四点共圆的几种常用判定方法 欧阳晓善
证明四点共圆的基本方法
证明四点共圆的基本方法证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据的逆定理)方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为π,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。
角CBE=角ADE（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（）四点共圆的图片EB*EA=EC*ED（）EF*EF= EB*EA=EC*ED（）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）证明四点共圆的原理四点共圆证明四点共圆基本方法：方法1把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。
四点共圆的判定方法都有哪些
四点共圆的判定方法都有哪些（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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专题3.8 四点共圆(隐圆压轴五)(解析版)
∴DG＝CG﹣CD＝ ＝ ，
在 Rt△ADG 中，由勾股定理得
＝
＝
，
∴
＝
＝
．
故答案为：6，
．
【变式 1-5】如图，AB⊥BC，AB＝5，点 E、F 分别是线段 AB、射线 BC 上的动 点，以 EF 为斜边向上作等腰 Rt△DEF，∠D＝90°，连接 AD，则 AD 的最 小值为 ．
【答案】 ． 【解答】解：连接 BD 并延长，如图，
模型解读：
模型 1：对角互补型： 若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º, 则 A、B、C、D 四点共圆 模型 2：同侧等角型 （1）若∠A=∠C, 则 A、B、C、D 四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆 条件：△OCD∽△OAB 结论：①△OAC∽△OBD ②AC 与 BD 交于点 E,必有∠AEB=∠AOB； ③点 E 在△OAB 的外接圆上,即 O、A、B、E 四点共圆.同理：ODCE 也四点共圆.
∴S△ABC＝
＝
＝300 km2．
则当△ADC 的面积最大时，四边形 ABCD 的面积最大．
当 AD＝CD 时，DF 最大，此时四边形 ABCD 的面积最大．
在 Rt△ACE 中，AC＝
＝10 km，AF＝ AC＝5
km，
∵∠ADF＝
＝30°，
∴DF＝ AF＝5 km，
∴S△ADC＝
Hale Waihona Puke ＝＝925 km2．
C．15
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，
∴A、E、D、F 四点共圆，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴DE＝DF＝6，
四点共圆的判定与性质之欧阳学文创编
四点共圆的判定与性质欧阳歌谷（2021.02.01）一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
欧阳歌谷创编2021年2月8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O 为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
欧阳歌谷创编2021年2月如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
四点共圆的几种常用判定方法 欧阳晓善
四点共圆是一个常用的知识，它除了可以灵活运用于角与角之间的等量转换外，还可以解决与圆幂定理（相交弦定理和切割线定理）相关的问题。
四点共圆的判定是个难点，现归纳总结出四点共圆的几种常用判定方法，供同学们学习参考。
一、直接找出一点到所证四点的距离相等例1如图1所示，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为E 、F 、G 、H 。
求证：E 、F 、G 、H 四点共圆。
分析：由于E 、F 、G 、H 是菱形四边中点，从菱形的性质可知：E 、F 、G 、H 应在对角线交点O 为圆心的圆上，因此可证E 、F 、G 、H 四点到O 点的距离相等即可。
图1证明：连接OE 、OF 、OG 、OH ，ȵ四边形ABCD 是菱形，ʑAB ⊥BD ，AB =BD =CD =DA 。
又ȵ在Rt △AOB 、Rt △BOC 、Rt △COD 、Rt △AOD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，ʑOE =12AB ，OF =12BC ，OG =12CD ，．．．CZSFD 数学2011．12OH =12AD 。
又ȵAB =BC =CD =DA （已证），ʑOE =OF =OG =OH 。
ʑE 、F 、G 、H 四点共圆。
二、证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角例2如图2所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，过点A 和点B 的圆与AD 、BC 分别交于E 、F 点。
