第12章整式的乘除知识点总结
整式的乘除法

数学受到高度尊崇的另一个原因在于:恰恰是数学,给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证,没有第一讲 整式的乘法一、课标要求(学习本章节需要达到的目的)1、掌握同底数幂的乘法;2、幂的乘方;3、积的乘方;4、整式的乘法法则及运算规律.教学重点:同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算. 教学难点:整式的乘法. 二、知识疏理知识点1:同底数幂的乘法法则同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m, n 都是正整数)。
例1:计算。
(1)4322⨯ (2)251010⨯(3)54x x ⋅知识点2:幂的乘方幂的乘方,底数不变,指数相乘。
mnn m a a =)((m, n 都是正整数)注意:nm n m a a ≠)(例2:计算。
(1)(32)3(2)(a m )2(3)―(x m )5(4)(a 2)3·a 5知识点3:积的乘方积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
(ab )n =a n b n(n 为正整数)例3:计算。
(1)(ab )4(2)322)(y x -(3))()(2352xy x -⋅(4)322)(ab (5)22110⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛10数学受到高度尊崇的另一个原因在于:恰恰是数学,给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证,没有知识点4:单项式的乘法法则单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
例4:计算:(1))(3223xy y x -⋅ (2))()(c b b a 23245-⋅- 知识点5:单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
ap an am p n m a ++=++)( 例5:计算。
(1))(b a a 53222-(2)))((322532ab ab a --知识点6:多项式相乘的乘法法则 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得后积相加。
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 2 公式法课件

(2)原式=(2a)²- 2·2a·1+(1)² =(2a - 1)2.
第十六页,共二十页。
3.多项式4a²+ma+9是完全平方式(fāngshì),那么m的值是(D ) A.6 B.12 C. -12 D. ±12
4.计算: 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解
步骤
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提:公因式;
二套:公式; 三查:多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
第十八页,共二十页。
第十九页,共二十页。
内容(nèiróng)总结
12.5 因式分解。(3)-x2-y2。三查(多项式的因式分解要分解到不能再分解为止)。3.中间有两 底数之积的±2倍.。(5)x2+x+0.25.。(4)因为ab不是a与b的积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平 方式,。(2)-x2+4xy-4y2.。解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)。分析:(1)中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式,再进一步分解因式。1002-2×100×99+99²。二套:公式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
第六页,共二十页。
辨一辨:下列多项式能否用平方差公式(gōngshì)来分解因式,为什么?
(1)x2+y2 (2)x2-y2
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除2 幂的乘方

12.1 幂的运算 第2课时 幂的乘方
1.理解并掌握幂的乘方的概念与意义; 2.熟练运用幂的乘方运算法则进行计算;
温故知新
同底数幂的乘法
公式: am·an=am+n(m、n为正整数)
文字描述: 同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗?我可以告诉你,
2
(2)解:∵3m=4,3n=1 ,
2
∴32m+3n=32m×33n=(3m)2×(3n)3 =16×(1)3=2.
2
1.若am=2,an=3.则a2m+3n的值为( )
A.13
B.31 C.100 D.108
【详解】解:∵am=2,an=3, ∴a2m+3n=(am)2(an)3=23×33=4×27=108. 故选:D.
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
【详解】解:a=3444=(34)111,b=4333=(43)111,c=5222=(52)111 ∵34>43>52, ∴c<b<a; 故选D.
4.已知2x+y=1,则4x·2y的值为
.
【详解】解:∵2x+y=1, ∴4x·2y=(22)x·2y =22x+y =21 =2 故答案为:2.
木星的半径是地球半径的10倍,太阳的半径是地球半径的102倍,假如 地球的半径为r,那么,请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少? (球的体积公式为 V 4 πr3 )
3
解:设地球的半径为1,则木星的半径就是10.
因此,木星的体积为V木星=
4 π(10)3 3
太阳的体积为V太阳=
4 3
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除2 两数和(差)的平方

【详解】(1)解:方法1:由图形可知,大正方形面积减去四个小长 方形面积来表示即为阴影部分面积, 大正方形边长为(m+n),则大正方形面积为(m+n)2, 所以阴影部分面积为(m-n)2-4mn; 方法2:阴影部分为正方形,边长为(m-n),故面积可表示为(m-n)2; 故答案为:(m-n)2-4mn;(m-n)2.
观察下图,用等式表示下图中图形面积的运算:
a b
a b
=
a2
- ab ab + b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
例2、计算(2x-3)2; 解: (2x-3)2=(2x)2-2•(2x) •3 +32
( a- b )2 =a2 - 2ab + b2 =4x2 -12x +9;
补充例题 已知x+y=4,xy=2, 求(1)x2+y2;(2)3x2-xy+3y2;(3)x-y 解 (1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12 (2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20 (3)(x-y)2=(x+y)2-4xy =42-4×2=8 所以 x-y= x2 - y2 = 8 2 2
【详解】解:设拼成的矩形一边长 为x, 则依题意得:(a+3)2-a2=3x, 解得,x=2a+3,故A正确. 故选:A.
7.如图,有甲、乙、丙三种不同的正方形或长方形纸片若干张.要用
这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形,先取甲纸片1张,乙纸
片4张,还需取丙纸片
张.
【详解】解:∵(a+2b)2=a2+4ab+4b2, ∴还需取丙纸片4张. 故答案为4.
华师版八年级数学上册第12章3 乘法公式

(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2- 符号变化
a2=b2-a2
系数变化 (3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2
续表:
知1-讲
变化形式
应用举例
指数变化 (a3+b2)(a3-b2)=(a3)2-(b2)2=a6-b4
增项变化 (a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2
知1-练
解法提醒:运用平方差公式计算的三个关键步骤: 第1步,利用加法的交换律调整两个二项式中项的位 置,使之与公式左边相对应,已对应的就不需调整,如 (1)(2)不需调整,(3)(4)就必须调整. 第2步,找准公式中的a, b分别代表哪个单项式或多项式. 第3步,套用公式计算, 注意将底数带上括号. 如(1)中(5m)2不能写成5m2 .
知2-练
=(2m)2+2·2m·n+n2
两个二项式相乘,若有一项相
=4m2+4mn+n2.
同,另一项互为相反数,则用
(4)(2x+3y)(-2x-3y)
平方差公式计算;若两项都相
=-(2x+3y)2
同或都互为相反数,则用完全 平方公式计算.
=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]
=-(4x2+12xy+9y2)=-4x2-12xy-9y2.
知2-讲
知2-讲
(6)ab=12[(a+b)2-(a2+b2)]=14[(a+b)2-(a-b)2]; (7)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc; (8)a2+b2+c2+ab+ac+bc=12[(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2]
例 3 计算: (1)(x+7y)2;(2)(-4a+5b)2; (3)(-2m-n)2;(4)(2x+3y)(-2x-3y).
