a·c + b·c(2) 公式变形：a·b = 0，则a与b垂直或其中一个向量为零向量。

(3) 利用数量积可以计算向量的模：|a| = √(a·a)在初三数学教材中，数量积常用于计算向量的模、判断向量的垂直性以及求解几何问题，如判断一个四边形是否为矩形、证明两条直线的垂直等。

2. 向量积向量积又称为外积或叉积，表示为两个向量的向量积是一个向量。

设有向量a和向量b，它们的向量积定义为：a ×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|表示向量a的模或长度，|b|表示向量b的模或长度，θ表示向量a和向量b的夹角，n表示垂直于平面的单位向量，其方向由右手法则确定。

向量积具有以下性质：(1) 反交换律。

a × b = - (b × a)(2) 与数量积的关系。

|a × b| = |a| |b| sinθ(3) 公式变形。

a × b = 0，则a与b共线或其中一个向量为零向量。

向量积的应用主要集中在解决平面向量的方向问题，如求解平面向量的垂直平分线、判断两条直线的位置关系等。

平面向量的数量积与投影

平面向量的数量积与投影平面向量的数量积和投影是向量运算中的重要概念，在数学和物理学中具有广泛的应用。

本文将介绍平面向量的数量积和投影的概念、计算方法以及其在几何和物理中的应用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积（也称为内积、点乘）是指将两个向量的对应分量相乘后求和所得到的数值。

若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则它们的数量积用符号表示为a·b，计算公式为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。

数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b=b·a2. 分配律：a·(b+c)=a·b+a·c3. 数乘结合律：(k·a)·b=k·(a·b)数量积的几何意义在于它可以用来计算两个向量之间的夹角。

设夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)，其中||a||和||b||分别为向量a和b的模。

根据这个公式，我们可以判断向量之间的夹角大小以及它们之间的相对方向。

二、平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的影子长度，它是向量运算中的一种重要应用。

设有向量a和b，投影表示为proj_b a，计算公式为：proj_b a=(a·b)/||b|| * (b/||b||)，其中(||b||)为向量b的模。

投影有以下性质：1. 投影为零向量当且仅当向量a与向量b垂直，即a⊥b。

2. 投影的方向与向量b相同或相反，具体取决于向量a与向量b的夹角。

当0°≤θ≤90°时，投影方向与b相同；当90°<θ≤180°时，投影方向与b相反。

投影的几何意义在于它可以帮助我们分析向量之间的关系，特别是在解决几何问题时，投影的计算能够简化向量的运算过程。

三、平面向量的数量积与投影的应用1. 几何应用：平面向量的数量积和投影在几何学中有广泛的应用。

平面向量的数量积和叉积的计算注意事项

平面向量的数量积和叉积的计算注意事项平面向量是高中数学中重要的概念之一，其数量积和叉积是计算两个向量之间关系的有效工具。

在进行数量积和叉积的计算时，需要注意以下几个关键点。

一、数量积的计算注意事项数量积又称为点积或内积，表示两个向量间的乘积。

在计算数量积时，有以下几个注意事项：1. 数量积的计算公式：对于两个向量A和B，其数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角。

2. 注意模长的计算：在计算数量积时，需要先计算出向量的模长。

向量A的模长计算公式为|A| = √(A₁² + A₂²)，其中A₁和A₂分别表示向量A在x轴和y轴上的分量。

3. 注意夹角的取值范围：夹角θ的取值范围为0°≤θ≤180°。

当θ为锐角时，cosθ大于0；当θ为钝角时，cosθ小于0；当θ为直角时，cosθ等于0。

4. 注意正负号：数量积的结果既可以是正数，也可以是负数。

正数表示两个向量同向，负数表示两个向量反向。

二、叉积的计算注意事项叉积又称为向量积或外积，表示两个向量间的叉乘结果。

在计算叉积时，有以下几个注意事项：1. 叉积的计算公式：对于两个向量A和B，其叉积的计算公式为A×B = |A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于平面的单位向量。

2. 注意模长的计算：与数量积不同，叉积计算中不需要计算向量的模长。

3. 注意夹角的取值范围：夹角θ的取值范围为0°≤θ≤180°。

当θ为锐角时，sinθ大于0；当θ为钝角时，sinθ小于0；当θ为直角时，sinθ等于0。

4. 注意右手法则：叉积的结果具有方向性。

根据右手法则，将右手的食指指向向量A，中指指向向量B，那么拇指的方向就是叉积结果的方向。

总结：在计算平面向量的数量积和叉积时，我们需要注意以下几个要点：1. 数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，注意模长的计算和夹角的取值范围。

平面向量的数量积

平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。

它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。

在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。

一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。

设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。

二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。

假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。

三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。

四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。

五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。

2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。

平面向量的数量积和叉积的平行四边形法则

平面向量的数量积和叉积的平行四边形法则平面向量是数学中一个重要的概念，经常在几何学和物理学中使用。

平面向量有两个重要的运算，即数量积和叉积。

本文将重点介绍平面向量的数量积和叉积，并解释它们之间的关系，即平行四边形法则。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积又被称为点积或内积，记作A·B。

两个平面向量A和B的数量积定义为：A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。

根据数量积的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 数量积为零：如果两个向量的数量积为零，即A·B = 0，则它们垂直。

数量积在解决几何问题和计算工作时非常有用。

例如，可以通过计算两个向量的数量积来确定它们之间的夹角，或者计算一个力向量在另一个力向量上的投影。

二、平面向量的叉积平面向量的叉积又被称为矢量积或外积，记作A×B。

两个平面向量A和B的叉积定义为：A×B = |A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位法向量。

叉积具有一些重要的性质：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：A×(B + C) = A×B + A×C3. 可以通过右手定则来确定叉积的方向：将右手的四个手指指向A，然后握拳，如果手指弯曲的方向指向B，那么拇指的方向就是A×B的方向。