求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
分析：欲证C 、D 、E 、F 四点共圆，可证以该四点构成的四边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。
由此，连接EF 构成四边形EFCD 后，证明∠BFE =∠D 即可。
图2证明：连接EF ，ȵ四边形ABFE 是圆内接四边形，ʑ∠A +∠BFE =180ʎ。
又ȵ四边形ABCD 是平行四边形，ʑ∠A +∠D =180ʎ。
ʑ∠BFE =∠D 。
证明四点共圆的方法
证明四点共圆的方法四点共圆是指四个点可以在同一个圆上。
要证明四点共圆，可以利用静态几何学的基本定理和性质，下面将介绍三种常用的方法。
方法一：利用圆的定义和性质对于任意圆，其上的所有点到圆心的距离都是相等的。
因此，我们可以通过计算四个点到圆心的距离来判断它们是否共圆。
设四个点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，圆心为O(x0,y0)。
若四个点共圆，则AO=BO=CO=DO。
利用距离公式得到：AO²=(x1-x0)²+(y1-y0)²BO²=(x2-x0)²+(y2-y0)²CO²=(x3-x0)²+(y3-y0)²DO²=(x4-x0)²+(y4-y0)²若AO=BO=CO=DO，那么AO²=BO²=CO²=DO²，即(x1-x0)²+(y1-y0)²=(x2-x0)²+(y2-y0)²=(x3-x0)²+(y3-y0)²=(x4-x0)²+(y4-y0)²。
通过比较以上等式，我们可以判断四个点是否共圆。
方法二：利用圆的定理和性质若四个点共圆，则它们可以共同对应一个圆。
根据圆的定理和性质，我们可以利用以下定理进行推导和证明：1.三角形的外接圆：如果一个三角形的三个顶点都位于一些圆上，那么这个圆叫做这个三角形的外接圆。
2.交角的异弦：如果两条弦分别交于一个圆的两点，那么它们所夹的两个交角相等。
3.切割定理：规定公式pA×pB=pC×pD，其中p是代表点到圆心的距离，A、B、C、D分别是点到圆心的两条弦所分割的两部分。
根据以上定理和性质，我们可以进行推导和证明四点共圆。
方法三：利用方程推导和证明利用坐标系中的几何图形的方程进行计算和推导是另一种证明四点共圆的常用方法。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明要证明四个点共圆，可以使用以下七种判定方法。
方法1：使用相交弧的性质假设四个点A、B、C、D共圆。
我们可以通过观察四个点连线所形成的相交弧的性质来进行判定。
即如果从A到B的弧和从C到D的弧的起点和终点重合，或者从B到C的弧和从D到A的弧的起点和终点重合，或者从C到D的弧和从A到B的弧的起点和终点重合，则可以证明四个点共圆。
方法2：使用余弦定理假设四个点A、B、C、D共圆，并且以A为圆心，AB为半径做圆，那么可以使用余弦定理证明。
首先，假设O为C到D的中点，我们可以根据余弦定理得出：AC² = AO² + OC² - 2 * AO * OC * cos∠AOC，同样地，我们可以得出：BD² = BO² + OD² - 2 * BO * OD * cos∠BOD。
由于共圆的性质，我们可以得到∠AOC = ∠BOD，因此AC² = BD²，从而可以证明四个点共圆。
方法3：使用向量运算假设四个点A、B、C、D共圆，我们可以使用向量运算进行证明。
首先，我们可以构建向量AB和向量AC，然后计算它们的叉乘，得到一个向量N。
同样地，我们可以构建向量AD和向量AC，并计算它们的叉乘，得到另一个向量M。
如果向量N和向量M垂直（即内积等于0），那么可以证明四个点共圆。
方法4：使用角平分线的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且AC和BD相交于点P。
那么根据角平分线的性质，我们可以得知∠APC=∠BPD。
同样地，由于共圆的性质，我们可以得到∠APC=∠BPC，因此∠BPD=∠BPC。
这意味着点P在角BPD的角平分线上，所以我们可以得出AD与BC也相交于点P，从而可以证明四个点共圆。
方法5：使用Miquel点的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且以AC为直径作圆，那么D一定在这个圆上。
同样地，以BD为直径作圆，C也一定在这个圆上。
4点共圆的证明方法
4点共圆的证明方法嘿，咱今儿个就来唠唠这四点共圆的证明方法。
你说这四点共圆，就像是四个小伙伴手牵手围成了一个圈，多有意思呀！咱先来说说第一种方法，对角互补法。
你想想啊，如果四边形的对角加起来正好是 180 度，那不就像两个好朋友，一个爱热闹，一个爱安静，他俩凑一起，刚刚好，这四点不就共圆了嘛！比如说有个四边形，一个角是 60 度，那另一个对角就得是 120 度，这样它们不就互补了嘛，那这四点大概率就是共圆的啦。
还有一种方法呢，叫外角等于内对角法。
这就好比是一个人在外面的表现和他在家里的性格一样，那多特别呀！如果一个四边形的外角等于它不相邻的内对角，那这四点也能共圆哦。
就好像外角是个调皮的孩子，内对角是个稳重的大人，他俩一对应，嘿，四点共圆的关系就出来了。
再来说说同弧所对的圆周角相等法。