华师大版八年级数学上册课件-第12章 整式的乘除

练习 下面的计算对不对?若不对,应当怎样改正?
(1) x6 x2 x3; (2) a3 a a3; (3) y5 y2 y3; (4)(-c)4 (-c)2 -c2.
例1 计算:
(1)x8÷x2 ;(2) a4 ÷a ;
(3)(ab) 5÷(ab)2;
思考:当底数是几个因式的积或是一个多项式时,需要 怎么看待? 解: (1) x8 ÷x2=x 8-2=x6.
学习目标
1.理解幂的乘方法则; 2.运用幂的乘方法则进行计算.
合作探究 达成目标
探究点一 幂的乘方法则的推导
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的
结果有什么规律:
(1)(32)3 = 32×32×32 = 3( )
(2)(a2)3 = a2 × a2 × a2 =a( )
(3)(am)3 =
试一试
计算:
(ab)3= (ab)• (ab)•(ab) = (a•a•a)•(b•b•b) = a3b3
(ab)4 = a4b4
由 (ab)3 = a3b3
(ab)4 = a4b4 从左到右的变化
猜想 (ab)n= anbn
(n是正整数)
根据乘方的意义和乘法的运算律,计算:
(ab)(n n是正整数).
1.下列各式中运算正确的是( ) A.a2·a5=a20 B. a2+a5=a7 C. a2·a2=2a2 D. a2·a5=a7 2.下列能用同底数幂进行计算的是( ) A.(x+y)2(x-y)3 B.(-x+y)3(x+y)2
C.(x+y)2(x+y)3 D.-(x-y)2(-x-y)
3.计算:
推广:(abc)n =anbncn.
第12章 12.3 12.3. 1 两数和乘以这两数的差

5. 计算: (1)(34x+32y)(23y-43x)= 49y2-196x2 ; (2)(-3x-2y)(3x-2y)= 4y2-9x2 . 6. 填写适当的式子: (1)(-6a+ 2b )(2b+ 6a )=4b2-36a2; (2)(a+b-c)(a-b+c)=[a+( b-c )][a-( b-c )] =a2-( b-c )2.
C.12
D.15
【解析】∵a2-b2+6b=(a+b)(a-b)+6b,a+b=3, ∴a2-b2+6b=3(a-b)+6b=3(a+b)=3×3=9.
6. 若(2x+3y)(m x-ny)=9y2-4x2,则 m ,n 的值为 (B )
A.m =2,n=3 B.m =-2,n=-3 C.m =2,n=-3 D.m =-2,n=3 7. 2019×2017-20182= -1 .
第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式
12.3.1 两数和乘以这两数的差
1. 两数和与两数差的积,等于这两数的 平方差 .用 公式表示为:(a+b)(a-b)= a2-b2 .
2. 能用平方差公式进行运算的式子的特点: (1)左边是两个二项式的积,每个二项式中的两项 里,有一项是 相同的 ,另一项是 互为相反数 ; (2)右边是乘式中两项的平方差,即 相同 项的平方 减去 相反 项的平方.
=225556;
(3)1. 01×0. 99; 解:原式=(1+0. 01)×(1-0. 01) =0. 9999;
38 (4)711×611. 解:原式=(7+131)(7-131)=48111221.
9. 已知 a-b=2,b-c=2,a+c=14,求 a2-b2 的值.
解:把 b-c=2,a+c=14 相加得:a+b=16,所 以 a2-b2=(a-b)(a+b)=2×16=32.
新华师大数学八年级上册:第12章整式的乘除小结与复习

公式的常 a2= (a+b) (a-b)+b2; a2+b2=(a+b)2- 2ab , 或(a-b)2+ 2ab ;
用变形 b2= a2 -(a+b)(a-b). (a+b)2=(a-b)2+ 4ab .
[点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法,公 式的主要作用是简化运算;
(2)公式中的字母可以表示数,也可以表示其他单项式或多 项式.
3.乘法公式 公式名称 两数和乘以这两数的差
两数和(差)的平方
两数和(差)的平方,等
两数和与这两数的差的积,于这两数的 平方和 加
文字表示
等于这两数的平方差
ห้องสมุดไป่ตู้
上(减去) 这两数积 的2
倍
式子表示 (a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
①左边是两个 二 项式相 乘,这两个二项式中有一 ①左边是一个 二 项式的和
7.用公式法分解因式 把 乘法公式 反过来,可以把符合公式特点的多项式分解 因式,这种分解因式的方法叫做公式法.这两个公式是: (1)逆用平方差公式
a2-b2 = (a+b)(a-b) ; (2)逆用两数和(差)的平方公式
a2±2ab+b2= (a±b)2 . [点拨] 这里的两个公式是用来分解因式的,与乘法公式刚 好左右互换.运用公式分解因式,首先要对所给的多项式的 项数、次数、系数和符号进行观察,判断符合哪个公式的条 件.公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式,只有 符合公式的特征时才能运用公式.
(2)原式=(-8)×(-8)2015 ×(0.125)2015 =(-8)[(-8) ×0.125]2015 =(-8)×(-1)2015=8.
方法总结
幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的 乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章,是整式 乘除及因式分解的基础.其逆向运用可将问题化繁为简,负 数乘方结果的符号,奇次方得负,偶次方得正.
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除1 单项式与单项式相乘

7.计算:
(1)3a2·2a3
=3×2·a2·a3
=6a5
(3)(-3a2)3·(-2a3)2
(2)(-9a2b3)·8ab2
=(-9)×8·a2·a·
b3·b2
=-72a3b5
(4)-3xy2z·(x2y) 2
=-27a6·4a6
=-3xy2z·(x4y2)
=-27×4·a6·a6
式.
注意:
(1)系数相乘;
(2)相同字母的幂相乘;
(3)其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.
典例精析
【例1】计算3a2b·(-2ab2)3的结果是(
)
A.-18a5b5
B.-18a6b7
C.-24a5b7
【详解】解:原式=3a2b·(-8a3b6)=-24a5b7.
故选:C.
D.24a6b7
练一练
5米=5×109纳米
4米=4×109纳米
3米=3×109纳米
V=5×109×4×109×3×109
=60×1027 =6×1028(立方纳米)
答:长方体体积是6×1028立方纳米.
1.计算a3b·(ab)2的结果是( )
A.a5b2
B.a4b3
C.a3b3
D.a5b3
【详解】解:a3b·(ab)2=a3b·a2b2=a5b3,
第12章 整式的乘除
12.2 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
1.掌握单项式与单项式相乘的运算法则;
2.熟练运用单项式与单项式相乘的运算法则,并且可以对有关
的计算进行化简求值;
温故知新
1.幂的运算性质有哪几条?
