第12章整式的乘除知识点总结
整式的乘除法
数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有第一讲 整式的乘法一、课标要求（学习本章节需要达到的目的）1、掌握同底数幂的乘法；2、幂的乘方；3、积的乘方；4、整式的乘法法则及运算规律.教学重点：同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算. 教学难点：整式的乘法. 二、知识疏理知识点1：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m, n 都是正整数)。
例1：计算。
(1)4322⨯ (2)251010⨯(3)54x x ⋅知识点2：幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
mnn m a a =)((m, n 都是正整数)注意：nm n m a a ≠)(例2：计算。
(1)(32)3(2)(a m )2(3)―(x m )5(4)(a 2)3·a 5知识点3：积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)例3：计算。
(1)(ab )4(2)322)(y x -(3))()(2352xy x -⋅(4)322)(ab (5)22110⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛10数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有知识点4：单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4：计算：(1))(3223xy y x -⋅ (2))()(c b b a 23245-⋅- 知识点5：单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
ap an am p n m a ++=++)( 例5：计算。
(1))(b a a 53222-(2)))((322532ab ab a --知识点6：多项式相乘的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得后积相加。
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 2 公式法课件
(2)原式=（2a）²－ 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2.
第十六页，共二十页。
3.多项式4a²+ma+9是完全平方式(fāngshì)，那么m的值是（D ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12
4.计算： 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解
步骤
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：公因式；
二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
第十八页，共二十页。
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
12.5 因式分解。（3）-x2-y2。三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）。3.中间有两 底数之积的±2倍.。（5）x2+x+0.25.。（4）因为ab不是a与b的积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平 方式，。（2）-x2+4xy-4y2.。解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）。分析：（1）中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式，再进一步分解因式。1002－2×100×99+99²。二套：公式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
第六页，共二十页。
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式(gōngshì)来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除2 幂的乘方
12.1 幂的运算 第2课时 幂的乘方
1．理解并掌握幂的乘方的概念与意义； 2．熟练运用幂的乘方运算法则进行计算；
温故知新
同底数幂的乘法
公式： am·an=am+n（m、n为正整数）
文字描述： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，
2
（2）解：∵3m=4，3n=1 ，
2
∴32m+3n=32m×33n=(3m)2×(3n)3 =16×（1）3=2．
2
1．若am=2，an=3．则a2m+3n的值为（ ）
A．13
B．31 C．100 D．108
【详解】解：∵am=2，an=3， ∴a2m+3n=(am)2(an)3=23×33=4×27=108. 故选：D．
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．c＜b＜a
【详解】解：a=3444=（34）111，b=4333=(43)111,c=5222=(52)111 ∵34＞43＞52， ∴c＜b＜a； 故选D．
4．已知2x+y=1，则4x·2y的值为
．
【详解】解：∵2x+y=1， ∴4x·2y=(22)x·2y =22x+y =21 =2 故答案为：2．
木星的半径是地球半径的10倍，太阳的半径是地球半径的102倍，假如 地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？ （球的体积公式为 V 4 πr3 ）
3
解：设地球的半径为1，则木星的半径就是10.
因此，木星的体积为V木星=
4 π（10）3 3
太阳的体积为V太阳=
4 3
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除2 两数和(差)的平方
【详解】（1）解：方法1：由图形可知，大正方形面积减去四个小长 方形面积来表示即为阴影部分面积， 大正方形边长为(m+n)，则大正方形面积为(m+n)2， 所以阴影部分面积为(m-n)2-4mn； 方法2：阴影部分为正方形，边长为(m-n)，故面积可表示为(m-n)2； 故答案为：(m-n)2-4mn；(m-n)2．
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a b
a b
=
a2
- ab ab + b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
例2、计算(2x－3)2； 解: (2x－3)2=(2x)2－2•(2x) •3 +32
( a－ b )2 =a2 － 2ab + b2 =4x2 －12x +9；
补充例题 已知x+y=4，xy=2， 求（1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y 解 (1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12 (2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20 (3)(x-y)2＝(x+y)2-4xy =42-4×2=8 所以 x-y= x2 - y2 = 8 2 2
【详解】解：设拼成的矩形一边长 为x， 则依题意得：(a+3)2-a2=3x， 解得，x=2a+3，故A正确． 故选：A．
7．如图，有甲、乙、丙三种不同的正方形或长方形纸片若干张．要用
这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，乙纸
片4张，还需取丙纸片
张．
【详解】解：∵(a+2b)2=a2+4ab+4b2， ∴还需取丙纸片4张． 故答案为4．
华师版八年级数学上册第12章3 乘法公式
(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－ 符号变化
a2＝b2－a2
系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2
续表：
知1－讲
变化形式
应用举例
指数变化 (a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4
增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2
知1－练
解法提醒：运用平方差公式计算的三个关键步骤： 第1步，利用加法的交换律调整两个二项式中项的位 置，使之与公式左边相对应，已对应的就不需调整，如 (1)(2)不需调整，(3)(4)就必须调整. 第2步，找准公式中的a， b分别代表哪个单项式或多项式. 第3步，套用公式计算， 注意将底数带上括号. 如(1)中(5m)2不能写成5m2 .
知2－练
＝(2m)2＋2·2m·n＋n2
两个二项式相乘，若有一项相
＝4m2＋4mn＋n2.
同，另一项互为相反数，则用
(4)(2x＋3y)(－2x－3y)
平方差公式计算；若两项都相
＝－(2x＋3y)2
同或都互为相反数，则用完全 平方公式计算.
＝－[(2x)2＋2·2x·3y＋(3y)2]
＝－(4x2＋12xy＋9y2)＝－4x2－12xy－9y2.
知2－讲
知2－讲
(6)ab＝12[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝14[(a＋b)2－(a－b)2]； (7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc； (8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]
例 3 计算： (1)(x＋7y)2；(2)(－4a＋5b)2； (3)(－2m－n)2；(4)(2x＋3y)(－2x－3y).