叉积经常用于计算平面向量的面积、力矩和旋转等问题。

例如，通过计算两个向量的叉积可以确定它们所张成的平行四边形的面积。

三、平行四边形法则平行四边形法则是平面向量的数量积和叉积之间的重要关系。

根据平行四边形法则，两个平面向量A和B的叉积的模长等于A和B所张成的平行四边形的面积，即|A×B| = |A||B|sinθ。

数学复习：平面向量数量积的计算

数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。

高三数学平面向量的数量积

2010届高考数学复习强化双基系列课件
27《平面向量的数量积》
1、知识精讲：
（1）平面向量的数量积的定义
①向量a, b 的夹角：已知两个非零向量 a, b ，过 O 点作 OA a ，OB b, 则 ∠ AOB=θ （00≤θ ≤1800）叫做向量 a, b 的夹角。
当且仅当两个非零向量 a, b 同方向时，θ =00，当且仅当反方向时 θ =1800 ，同时0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
a =x2+y2, ②若 a x2 y2 a =(x,y),则|a |=a .
③若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB x2 x1 y2 y1
2 2
2
④若a =(x1,y1),b =(x2,y2)则
ab x1 x2 y1 y2 0 （a // b 呢）
都成立；
（6）对任意向量 a ，有
a a
2
2
。
例2：已知两单位向量 a 与
， b的夹角为120
0
若 c 2a b,d 3b a ，试求 c 与 d 的夹角。
例3．已知 a 4,3 ， b 1,2 ， m a b,
n 2a b，按下列条件求实数的值。（1） m n ；（2）m // n; (3) m n
④
b 在 a 方向上的投影：OP b cos
a b a
R
（注意 OP 是射影）
所以， a b 的几何意义： a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积。
平面向量数量积的性质
设 a, b是两个非零向量， e 是单位向量，于是有：① e a a e a cos ② ab a b 0 ③当 a与b同向时， a b a b ；

平面向量数量积的公式推导

平面向量数量积的公式推导嘿，咱今天就来好好聊聊平面向量数量积的公式推导！先说说什么是平面向量数量积吧。

想象一下，在一个平面上，有两个向量，它们就像是两个有方向的箭头。

这数量积呢，简单来说，就是反映这两个向量之间的一种“相互作用”的程度。

那咱们怎么推导这个数量积的公式呢？咱们来假设一下，有两个向量 A 和 B，向量 A 的坐标是（x1，y1），向量 B 的坐标是（x2，y2）。

咱们先从向量的模长入手，向量 A 的模长就是√(x1² + y1²) ，向量B 的模长就是√(x2² + y2²)。

接下来，咱们看这两个向量的夹角θ 。

为了方便推导，咱们把向量A 和B 的起点都移到同一个点上。

这时，咱们可以发现，如果把向量B 沿着向量A 的方向进行投影，得到的投影长度就是|B|cosθ 。

那这个投影长度和向量 A 有啥关系呢？咱们来想想啊，比如说在一次数学课上，老师在黑板上画了两个向量，让同学们自己思考怎么推导数量积公式。

我当时就盯着那两个向量，心里琢磨着。

突然，我想到了可以用向量的坐标来表示。

回到推导，因为向量的数量积等于一个向量在另一个向量上的投影乘以另一个向量的模长，所以A·B = |A|×(|B|cosθ) 。

再把模长带进去，就得到了 A·B = x1x2 + y1y2 。

这就是平面向量数量积的公式推导啦！在学习这个推导的过程中，大家可别觉得枯燥，要多去想象那些向量在平面上的样子，就像在脑海里演一场精彩的“向量大戏”。

多做几道相关的题目，熟练掌握这个公式，以后遇到各种和向量有关的问题，都能轻松应对。

总之，平面向量数量积的公式推导虽然有点小复杂，但只要咱们用心去理解，多思考多练习，就一定能拿下它！。

2023年新高考数学大一轮复习专题22 平面向量的数量积及其应用(解析版)