这就好像一群人围着一个大蛋糕，同一块蛋糕上的人角度都一样呢！如果在同一个圆里，同一弧所对的圆周角都相等，那这几个点不就共圆了嘛。
最后还有一种方法，叫到定点等距离法。
你可以把这个定点想象成一个温暖的家，这几个点到这个家的距离都一样，那不就像都回到了温暖的怀抱嘛，它们当然就是共圆的啦。
你看，这四点共圆的证明方法是不是很神奇呀！就像是解开一道谜题的钥匙，每一种方法都能打开一扇通往四点共圆世界的大门。
咱学习这些方法，不就像是探险家去探索未知的领域嘛，充满了乐趣和挑战。
咱在做题的时候，遇到那些好像能四点共圆的图形，就可以用这些方法去试试呀，说不定就能找到答案呢！这就像在大海里捞针，你得有耐心，有方法，才能把那根针捞出来呀。
所以呀，大家可别小瞧了这四点共圆的证明方法，它们可是数学世界里的宝贝呢！学会了它们，咱就能在数学的海洋里畅游啦，那感觉，多棒呀！咱可得好好掌握这些方法，让它们成为我们学习数学的得力助手。
怎么样，是不是对四点共圆的证明方法有了更深的了解啦？加油哦，让我们一起在数学的道路上越走越远！。
四点共圆的判定方法
四点共圆的判定方法四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中经常会遇到。
那么如何判断四个点是否共圆呢？本文将介绍四种方法，包括解析几何法、向量法、余弦定理法和三角形面积法。
以下是详细的方法：一、解析几何法1. 假设已知四个点的坐标分别为A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3,y3）和D（x4, y4）。
2. 计算出AB、AC和AD三条线段的长度，分别记作a、b和c。
3. 根据勾股定理可以求出三角形ABC、ABD和ACD的面积S1、S2和S3。
4. 如果S1+S2+S3等于ABC三角形的面积，则说明四个点共圆。
二、向量法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 分别计算出向量AB、AC和AD的叉积，得到三个向量的模长，分别记作a、b和c。
3. 计算出向量AB与AC之间的夹角α，向量AB与AD之间的夹角β，以及向量AC与AD之间的夹角γ。
4. 如果α+β+γ等于180度，则说明四个点共圆。
三、余弦定理法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 计算出AB、AC、AD、BC、BD和CD三对线段之间的夹角，分别记作α、β和γ。
3. 根据余弦定理可以求出三个角的余弦值cosα、cosβ和cosγ。
4. 如果cosα+cosβ+cosγ等于0，则说明四个点共圆。
四、三角形面积法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 构造三角形ABC和ABD，分别计算出它们的面积S1和S2。
3. 构造三角形ACD和BCD，分别计算出它们的面积S3和S4。
4. 如果S1+S2等于S3+S4，则说明四个点共圆。
总结：以上就是判断四点共圆的四种方法，其中解析几何法比较简单易懂，适用于初学者；向量法需要一些向量知识，但计算较为简便；余弦定理法需要一些三角函数知识，但也比较容易掌握；三角形面积法则需要计算多个三角形的面积，稍微有些繁琐。
根据实际情况选择合适的方法进行判断即可。
证明四点共圆的几种方法
证明四点共圆的几种方法
有几种方法可以证明四点共圆，以下列举几种常见的方法：
1. 通过圆心角相等证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明四个圆心角相等来证明四点共圆。
具体方法是计算出∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB的度数，如果它们相等，则可以判断四个点共圆。
2. 通过等腰三角形证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两个对角线相等的等腰三角形来证明四点共圆。
具体方法是计算出AB、BC、CD、DA的长度，如果其中任意两个对角线相等，则可以判断四个点共圆。
3. 通过垂直角相等证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两条弦的垂直角相等来证明四点共圆。
具体方法是计算出∠ABD和∠ACD的度数，如果它们相等，则可以判断四个点共圆。
4. 通过正交性证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两个弦的垂直平分线相交于圆心来证明四点共圆。
具体方法是计算出弦AB和弦CD的垂直平分线的斜率，如果它们的斜率相乘为-1，则可以判断四个点共圆。
这些方法只是证明四点共圆的几种常见方法，实际上还有很多其他方法可以用来证明四点共圆。
具体使用哪种方法，取决于具体问题的情况和个人的偏好。
四点共圆的6种判定
四点共圆的6种判定
在几何学中，我们了解到四点共圆（Four points on the same circle）是指满足给定四点能够围成一个圆形的结论。
目前存在许多不同的方法来判定一个给定的四点是否能围成一个圆形，其中最常用的有六种：
一、角平分线法：即把给定的四点连成两条边，然后计算这两条边的中点，如果这四个中点能够完成一个圆，则这四个点可以围成一个圆形。
二、垂线法：即绘制外切圆的圆心到直线ABC的三点的垂线，如果三点的垂线相交点在圆内，则四个点可以围成一个圆形。