华师大版八年级数学上册课件-第12章 整式的乘除
练习 下面的计算对不对？若不对，应当怎样改正？
（1） x6 x2 x3； （2） a3 a a3； （3） y5 y2 y3； （4）（-c）4 （-c）2 -c2.
例1 计算:
（1）x8÷x2 ；（2） a4 ÷a ；
（3）(ab) 5÷(ab)2；
思考：当底数是几个因式的积或是一个多项式时,需要 怎么看待? 解: (1) x8 ÷x2=x 8-2=x6.
学习目标
1.理解幂的乘方法则； 2.运用幂的乘方法则进行计算．
合作探究 达成目标
探究点一 幂的乘方法则的推导
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的
结果有什么规律:
(1)（32）3 = 32×32×32 = 3( )
(2)（a2）3 = a2 × a2 × a2 =a( )
(3)（am）3 =
试一试
计算：
(ab)3= (ab)• (ab)•(ab) = (a•a•a)•(b•b•b) = a3b3
(ab)4 = a4b4
由 (ab)3 = a3b3
(ab)4 = a4b4 从左到右的变化
猜想 (ab)n= anbn
(n是正整数)
根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：
（ab）（n n是正整数）．
1．下列各式中运算正确的是（ ） A．a2·a5=a20 B. a2+a5=a7 C. a2·a2=2a2 D. a2·a5=a7 2.下列能用同底数幂进行计算的是（ ） A.(x+y)2(x-y)3 B.（-x+y）3（x+y）2
C.(x+y)2(x+y)3 D.-(x-y)2(-x-y)
3.计算：
推广：（abc）n =anbncn.
第12章 12.3 12.3. 1 两数和乘以这两数的差
5. 计算： (1)(34x＋32y)(23y－43x)＝ 49y2－196x2 ； (2)(－3x－2y)(3x－2y)＝ 4y2－9x2 ． 6. 填写适当的式子： (1)(－6a＋ 2b )(2b＋ 6a )＝4b2－36a2； (2)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋( b－c )][a－( b－c )] ＝a2－( b－c )2.
C．12
D．15
【解析】∵a2－b2＋6b＝(a＋b)(a－b)＋6b，a＋b＝3， ∴a2－b2＋6b＝3(a－b)＋6b＝3(a＋b)＝3×3＝9.
6. 若(2x＋3y)(m x－ny)＝9y2－4x2，则 m ，n 的值为 (B )
A．m ＝2，n＝3 B．m ＝－2，n＝－3 C．m ＝2，n＝－3 D．m ＝－2，n＝3 7. 2019×2017－20182＝ －1 ．
第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式
12.3.1 两数和乘以这两数的差
1. 两数和与两数差的积，等于这两数的 平方差 ．用 公式表示为：(a＋b)(a－b)＝ a2－b2 ．
2. 能用平方差公式进行运算的式子的特点： (1)左边是两个二项式的积，每个二项式中的两项 里，有一项是 相同的 ，另一项是 互为相反数 ； (2)右边是乘式中两项的平方差，即 相同 项的平方 减去 相反 项的平方．
＝225556；
(3)1. 01×0. 99； 解：原式＝(1＋0. 01)×(1－0. 01) ＝0. 9999；
38 (4)711×611. 解：原式＝(7＋131)(7－131)＝48111221.
9. 已知 a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求 a2－b2 的值．
解：把 b－c＝2，a＋c＝14 相加得：a＋b＝16，所 以 a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
新华师大数学八年级上册：第12章整式的乘除小结与复习
公式的常 a2＝ (a＋b) (a－b)＋b2； a2＋b2＝(a＋b)2－ 2ab , 或(a－b)2＋ 2ab ；
用变形 b2＝ a2 －(a＋b)(a－b). (a＋b)2＝(a－b)2＋ 4ab .
[点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公 式的主要作用是简化运算；
(2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多 项式．
3．乘法公式 公式名称 两数和乘以这两数的差
两数和(差)的平方
两数和(差)的平方，等
两数和与这两数的差的积，于这两数的 平方和 加
文字表示
等于这两数的平方差
ห้องสมุดไป่ตู้
上(减去) 这两数积 的2
倍
式子表示 (a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
①左边是两个 二 项式相 乘，这两个二项式中有一 ①左边是一个 二 项式的和
7．用公式法分解因式 把 乘法公式 反过来，可以把符合公式特点的多项式分解 因式，这种分解因式的方法叫做公式法．这两个公式是： (1)逆用平方差公式
a2－b2 ＝ (a＋b)(a－b) ； (2)逆用两数和(差)的平方公式
a2±2ab＋b2＝ (a±b)2 . [点拨] 这里的两个公式是用来分解因式的，与乘法公式刚 好左右互换．运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的 项数、次数、系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条 件．公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式，只有 符合公式的特征时才能运用公式．
（2）原式=（-8）×（-8）2015 ×（0.125）2015 =（-8）[（-8） ×0.125]2015 =（-8）×（-1）2015=8.
方法总结
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的 乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式 乘除及因式分解的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负 数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除1 单项式与单项式相乘
7.计算：
（1）3a2·2a3
=3×2·a2·a3
=6a5
（3）(-3a2)3·(-2a3)2
（2）(-9a2b3)·8ab2
=(-9)×8·a2·a·
b3·b2
=-72a3b5
（4）-3xy2z·(x2y) 2
=-27a6·4a6
=-3xy2z·(x4y2)
=-27×4·a6·a6
式.
注意：
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
典例精析
【例1】计算3a2b·(-2ab2)3的结果是（
）
A．-18a5b5
B．-18a6b7
C．-24a5b7
【详解】解：原式=3a2b·(-8a3b6)=-24a5b7．
故选：C．
D．24a6b7
练一练
5米=5×109纳米
4米=4×109纳米
3米=3×109纳米
V=5×109×4×109×3×109
=60×1027 =6×1028（立方纳米）
答：长方体体积是6×1028立方纳米.