专题22 平面向量的数量积及其应用【考点预测】一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b ，我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即⋅a b =||||cos θa b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积．二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则： ①⋅=⋅a b b a ；②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ； ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ．三．数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．特别地，2||⋅=a a a 或||=a ． ④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤．四．数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤.（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=. 当0a ≠时，且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=，但b c ≠.（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()()，这是因为a b c ⋅()是一个与c 共线的向量，而b c a ⋅()是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅()不一定等于b c a ⋅()，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0a b ⋅>且(0)a b λλ≠>（或0a b ⋅<，且(0))a b λλ≠< 【方法技巧与总结】(1)b 在a 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅=，但0a b ⋅=时不能得到0a =或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=． (3)根据平面向量数量积的性质：||a a a =⋅，cos ||||a ba b θ⋅=，0a b a b ⊥⇔⋅=等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．(4)若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=(0a ≠)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅（0a ≠），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等．【题型归纳目录】题型一：平面向量的数量积运算题型二：平面向量的夹角题型三：平面向量的模长题型四：平面向量的投影、投影向量题型五：平面向量的垂直问题题型六：建立坐标系解决向量问题【典例例题】题型一：平面向量的数量积运算例1．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，π3ABC ∠=，O 为ABC 的外心，2BA BO ⋅=，4BC BO ⋅=，则BA BC ⋅=（）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B 【解析】【分析】设,AB BC 的中点为D,E ，将2BA BO ⋅=，变为2BD BO ⋅，根据数量积的几何意义可得||1BD =，同理求得||BC ，根据数量积的定义即可求得答案. 【详解】如图，设,AB BC 的中点为D,E ，连接OD,OE ,则,OD AB OE BC ⊥⊥ ,故2BA BO ⋅=，即22||||cos 2BD BO BD BO OBD ⋅=⋅∠= , 即2||1,||1BD BD ==，故||2BA =,4BC BO ⋅=，即22||||cos 4BE BO BE BO OBE ⋅=⋅∠= ,即2||2,||2BE BE ==，故||22BC =故1||||cos 22BA BC BA BC BAC ⋅=⋅∠=⨯=故选：B例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，点M 在线段AH 上，满足()82+⋅=MB MC AH MB MC ⋅=（） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】A 【解析】【分析】由()82+⋅=MB MC AH 2MH =，由AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH =，可得28HC HB AH ⋅==，然后对()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+化简可求得结果因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高，AH = 所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅==, 因为()82+⋅=MB MC AH所以()82MH MH A HB HC H +⋅=++ 所以282MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅= 所以42MH AH ⋅=，所以42MH AH ⋅= 所以2MH =，所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+ 2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅2cos MH HC HB π=+⋅ 228(1)4=+⨯-=-,故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅=（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，故选：C.例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））如图，正六边形ABCDEF 中，2AB =，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，则AP AB ⋅=______．【答案】2 【解析】【分析】找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可. 【详解】在正六边形中，点P 是正六边形ABCDEF 的中心，60PAB ︒=∴∠，且2AP AB ==, 1cos602222AP AB AP AB ︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：2.例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量,,a b c 满足0,||1,||3,||4a b c a b c ++====，则a b ⋅=_________．【答案】3 【解析】【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方，得2222a a b b c +⋅+=，因为134a b c ===，，，所以12916a b +⋅+=，得·3a b =. 故答案为：3.例6．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量()1,a x =，()0,1b =，若25a b +=，则⋅=a b __________ 【答案】0或4-##4-或0. 【解析】【分析】由向量模长坐标运算可求得x ，由向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()21,2a b x +=+，(21a b x ∴+=+0x =或4x =-；当0x =时，()1,0a =，0a b ∴⋅=；当4x =-时，()1,4a =-，044a b ∴⋅=-=-； 0a b ∴⋅=或4-.故答案为：0或4-.例7．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________．【答案】1或14【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把BP CP ，用AB AC ，表示出来，再用1BP CP ⋅=-建立方程，解出λ的值. 【详解】由AP AB AC λ=+，得AP AB AC λ-=，即BP AC λ=， (1)CP AP AC AB AC λ=-=+-，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+-22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-，即24510λλ-+=，解得1λ=或14λ= 所以实数λ的值为1或14. 故答案为：1或14. 例8．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形ABCD 中，11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，则AC DB ⋅值为__________．【答案】94【解析】【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-，再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律，即可得结果. 【详解】由题设可得如下图：,AC AD DC DB DC CB =+=+，而AD CB =-，所以22D AC DB C CB ⋅=-，又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====，所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩，则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩，故228()29DC BC -=，可得2294DC BC -=，即94AC DB =⋅. 故答案为：94例9．（2022·福建省福州第一中学三模）过点M 的直线与22:(3)16C x y -+=交于A ，B 两点，当M 为线段AB中点时，CA CB ⋅=___________. 【答案】-8 【解析】【分析】由题意可得M 在C 内，又由M 为线段AB 中点AB CM ⊥，由两点间距离公式得2CM =＝12AC ,进而求得120ACB ∠=︒，再由向量的数量积公式计算即可得答案. 【详解】解：因为点M 在22:(3)16Cx y -+=内，所以当M 为线段AB 中点时，AB CM ⊥，又因为C 的半径为4,2CM =＝12AC ,所以60ACM ∠=°，所以120ACB ∠=︒，所以，CA CB ⋅=||||cos120CA CB ︒＝144()82⨯⨯-=-.故答案为：-8.例10．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量a 与b 不共线，且()2a a b ⋅+=，1a =，若()()22a b a b -⊥+，则()b a b ⋅-=___________. 【答案】3- 【解析】【分析】由()2a a b ⋅+=得1a b ⋅=，由()()22a b a b -⊥+得2b =，即可求解结果．【详解】由()212a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=得1a b ⋅=由()()22a b a b -⊥+得()()222240a b a b a b -⋅+=-=，所以2b = 则()2143b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- 故答案为：3-例11．（2022·全国·高三专题练习（理））设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________．【答案】11 【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=．故答案为：11．例12．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的．若E 为线段BF 的中点，则AF BC ⋅=______．【答案】4 【解析】【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】解：如图所示：设CF x =，由题可得2BF x =，所以()2225x x +=，解得1x =．过F 作BC 的垂线，垂足设为Q ，故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==，故答案为：4．【方法技巧与总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a 在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅．（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：222()2a b a ab b ±=±+；a b ±()a b c ab ac +=+公式都可通用异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±（θ为a 与b 的夹角） 22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．ma nb ma nb ma nb -≤±≤+，通常是求ma nb ±最值的时候用．题型二：平面向量的夹角例13．