同底数幂的乘法法则:am·
第12章 整式的乘除(知识点+例题)

第12章 整式的乘除与因式分解 知识链接一、整式的乘法1.同底数幂的乘法法则同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即:m n m n a a a+⋅=(m ,n 都是正整数)。
例1:计算 (1)821010⨯;(2)23x x ⋅-(-)();(3)n 2n 1n aa a a ++⋅⋅⋅例2:计算 (1)35b 2b 2b 2+⋅+⋅+()()();(2)23x 2y y x -⋅()(2-)例3:已知x 22m +=,用含m 的代数式表示x 2。
2.幂的乘方(重点)幂的乘方是指几个相同的幂相乘,如53a ()是三个5a 相乘,读作a 的五次幂的三次方。
幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
即m n mn a a =()(m ,n 都是正整数)。
例4:计算(1)m 2a ();(2)()43m ⎡⎤-⎣⎦;(3)3m 2a -()3.积的乘方(重点)积的乘方的意义:指底数是乘积形式的乘方。
如:()()()()3ab ab ab ab =⋅⋅积的乘方法则:积的乘方,等于把积得每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
如:n n n ab a b ⋅()=例5:计算(1)()()2332xx -⋅-;(2)()4xy -;(3)()3233a b -例6:已知a b 105,106==,求2a 3b 10+的值。
例7:计算(1)201120109910010099⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)()315150.1252⨯4.单项式与单项式相乘(重点)法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式例含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
例8:计算(1)2213ab a b 2abc 3⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭; (2) ()()n 1n 212x y 3xy x z 2+⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭; (3) ()()322216m n x y mn y x 3-⋅-⋅⋅-5.单项式与多项式相乘(重点)法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除1 两数和乘以这两数的差

=9x2-y2-9y2+x2
=10x2-10y2
当x=-2,y=3时,
原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50.
1.下列能用平方差公式计算的式子是( )
A.(a-b)(a-b) B.(-a+b)(a-b)
C.(-a-b)(-a+b) D.(-a-b)(a+b)
=20232-(20232-1)
=1.
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式,有时也简称为
平方差公式.
项不符合题意.
故选:C.
2.如图,大正方形与小正方形的面积差为72,则阴影部分的面积为
( )
A.22
B.24
C.30
D.36
【详解】解:设大正方形边长为x,小正方形边长为y,
则AE=x-y,x2-y2=72,
阴影部分的面积是:
1
1
1
· + · = (x-y)x·x+(x-y)·y
程所揭示的乘法公式
.
【详解】解:∵图1中阴影部分的面积为a2-b2,
图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b),
∴可得乘法公式:a2-b2=(a+b)(a-b),
故答案为:a2-b2=(a+b)(a-b).
6.计算:(1-a)(1+a)(1+a2)=
【详解】解:(1-a)(1+a)(1+a2)
=(1-a2)(1+a2)
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
第12章整式的乘除知识点复习总结

第 12 章整式的乘除知识点复习总结★第 12 章 整式的乘除知识点★★1.同底数幂的乘法公式为: a m a n a mn m、n均为正整数即:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 注意:(1)本公式可以反向利用,即: a mn a m a n m、n均为正整数有关的重要结论(2)AnAn n为偶数 Ann为奇数;(3) ABnB BAn (n为偶数). An (n为奇数)★2.幂的乘方公式为: am n amn (m、n为正整数)即,幂的乘方,底数不变,指数相乘. (1)公式可以反向利用,即: amn am n (m、n为正整数)(2)重要结论: am n an m amn (m、n为正整数)(3)公式可推广:1 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结 am n p amnp (m、n、p为正整数)★3.积的乘方公式为:abn anbn (n为正整数)即积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. (1)公式可推广:abcn anbncn (n为正整数)(2)公式可以反向使用,用于某些简便运算的题目.anbn abn anbncn abcn (n为正整数)(3)说明:在反向利用积的乘方公式时,可以把两个指数的最大公约 数给提出来.注意: a bn an bn (n为正整数),如a b2 a2 b2 .★4.同底数幂的除法公式: am an amn (m、n为正整数,且m n,a 0)即同底数幂相除,底数不变,指数相减. (1)是被除数的指数减去除数的整数. (2)公式可以改写为:am amn (m、n为正整数,且m n,a 0) an (3)当 m n时, am an a0 1. 记住:任何不等于 0 的数的 0 次方都等于 1. 0 的 0 次方没有意义. 底数既可以是数字、字母,也可以是单项式或多项式.2 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结例题 LITI● 例 1.计算: 22011 . 22012 分析 给出最详细的过程.●例 2.计算 a 3 2a 3 分析 a 3与2a 3 是同类项解:原式 22011 220111 1 22011 2 22011 22011 1 2 22011●例 3.计算: a6 a4解:原式 3a3分析 本题为易错题,没有得到最终的结果.解:原式 a2 (有些学生的结果到此为止) a2 (这才是最终的结果).●例 4.已知 22n1 4n 48,求 n的值.分析 本题具有一定的难度,要求学生对所学的公式结论深刻掌握.解: 22n1 4n 48 2 22n 22 n 482 22n 22n 4822n 2 1 4822n 3 48 22n 16 22n 24∴ 2n 4,n 2. ● 例 5.已知 4 8t 16t 24 4 , 求 t 的值.3 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结例题 LITI● 例 1.计算: 22011 . 22012 分析 给出最详细的过程.●例 2.计算 a 3 2a 3 分析 a 3与2a 3 是同类项解:原式 22011 220111 1 22011 2 22011 22011 1 2 22011●例 3.计算: a6 a4解:原式 3a3分析 本题为易错题,没有得到最终的结果.解:原式 a2 (有些学生的结果到此为止) a2 (这才是最终的结果).●例 4.已知 22n1 4n 48,求 n的值.分析 本题具有一定的难度,要求学生对所学的公式结论深刻掌握.解: 22n1 4n 48 2 22n 22 n 482 22n 22n 4822n 2 1 4822n 3 48 22n 16 22n 24∴ 2n 4,n 2. ●例 5.已知 4 8t 16t 24 4 , 求 t 的值.4 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结★5.整式的乘法 整式的乘法运算有三种:(1)单项式·单项式;(2)单项式·多项式;(3)多项式·多项式. 单项式·单项式 系数与系数相乘,同底数幂相乘,单独的幂保留. (1)注意两个用科学记数法表示的数相乘 (2)在计算时要用到同底数幂的乘法公式. 