1．计算a3b·(ab)2的结果是（ ）
A．a5b2
B．a4b3
C．a3b3
D．a5b3
【详解】解：a3b·(ab)2=a3b·a2b2=a5b3，
第12章 整式的乘除
12.2 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
1．掌握单项式与单项式相乘的运算法则；
2．熟练运用单项式与单项式相乘的运算法则，并且可以对有关
的计算进行化简求值；
温故知新
1.幂的运算性质有哪几条？
同底数幂的乘法法则：am·
第12章 整式的乘除(知识点+例题)
第12章 整式的乘除与因式分解 知识链接一、整式的乘法1．同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：m n m n a a a+⋅=（m ，n 都是正整数）。
例1：计算 （1）821010⨯；（2）23x x ⋅-（-）（）；（3）n 2n 1n aa a a ++⋅⋅⋅例2：计算 （1）35b 2b 2b 2+⋅+⋅+（）（）（）；（2）23x 2y y x -⋅（）（2-）例3：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。
2．幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如53a （）是三个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即m n mn a a =（）（m ，n 都是正整数）。
例4：计算（1）m 2a （）；（2）()43m ⎡⎤-⎣⎦；（3）3m 2a -（）3．积的乘方（重点）积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。
如：()()()()3ab ab ab ab =⋅⋅积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
如：n n n ab a b ⋅（）=例5：计算（1）()()2332xx -⋅-；（2）()4xy -；（3）()3233a b -例6：已知a b 105,106==，求2a 3b 10+的值。
例7：计算（1）201120109910010099⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()315150.1252⨯4．单项式与单项式相乘（重点）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例8：计算（1）2213ab a b 2abc 3⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭; (2) ()()n 1n 212x y 3xy x z 2+⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭; (3) ()()322216m n x y mn y x 3-⋅-⋅⋅-5.单项式与多项式相乘（重点）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除1 两数和乘以这两数的差
=9x2-y2-9y2+x2
=10x2-10y2
当x=-2，y=3时，
原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50.
1．下列能用平方差公式计算的式子是( )
A．(a-b)(a-b) B．(-a+b)(a-b)
C．(-a-b)(-a+b) D．(-a-b)(a+b)
=20232-(20232-1)
=1．
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为
平方差公式.
项不符合题意.
故选：C．
2．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为
（ ）
A．22
B．24
C．30
D．36
【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，
则AE=x-y，x2-y2=72，
阴影部分的面积是：
1
1
1
· + · = (x-y)x·x+(x-y)·y
程所揭示的乘法公式
．
【详解】解：∵图1中阴影部分的面积为a2-b2，
图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
∴可得乘法公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)．
6．计算：(1-a)(1+a)(1+a2)=
【详解】解：(1-a)(1+a)(1+a2)
=(1-a2)(1+a2)
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
第12章整式的乘除知识点复习总结
第 12 章整式的乘除知识点复习总结★第 12 章 整式的乘除知识点★★1.同底数幂的乘法公式为: a m a n a mn m、n均为正整数即:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 注意:（1）本公式可以反向利用,即: a mn a m a n m、n均为正整数有关的重要结论（2）AnAn n为偶数 Ann为奇数;（3） ABnB BAn (n为偶数）. An (n为奇数）★2.幂的乘方公式为: am n amn (m、n为正整数）即,幂的乘方,底数不变,指数相乘. （1）公式可以反向利用,即: amn am n (m、n为正整数)（2）重要结论: am n an m amn (m、n为正整数)（3）公式可推广:1 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结 am n p amnp (m、n、p为正整数）★3.积的乘方公式为:abn anbn (n为正整数)即积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. （1）公式可推广:abcn anbncn (n为正整数)（2）公式可以反向使用,用于某些简便运算的题目.anbn abn anbncn abcn (n为正整数)（3）说明:在反向利用积的乘方公式时,可以把两个指数的最大公约 数给提出来.注意: a bn an bn (n为正整数),如a b2 a2 b2 .★4.同底数幂的除法公式: am an amn (m、n为正整数,且m n,a 0)即同底数幂相除,底数不变,指数相减. （1）是被除数的指数减去除数的整数. （2）公式可以改写为:am amn (m、n为正整数,且m n,a 0) an （3）当 m n时, am an a0 1. 记住:任何不等于 0 的数的 0 次方都等于 1. 0 的 0 次方没有意义. 底数既可以是数字、字母,也可以是单项式或多项式.2 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结例题 LITI● 例 1.