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知非零向量a →，b →满足a b a →→→-=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则a→与b →夹角为______．【答案】4π##45 【解析】【分析】根据已知求出2=a a b →→→，||b a →→，即得解. 【详解】解：因为a b a →→→-=，所以22222,2a b a b a b a b →→→→→→→→+-=∴=.因为a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，所以22=0,=aa b a a b a a b →→→→→→→→→⎛⎫--=∴ ⎪⎝⎭，所以22=2||b a b a →→→→∴，.设a →与b →夹角为θ，所以22cos =2|||||a ba ba b a θ→→→→→→→==. 因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.例14．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量||1b =，向量(1,3)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角【详解】因为(1,3)a =，所以(21+a =因为|2|6a b -=，所以2222+26a ab b -=，又||1b =，所以426b -⋅+=，所以0a b ⋅=，向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=，则2πθ=.故答案为：2π. 例15．（2022·湖北武汉·模拟预测）两不共线的向量a ，b ，满足3a b =，且t R ∀∈，a tb a b -≥-，则cos ,a b =（）A ．12 B C ．13D 【答案】C 【解析】【分析】由a tb a b -≥-两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断0∆≤，整理后可知∆只能为0，即可解得答案. 【详解】解：由题意得：t R ∀∈，a tb a b -≥-t R ∴∀∈，2222222a t b ta b a b a b +-⋅≥+-⋅即222226cos ,6cos ,0t b t b a b b b a b --+≥ 0b ≠t R ∴∀∈，26cos ,16cos ,0t t a b a b --+≥()221Δ36cos ,46cos ,136cos ,03a b a b a b ⎛⎫∴=--=-≤ ⎪⎝⎭1cos ,03a b ∴-=，即1cos ,3a b =故选：C例16．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出a b +的坐标，求得当a 与a b +共线时12t =，根据向量a 与向量a b +的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案. 【详解】因为(23)a b t +=--，，又a 与a b +的夹角为钝角，当a 与a b +共线时，162(2)0,2t t t ---==，所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线，即2230t t --<且12t ≠，所以111322t ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，故选：D ．例17．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知向量()cos30,sin 210a =︒-︒，(3,1)b =-，则a 与b 夹角的余弦值为_________．【答案】12-【解析】【分析】化简向量a ，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解. 【详解】由()cos30,sin210a =︒-︒知31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故31(1122a b ⋅=⨯+⨯=-，||1a =，||2b =，记a 与b 的夹角为θ，则11cos 122||||a b a b θ⋅-===-⨯⨯．故答案为：12-.例18．（2022·全国·高三专题练习）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例19．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-=，则向量b 与向量a b -夹角的余弦值为（）A ．B ．0C D 【答案】A 【解析】【分析】根据0a b ⋅=，设(1,0)a =，(0,)b t =，根据()()0a b a b +⋅-=求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解. 【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a =，(0,)b t =，则(1,)a b t +=，(1,)a b t -=-，因为()()0a b a b +⋅-=，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a bb a b b a b ⋅-<->=⋅-2==，故选：A.例20．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量a ，b 满足3a b a b -=+，则a 与b 的夹角为（） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；【详解】解：因为a ，b 为单位向量，所以1a b ==，又3a b a b -=+，所以()()223a b a b -=+，即()2222232a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，所以()22240a a b b +⋅+=，即()22240a a b b+⋅+=，所以12a b ⋅=-，所以1cos ,2a ba b a b ⋅==-⋅，因为[],0,a b π∈，所以2,3a b π=；故选：C例21．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B 【解析】【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,2a b a a b a a b a⋅--===-，因为[],0,πa b a -∈，所以π,4a b a -=，故选：B例22．（2022·全国·模拟预测（理））已知平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，若||5a =，则a 与a b +的夹角的余弦值为（）A B C D ．12【答案】A 【解析】【分析】利用向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，利用数量积求得向量,a b 的模长及数量积，然后利用平面向量夹角公式求得结果. 【详解】平面向量a b +与a b -互相垂直，模长之比为2：1，则()()0a b a b +⋅-=且||2||a b a b +=-，得22a b =，又||5a =，则||||5a b ==，将||2||a b a b +=-平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得=3a b ⋅，222|=216a b a a b b +|+⋅+=,则4a b +=，设a 与a b +的夹角为θ，则()25+3cos =54a ab aa ba a ba a bθ⋅++⋅===⨯++ 故选：A.例23．（多选题）（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知单位向量,a b 的夹角为120︒,则以下说法正确的是（） A ．||1a b += B ．(2)a b a +⊥C ．3cos ,2a b b 〈-〉= D ．2a b +与2a b +可以作为平面内的一组基底【答案】ABD 【解析】【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可【详解】据题意221,1,11cos1202a b a b ︒==⋅=⨯⨯=-因为2221()211212a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭所以||1a b +=,所以A 对因为21(2)21202a b a a a b ⎛⎫+⋅=+⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭,所以(2)a b a +⊥,所以B 对.因为222213()1,()2322a b b a b b a b a b a b -⋅=⋅-=--=--=++⋅=所以3()2cos ,||||31a b b a b b a b b --⋅〈-〉===-⋅⨯所以C 错因为2a b +与2a b +不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D 正确故选：ABD例24．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（） A ．若(2)a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=- C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC 【解析】【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A ，利用向量坐标的表示可判断B ，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C ，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A ，因为2(1,4)a b +=，(,1)c λ=-，(2)a b c +⊥，所以14(1)0λ⨯+⨯-=，解得4λ=，所以A 正确. 对于B ，由a tb c =+，得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-，则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，所以B 正确.对于C ，因为(3,2)(2,1)(23,2)a bμμμμ+=-+=-+，所以a b μ+==则当45μ=时，a b μ+取得最小值，为，所以C 正确. 对于D ，因为(1,3)a b +=-，2(4,1)b c λ+=+，向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>，解得1λ<-；当向量a b +与向量2b c +共线时，113(4)0λ-⨯-⨯+=，解得133λ=-，所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确.故选：ABC.例25．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知1e ，2e 是单位向量，122a e e =-，123b e e =+，若a b ⊥，则1e ，2e 的夹角的余弦值为（）A ．35B ．12C ．13D ．15【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意知121e e ==，()()22121212122303250a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=⇒--⋅=，即1215e e ⋅=，所以121cos 5e e ⋅=. 故选：D.例26．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则a b -与a 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出a b ⋅，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得：22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，解得0a b ⋅=，因此，22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-，而,[0,π]a b a 〈-〉∈，解得π,3a b a 〈-〉=，所以a b -与a 的夹角为3π. 故选：B例27．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠，则a 与b 的夹角为（） A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C 【解析】【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅=，从而得到0a b ⋅=，得到a 与b 的夹角. 【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+，因为向量a ，b 为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅=. 因为0λ≠，所以0a b ⋅=，即a 与b 的夹角为π2. 故选：C【方法技巧与总结】求夹角，用数量积，由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y a b a b xyx y ，进而求得向量,a b 的夹角.题型三：平面向量的模长例28．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，9b c -=，则a =______．【答案】3 【解析】【分析】由已知条件可得出a b c =--，根据平面向量的数量积可求得22b c +、b c ⋅的值，结合平面向量的数量积可求得a 的值. 