其他两种运算的进行都需要将运算转化为单项式·单项式,然后再把所 得的积相加,还要用到乘法分配律,注意符号的改变.在进行多项式·多 项式时,还要注意合并同类项. 单项式与多项式相乘,将单项式分别乘以多项式的每一项,再将所得的 积相加. 运算的结果可以按某个字母的降幂顺序排列.●6.计算: 3 108 5 102 . 解: 3 108 5 102 3 5 108 102 15 1010 1.5 1011 两个重要的结论: (1)多项式相等的问题 如果两个多项式相等,则它们对应的系数相等.5 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结A D如若Ax2BxCDx2ExF,则有 BE.C F(2)多项式中不不含某一项的问题如果一个多项式中不不含某项,则该项系数等于 0(合并同类项之后的系数).★6.平方差公式 即两数和乘以这两数的差a ba b a 2 b2这就是说,两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.说明: (1)该公式可以简化某些多项式乘以多项式的运算,也可以实现某些有理数运算的简便运算.(2)该公式可以反向利用,即逆用.(3)反向利用平方差公式可以用于分解因式.●例 7.计算 2x 3 y2 2x 3 y2 . 解:原式 2x 3 y 2x 3 y2x 3 y2x 3 y 2x 3 y 2x 3 y2x 3 y 2x 3 y 4x 6y 24xy ●例 8 平方差公式用于分解因式分解因式: 1 m 2 1 n2 . 49解:原式 1 m2 1 n2 4 9 6 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结 1 22m 1 3n2 1 m 1 n 1 m 1 n 2 3 2 3 ●例 9 某些题目无法直接使用平方差公式,需要对所给的式子变形处理之后才可以使用(即创造条件使用平方差公式).计算:a b ca b c.解:原式 a b ca b c a 2 b c2 a 2 b2 2bc c2 a 2 b2 c 2 2bc●例 10 多项式相等的问题已知 x 3 6x 2 11x 6 x 1x 2 mx n,求 m、n的值. 解: x 3 6x 2 11x 6 x 1x 2 mx nx 3 6x 2 11x 6 x 3 mx 2 nx x 2 mx n x3 6x2 11x 6 x3 m 1x2 n mx nm 1 6 ∴ n m 11 n 67 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结解之得:m 5 n 6.●11.多项式中不不含某一项的问题已知 x2 ax 8x2 3x b 的乘积中不含 x 2 项和 x 3 项,求 a、b 的值.解: x2 ax 8x2 3x b x4 3x 3 bx2 ax3 3ax2 abx 8x 2 24x 8b x4 3 ax3 b 3a 8x2 24x 8b∵该乘积中不含 x 2 项和 x 3 项∴ b3 a 0 3a 8 0解之得:a b 3 1.●例 12 反向利用平方差公式的问题计算:x 12 x 12 .分析 反向利用积的乘方公式和平方差公式可方便地解决问题.解: x 12 x 12 x 1x 12 x 2 12 x4 2x2 1●例 13 一道综合题探索下面的问题:8 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结(1)x 1x 1 __________;x 1x2 x 1 __________; x 1x3 x2 x 1 __________; x 1 x 2012 x 2011 x 2010 x 1 __________.(2)请你用上面的结论计算: 22012 22011 22010 2 1. 解:(1) x 2 1; x 3 1; x 4 1; x 2013 1. (2) 22012 22011 22010 2 1 2 1 22012 22011 22010 2 1 22013 1 ★7.平方差公式的图形证明:★8.完全平方和公式的图形证明:★9.完全平方公式 完全平方公式有两个:完全平方和公式与完全平方差公式. 完全平方和公式:9 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结a b2 a2 2ab b2完全平方差公式:a b2 a2 2ab b2两个公式可以合记为:a b2 a2 2ab b2说明: (1)公式里面的 a2、b2 叫做完全平方项,习惯上将它们放在公式的两 边,将乘积的 2 倍放中间. (2)两个公式的惟一区别在于一个是加上乘积的 2 倍,另一个是减去 乘积的 2 倍. (3)两个公式可以相互转化. (4)反向利用完全平方公式可以用于分解因式,是公式法里面的两个 非常重要且常用的公式. (5)有关的重要结论:a2 b2 a b2 2aba2 b2 a b2 2aba b2 a b2ab 4(6)完全平方式的判断 判断所给的多项式是不是完全平方式只需 要判断两个完全平方项所对应的数或式子的 2 倍是否等于多项式的10 / 14第三项(或第三项的相反数)即可,若等于,则是;若不等于,则不是.(7)配方法 配方法是一种很重要的解决问题的方法,可以用来分解因式、解方程(如在九年级要学习的解一元二次方程)等.把题目所给的多项式进行变形、拆项等处理,使多项式中出现完全平方式的过程,叫做配方,利用配方来解决问题的方法就叫做配方法.●例14.若()25422+++x a x 是完全平方式,则=a ________.分析: 根据完全平方式的判断方法,两个完全平方项2x 与25所对应的5与x 的乘积的2倍,应等于()x a 42+±.所以()x a x 4210+±=,解得 1=a 或9-=a .注意本题有两种情况,两种结果.●例15 体验配方法的一种应用当a 为何有理数时,二次三项式5422+-a a 有最小值?最小值是多少? 解:5422+-a a()()31231223242222+-=++-=++-=a a a a a∵()012≥-a ∴()33122≥+-a ,此时1=a .(小说明:即当1=a 时取等号) ∴该多项式的最小值为3.●例16 .配方法的应用求证:多项式64222++-+b a b a 的值总是正数.说明 这是我们做过的一道选择题改编而来.证明: 64222++-+b a b a()()()()121144122222+++-=+++++-=b a b b a a (○小○说○明:这里完成了配方)∵()()02,0122≥+≥-b a ∴()()112122≥+++-b a ∴多项式64222++-+b a b a 的值总是正数.●例17.若()222963n mn m n km +-=+,则k 的值为________. 分析 利用完全平方和公式把等式的左边展开,再根据两个多项式相等的结论即可解决本问题.本题属于易错题.解: ()222963n mn m n km +-=+ 222229696n mn m n kmn m k +-=++∴1,12±==k k ,但1=k 不符合题意,舍去,所以1-=k .●例18 完全平方公式的结论的应用已知0142=+-m m ,求221m m +的值. 分析 利用结论:()ab b a b a 2222-+=+解: 0142=+-m m41414122=+=+=+mm mm m m m mm ∴221mm +14242122=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m m●例19 完全平方公式用于分解因式分解因式:1242--x x .解:原式16442-+-=x x()()()()()()624242424442222-+=--+-=--=-+-=x x x x x x x 说明:当然,这里还用到了配方法和其它的公式.●例20.已知ab b a b a 412222=+++,求22b a +的值. 解: ab b a b a 412222=+++()()()()01021204122222222=-+-=+-++-=-+++b a ab bab a ab ab ab b a ab∴⎩⎨⎧=-=-001b a ab ,得到122==b a ∴222=+b a .例21.将代数式262++x x 化为()q p x ++2的形式. 解: 262++x x()()737962996222-+=-++=+-++=x x x x x这里,7,3-==q p .。
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除1 单项式除以单项式

1 2
原式=10 =- .