计算: 22011 . 22012 分析 给出最详细的过程.●例 2.计算 a 3 2a 3 分析 a 3与2a 3 是同类项解:原式 22011 220111 1 22011 2 22011 22011 1 2 22011●例 3.计算: a6 a4解:原式 3a3分析 本题为易错题,没有得到最终的结果.解:原式 a2 （有些学生的结果到此为止） a2 （这才是最终的结果）.●例 4.已知 22n1 4n 48,求 n的值.分析 本题具有一定的难度,要求学生对所学的公式结论深刻掌握.解: 22n1 4n 48 2 22n 22 n 482 22n 22n 4822n 2 1 4822n 3 48 22n 16 22n 24∴ 2n 4,n 2. ● 例 5.已知 4 8t 16t 24 4 , 求 t 的值.3 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结例题 LITI● 例 1.计算: 22011 . 22012 分析 给出最详细的过程.●例 2.计算 a 3 2a 3 分析 a 3与2a 3 是同类项解:原式 22011 220111 1 22011 2 22011 22011 1 2 22011●例 3.计算: a6 a4解:原式 3a3分析 本题为易错题,没有得到最终的结果.解:原式 a2 （有些学生的结果到此为止） a2 （这才是最终的结果）.●例 4.已知 22n1 4n 48,求 n的值.分析 本题具有一定的难度,要求学生对所学的公式结论深刻掌握.解: 22n1 4n 48 2 22n 22 n 482 22n 22n 4822n 2 1 4822n 3 48 22n 16 22n 24∴ 2n 4,n 2. ●例 5.已知 4 8t 16t 24 4 , 求 t 的值.4 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结★5.整式的乘法 整式的乘法运算有三种:（1）单项式·单项式;（2）单项式·多项式;（3）多项式·多项式. 单项式·单项式 系数与系数相乘,同底数幂相乘,单独的幂保留. （1）注意两个用科学记数法表示的数相乘 （2）在计算时要用到同底数幂的乘法公式. 其他两种运算的进行都需要将运算转化为单项式·单项式,然后再把所 得的积相加,还要用到乘法分配律,注意符号的改变.在进行多项式·多 项式时,还要注意合并同类项. 单项式与多项式相乘,将单项式分别乘以多项式的每一项,再将所得的 积相加. 运算的结果可以按某个字母的降幂顺序排列.●6.计算: 3 108 5 102 . 解: 3 108 5 102 3 5 108 102 15 1010 1.5 1011 两个重要的结论: （1）多项式相等的问题 如果两个多项式相等,则它们对应的系数相等.5 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结A D如若Ax2BxCDx2ExF,则有 BE.C F（2）多项式中不不含某一项的问题如果一个多项式中不不含某项,则该项系数等于 0（合并同类项之后的系数）.★6.平方差公式 即两数和乘以这两数的差a ba b a 2 b2这就是说,两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.说明: （1）该公式可以简化某些多项式乘以多项式的运算,也可以实现某些有理数运算的简便运算.（2）该公式可以反向利用,即逆用.（3）反向利用平方差公式可以用于分解因式.●例 7.计算 2x 3 y2 2x 3 y2 . 解:原式 2x 3 y 2x 3 y2x 3 y2x 3 y 2x 3 y 2x 3 y2x 3 y 2x 3 y 4x 6y 24xy ●例 8 平方差公式用于分解因式分解因式: 1 m 2 1 n2 . 49解:原式 1 m2 1 n2 4 9 6 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结 1 22m 1 3n2 1 m 1 n 1 m 1 n 2 3 2 3 ●例 9 某些题目无法直接使用平方差公式,需要对所给的式子变形处理之后才可以使用（即创造条件使用平方差公式）.计算:a b ca b c.解:原式 a b ca b c a 2 b c2 a 2 b2 2bc c2 a 2 b2 c 2 2bc●例 10 多项式相等的问题已知 x 3 6x 2 11x 6 x 1x 2 mx n,求 m、n的值. 解: x 3 6x 2 11x 6 x 1x 2 mx nx 3 6x 2 11x 6 x 3 mx 2 nx x 2 mx n x3 6x2 11x 6 x3 m 1x2 n mx nm 1 6 ∴ n m 11 n 67 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结解之得:m 5 n 6.●11.多项式中不不含某一项的问题已知 x2 ax 8x2 3x b 的乘积中不含 x 2 项和 x 3 项,求 a、b 的值.解: x2 ax 8x2 3x b x4 3x 3 bx2 ax3 3ax2 abx 8x 2 24x 8b x4 3 ax3 b 3a 8x2 24x 8b∵该乘积中不含 x 2 项和 x 3 项∴ b3 a 0 3a 8 0解之得:a b 3 1.●例 12 反向利用平方差公式的问题计算:x 12 x 12 .分析 反向利用积的乘方公式和平方差公式可方便地解决问题.解: x 12 x 12 x 1x 12 x 2 12 x4 2x2 1●例 13 一道综合题探索下面的问题:8 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结（1）x 1x 1 __________;x 1x2 x 1 __________; x 1x3 x2 x 1 __________; x 1 x 2012 x 2011 x 2010 x 1 __________.（2）请你用上面的结论计算: 22012 22011 22010 2 1. 解:（1） x 2 1; x 3 1; x 4 1; x 2013 1. （2） 22012 22011 22010 2 1 2 1 22012 22011 22010 2 1 22013 1 ★7.平方差公式的图形证明:★8.完全平方和公式的图形证明:★9.完全平方公式 完全平方公式有两个:完全平方和公式与完全平方差公式. 完全平方和公式:9 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结a b2 a2 2ab b2完全平方差公式:a b2 a2 2ab b2两个公式可以合记为:a b2 a2 2ab b2说明: （1）公式里面的 a2、b2 叫做完全平方项,习惯上将它们放在公式的两 边,将乘积的 2 倍放中间. （2）两个公式的惟一区别在于一个是加上乘积的 2 倍,另一个是减去 乘积的 2 倍. （3）两个公式可以相互转化. （4）反向利用完全平方公式可以用于分解因式,是公式法里面的两个 非常重要且常用的公式. （5）有关的重要结论:a2 b2 a b2 2aba2 b2 a b2 2aba b2 a b2ab 4（6）完全平方式的判断 判断所给的多项式是不是完全平方式只需 要判断两个完全平方项所对应的数或式子的 2 倍是否等于多项式的10 / 14第三项（或第三项的相反数）即可,若等于,则是;若不等于,则不是.