【详解】由已知可得a b c =--，则()()()()()()22220a b a c b c b c b c b c -⋅-=--⋅--=+⋅+=，即222250b c b c ++⋅=，因为9b c -=，则22281b c b c +-⋅=，所以，2245b c +=，18b c ⋅=-，因此，()2222229a a b c b c b c ==--=++⋅=，故3a =.故答案为：3.例29．（2022·辽宁沈阳·三模）已知平面向量,,a b c 满足1,1,0,1a c a b c a b ==++=⋅=-，则b =_______．【解析】【分析】由题意得c a b =--，直接平方即得结果. 【详解】由0a b c ++=可得c a b =--，两边同时平方得2222c a a b b =+⋅+，1,1,1a c a b ==⋅=-，2112b ∴=-+，解得2b =..例30．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+a b .故选：D例31．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=，则|c |的可能取值有（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=，分析可得C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．【详解】根据题意，设OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系，则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则(1,1)c a b x y --=--，若||2b c a --=，则有22(1)(1)4x y -+-=，则C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M ，则||OM =||||||r OM OC r OM -+，即22||22OC +，则||c 的取值范围为22⎡⎣；故选：D ．例32．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量a ，b 满足2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=（）AB C D ．3【答案】C 【解析】【分析】由()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+求解.【详解】解：因为2a =，1b =，且a 与b 的夹角为3π，所以()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+，==，故选：C例33．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知非零向量a ，b 的夹角为6π，()||3,a a a b =⊥-，则||b =___________. 【答案】2 【解析】【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】由()a a b ⊥-得22π3()||||||||cos3||062a ab a a b a a b b ⋅-=-⋅=-⋅=-=，解得||2b =. 故答案为：2例34．（2022·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，且||1a =，||2b =，||3c =，求|23|a b c -+．9 【解析】【分析】由三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等得 ,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0，再分别计算求解即可【详解】因为三个非零平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0 ．当,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒时，2|23|(23)a b c a b c -+=-+222||||9||4126a b c b b c a c a =++-⋅+⋅-⋅==当,,,0a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=︒，即a ，b ，c 共线时． |23|2||||3||2299a b c a b c -+=-+=-+=∣∣．9例35．（2022·全国·高三专题练习）已知2=a ，3b =，a 与b 的夹角为120，求a b +及a b -的值．【答案】7a b +=，19a b -=. 【解析】【分析】利用向量数量积定义可求得a b ⋅，由向量数量积的运算律可求得2a b +和2a b -，由此可得结果. 【详解】cos ,6cos1203a b a b a b ⋅=⋅<>==-，22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=，222246919a b a a b b -=-⋅+=++=，7a b ∴+=，19a b -=.例36．（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量(0,1)=a ,(,3)b t =，若,a b 的夹角为π3，则||b =___________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】由πcos3||||a b a b ⋅=⋅,得132||b ,得||23b =.故答案为：【方法技巧与总结】求模长，用平方，2||a a .题型四：平面向量的投影、投影向量例37．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））设a ，b 是两个非零向量，AB a =，CD b =，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，得到11A B ，则11A B 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如下图，已知扇形AOB 的半径为1，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，则弧AB 的中点C 的坐标为________；向量CO 在OB 上的投影向量为________ .【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭3()4- 【解析】【分析】由已知，根据给到的OA ，OB 先求解OA 与OB 的夹角，然后再利用点C 是弧AB 的中点，即可求解出AOC ∠，从而求解点C 的坐标；根据前面求解出的点C 的坐标，写出OB 和CO ，先计算向量CO 在OB 上的投影，然后根据OB 即可写出向量CO 在OB 上的投影向量. 【详解】由已知，()1,0OA =，12OB ⎛= ⎝⎭，所以112cos ,112OA OB OA OB OA OB ===⨯，所以π3AOB ∠=，因为点C 为弧AB 的中点，所以π6AOC ∠=，扇形AOB 的半径为1，所以弧AB 满足的曲线参数方程为cos π()sin 3xy αααα=⎧≤≤⎨=⎩为参数，0，所以中点C 的坐标为πcos 6π1sin 62x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以C的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，12CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12OB ⎛=⎝⎭，向量CO 在OB 上的投影为3441CO OB OB-== 因为12OB ⎛= ⎝⎭，所以向量CO 在OB 上的投影向量为3()4-.故答案为：12⎫⎪⎪⎝⎭；3()4- 例38．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知向量,,(3,1),||2,(2)3a b a b a b b ==-⋅=，则b 在a 方向上的投影为_________ 【答案】54【解析】【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可．【详解】因为(3,1)a =，||2b =，所以2||1(2a =+，22b =，因为(2)3a b b -⋅=，所以222223a b b b a b b a b ⋅-⋅=⋅-=⋅-=，所以52a b ⋅=，所以b 在a 方向上的投影为5||4a b a ⋅=，故答案为：54．例39．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知向量()1,2a =-，()3,b t =，且a 在b 上的投影等于1-，则t =___________. 【答案】4 【解析】【分析】根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号. 【详解】因为a 在b 上的投影等于1-，即cos ,1a b a a b b⋅〈〉==-1=-，且320t -<，解得4t =.故答案为：4例40．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知||2a =，b 在a 上的投影为1，则a b +在a 上的投影为（）A ．-1B ．2C ．3D 【答案】C 【解析】【分析】先利用b 在a 上的投影为1求出a b ⋅，然后可求a b +在a 上的投影. 【详解】因为||2a =，b 在a 上的投影为1，所以1||a ba ⋅=，即2ab ⋅=；所以a b +在a 上的投影为()24232||||a b a aa b a a +⋅+⋅+===；故选：C.例41．（2022·四川成都·三模（理））在ABC 中，已知7π12A ∠=，π6C ∠=，AC =BA在BC 方向上的投影为（）．A ．B ．2CD ．【答案】C 【解析】【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B π∠=、2AB =，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B π∠=，则sin sin AB AC C B=，可得122AB ==，所以向量BA 在BC 方向上的投影为||cos 2BA B ==故选：C例42．（2022·广西桂林·二模（文））已知向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B 【解析】【分析】利用向量的投影公式直接计算即可．【详解】向量(1,2),(0,1)==-a b ，则a 在b 方向上的投影为2||cos ,21||a b a a b b ⋅-<>===-，故选：B ．例43．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，a 与b 的夹角为6π，3a =，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D 【解析】【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答. 【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥-，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅=，即c b a b ⋅=⋅，又a 与b 的夹角为6π，3a =，所以c 在b 上的正射影的数量3||cos ,||cos 62||||c b a b c c b a b b π⋅⋅〈〉====故选：D例44．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知单位向量,a b 满足||1a b -=，则a 在b 方向上的投影向量为（）A ．12bB ．12b -C ．12aD ．12a -【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量公式，即可求解. 【详解】22221a b a a b b -=-⋅+=，因为1==a b ，所以12a b ⋅=，所以a 在b 方向上的投影向量为12a b b b b b ⋅⋅=. 故选：A例45．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，则a 在b 方向上的投影向量为（）A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．12⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量a ，b 的夹角为3π，且||2a =，(1,3)b =-，所以a 在b方向上的投影向量为22cos 13(1,3)(2a b a b b bbπ⋅⋅⋅⋅=⋅-=- ，故选：C题型五：平面向量的垂直问题例46．（2022·海南海口·二模）已知向量a ，b 的夹角为45°，2a =，且2a b ，若()a b b λ+⊥，则λ=______．【答案】-2 【解析】【分析】先利用数量积的运算求解b ，再利用向量垂直数量积为0即可求解. 【详解】因为cos 452a b a b ⋅=︒=得2b =，又因为()a b b λ+⊥，所以()2240a b b a b b λλλ+⋅=⋅+=+=，所以2λ=-．故答案为：-2.例47．（2022·广东茂名·二模）已知向量a =（t ，2t ），b ＝（﹣t ，1），若（a ﹣b ）⊥（a +b ），则t ＝_____．【答案】12±【解析】【分析】由（a ﹣b ）⊥（a +b ），由垂直向量的坐标运算可得出a b =，再由模长的公式即可求出t . 【详解】因为（a ﹣b ）⊥（a +b ），所以()()0a b a b -⋅+=，所以220a b -=，则a b =，所以22241t t t +=+，所以12t =±.故答案为：12±．例48．