25 5
1
25
.
3、计算:
28(x+y)4(x-2y)5÷[-7(x+y)3(x-2y)4]
解:28(x+y)4(x-2y)5÷[-7(x+y)3(x-2y)4]
=[28÷(-7)](x+y)4-3(x-2y)5-4
=-4(x+y)(x-2y)
第12章 整式的乘除
12.4 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式
1.理解和掌握单项式除以单项式的运算法则,运用运算法则熟练、
准确地进行计算;
2.通过总结法则,培养概括能力;训练综合解题能力和计算能力.
温故知新
1.用字母表示幂的运算性质:
(1)a a a
m
n
m n
n n
a
(3)(ab) b
解得:n=3,m=2.
故选:C
9.计算a10b÷a2b的结果是
【详解】解:a10b÷a2b=a10-2=a8,
故答案为:a8.
.
10.湖北省科技馆位于武汉市光谷,其中“数理世界”展厅
的WFI的密码被设计成如图数学问题.小东在参观时认真思
索,输入密码后顺利地连接到网络,则他输入的密码
是
.
【详解】∵[x19y8z8]=1988,
=-4x2+4xy+8y2
4.计算:
(1)-21a2b3÷7a2b
=-3b2
1 4 4 1 3 2
(3) 2 a x 6 a x
=3ax 2
(2)7a5b2c3÷(-3a3b)
7
= a2bc3
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除2 单项式与多项式相乘
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C.10a2-5a2b
D.-10a3+5a2b
【详解】解:5a·(2a2-ab)=10a3-5a2b,
故选:B.
【点睛】此题考查了单项式乘以多项式的知识,牢记法则是解答本题
的关键,属于基础题,比较简单.
练一练
1.某班墙上的“学习园地”是一个长方形,它的长为3a,宽为2a+b,
注意:单项式与多项式相乘,在没有合并同类项前,其积仍是多项式,项数与
原多项式的项数相同.积的每一项的符号由原多项式各项符号和单项式的符号
来决定.
注意运用去括号法则,不要漏乘项.
则这个长方形“学习园地”的面积为
.
【详解】解:根据题意得:这个长方形“学习园地”的面积为
3a(2a+b)=6a2+3ab
故答案为:6a2+3ab
2.先化简,再求值:x2(x+3)-x(x2+2x-1),其中x2+x=2.
【详解】解:x2(x+3)-x(x2+2x-1)
=x3+3x2-x3-2x2+x
得的积相加.
p
m
a
p
b
c
注意 (1)依据是乘法分配律;
(2)积的项数与多项式的项数相同.
① 不能漏乘:即单项式要乘遍多项式的
每一项;
② 去括号时注意符号的确定.
单项式与多项式相乘,将单项式分别乘以多项式的每
一项,再将所得的积相加.
典例精析
【例1】化简5a·(2a2-ab),结果正确的是(
)
A.-10a3-5ab
故选:D.
3.已知m2-m-1=0,则m3-m2-m+2025的值是( )
华师大版八年级数学上册第12章 整式的乘除 整合【新版】

专训一:整体思想在整式乘除运算中的应用名师点金:解决某些数学问题时,把一组数或一个式子看作一个整体进行处理,不仅可以简化解题过程,而且还能拓宽思路,培养创新意识,体现了数学中的一种重要思想——整体思想.这一思想在整式的乘法运算中体现明显,在解题中应用较多,要引起重视.幂的运算中的整体思想1.已知2x +5y -3=0,求4x ·32y 的值.乘法公式运算中的整体思想类型1 化繁为简整体代入2.已知a =38x -20,b =38x -18,c =38x -16,求式子a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc 的值.类型2 变形后整体代入3.已知x +y =4,xy =1,求式子(x 2+1)(y 2+1)的值.4.已知a -b =b -c =35,a 2+b 2+c 2=1,求ab +bc +ca 的值.5.已知a2+a-1=0,求a3+2a2+2 016的值.6.已知(2 016-a)(2 014-a)=2 015,求(2 016-a)2+(2 014-a)2的值.多项式乘法运算中的整体思想类型1大数中的换元7.若M=123 456 789×123 456 786,N=123 456 788×123 456 787,试比较M与N的大小.类型2多项式中的换元8.计算:(a1+a2+…+a n-1)(a2+a3+…+a n-1+a n)-(a2+a3+…+a n-1)(a1+a2+…+a n)(n≥3,且n为正整数).专训二:因式分解的七种常见用途名师点金:因式分解是整式恒等变形中的一种重要变形,它与整式的乘法是两个互逆的过程,是代数恒等变形的重要手段,在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用.用于简便计算1.计算:2 0162-4 034×2 016+2 0172.2.计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫1-122⎝ ⎛⎭⎪⎫1-132⎝ ⎛⎭⎪⎫1-142·…·(1-1102)·(1-1112).用于化简求值3.已知2x -3=0,求式子x(x 2-x)+x 2(5-x)-9的值.用于判断整除4.随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数,把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数,并用较大的两位数减去较小的两位数,所得的差一定能被9整除吗?为什么?用于判断三角形的形状5.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,试判断△ABC的形状.用于比较大小6.已知A=a+2,B=a2+a-7,其中a>2,比较A与B的大小.用于解方程(组)7.已知大正方形的周长比小正方形的周长大96 cm,大正方形的面积比小正方形的面积大960 cm2,请你分别求出这两个正方形的边长.用于探究规律8.观察下列各式:12+(1×2)2+22=9=32,22+(2×3)2+32=49=72,32+(3×4)2+42=169=132,….你发现了什么规律?请用含有n(n为正整数)的等式表示出来,并说明理由.专训三:整式的乘除中的几种热门考点名师点金:本章的主要内容有幂的运算,整式的乘除法,乘法公式,以及利用提公因式法和公式法分解因式等,在考试中,常常与数的运算、式子的化简求值、几何等知识综合在一起考查.中考中一般以基础题为主.幂的运算1.(2015·临沂)下列计算正确的是()A.a2+a2=2a4B.(-a2b)3=-a6b3C.a2·a3=a6D.a8÷a2=a42.计算:(1)(-a2b)2=________;(2)42 016×(-0.25)2 017=________.3.已知:3x+5y=8,求8x·32y的值.