三、外切圆法：即计算四边形的外接圆，如果外接圆的半径在最近的两段间符合要求，则四个点可以围成一个圆形。
四、三等分线法：即绘制每条边的三等分线，如果相交点都在边上，则四个点可以围成一个圆形。
五、两角平分线法：即把每条边的两个对角给定，并计算它们的中点，如果四个点能够完成一个圆，则四个点可以围成一个圆形。
六、垂直角平分线法：即计算每条边的垂直角平分线，如果相交点都在边上，则四点可以围成一个圆形。
四点共圆判定的方法由此可见，有多种途径可用于确定四点是否能够围成一个圆形，而且每种方法都有其特定优势，手动计算会比较复杂，只要用上数学公式和计算机几何处理程序，就可以完成自动判定。
四点共圆——精选推荐
四点共圆证明四点共圆有下述一些基本方法：方法 1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法 2 把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．方法3 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．方法 4 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法 5 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．方法6 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．（1）对角互补的四边形内接于一个圆。
（圆内接四边形对角互补定理的逆定理）（2）线段同侧二点到线段二个端点连线夹角相等则这二点与线段二端点这四点共圆。
特例：张角为直角（同弧所对的圆周角相等定理的逆定理）性质可与圆结合去考虑。
有一个著名定理：托勒密定理圆内接四边形对角线乘积等于二组对边乘积之和。
1.如果2个三角形同边，如果这条公共边所对的角是直角，那么公共边上2端点，和2个直角端点4点共圆2.如果2个三角形共边，如果这2个三角形在这边的同侧，且这2个角相等，那么公共边上的2个端点与这公共边所对的端点4点共圆3.如果一个四边形的对角相等，那么该四边形的4个顶点4点共圆4.如果一个四边形的一个外角等于这个外角的内角的对角，那么该四边形的4个端点4点共圆若四边形的一组对角互补，即对角和为180，则四点共圆。
4点共圆的判定
4点共圆的判定介绍在平面几何中，共圆是指多个点位于同一个圆上的情况。
当给定4个点时，我们需要判断它们是否共圆。
本文将介绍判定4点共圆的方法和原理，以及具体的计算步骤和示例。
1. 方法一：使用圆的方程1.1 圆的方程圆的方程可以表示为：(x−a)2+(y−b)2=r2其中，(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
1.2 判断四点共圆的步骤1.假设给定的四个点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
2.分别计算AB、AC、AD的中垂线的方程，得到它们的斜率和截距。
3.确定中垂线的方程后，求解得到中垂线的交点，即为圆心的坐标。
4.计算四个点到圆心的距离，如果它们的距离都相等，即满足共圆的条件。
2. 方法二：使用向量叉乘2.1 向量叉乘的性质在二维空间中，向量的叉乘可以用来判断三个点是否共线。
如果三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)共线，那么向量AB和向量AC的叉乘为0。
2.2 判断四点共圆的步骤1.假设给定的四个点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
2.分别计算向量AB和向量AC的叉乘，以及向量AB和向量AD的叉乘。
3.如果两个叉乘的结果都为0，则四个点共圆。
3. 示例假设有四个点A(0, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，D(1, 1)。
我们将使用上述两种方法来判断它们是否共圆。
3.1 使用圆的方程1.计算AB的中垂线的方程为：y = -0.5x + 0.52.计算AC的中垂线的方程为：y = 0.5x + 0.53.解方程得到两个中垂线的交点为(0.5, 0.5)，即圆心的坐标。
4.计算四个点到圆心的距离，可以得到：AB = AC = AD = BD = 0.5。
因此，四个点共圆。
3.2 使用向量叉乘1.计算向量AB和向量AC的叉乘：(1-0)(1-0) - (0-0)(0-1) = 12.计算向量AB和向量AD的叉乘：(1-0)(1-0) - (0-0)(1-1) = 13.由于两个叉乘的结果都为1，因此四个点共圆。
四点共圆(一)
第二十四讲 四点共圆(一）【知识要点】四点共圆的判定方法:1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。
2、若一个四边形的一组对角的和等于180度,则这个四边形的四个顶点共圆.3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆.4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、若AB 、CD 两线段相交于P 点，且PD PC PB PA ⋅=⋅，则A 、B 、C 、D 四点共圆。