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若()3a b a +⊥，则m =______．【答案】13【解析】【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解. 【详解】()()23,3030a b a a b a aa b +⊥∴+⋅=⇒+⋅= ，所以()123103m m +-+=⇒=故答案为：13例49．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量1e 与2e 的夹角为3π，若122a e e =+，12b e me =+，且a b ⊥，则实数m =（） A ．45-B ．45 C ．54-D ．54【答案】A 【解析】【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得221122(2)20e m e e m e ++⋅+=，结合已知即可求m 的值.【详解】由题意1222121122)()(220()2a b e me m e e m e e e e ⋅=⋅+=++⋅++=，又1e 与2e 的夹角为3π且为单位向量，所以22021m m +++=，可得45m =-.故选：A例50．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量(22,4),1,cos 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a b θ，其中(0,π)θ∈，若a b ⊥，则sin θ=___________．【答案】1 【解析】【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即14cos0cos22θθ-+=⇒=，因为(0,π)θ∈，所以π(0,)22θ∈，因此ππ242θθ=⇒=，所以sin 1θ=，故答案为：1例51．（2022·全国·模拟预测（文））设向量()2,1a =，()1,b x =-，若()a b a ⊥-，则b =___________.【答案】【解析】【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解【详解】()3,1b a x -=--，由题意得()0a b a ⋅-=，即610x -+-=，得7x =149b =+=.故答案为：【方法技巧与总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六：建立坐标系解决向量问题例52．（2022·山东淄博·三模）如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ，又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF =，即310CE FC =，即710FE FC =，则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭，则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．例53．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在边长为2的正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，则AC DE ⋅=（） A ．2 B ．2-C ．4-D ．4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，用向量法即可【详解】在平面直角坐标系中以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，则()0,0A ，()0,2D ，()2,2C ，()2,1E ，所以()()2,22,1422AC DE ⋅=⋅-=-=，故选：A例54．（2022·江苏·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，(4,1)AB =，(2,3)DC =，(2,)AC m =-，若0E A F C =⋅，则实数m 的值是（）A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】根据题意得分别求出AD 和BC 的坐标，再分别求出AE 和BF 的坐标，EF EA AB BF =++，再利用数量积坐标运算求解即可. 【详解】根据题意得：(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--，(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以13(2,)22m AE AD -==-，11(3,)22m BF BC -==-，所以()3,2EF EA AB BF =++=，又0E A F C =⋅，即()2320m -⨯+⨯=，解得3m =. 故选：D.例55．（2022·四川南充·三模（理））在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，3AC =，2AM MC =，12AN AB =，CN 与BM 交于点P ，则cos BPN ∠的值为（）A B ．C ．D 【答案】D 【解析】【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M , 得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ 故选：D.例56．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形ABCD 中，1AB BC CD DA DC ===⋅=，12⋅=BA BC ，则（） A ．1AC = B ．CA CD CA CD +=-C ．2AD BC = D ．BD CD ⋅=【答案】ABD 【解析】【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】因为1AB BC CD ===，1cos 2BA BC BA BC B ⋅==，可得3B π=，所以ABC 为等边三角形，则1AC = ，故A 正确；因为1CD =，所以21CD =，又1DA DC ⋅=，所以2CD DA DC =⋅ ，得()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=，所以AC CD ⊥，则CA CD CA CD +=-，故B 正确；根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，12BD ⎫=⎪⎪⎝⎭，3122CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BD CD ⋅=，故D 正确；故选：ABD.例57．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量a b c ，，满足2222a b a b c c =-=-==，则可能成立的结果为（） A ．34b =B ．54b =C ．34b c ⋅= D ．54b c ⋅=【答案】BCD 【解析】【分析】不妨设()10C ，，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，利用坐标法，即可求解. 【详解】对于选项A 、B ，由题意2=a ，1c =，1a b b c -=-=，设OA a =，OB b =，OC c =，不妨设()10C ，，如图，动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB =，圆C 方程是22(1)1x y -+=.当B 在圆C 上运动时，由AB OB OA +≥，得1OB ≥，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取等号，又由图易知2OB ≤，即12b ≤≤，故选项A 不满足，选项B 满足；对于选项C 、D ，设()B x y ，，则()()10b c x y x ⋅=⋅=，，，由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12B x ∴≥，又2B x ≤.即122x ≤≤. 122b c ⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦，，选项C ，D 满足.故选：BCD例58．（多选题）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则（）A ．20OB OE OG ++=B ．22OA OD ⋅=- C ．4AH EH += D ．4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立的平面直角坐标系，作AM HD ⊥，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====DOE COB COD =∠=∠=∠360458==，作AM HD ⊥，则OM AM =，因为2OA =，所以OM AM =(A ，同理可得其余各点坐标，()0,2B -，E ，(G ，()2,0D ，()2,0H -，对于A (02(2),2222)0OE OG ++=++--++=，故A 正确；对于B 中，(2(0OA OD ⋅=-⨯+⨯=-B 正确；对于C 中，(2AH =-，(2EH =-，(4,0)AH EH +=-，所以(4AH EH +=-=，故C 正确；对于D 中，(2AH =-，(2GH =-，(4AH GH +=-+，(4AH GH =-+=-D 不正确.故选：ABC.例59．（2022·江苏南京·模拟预测）在ABC 中，0AB AC ⋅=，3AB =，4AC =，O 为ABC 的重心，D 在边BC 上，且AD BC ⊥，则AD AO ⋅______．【答案】9625【解析】根据O 为ABC 的重心，得到()13=+AO AB AC ，再由0AB AC ⋅=和AD BC ⊥，利用等面积法求得AD ，进而得到DB ，方法一：利用基底法求解；方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】解：因为O 为ABC 的重心，所以()13=+AO AB AC ，因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，则5BC =，因为AD BC ⊥，所以1122ABC S AB AC AD BC =⋅=⋅△，即1134522AD ⨯⨯=⨯，所以125AD =，在Rt ADB 中，95DB =．方法一：因为925=+=+AD AB BD AB BC ， ()9916252525=+-=+AB AC AB AC AB ，所以()191632525⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭AD AO AB AC AC AB ，221916963252525⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭AC AB ．方法二：以A 坐标原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0AC =，()0,3AB =，由方法一可知9163648,25252525AD AC AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()14,133AO AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以136489513252525AD AO ⋅=⨯+⨯=．例60．（2022·北京·北大附中三模）已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则PD =___________；PE PD ⋅=___________.【答案】 10 【解析】【详解】解：以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，所以()()()0,0,2,0,2,1A B E ，()0,2D ，设(),P x y ，所以()()(),,2,1,2,0AP x y AE AD ===，因为2AP AE AD =-，所以()()4,0,4,2P PD =-，所以25PD = 又()2,1PE =-，所以10PE PD ⋅=.故答案为：10.例61．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，若线段EF 上存在一点M ，使得5162AM AB AD =+，则||AM =__________，若点N 为线段BD 上一个动点，则AN MN ⋅的取值范围为__________.【答案】73 371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M 坐标然后可得||AM ，再用坐标表示出AN MN ⋅，由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，以BD 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为2AB =，60BAD ∠=︒，所以1,OB OD OC OA ====则(0,(1,0),(1,0)A B D -，设((,0)M m N n 43(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==-==因为5162AM AB AD =+，所以51((62m =+-解得13m =，所以17||93AM =又1(,3MN n =-所以21137()1()3636AN MN n n n ⋅=--=--因为11n -≤≤，所以当16n =时，AN MN ⋅有最小值3736-，当1n =-时，AN MN ⋅有最大值13，所以AN MN ⋅的取值范围为371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：73，371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