整式的乘除运算4.下列计算结果是x2-6x+5的是()A.(x-2)(x-3) B.(x-6)(x+1)C.(x-1)(x-5) D.(x+6)(x-1)5.若(-2x2)(3x2-ax-6)-3x3+x2的结果中不含x的三次项,则a=________.6.小明在进行两个多项式的乘法运算时,不小心把乘(x-2y)错抄成除以(x -2y),结果得到3x,则第一个多项式是什么?正确的结果应该是什么?7.先化简,再求值:2(2x-1)(2x+1)-5x(-x+3y)+4x(-4x-52y),其中x=-1,y=2.乘法公式的运用8.下列计算正确的是()A.(-x-y)(x+y)=x2-y2B.(x-y)2=x2-y2C.(x+3y)(x-3y)=x2-3y2D.(-x+y)2=x2-2xy+y29.运用乘法公式计算:(1)(m-2n+3)(m+2n-3);(2)(a-3b+2)2.10.(2014·绍兴)先化简,再求值:a(a -3b)+(a +b)2-a(a -b),其中a =1,b =-12.11.已知x +y =3,xy =-7,求下列各式的值:(1)x 2+y 2; (2)x 2-xy +y 2; (3)(x -y)2.利用提公因式法和公式法分解因式12.将下列各式分解因式:(1)2a 3b 2c +4ab 3c -abc ;(2)x 2+4x +4;(3)(2a +b)(2a -b)+b(4a +2b);(4)x2(x-y)+(y-x);(5)3ax2-6axy+3ay2.整式乘除的应用13.已知(x+y)2=5,(x-y)2=3,求3xy-1的值.14.已知n是整数,试说明(2n+1)2-1能被8整除.(第15题)15.(2014·青海)如图,长和宽分别为a ,b 的长方形,它的周长为15,面积为10,则a 2b +ab 2的值为________.16.△ABC 的三边长分别是a ,b ,c ,且a +2ab =c +2bc ,请判断△ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形?并说明理由.17.一天,小明在纸上写了一个算式:4x 2+8x +11,并对小刚说:“无论x 取何值,这个式子的值都是正值,不信你试一试!”小刚动笔演算许多次,结果正如小明所说.小刚很困惑,你能运用所学的知识说明一下其中的道理吗?数学思想方法的应用a .转化思想18.若2x =3,4y =5,则2x -2y 的值是( )A .35B .-2C .355D .65b .整体思想19.若m +n =3,则2m 2+4mn +2n 2-6的值为( )A .12B .6C .3D .0c .换元思想20.计算:2 0153-2 014×2 015×2 016.答案专训一1.解:4x ·32y =(22)x ·(25)y =22x ·25y =22x +5y .因为2x +5y -3=0,所以2x +5y =3,所以原式=23=8.点拨:本题运用了整体思想和转化思想.2.解:由a =38x -20,b =38x -18,c =38x -16,可得a -b =-2,b -c =-2,c -a =4.从而a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc =12[(a -b)2+(b -c)2+(c -a)2]=12×[(-2)2+(-2)2+42]=12×24=12.3.解:(x 2+1)(y 2+1)=x 2y 2+x 2+y 2+1=(xy)2+(x +y)2-2xy +1.把x +y =4,xy =1整体代入,原式=12+42-2×1+1=16.4.解:由a -b =b -c =35,可以得到a -c =65.由(a -b)2+(b -c)2+(a -c)2=2(a 2+b 2+c 2)-2(ab +bc +ca),得到ab +bc +ca =(a 2+b 2+c 2)-12[(a -b)2+(b-c)2+(a -c)2].将a 2+b 2+c 2,a -b ,b -c 及a -c 的值整体代入,可得ab +bc+ca =1-12×[(35)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫352+⎝ ⎛⎭⎪⎫652]=1-12×5425=-225. 5.解:因为a 2+a -1=0①,所以将等式两边都乘a ,可得a 3+a 2-a =0②.将①②相加,得a 3+2a 2-1=0,即a 3+2a 2=1.所以a 3+2a 2+2 016=1+2 016=2 017.6.解:(2 016-a)2+(2 014-a)2=[(2 016-a)-(2 014-a)]2+2(2 016-a)(2 014-a)=22+2×2 015=4+4 030=4 034.点拨:本题运用乘法公式的变形x 2+y 2=(x -y)2+2xy ,结合整体思想求解,使计算简便.7.解:设123 456 788=a ,则123 456 789=a +1,123 456 786=a -2,123 456 787=a -1.从而M =(a +1)(a -2)=a 2-a -2,N =a(a -1)=a 2-a.所以M -N =(a 2-a -2)-(a 2-a)=-2<0,所以M <N.8.解:设a 2+a 3+…+a n -1=M ,则原式=(a 1+M)(M +a n )-M(a 1+M +a n )=a 1M +a 1a n +M 2+a n M -a 1M -M 2-a n M =a 1a n .点拨:本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的.这一类带“…”的题中,往往蕴藏着重要的技巧,而发现技巧的关键是观察.因此,在解决这类问题时,不要忙于解答,而要冷静观察,寻找解决问题的突破口.比如此题,在观察时能发现a 2+a 3+…+a n -1这个式子在每一个因式中都存在.因此,可以考虑将这个式子作为一个整体,设为M ,问题就简化了,体现了整体思想的运用.专训二1.解:2 0162-4 034×2 016+2 0172=2 0162-2×2 016×2 017+2 0172=(2 016-2 017)2=1.2.解:原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12(1+13)⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13(1+14)⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14·…·(1+110)(1-110)(1+111)(1-111)=32×12×43×23×54×34×…×1110×910×1211×1011=12×1211=611.3.解:原式=x 3-x 2+5x 2-x 3-9=4x 2-9=(2x +3)(2x -3).当2x -3=0时,(2x +3)(2x -3)=0.4.解:所得的差一定能被9整除.理由:设该两位数个位上的数字是b ,十位上的数字是a ,且a ≠b ,则这个两位数是10a +b.