（7）配方法 配方法是一种很重要的解决问题的方法,可以用来分解因式、解方程（如在九年级要学习的解一元二次方程）等.把题目所给的多项式进行变形、拆项等处理,使多项式中出现完全平方式的过程,叫做配方,利用配方来解决问题的方法就叫做配方法.●例14.若()25422+++x a x 是完全平方式,则=a ________.分析: 根据完全平方式的判断方法,两个完全平方项2x 与25所对应的5与x 的乘积的2倍,应等于()x a 42+±.所以()x a x 4210+±=,解得 1=a 或9-=a .注意本题有两种情况,两种结果.●例15 体验配方法的一种应用当a 为何有理数时,二次三项式5422+-a a 有最小值?最小值是多少? 解:5422+-a a()()31231223242222+-=++-=++-=a a a a a∵()012≥-a ∴()33122≥+-a ,此时1=a .（小说明:即当1=a 时取等号） ∴该多项式的最小值为3.●例16 .配方法的应用求证:多项式64222++-+b a b a 的值总是正数.说明 这是我们做过的一道选择题改编而来.证明: 64222++-+b a b a()()()()121144122222+++-=+++++-=b a b b a a （○小○说○明:这里完成了配方）∵()()02,0122≥+≥-b a ∴()()112122≥+++-b a ∴多项式64222++-+b a b a 的值总是正数.●例17.若()222963n mn m n km +-=+,则k 的值为________. 分析 利用完全平方和公式把等式的左边展开,再根据两个多项式相等的结论即可解决本问题.本题属于易错题.解: ()222963n mn m n km +-=+ 222229696n mn m n kmn m k +-=++∴1,12±==k k ,但1=k 不符合题意,舍去,所以1-=k .●例18 完全平方公式的结论的应用已知0142=+-m m ,求221m m +的值. 分析 利用结论:()ab b a b a 2222-+=+解: 0142=+-m m41414122=+=+=+mm mm m m m mm ∴221mm +14242122=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m m●例19 完全平方公式用于分解因式分解因式:1242--x x .解:原式16442-+-=x x()()()()()()624242424442222-+=--+-=--=-+-=x x x x x x x 说明:当然,这里还用到了配方法和其它的公式.●例20.已知ab b a b a 412222=+++,求22b a +的值. 解: ab b a b a 412222=+++()()()()01021204122222222=-+-=+-++-=-+++b a ab bab a ab ab ab b a ab∴⎩⎨⎧=-=-001b a ab ,得到122==b a ∴222=+b a .例21.将代数式262++x x 化为()q p x ++2的形式. 解: 262++x x()()737962996222-+=-++=+-++=x x x x x这里,7,3-==q p .。
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除1 单项式除以单项式
1 2
原式=10 =- .
25 5
1
25
.
3、计算：
28(x+y)4(x-2y)5÷[-7(x+y)3(x-2y)4]
解：28(x+y)4(x-2y)5÷[-7(x+y)3(x-2y)4]
=[28÷(-7)](x+y)4-3(x-2y)5-4
=-4(x+y)(x-2y)
第12章 整式的乘除
12.4 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式
1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则，运用运算法则熟练、
准确地进行计算；
2.通过总结法则，培养概括能力；训练综合解题能力和计算能力.
温故知新
1.用字母表示幂的运算性质：
(1)a a a
m
n
m n
n n
a
(3)(ab) b
解得：n=3，m=2．
故选：C
9．计算a10b÷a2b的结果是
【详解】解：a10b÷a2b=a10-2=a8，
故答案为：a8．
．
10．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅
的WFI的密码被设计成如图数学问题．小东在参观时认真思
索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码
是
．
【详解】∵[x19y8z8]=1988，
=-4x2+4xy+8y2
4.计算：
（1）-21a2b3÷7a2b
=-3b2
1 4 4 1 3 2
（3） 2 a x 6 a x
=3ax 2
（2）7a5b2c3÷(-3a3b)
7
= a2bc3
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除2 单项式与多项式相乘
C．10a2-5a2b
D．-10a3+5a2b
【详解】解：5a·(2a2-ab)=10a3-5a2b，
故选：B．
【点睛】此题考查了单项式乘以多项式的知识，牢记法则是解答本题
的关键，属于基础题，比较简单．
练一练
1．某班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的长为3a，宽为2a+b，
注意：单项式与多项式相乘,在没有合并同类项前，其积仍是多项式，项数与
原多项式的项数相同.积的每一项的符号由原多项式各项符号和单项式的符号
来决定.
注意运用去括号法则，不要漏乘项．
则这个长方形“学习园地”的面积为
．
【详解】解：根据题意得：这个长方形“学习园地”的面积为
3a(2a+b)=6a2+3ab
故答案为：6a2+3ab
2．先化简，再求值：x2(x+3)-x(x2+2x-1)，其中x2+x=2．
【详解】解：x2(x+3)-x(x2+2x-1)
=x3+3x2-x3-2x2+x
得的积相加.
p
m
a
p
b
c
注意 （1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
① 不能漏乘：即单项式要乘遍多项式的
每一项；
② 去括号时注意符号的确定.
单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每
一项，再将所得的积相加.