6、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 点，且PD PC PB PA ⋅=⋅，则A 、B 、C 、D 四点共圆。
7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆.【典例精讲】例2、如图，、、、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点,且. （1）证明：AB CD //；（2）延长CD 到F ,延长DC 到G ，使得EG EF =，证明：A 、B 、G 、F 四点共圆。
AB例3、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //,点E ,F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ,若B ，C ,F ，E 四点共圆，求证：GE DG GF AG ⋅=⋅．例4、已知点)02(，A ，)53(，B ，直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ，C ,若O 、A 、B 、C 四点共圆，则c 的值为( ） A 、522 B 、528 C 、17 D 、无法求出例6、如图，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且不与顶点重合，已知m AE =，n AC =,AD ，AB 为方程0142=+-mn x x 的两根.(1）证明：C ,B ，D ，E 四点共圆;（2)若︒=∠90A ,4=m ，6=n ,求C ,B ，D ，E 四点所在圆的半径．ABED例7、如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦,垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ． （1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；(2)证明：22AB BM BF AC =⋅+．AB例8、如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角,且BC AE ⊥,CD AF ⊥． （1）求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；（2）设线段BD 与（1)中的圆交于M 、N ．求证:ND BM =．D例9、如图所示，I 为ABC ∆的内心,求证:BIC ∆的外心O 与A 、B 、C 四点共圆.例10、A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外,1O ，2O ，3O 分别为OAB ∆，OBC ∆,OCA ∆的外心．求证：O ，例13、如图，，，,． （1）求证：E 、H 、M 、K 四点共圆;（2）若EH KE =,3=CE 求线段KM 的长．CAB例14、在ABC ∆的边AB ，BC ,CA 上分别取D ，E ,F ．使得BEDE =，CE FE =，又点O 是ADF ∆的外心．（1）证明：D ，E ，F ,O 四点共圆； (2)证明：O 在DEF ∠的平分线上．A例15、如图,CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且AF DC AE BC ⋅=⋅,B 、E 、F 、C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若EA BE DB ==，求过B 、E 、F 、C 的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．D例16、如图，锐角ABC ∆的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线,垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．（1）求证：A ，D ，F ，E 四点共圆；(2）若︒=∠50C ,求DEF ∠的度数．ABCCA【强化训练】1、 如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ． 求证:(1）2CE CE AC DE BE =⋅+⋅；（2）E ,F ,C ，B 四点共圆．E2、如图，已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B ，C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．(1）证明A ，P ，O ，M 四点共圆;（2）求APM OAM ∠+∠的大小．A3、如图，已知AB 为半圆O 的直径,BE 、CD 分别为半圆的切线,切点分别为B 、C ,DC 的延长线交BE 于F ，AC 的延长线交BE 于E ．DC AD ⊥，D 为垂足．（1）求证：A 、D 、F 、B 四点共圆;（2）求证：FB EF =．D FB4、如图，已知ABC ∆中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，︒=∠60B ，F 在AC 上， 且AF AE =．（1)证明:B ，D ，H ，E 四点共圆； (2)证明:CE 平分DEF ∠．