将十位数字与个位数字对调后的数是10b +a ,则这两个两位数中,较大的数减较小的数的差是|10a +b -(10b +a)|=9|a -b|,所以所得的差一定能被9整除.5.解:∵a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =0,∴2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac =0.即a 2-2ab +b 2+b 2-2bc +c 2+a 2-2ac +c 2=0.∴(a -b)2+(b -c)2+(a -c)2=0.又∵(a -b)2≥0,(b -c)2≥0,(a -c)2≥0,∴a -b =0,b -c =0,a -c =0,即a =b =c ,∴△ABC 为等边三角形.6.解:B -A =a 2+a -7-a -2=a 2-9=(a +3)(a -3).因为a >2,所以a +3>0,从而当2<a <3时,a -3<0,所以A >B ;当a =3时,a -3=0,所以A =B ;当a >3时,a -3>0,所以A <B.7.解:设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ,y cm ,根据题意,得⎩⎨⎧4x -4y =96,①x 2-y 2=960.②由①得x -y =24,③由②得(x +y)(x -y)=960,④把③代入④得x +y =40.⑤由③⑤得方程组⎩⎨⎧x -y =24,x +y =40,解得⎩⎨⎧x =32,y =8.答:大正方形的边长为32 cm ,小正方形的边长为8 cm .点拨:根据目前我们所学的知识,还无法解方程组⎩⎨⎧4x -4y =96,x 2-y 2=960,但是我们可以利用因式分解,把这个问题转化为解关于x ,y 的二元一次方程组的问题.8.解:规律:n 2+[n(n +1)]2+(n +1)2=(n 2+n +1)2.理由如下:n 2+[n(n +1)]2+(n +1)2=[n(n +1)]2+2n 2+2n +1=[n(n +1)]2+2n(n +1)+1=[n(n +1)+1]2=(n 2+n +1)2.专训三1.B2.(1)a 4b 2 (2)-0.253.解:8x ·32y =23x ·25y =23x +5y =28=256.4.C 5.326.解:第一个多项式是3x(x -2y)=3x 2-6xy.正确的结果是(3x 2-6xy)(x -2y)=3x 3-12x 2y +12xy 2.7.解:原式=2(4x 2-1)+5x 2-15xy -16x 2-10xy=8x 2-2+5x 2-15xy -16x 2-10xy=-3x 2-25xy -2.当x =-1,y =2时,原式=-3×(-1)2-25×(-1)×2-2=45.8.D9.解:(1)原式=[m -(2n -3)][m +(2n -3)]=m 2-(2n -3)2=m 2-(4n 2-12n +9)=m 2-4n 2+12n -9.(2)原式=[(a -3b)+2]2=(a -3b)2+4(a -3b)+4=a 2-6ab +9b 2+4a -12b +4.10.解:原式=a 2-3ab +a 2+2ab +b 2-a 2+ab =a 2+b 2.当a=1,b=-12时,原式=12+⎝⎛⎭⎪⎫-122=54.11.解:(1)x2+y2=x2+2xy+y2-2xy=(x+y)2-2xy=32-2×(-7)=23.(2)x2-xy+y2=x2+2xy+y2-3xy=(x+y)2-3xy=32-3×(-7)=30.(3)(x-y)2=x2-2xy+y2=x2+2xy+y2-4xy=(x+y)2-4xy=32-4×(-7)=37.12.解:(1)原式=abc(2a2b+4b2-1).(2)原式=(x+2)2.(3)原式=(2a+b)(2a-b)+2b(2a+b)=(2a+b)(2a-b+2b)=(2a+b)2.(4)原式=x2(x-y)-(x-y)=(x-y)(x2-1)=(x-y)(x+1)(x-1).(5)原式=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2.13.解:由(x+y)2=5,(x-y)2=3,可得x2+2xy+y2=5①,x2-2xy+y2=3②.①-②得4xy=2,∴xy=1 2.∴3xy-1=3×12-1=12.14.解:(2n+1)2-1=[(2n+1)+1][(2n+1)-1]=2(n+1)·2n=4n·(n+1).因为n是整数,所以n与n+1是两个连续的整数,而两个连续的整数中必有一个偶数,所以n·(n+1)能被2整除,所以4n·(n+1)能被8整除.故(2n+1)2-1能被8整除.点拨:要说明(2n+1)2-1能被8整除,只要将此式因式分解,说明各因式的积能被8整除即可.15.7516.解:△ABC是等腰三角形.理由如下:∵a+2ab=c+2bc,∴(a-c)+2b(a-c)=0,∴(a-c)(1+2b)=0.∵1+2b>0,∴a=c.∴△ABC为等腰三角形.17.解:∵4x2+8x+11=4(x2+2x+1)+7=4(x+1)2+7,且(x+1)2≥0,∴4(x +1)2+7≥7.即无论x取何值,4x2+8x+11的值都是正值.18.A19.A20.解:设2 015=a,则原式=a3-(a-1)·a·(a+1) =a3-a(a2-1)=a3-a3+a=a=2 015.。
第12章整式的乘除复习2
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专题三:利用整式乘法进行说理
试说明:代数式 (2x 3)(6x 2) 6x(2x 13) 8(7x 2)
的值与x的取值无关。
分析:代数式的值与x的取值无关,即不论x取何值, 代数式的取值是不变的,因此,原代数式化简后的 结果不含x。
变式:若代数式 (2x 3)(6x 2) 6x(2x 13) 8(kx 2)
3 (3)(a2 3)(a 2) a(a2 2a 2)
(4)(3 x6 y2 6 x3 y5 0.9x2 y3) (0.6xy)
4
5
专题二:利用整式乘积中项的特征求参数的值
若 (x 1)(x2 mx n) x3 6x2 11x 6 ,
求m和n的值。
解 : (x 1)(x2 mx n) x3 6x2 11x 6 x3 mx2 nx x2 mx n x3 6x2 11x 6 x3 (m 1)x2 (n m)x n x3 6x2 11x 6 m 1 6,n m 11,n 6 m 5, n 6
的值与x的取值无关,求k的值。
分析:若代数式的值与x的取值无关,则原代数式化 简后不含x的项,也就是说含x的项系数为0。
专题四:整式运算的实际应用
刘明家的住房结构如图,刘明的爸爸打算把卧室以外
的部分都铺上地砖,至少需要多少平方米的地砖?如
果每1m2的地砖的价格是a元,则购买地砖至少需要
多少钱?
y 2y
右边是三项,第一项是首的平方,第二项是首尾乘 积的2倍,第三项是尾的平方. 口诀:首平方,尾平方,首尾积的2倍放中间.