典例精析
【例1】化简5a·(2a2-ab)，结果正确的是（
）
A．-10a3-5ab
故选：D．
3．已知m2-m-1=0，则m3-m2-m+2025的值是（ ）
华师大版八年级数学上册第12章 整式的乘除 整合【新版】
专训一：整体思想在整式乘除运算中的应用名师点金：解决某些数学问题时，把一组数或一个式子看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视．幂的运算中的整体思想1．已知2x ＋5y －3＝0，求4x ·32y 的值．乘法公式运算中的整体思想类型1 化繁为简整体代入2．已知a ＝38x －20，b ＝38x －18，c ＝38x －16，求式子a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值．类型2 变形后整体代入3．已知x ＋y ＝4，xy ＝1，求式子(x 2＋1)(y 2＋1)的值．4．已知a －b ＝b －c ＝35，a 2＋b 2＋c 2＝1，求ab ＋bc ＋ca 的值．5．已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2 016的值．6．已知(2 016－a)(2 014－a)＝2 015，求(2 016－a)2＋(2 014－a)2的值．多项式乘法运算中的整体思想类型1大数中的换元7．若M＝123 456 789×123 456 786，N＝123 456 788×123 456 787，试比较M与N的大小．类型2多项式中的换元8．计算：(a1＋a2＋…＋a n－1)(a2＋a3＋…＋a n－1＋a n)－(a2＋a3＋…＋a n－1)(a1＋a2＋…＋a n)(n≥3，且n为正整数)．专训二：因式分解的七种常见用途名师点金：因式分解是整式恒等变形中的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．用于简便计算1．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.2．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142·…·(1－1102)·(1－1112)．用于化简求值3．已知2x －3＝0，求式子x(x 2－x)＋x 2(5－x)－9的值．用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，比较A与B的大小．用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长大96 cm，大正方形的面积比小正方形的面积大960 cm2，请你分别求出这两个正方形的边长．用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….你发现了什么规律？请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．专训三：整式的乘除中的几种热门考点名师点金：本章的主要内容有幂的运算，整式的乘除法，乘法公式，以及利用提公因式法和公式法分解因式等，在考试中，常常与数的运算、式子的化简求值、几何等知识综合在一起考查．中考中一般以基础题为主．幂的运算1．(2015·临沂)下列计算正确的是()A．a2＋a2＝2a4B．(－a2b)3＝－a6b3C．a2·a3＝a6D．a8÷a2＝a42．计算：(1)(－a2b)2＝________；(2)42 016×(－0.25)2 017＝________．3．已知：3x＋5y＝8，求8x·32y的值．整式的乘除运算4．下列计算结果是x2－6x＋5的是()A．(x－2)(x－3) B．(x－6)(x＋1)C．(x－1)(x－5) D．(x＋6)(x－1)5．若(－2x2)(3x2－ax－6)－3x3＋x2的结果中不含x的三次项，则a＝________．6．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘(x－2y)错抄成除以(x －2y)，结果得到3x，则第一个多项式是什么？正确的结果应该是什么？7．先化简，再求值：2(2x－1)(2x＋1)－5x(－x＋3y)＋4x(－4x－52y)，其中x＝－1，y＝2.乘法公式的运用8．下列计算正确的是()A．(－x－y)(x＋y)＝x2－y2B．(x－y)2＝x2－y2C．(x＋3y)(x－3y)＝x2－3y2D．(－x＋y)2＝x2－2xy＋y29．运用乘法公式计算：(1)(m－2n＋3)(m＋2n－3)；(2)(a－3b＋2)2.10．(2014·绍兴)先化简，再求值：a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)，其中a ＝1，b ＝－12.11．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求下列各式的值：(1)x 2＋y 2； (2)x 2－xy ＋y 2； (3)(x －y)2.利用提公因式法和公式法分解因式12．将下列各式分解因式：(1)2a 3b 2c ＋4ab 3c －abc ；(2)x 2＋4x ＋4；(3)(2a ＋b)(2a －b)＋b(4a ＋2b)；(4)x2(x－y)＋(y－x)；(5)3ax2－6axy＋3ay2.整式乘除的应用13．已知(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，求3xy－1的值．14．已知n是整数，试说明(2n＋1)2－1能被8整除．(第15题)15．(2014·青海)如图，长和宽分别为a ，b 的长方形，它的周长为15，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为________．16．△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．17．一天，小明在纸上写了一个算式：4x 2＋8x ＋11，并对小刚说：“无论x 取何值，这个式子的值都是正值，不信你试一试！”小刚动笔演算许多次，结果正如小明所说．小刚很困惑，你能运用所学的知识说明一下其中的道理吗？数学思想方法的应用a ．转化思想18．若2x ＝3，4y ＝5，则2x －2y 的值是( )A .35B ．－2C .355D .65b ．整体思想19．若m ＋n ＝3，则2m 2＋4mn ＋2n 2－6的值为( )A ．12B ．6C ．3D ．0c ．换元思想20．计算：2 0153－2 014×2 015×2 016.答案专训一1．解：4x ·32y ＝(22)x ·(25)y ＝22x ·25y ＝22x ＋5y .因为2x ＋5y －3＝0，所以2x ＋5y ＝3，所以原式＝23＝8.点拨：本题运用了整体思想和转化思想．2．解：由a ＝38x －20，b ＝38x －18，c ＝38x －16，可得a －b ＝－2，b －c ＝－2，c －a ＝4.从而a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]＝12×[(－2)2＋(－2)2＋42]＝12×24＝12.3．解：(x 2＋1)(y 2＋1)＝x 2y 2＋x 2＋y 2＋1＝(xy)2＋(x ＋y)2－2xy ＋1.把x ＋y ＝4，xy ＝1整体代入，原式＝12＋42－2×1＋1＝16.4．解：由a －b ＝b －c ＝35，可以得到a －c ＝65.由(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ca)，得到ab ＋bc ＋ca ＝(a 2＋b 2＋c 2)－12[(a －b)2＋(b－c)2＋(a －c)2]．将a 2＋b 2＋c 2，a －b ，b －c 及a －c 的值整体代入，可得ab ＋bc＋ca ＝1－12×[(35)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652]＝1－12×5425＝－225. 5．解：因为a 2＋a －1＝0①，所以将等式两边都乘a ，可得a 3＋a 2－a ＝0②.将①②相加，得a 3＋2a 2－1＝0，即a 3＋2a 2＝1.所以a 3＋2a 2＋2 016＝1＋2 016＝2 017.6．解：(2 016－a)2＋(2 014－a)2＝[(2 016－a)－(2 014－a)]2＋2(2 016－a)(2 014－a)＝22＋2×2 015＝4＋4 030＝4 034.点拨：本题运用乘法公式的变形x 2＋y 2＝(x －y)2＋2xy ，结合整体思想求解，使计算简便．7．解：设123 456 788＝a ，则123 456 789＝a ＋1，123 456 786＝a －2，123 456 787＝a －1.从而M ＝(a ＋1)(a －2)＝a 2－a －2，N ＝a(a －1)＝a 2－a.所以M －N ＝(a 2－a －2)－(a 2－a)＝－2＜0，所以M ＜N.8．解：设a 2＋a 3＋…＋a n －1＝M ，则原式＝(a 1＋M)(M ＋a n )－M(a 1＋M ＋a n )＝a 1M ＋a 1a n ＋M 2＋a n M －a 1M －M 2－a n M ＝a 1a n .点拨：本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的．这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察．