D BAC5、如图，已知BA 是⊙O 的直径,AD 是⊙O 的切线，割线BD 、BF 分别交⊙O 于C 、E ,连接AE 、CE ． 求证：BD BC BF BE ⋅=⋅．BAF6、如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，圆心P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ,CP 及其延长线交⊙P 于D ,E 两点,过点E 作CE EF ⊥,交CB 的延长线于点F ．（1）求证：B 、P 、E 、F 四点共圆;(2)若9、如图所示,在RtABC 中，︒=∠90ACB ,点O 为三角形外的一点,以O 为圆心，OC 为半径的圆与边AB 相切，切点为E ，圆O 与边BC 相交于D 点,直径EF 与边BC 交于G 点,连接AG ．求证：ED AG //．BA。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明方法一：共分四种情况设有四个点A，B，C，D，如果它们共圆，可分为以下四种情况进行判定。
第一种情况：四个点都在同一直线上。
当四个点都在同一直线上时，它们不可能共圆。
因为共圆的四个点是不能共线的，如果共线则无法满足圆的特性，即任意三点在同一直线上。
第二种情况：任意两条边都相交于圆心。
当四个点满足任意两条边都相交于圆心时，可以判定它们共圆。
因为在一个圆上，任意两条边都是过圆心的直径，所以四个点形成的四条边都是过圆心的直径，满足共圆的条件。
第三种情况：任意三点共线，剩下一点在这条直线外。
当四个点满足任意三点共线，剩下一点在这条直线外时，可以判定它们共圆。
因为圆上的任意三点都不能共线，所以剩下的一个点就是圆心，四个点共圆。
第四种情况：任意三点共线，剩下一点在这条直线上。
当四个点满足任意三点共线，剩下一点在这条直线上时，可以判定它们共圆。
因为根据圆的性质，任意三点在同一直线上时，中间的那个点就是圆心，四个点共圆。
方法二：利用圆的性质验证如果四个点共圆，可以通过验证它们是否满足以下条件来证明。
条件一：四个点在同一平面上。
三维空间中的四个点如果共在同一平面上，则可能共圆。
条件二：四个点两两之间的距离相等。
在共圆的情况下，四个点两两之间的距离必须相等。
条件三：任取三点组成的三角形的外接圆，必须包含第四个点。
构建三角形时，任取三点组成的外接圆上的任意一点，如果包含第四个点，则满足共圆的条件。
条件四：通过四边形的对角线的交点，若可以确定一个圆心，则四个点共圆。
可以通过构建四边形的对角线，找到交点，如果能确定一个圆心，即其中一条边的中垂线与另一边的中垂线相交于一点，且该点距离四个顶点相等，则可以判定四个点共圆。
方法三：利用向量运算判断设四个点的坐标为A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），D（x4,y4）。
则可以通过向量运算判断四个点是否共圆。
条件一：任取三个点A、B、C，判断它们是否共线。
四点共圆的证明的所有方法
四点共圆的证明的所有方法证明：“四点共圆”的概念是指四个点在同一个圆上。
下面将介绍六种不同的方法来证明四个点共圆的情况。
方法一：通过圆的定义证明1.过给定的四个点中任意三个点相互连接得到三条线段。
2.如果这三条线段的两个线段互相垂直，则可以得出结论：它们共同交于同一个圆心，因此四个点在一个圆上。
方法二：通过圆锥曲线性质证明1.给定四个点A、B、C、D，假设A、B为直径。
2.将直径完全平分，将A、B两点之间的弦平分。
3.如果C、D两点相等于刚才的这两个点之间的任意一点，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法三：通过三角形内角平分线性质证明1.给定四个点A、B、C、D，选择其中任意两个点A、B，并通过这两个点画出一个与直线CD平行的线段DE。
2.根据三角形的内角平分线性质，线段DE将角ADC与角BDC平分成两个相等的角。
3.如果这两个相等的角的顶点分别为A和B，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法四：通过周重圆定理证明1.给定四个点A、B、C、D。
2.假设AB与CD相交于点E，并假设AC与BD相交于点F。
3.如果EF垂直于CD，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法五：通过正交变换证明1.给定四个点A、B、C、D，假设A、B为直径。
2.进行适当的正交变换，将这个圆形变换为一个单位圆，使得A点位于单位圆的正上方并成为圆心，B点位于单位圆的负下方。
3.如果C、D两点与单位圆有相同的距离，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法六：通过托勒密定理证明1.给定四个点A、B、C、D，假设B、D两点在圆内，且BD为这个圆的直径。
2.根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD。
3.如果AB×CD+AD×BC=AC×BD成立，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
综上所述，我们介绍了六种不同的方法来证明四个点共圆的情况。
通过不同的几何定理和性质，可以找到不同的路径来达到证明的目的。
四点共圆(11.5)
例2、如图， ， 分别是 ， 边上的点，且不与顶点重合，已知 ， ， ， 为方程 的两根.