高中数学必备技巧平面向量的数量积与向量积

高中数学必备技巧平面向量的数量积与向量积高中数学必备技巧：平面向量的数量积与向量积高中的数学学习中，平面向量是一个重要而基础的概念。

平面向量的数量积和向量积在解决问题和计算过程中起着至关重要的作用。

本文将介绍平面向量的数量积和向量积以及它们的应用技巧。

一、平面向量的数量积1. 定义：对于平面内的两个向量 a 和 b，数量积（又称点积或内积）的结果是一个标量，记作 a·b。

具体计算公式为：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模长（即长度），θ 表示 a 和b 之间的夹角。

通过数量积，我们可以得到向量之间的夹角大小和它们的相互关系。

2. 性质：数量积具有以下几个重要的性质：（1）a·b = b·a （数量积满足交换律）（2）a·a = |a|^2 （向量的自身与自身的数量积等于它的模长的平方）（3）如果 a·b = 0，那么 a 和 b 互相垂直（数量积为零意味着两个向量垂直）（4）如果 a·b > 0，那么 a 和 b 夹角为锐角（数量积大于零意味着两个向量的夹角为锐角）（5）如果 a·b < 0，那么 a 和 b 夹角为钝角（数量积小于零意味着两个向量的夹角为钝角）这些性质可以在解决问题中起到指导作用，帮助我们判断向量之间的关系。