因此，在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口．比如此题，在观察时能发现a 2＋a 3＋…＋a n －1这个式子在每一个因式中都存在．因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M ，问题就简化了，体现了整体思想的运用．专训二1．解：2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.2．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12(1＋13)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13(1＋14)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14·…·(1＋110)(1－110)(1＋111)(1－111)＝32×12×43×23×54×34×…×1110×910×1211×1011＝12×1211＝611.3．解：原式＝x 3－x 2＋5x 2－x 3－9＝4x 2－9＝(2x ＋3)(2x －3)．当2x －3＝0时，(2x ＋3)(2x －3)＝0.4．解：所得的差一定能被9整除．理由：设该两位数个位上的数字是b ，十位上的数字是a ，且a ≠b ，则这个两位数是10a ＋b.将十位数字与个位数字对调后的数是10b ＋a ，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是|10a ＋b －(10b ＋a)|＝9|a －b|，所以所得的差一定能被9整除．5．解：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0.即a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋a 2－2ac ＋c 2＝0.∴(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0.又∵(a －b)2≥0，(b －c)2≥0，(a －c)2≥0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，a －c ＝0，即a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．6．解：B －A ＝a 2＋a －7－a －2＝a 2－9＝(a ＋3)(a －3)．因为a ＞2，所以a ＋3＞0，从而当2＜a ＜3时，a －3＜0，所以A ＞B ；当a ＝3时，a －3＝0，所以A ＝B ；当a ＞3时，a －3＞0，所以A ＜B.7．解：设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎨⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960.②由①得x －y ＝24，③由②得(x ＋y)(x －y)＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40.⑤由③⑤得方程组⎩⎨⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝8.答：大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm .点拨：根据目前我们所学的知识，还无法解方程组⎩⎨⎧4x －4y ＝96，x 2－y 2＝960，但是我们可以利用因式分解，把这个问题转化为解关于x ，y 的二元一次方程组的问题．8．解：规律：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝(n 2＋n ＋1)2.理由如下：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n(n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n(n ＋1)]2＋2n(n ＋1)＋1＝[n(n ＋1)＋1]2＝(n 2＋n ＋1)2.专训三1．B2．(1)a 4b 2 (2)－0.253．解：8x ·32y ＝23x ·25y ＝23x ＋5y ＝28＝256.4．C 5.326．解：第一个多项式是3x(x －2y)＝3x 2－6xy.正确的结果是(3x 2－6xy)(x －2y)＝3x 3－12x 2y ＋12xy 2.7．解：原式＝2(4x 2－1)＋5x 2－15xy －16x 2－10xy＝8x 2－2＋5x 2－15xy －16x 2－10xy＝－3x 2－25xy －2.当x ＝－1，y ＝2时，原式＝－3×(－1)2－25×(－1)×2－2＝45.8．D9．解：(1)原式＝[m －(2n －3)][m ＋(2n －3)]＝m 2－(2n －3)2＝m 2－(4n 2－12n ＋9)＝m 2－4n 2＋12n －9.(2)原式＝[(a －3b)＋2]2＝(a －3b)2＋4(a －3b)＋4＝a 2－6ab ＋9b 2＋4a －12b ＋4.10．解：原式＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2.当a＝1，b＝－12时，原式＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫－122＝54.11．解：(1)x2＋y2＝x2＋2xy＋y2－2xy＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7)＝23.(2)x2－xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－3xy＝(x＋y)2－3xy＝32－3×(－7)＝30.(3)(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－4xy＝(x＋y)2－4xy＝32－4×(－7)＝37.12．解：(1)原式＝abc(2a2b＋4b2－1)．(2)原式＝(x＋2)2.(3)原式＝(2a＋b)(2a－b)＋2b(2a＋b)＝(2a＋b)(2a－b＋2b)＝(2a＋b)2.(4)原式＝x2(x－y)－(x－y)＝(x－y)(x2－1)＝(x－y)(x＋1)(x－1)．(5)原式＝3a(x2－2xy＋y2)＝3a(x－y)2.13．解：由(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，可得x2＋2xy＋y2＝5①，x2－2xy＋y2＝3②.①－②得4xy＝2，∴xy＝1 2.∴3xy－1＝3×12－1＝12.14．解：(2n＋1)2－1＝[(2n＋1)＋1][(2n＋1)－1]＝2(n＋1)·2n＝4n·(n＋1)．因为n是整数，所以n与n＋1是两个连续的整数，而两个连续的整数中必有一个偶数，所以n·(n＋1)能被2整除，所以4n·(n＋1)能被8整除．故(2n＋1)2－1能被8整除．点拨：要说明(2n＋1)2－1能被8整除，只要将此式因式分解，说明各因式的积能被8整除即可．15．7516．解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴(a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(a－c)(1＋2b)＝0.∵1＋2b＞0，∴a＝c.∴△ABC为等腰三角形．17．解：∵4x2＋8x＋11＝4(x2＋2x＋1)＋7＝4(x＋1)2＋7，且(x＋1)2≥0，∴4(x ＋1)2＋7≥7.即无论x取何值，4x2＋8x＋11的值都是正值．18．A19.A20．解：设2 015＝a，则原式＝a3－(a－1)·a·(a＋1) ＝a3－a(a2－1)＝a3－a3＋a＝a＝2 015.。
第12章整式的乘除复习2
专题三：利用整式乘法进行说理
试说明：代数式 (2x 3)(6x 2) 6x(2x 13) 8(7x 2)
的值与x的取值无关。
分析：代数式的值与x的取值无关，即不论x取何值， 代数式的取值是不变的，因此，原代数式化简后的 结果不含x。
变式：若代数式 (2x 3)(6x 2) 6x(2x 13) 8(kx 2)
3 (3)(a2 3)(a 2) a(a2 2a 2)
(4)(3 x6 y2 6 x3 y5 0.9x2 y3) (0.6xy)
4
5
专题二：利用整式乘积中项的特征求参数的值
若 (x 1)(x2 mx n) x3 6x2 11x 6 ，
求m和n的值。
解 : (x 1)(x2 mx n) x3 6x2 11x 6 x3 mx2 nx x2 mx n x3 6x2 11x 6 x3 (m 1)x2 (n m)x n x3 6x2 11x 6 m 1 6,n m 11,n 6 m 5, n 6
的值与x的取值无关，求k的值。
分析：若代数式的值与x的取值无关，则原代数式化 简后不含x的项，也就是说含x的项系数为0。
专题四：整式运算的实际应用
刘明家的住房结构如图，刘明的爸爸打算把卧室以外
的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如
果每1m2的地砖的价格是a元，则购买地砖至少需要
多少钱？
y 2y
右边是三项，第一项是首的平方，第二项是首尾乘 积的2倍，第三项是尾的平方. 口诀：首平方，尾平方,首尾积的2倍放中间.