（1）证明： ， ， ， 四点共圆；
（2）若 ， ， ，求 ， ， ， 四点所在圆的半径．
例4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，求BD的长
5、若 、 两线段相交于 点，且 ，则 、 、 、 四点共圆。
6、若 、 两线段延长后相交于 点，且 ，则 、 、 、 四点共圆。
7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆。（托勒密定理）
ห้องสมุดไป่ตู้二、典例再现：
例1、已知点 ， ，直线 过点 与 轴交于 ，若 、 、 、 四点共圆，则 的值为（）
四点共圆的判定方法
一、四点共圆的判定：
1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。
2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。
3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
例5、如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D．求证： ．
三、习题训练：
1．如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=5：14，则PB的长为．
、
证明四点共圆的基本方法欧阳文创编
证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为π,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E 作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。
角CBE=角ADE（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）四点共圆的图片EB*EA=EC*ED（割线定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）编辑本段证明四点共圆的原理四点共圆证明四点共圆基本方法：方法1把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。
如何证明四点共圆解析
如何证明四点共圆解析证明四点共圆的方法可以有很多种，以下给出两种常见的方法：方法一：使用圆的性质和向量的性质证明设四点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)。
首先假设这四个点共圆，则可以使用圆的性质和向量的性质来证明这一点。
设O(x0,y0)为圆心，R为半径，可以得到以下等式：OA，=ROB，=ROC，=ROD，=R利用向量的性质，可以得到以下等式：OA²=(x1-x0)²+(y1-y0)²OB²=(x2-x0)²+(y2-y0)²OC²=(x3-x0)²+(y3-y0)²OD²=(x4-x0)²+(y4-y0)²我们可以发现，当OA²=OB²=OC²=OD²时，四个点共圆。
对于点(x0,y0)，x0和y0均可以表示成未知量，因此我们可以将AO²的表达式展开并进行整理，得到(x1-x0)²+(y1-y0)²=(x2-x0)²+(y2-y0)²=(x3-x0)²+(y3-y0)²=(x4-x0)²+(y4-y0)²这是一个方程组，我们可以通过求解该方程组来判断四个点是否共圆。
方法二：使用圆的方程证明另一种证明方法是使用圆的方程。
圆的一般方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。
假设A,B,C,D满足该方程，则我们可以将四个方程写为：(x1-a)²+(y1-b)²=r²(x2-a)²+(y2-b)²=r²(x3-a)²+(y3-b)²=r²(x4-a)²+(y4-b)²=r²我们可以进一步展开并整理以上方程，得到：x1² - 2ax1 + a² + y1² - 2by1 + b² = r²x2² - 2ax2 + a² + y2² - 2by2 + b² = r²x3² - 2ax3 + a² + y3² - 2by3 + b² = r²x4² - 2ax4 + a² + y4² - 2by4 + b² = r²将方程整理为标准形式，得到：x1² + y1² - 2ax1 - 2by1 + (a² + b² - r²) = 0x2² + y2² - 2ax2 - 2by2 + (a² + b² - r²) = 0x3² + y3² - 2ax3 - 2by3 + (a² + b² - r²) = 0x4² + y4² - 2ax4 - 2by4 + (a² + b² - r²) = 0我们可以将这个方程组进行求解，如果存在(a,b,r)使得以上方程组成立，就说明四个点共圆。
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四点共圆是一个常用的知识，它除了可以灵活运用于角
与角之间的等量转换外，
还可以解决与圆幂定理（相交弦定理和切割线定理）相关的问题。
四点共圆的判定是个难点，现归纳总结出四点共圆的几种常用判定方法，供同学们学习参考。
一、直接找出一点到所证四点的距离相等
例1如图1所示，菱形ABCD 的对角线AC 、
BD 相交于点O ，四条边AB 、
BC 、CD 、DA 的中点分别为E 、F 、G 、H 。
求证：E 、
F 、
G 、
H 四点共圆。
分析：由于E 、F 、G 、H 是菱形四边中点，从菱形的性质可
知：E 、F 、G 、H 应在对角线交点O 为圆心的圆上，因此可证E 、F 、G 、H 四点到O 点的距离相等即可。