二、平面向量的向量积1. 定义：平面向量的向量积（又称叉积或外积）是平面内两个向量所确定的平行四边形的有向面积。

向量积的结果是一个向量，记作 a x b。

具体计算公式为：a xb = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模长，θ 表示 a 和 b 之间的夹角，n 表示与平面同一方向的单位向量。

通过向量积，我们可以得到一个新的向量，它与给定的两个向量都垂直，并符合右手定则。

平面向量的数量积和向量积的模长

平面向量的数量积和向量积的模长在数学中，平面向量是指具有大小和方向的量，用于描述平面上的位移、速度、力等物理量。

平面向量有很多重要的性质和运算规律，其中最常用的两个运算是数量积和向量积。

本文将介绍平面向量的数量积和向量积，并讨论它们的模长性质。

一、数量积数量积，也称为点积或内积，是平面向量的一种运算。

给定平面上两个向量a=(a_1,a_2)和a=(a_1,a_2)，它们的数量积定义为：a⋅a=a_1⋅a_1+a_2⋅a_2数量积有以下几个重要的性质：1. a⋅a=a⋅a数量积具有交换律，即对于任意两个向量a和a，它们的数量积相等。

2. a⋅(a+a)=a⋅a+a⋅a数量积具有分配律，即对于任意三个向量a、a和a，它们的数量积满足这个等式。

3. a⋅a=||a||^2向量的数量积等于向量的模长的平方。

二、向量积向量积，也称为叉积或外积，是另一种平面向量的运算。

给定平面上两个向量a=(a_1,a_2)和a=(a_1,a_2)，它们的向量积定义为：a×a=a_1a_2−a_2a_1向量积有以下几个重要的性质：1. a×a=−a×a向量积具有反交换律，即两个向量的向量积是互相相反的。

2. a×(a+a)=a×a+a×a向量积具有分配律，与数量积类似，对于任意三个向量a、a和a，它们的向量积满足这个等式。

3. a×a与向量a和a的夹角a相关向量积的模长等于向量a和a的模长乘以它们之间夹角a的正弦值，即 ||a×a||=||a||⋅||a||⋅aaaa。

通过向量积的模长公式，我们可以计算出两个向量的夹角a的正弦值。

这在解决几何问题中非常有用，例如确定两条直线的夹角或者判断三角形的形状等。

结语平面向量的数量积和向量积是数学中非常重要的运算，它们具有很多有用的性质和应用。

数量积可以用于计算向量之间的夹角和判断向量的正交性，而向量积则可以用于计算向量构成的平行四边形的面积和判断向量所在平面的法向量等。

平面向量数量积的坐标

平面向量数量积的坐标平面向量数量积是向量的一种重要运算，通常用来计算向量之间的夹角和长度。

在坐标系中，向量可以表示成有序数对 (x, y)，因此向量的数量积也可以用坐标表示出来。

以下是平面向量数量积的坐标公式：设有向量 A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则向量 A 和向量 B 的数量积为：A·B = x1x2 + y1y2这里“·”表示数量积运算，即点乘。

为了更好地理解平面向量的数量积，我们可以通过几何直观来解释。

几何意义：向量的数量积可以理解为向量 A 在向量 B 上的投影乘以向量 B 的长度，也可以理解为向量 B 在向量 A 上的投影乘以向量 A 的长度。

如果两个向量的数量积为0，则它们垂直。

如果两个向量的数量积为正，则它们之间的夹角为锐角；如果两个向量的数量积为负，则它们之间的夹角为钝角。

数学性质：向量的数量积具有以下基本性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)3. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C4. 平行四边形法则：(A+B)·(C+D) = A·C + A·D + B·C + B·D应用：通过向量的数量积，可以计算两个向量之间的夹角和长度。

夹角的计算公式为：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中，θ表示向量 A 和向量 B 之间的夹角，|A|和|B|表示向量 A 和向量B 的长度。

如果知道两个向量的长度和它们之间的夹角，也可以用数量积来求出向量的坐标。

综上所述，平面向量的数量积是向量的一项基本运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角和长度，进而解决各种几何问题。

平面向量的数量积

平面向量的数量积在解析几何中，平面向量的数量积是一种常见且重要的运算。

通过求取两个向量的数量积，我们可以得到向量的夹角以及向量的投影等有用信息。

本文将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方式以及其在几何学和物理学中的应用。

一、概念平面向量是具有方向和大小的箭头，一般用有序数对(a, b)表示，其中a表示该向量在x轴上的投影，b表示该向量在y轴上的投影。

为了方便计算，我们可以使用向量与坐标轴形成的三角形，其中向量的起点位于原点，以及向量的终点位于坐标轴上。

平面向量的数量积又称为点积或内积，通常用符号"·"表示。

对于平面向量u和v，它们的数量积定义为u·v = |u||v|cosθ，其中|u|和|v|分别表示向量u和v的模长，θ表示u和v之间的夹角。

二、计算方式计算平面向量的数量积可以使用以下公式：u·v = a₁a₂ + b₁b₂，其中u=(a₁, b₁)、v=(a₂, b₂)。

根据该公式，我们可以很容易地计算出两个向量的数量积。

另外，数量积也可以写成向量形式：u·v =|u||v|cosθ，其中u、v分别表示向量u和v，θ表示夹角。

三、性质平面向量的数量积具有以下几个重要的性质：1. 交换律：u·v = v·u2. 分配律：k(u+v) = ku + kv，其中k为任意实数3. 数量积与夹角的关系：u·v = 0，当且仅当两个向量垂直，即夹角为90度4. 数量积与模长的关系：u·v = |u||v|cosθ5. 数量积为零的性质：若u·v = 0，则u和v线性无关四、应用平面向量的数量积在几何学和物理学中有着广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 判断向量垂直：通过计算两个向量的数量积，若结果为0，则可以判断这两个向量垂直。

2. 计算夹角：通过计算两个向量的数量积，利用cosθ = u·v / (|u||v|)，我们可以求得两个向量的夹角。