基础练兵
先化简，在求值：
(1)[(x-y）2+(x+y)(x-y)]÷2x，其中x=3,y= -1.5
八年级数学上册-第12章 整式的乘除 复习课件-华师版
3．下列因式分解正确的是( B )
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋41＝(x－21)2 C．x2－2x＋4＝(x－2)2 D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y) 4．若 M＝(a2＋1)2－a2，N＝(a＋1)2(a－1)2，其中 a≠0，则 M，N 的大
14．分解因式： （1）p3(a－1)＋p(1－a)； 解：p(a－1)(p＋1)(p－1)
（2）a2b－16a3－32ab2；
解：－16a(a－3b)2
（3）(2m＋n)(2m＋n－6)＋9；
解：(2m＋n－3)2
（4）16x2y2－(x2＋4y2)2。
解：－(x＋2y)2(x－2y)2
15．已知 a(a－1)－(a2－b)＝4，求a2＋2 b2－ab 的值。 解：由已知得－a＋b＝4，∴a－b＝－4，原式＝12(a－b)2＝8
检测练习
一、选择题 1.下列运算正确的是( D ) A．(x－2)2＝x2－4 B．x3·x4＝x12 C．x6÷x3＝x2 D．(x2)3＝x6 2.下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是( D ) A．(x－2y)(2y＋x) B．(2y－x)(－x－2y) C．(x－2y)(－x－2y) D．(－2y－x)(x＋2y)
17．对于任何实数，我们规定符号ab
c 的意义是：a
d
b
cd＝ad－bc.按
照这个规定请你计算：当 x2－3x＋1＝0 时，x3＋x 1x－x－ 1 2的值．。
解：xx＋－12 3xx－1＝(x＋1)(x－1)－3x(x－2)＝x2－1－3x2＋6x＝－2x2＋ 6x－1，∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1，∴原式＝－2(x2－3x)－1＝2
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第12章整式的乘除§12.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：a m·a n·a p·……=a m+n+p+……（m、n、p……均为正整数）文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：π2·π3·π4=π2+3+4=π9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；(2)3·(2)4=(2)3+4=(2)7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。
（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。
二、幂的乘方1、法则:(a m)n=a mn（m、n均为正整数）。
推广：｛[(a m)n]p｝s=a mn p s文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：(π2)3=π2×3=π6；[(2)3]4=(2)3×4=(2)12；[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8（2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：a mn= (a m)n，如：a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则：(ab)n=a n b n（n为正整数）。
推广：(acde)n=a n c n d n e n文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(2π)3=22π2=4π2；(2×3)2=(2)2×(3)2=2×3=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2（2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：a n b n =(ab)n；如：23×33= (2×3)3=63，(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2四、同底数幂的除法1、法则：a m÷a n=a m-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：π4÷π3=π4-3=π；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；(2)6÷(2)4=(2)6-4=(2)2=2；(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2 （2）注意a≠0这个条件。
（3）注意该法则的逆应用，即：a m-n = a m÷a n；如：a x-y= a x÷a y，(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3§12.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。
3ab)如：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-23)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=[(-5)×(-4)×(-2=-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：22--+-=x x x(3)(21)=(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=432-+363x x x三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。
如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb§12.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+π)( a+b -π)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。
二、完全平方公式1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。
2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(2+3)2=(2)2+2×2×3+32=2+62+9=11+62；(mn-a) 2=(mn)2-2m n·a+ a2= m2n2-2m n a+ a2；( a+b -π)2=( a+b)2-2( a+b)π+π2= a2+2a b+b2-2πa-πb +π2；（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。
§12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c=-7ab2c（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3=（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y25（2a+b）4÷（2a+b）2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。
如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)=4y-2x◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。
§12.5 因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。
（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤：（1）“看”。
观察各项是否有公因式；（2）“隔”。
把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。
按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。
△(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。
)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。
1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。
△注意事项：（1）a 、b 可以是实数，也可以是代数式等。
如：102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x 2y 2-a 2=(2xy )2-a 2=(2xy+a )(2xy-a )；()()n n n n n n n 8)1212)(1212(121222=+-+-++=--+（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式：(a ±b )2=a 2±2a b+b 2；名称：完全平方公式。
△注意事项：（1）a 、b 可以是实数，也可以是代数式等。
如：m 2n 2-2m n a+ a 2=(mn )2-2m n ·a+ a 2=(mn-a )2；x 2+4xy+y 2=x 2+2·x ·2y+(2y )2=( x+2 y )2（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
四、补充分解法：1、公式：x 2+(a+b )x+ab =(x+a )( x+b )。
如：x 2+5x+6= x 2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；x 2+5x-6=x 2+[6+(-1))]x+6×(-1)=(x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如：2914++=(x+2)( x+7)x x228--=(x+2)( x-4)x x1 2 1 21 7 1 -42 + 7=9 2 + (-4)= -2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。
2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。