图1
证明：连接OE 、
OF 、OG 、OH ，ȵ四边形ABCD 是菱形，
ʑAB ⊥BD ，AB =BD =CD =DA 。
又ȵ在Rt △AOB 、
Rt △BOC 、Rt △COD 、Rt △AOD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、
CD 、DA 的中点，
ʑOE =
12AB ，OF =12BC ，OG =12CD ，．．．CZSFD 数学2011．12
OH =12AD 。
又ȵAB =BC =CD =DA （已证），
ʑOE =OF =OG =OH 。
ʑE 、F 、G 、H 四点共圆。
二、证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角
例2如图2所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，过
点A 和点B 的圆与AD 、
BC 分别交于E 、F 点。
求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
分析：欲证C 、D 、E 、F 四点共圆，可证以该四点构成的四
边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。
由此，连接EF 构成四边形EFCD 后，证明∠BFE =∠D 即可。
图2证明：连接EF ，
ȵ四边形ABFE 是圆内接四边形，
ʑ∠A +∠BFE =180ʎ。
又ȵ四边形ABCD 是平行四边形，
ʑ∠A +∠D =180ʎ。
ʑ∠BFE =∠D 。
ʑC 、D 、E 、F 四点共圆。
三、利用相交弦定理以及切割线定理的逆定理证明四点
共圆
例3（第19届美国数学奥林匹克试题）如图3所示，给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC'及其延长
线交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高BB'及其延长
线交于点P 、
Q 。
求证：M 、
N 、P 、Q 四点共圆。
分析：由于所证四点M 、
N 、P 、Q 刚好是相交线段MN 与PQ 的端点，不妨设交点为K ，此时只需证明MK ·KN =PK ·KQ 成立即可。
又因为两圆相交，自然想到过A 点作两圆的
公共弦。
由于点K 是重心，AB 是圆的直径，所以公共弦经过
K 点且与BC 的垂足为两圆的另一交点。
利用两圆中的相交弦定理即可证。
证明：连接AK 并延长与BC 相交于E ，
ȵK 为△ABC 高线的交点，
ʑAK ⊥BC ，垂足为E 。
ʑ∠AEB =90ʎ。
又ȵAB 为圆的直径，不妨设两圆另一交点为E'ʑ∠AE'B =90ʎ。
ʑ点E 与点E'重合，即点E 为两圆的交点。
图3在以AB 为直径的圆中，有：
KA ·KE =KN ·KM 。
在以AC 为直径的圆中，有：
KA ·KN =KP ·KQ 。
ʑKN ·KM =KP ·KQ 。
ʑM 、N 、P 、Q 四点共圆。
四、证明线段同侧的两点对线段
的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆
例4（第27届莫斯科数学奥林匹克试题）如图4所示，
A 、
B 、
C 三点共线，点O 在A 、
B 、
C 所在直线外，O 1、O 2、O 3分别为△OAB 、△OBC 、△OCA 的外心。
求证：O、O1、O2、O3四点共圆。
分析：欲证点O、点O1、点O2、点O3四点共圆，可将这四点连结成四边形OO1O3O2，然后证明线段OO1同侧的张角∠OO2O1=OO3O1即可。
证明：分别连接OO1、OO2、OO3、O1O2、O1O3、O2O3、AO3、BO
2
，
ȵO
1、O
2
分别为△OAB、△OBC的外心，
ʑOB是⊙O
1
和⊙O2的公共弦，O1O2是⊙O1和⊙O2的圆心距。
ʑO
1O
2
垂直且平分OB。
图4
在△OBC的外接圆⊙O2中，有：
∠OO2O1=1
2
∠OO2B=∠OCB。
同理可得：∠OO3O1=1
2
∠OO3A
=∠OCA。
ʑ∠OO
2O
1
=∠OO
3
1。
ʑO、O
1、O
2
、O
3
四点共圆。
五、要证五点共圆时，可证明其中两组四点共圆
例5如图5所示，四边形ABCD是圆的内接正方形，对角线AC、BD相交于O点，E、F是劣弧AB、BC的中点，弦DE 分别交AB、AC于点P和点Q，弦DF分别交BC、AC于点S和点R。
求证B、P、Q、R、S五点共圆。
分析：由于点P与点S，点Q与点R关于BD对称，所以只要证明B、P、Q、R四点共圆即可。
从而只需证∠AQP=
∠PBR 。
根据题意可得：∠AQP =45ʎ+
12ˑ45ʎ=67．5ʎ。
因此只需求出∠PBR =67．5ʎ即可，连接BR 即得。
证明：连接BR ，
ȵ四边形ABCD 是正方形，
ʑ∠ABD =∠OAD =∠ADB =∠BDC =45ʎ。
又ȵ点E 为劣弧AB 的中心，
ʑ∠ADE =12∠ADB =12
ˑ45ʎ=22．5ʎȵ∠AQP 是△ADQ 的外角，
ʑ∠AQP =∠QAD +∠QDA =45ʎ+22．5ʎ=67．5ʎ。
ȵ点R 在AC 上，AC 与BD 互相垂直平分
，图5ʑ△BDR 是等腰三角形。
ʑBR =DR ，∠DBR =∠BDR 。
又ȵF 是劣弧BC 的中点。
ʑ∠DBR =∠BDR =12
∠BDC =12
ˑ45ʎ=22．5ʎ
ʑ∠ABR =∠ABD +∠DBR =45ʎ+22．5ʎ=67．5ʎ。
ʑ∠AQP =∠ABR ，即∠AQP =∠PBR 。
ʑB 、P 、Q 、R 共圆。
由于P 、S 、Q 、R 都是关于BD 对称的，由对称可得：
B 、S 、R 、Q 四点也共圆。
ʑB 、P 、Q 、R 、S 五点共圆。