基础练兵
先化简,在求值:
(1)[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=3,y= -1.5
八年级数学上册-第12章 整式的乘除 复习课件-华师版
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3.下列因式分解正确的是( B )
A.a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9) B.x2-x+41=(x-21)2 C.x2-2x+4=(x-2)2 D.4x2-y2=(4x+y)(4x-y) 4.若 M=(a2+1)2-a2,N=(a+1)2(a-1)2,其中 a≠0,则 M,N 的大
14.分解因式: (1)p3(a-1)+p(1-a); 解:p(a-1)(p+1)(p-1)
(2)a2b-16a3-32ab2;
解:-16a(a-3b)2
(3)(2m+n)(2m+n-6)+9;
解:(2m+n-3)2
(4)16x2y2-(x2+4y2)2。
解:-(x+2y)2(x-2y)2
15.已知 a(a-1)-(a2-b)=4,求a2+2 b2-ab 的值。 解:由已知得-a+b=4,∴a-b=-4,原式=12(a-b)2=8
检测练习
一、选择题 1.下列运算正确的是( D ) A.(x-2)2=x2-4 B.x3·x4=x12 C.x6÷x3=x2 D.(x2)3=x6 2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( D ) A.(x-2y)(2y+x) B.(2y-x)(-x-2y) C.(x-2y)(-x-2y) D.(-2y-x)(x+2y)
17.对于任何实数,我们规定符号ab
c 的意义是:a
d
b
cd=ad-bc.按
照这个规定请你计算:当 x2-3x+1=0 时,x3+x 1x-x- 1 2的值.。
解:xx+-12 3xx-1=(x+1)(x-1)-3x(x-2)=x2-1-3x2+6x=-2x2+ 6x-1,∵x2-3x+1=0,∴x2-3x=-1,∴原式=-2(x2-3x)-1=2
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第12章整式的乘除§12.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则:a m·a n·a p·……=a m+n+p+……(m、n、p……均为正整数)文字:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
2、注意事项:(1)a可以是实数,也可以是代数式等。
如:π2·π3·π4=π2+3+4=π9;(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25;(2)3·(2)4=(2)3+4=(2)7;(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8(2)一定要“同底数幂”“相乘”时,才能把指数相加。
(3)如果是二次根式或者整式作为底数时,要添加括号。
二、幂的乘方1、法则:(a m)n=a mn(m、n均为正整数)。
推广:{[(a m)n]p}s=a mn p s文字:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
2、注意事项:(1)a可以是实数,也可以是代数式等。
如:(π2)3=π2×3=π6;[(2)3]4=(2)3×4=(2)12;[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8(2)运用时注意符号的变化。
(3)注意该法则的逆应用,即:a mn= (a m)n,如:a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则:(ab)n=a n b n(n为正整数)。
推广:(acde)n=a n c n d n e n文字:积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘。
2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如:(2π)3=22π2=4π2;(2×3)2=(2)2×(3)2=2×3=6;(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3;[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2(2)运用时注意符号的变化。
(3)注意该法则的逆应用,即:a n b n =(ab)n;如:23×33= (2×3)3=63,(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2四、同底数幂的除法1、法则:a m÷a n=a m-n(m、n均为正整数,m>n,a≠0)文字:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
2、注意事项:(1)a可以是实数,也可以是代数式等。
如:π4÷π3=π4-3=π;(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4;(2)6÷(2)4=(2)6-4=(2)2=2;(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2 (2)注意a≠0这个条件。
(3)注意该法则的逆应用,即:a m-n = a m÷a n;如:a x-y= a x÷a y,(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3§12.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则:单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,多余的字母照搬到最后结果中。
3ab)如:(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-23)]·(a2·a)·(b2·b2)·c=[(-5)×(-4)×(-2=-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则:(乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项,再将所得的积相加。
如:22--+-=x x x(3)(21)=(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=432-+363x x x三、多项式与多项式相乘法则:(1)将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再将所得的积相加。
如:(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb(2)把其中一个多项式看成一个整体(单项式),去乘以另一个多项式的每一项,再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘,最后将所得的积相加。
如:(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb§12.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;名称:平方差公式。
2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如:(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19;(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2;(a+b+π)( a+b -π)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2;(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。
(3)注意公式的来源还是“多项式×多项式”。
二、完全平方公式1、公式:(a±b)2=a2±2a b+b2;名称:完全平方公式。
2、注意事项:(1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。
如:(2+3)2=(2)2+2×2×3+32=2+62+9=11+62;(mn-a) 2=(mn)2-2m n·a+ a2= m2n2-2m n a+ a2;( a+b -π)2=( a+b)2-2( a+b)π+π2= a2+2a b+b2-2πa-πb +π2;(2)注意公式运用时的对位“套用”;(3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式:(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒:利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是:“一看二套三计算”。
§12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则:单项式相除,只要将它们的系数与系数相除,相同字母的幂相除,只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如:-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c=-7ab2c(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3=8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3=[8×(-7)]·x6+1y3+2÷14x4y3=(-56÷14)·x7-4·y5-3=-4x3y25(2a+b)4÷(2a+b)2=(5÷1)(2a+b)4-2=5(2a+bz2=5(4a2+4ab+b2)=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则:(乘法分配律)只要将多项式的每一项分别去除以单项式,再将所得的商相加。
如:(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)=4y-2x◇整式的运算顺序:先乘方(开方),再乘除,最后加减,括号优先。
§12.5 因式分解一、因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。
(分解因式)因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法:把一个多项式的公因式提取出来,使多项式化为两个因式的积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义:多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤:(1)“看”。
观察各项是否有公因式;(2)“隔”。
把每项的公因式“隔离”出来;(3)“提”。
按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来,使多项式化为两个因式的积。
△(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数);(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数);如:8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1);-5 a2+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)(注意:凡给出的多项式的“首项为负”时,要连同“-”号与公因式一并提出来。
)三、公式法:利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法。
1、平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);名称:平方差公式。
△注意事项:(1)a 、b 可以是实数,也可以是代数式等。
如:102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19;4 x 2y 2-a 2=(2xy )2-a 2=(2xy+a )(2xy-a );()()n n n n n n n 8)1212)(1212(121222=+-+-++=--+(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同,中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。
(3)注意公式的结构好形式,运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式:(a ±b )2=a 2±2a b+b 2;名称:完全平方公式。
△注意事项:(1)a 、b 可以是实数,也可以是代数式等。
如:m 2n 2-2m n a+ a 2=(mn )2-2m n ·a+ a 2=(mn-a )2;x 2+4xy+y 2=x 2+2·x ·2y+(2y )2=( x+2 y )2(2)注意公式运用时的对位“套用”;(3)注意公式中“中间的乘积项的符号”。
四、补充分解法:1、公式:x 2+(a+b )x+ab =(x+a )( x+b )。
如:x 2+5x+6= x 2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3);x 2+5x-6=x 2+[6+(-1))]x+6×(-1)=(x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如:2914++=(x+2)( x+7)x x228--=(x+2)( x-4)x x1 2 1 21 7 1 -42 + 7=9 2 + (-4)= -2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是:“一看二套三分解”。
2、遇到因式分解的题目时,其整体的思维顺序是:(1)看首项是否为“一”,若为“一”,就要注意提负号;(2)看各项是否有公因式,若有公因式,应该首先把公因式提取出来再说;(3)没有公因式时,就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项:(1)注意(a-b)与(b-a)的关系是互为相反数;(2)因式分解要彻底,不要只提出公因式就完,还要看剩下的因式是否可以继续分解;(3)现阶段的因式分解的题目,一般都要求在有理数范围内分解,所以不能出现带根号的数;(4)注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解,不要乱用此法。