菱形的判定优秀课件.ppt
合集下载
第2课时菱形的判定课件(共24张PPT)2023-2024学年北师大版八年级数学下册
点 O ，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中
点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD ∥
= CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
1
1
∴HE∥AD且 HE= 2 AD，FG∥BC且 FG = 2 BC，
做成一个平行四边形. 转动木条，这个平行四边形什么
时候变成菱形?
你能证明这个猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是
菱形.
证明
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD
相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
B
∴OA=OC.
又∵ AC⊥BD，
O
D
C
随堂练习
抢答
2.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．
添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(
A．AC⊥BD
C．AC=BD
B．AB=AD
C)
A
D
D．∠ABD=∠CBD
O
分析
由题知四边形ABCD是平行四边形
A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
菱形的判定
边
对角线
几何语言
如：四边相等的
四边形是菱形
如图, ∵ = , = ,
∴ 四边形 是平行四边形.
又 ∵ = ,
∴ 四边形 是菱形.(菱形的定义)
如：对角线互相垂直的
平行四边形是菱形．
如图, ∵ 四边形 是平行四边形,
点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD ∥
= CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
1
1
∴HE∥AD且 HE= 2 AD，FG∥BC且 FG = 2 BC，
做成一个平行四边形. 转动木条，这个平行四边形什么
时候变成菱形?
你能证明这个猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是
菱形.
证明
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD
相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
B
∴OA=OC.
又∵ AC⊥BD，
O
D
C
随堂练习
抢答
2.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．
添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(
A．AC⊥BD
C．AC=BD
B．AB=AD
C)
A
D
D．∠ABD=∠CBD
O
分析
由题知四边形ABCD是平行四边形
A．依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B．依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
菱形的判定
边
对角线
几何语言
如：四边相等的
四边形是菱形
如图, ∵ = , = ,
∴ 四边形 是平行四边形.
又 ∵ = ,
∴ 四边形 是菱形.(菱形的定义)
如：对角线互相垂直的
平行四边形是菱形．
如图, ∵ 四边形 是平行四边形,
18.2.2菱形 菱形的判定课件(共29张PPT) 人教版数学八年级下册
成的四边形的什冬天么，时干啥候还希变望成别的菱呢！形?
当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形．
新知探究
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面我们来进行验证：
小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈
已知：如小图山，在冬在天特▱A别可B爱C，D好中像是，把对济南角放在线一A个小C摇,B篮里D，相交于点O, 它们全安静不动地低声地说：“你们放心吧，这儿准保暖
G
C
和。”真的，济南的人们在冬天是面上含笑的。他们一看
∴∠A=∠B=∠C那=些∠小D山，=心9中0°便觉, 得A有D了=着B落C，，有A了B依=靠C。D他.们由天上
看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了H吧？
F
∵E，F，G，H分这点样幻别的想温不是暖能A，一B今时，天实夜现B里，C山他，草们C也也D许并就不，绿着A起急来，D了因的吧为中？有”这点就样，是慈这善
这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
四点条幻边想不都能相一时等实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
的冬天，干啥还希望别的呢！
两条对角线互相垂 直，并且每一条对
？
角线平分一组对角
新知探究
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一
小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈
也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
我们大家
点幻想不能一时实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
一起来尝试的一冬天下，干吧啥还!希望别的呢！
类比导入
图形 性质定理
当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形．
新知探究
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面我们来进行验证：
小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈
已知：如小图山，在冬在天特▱A别可B爱C，D好中像是，把对济南角放在线一A个小C摇,B篮里D，相交于点O, 它们全安静不动地低声地说：“你们放心吧，这儿准保暖
G
C
和。”真的，济南的人们在冬天是面上含笑的。他们一看
∴∠A=∠B=∠C那=些∠小D山，=心9中0°便觉, 得A有D了=着B落C，，有A了B依=靠C。D他.们由天上
看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了H吧？
F
∵E，F，G，H分这点样幻别的想温不是暖能A，一B今时，天实夜现B里，C山他，草们C也也D许并就不，绿着A起急来，D了因的吧为中？有”这点就样，是慈这善
这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
四点条幻边想不都能相一时等实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
的冬天，干啥还希望别的呢！
两条对角线互相垂 直，并且每一条对
？
角线平分一组对角
新知探究
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一
小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈
也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
我们大家
点幻想不能一时实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
一起来尝试的一冬天下，干吧啥还!希望别的呢！
类比导入
图形 性质定理
菱形的判定公开课课件课件
第19页，幻灯片共25页
4、如图, 在△ABC中, AB=AC, 点M在边BC上, 过
点M分别作AB、AC的平行线, 与AC、AB分别相交
于点D、E. 当点M位于BC的什么位置时, 四边形
AEMD是菱形?请给予证明.
证明：∵EM∥AC,DM∥AB ∴四边形AEMD是平行四边形
若EM=DM,则□AEMD是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
O
证明：平行四边形ABCD中
B
2
E
4
C
AD∥BC
∴∠1=∠2，∠3=∠4
EF垂直平分AC ∴AO=CO,AF=CF,
∴ △AOF≌△COE
∴ AF=CE
又AF∥CE ∴四边形AFCE是平行四边形
∴平行四边形四边形AFCE是菱形
第12页，幻灯片共25页
例1.已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直
求证：四边形CDEF是菱形
A
12
F
E
O
B
C
D
第23页，幻灯片共25页
小结
我学会了什么？
第24页，幻灯片共25页
第25页，幻灯片共25页
∴ □ ABCD是菱形.
组邻边相等的平行四边形是菱形）
第8页，幻灯片共25页
（一
思考与探索
你能用直尺和圆规作一个菱形吗？请作图 并说明理由。
第9页，幻灯片共25页
归纳
A
B
平行四边形 邻边相等
D
C AD=DC
A 平行四边形
B对角线互相垂直
DA
C
AC⊥BD
四边形 B 四边相等
D
AD=DC=CB=BA
AC
四边形 B对角线互相垂直平分
4、如图, 在△ABC中, AB=AC, 点M在边BC上, 过
点M分别作AB、AC的平行线, 与AC、AB分别相交
于点D、E. 当点M位于BC的什么位置时, 四边形
AEMD是菱形?请给予证明.
证明：∵EM∥AC,DM∥AB ∴四边形AEMD是平行四边形
若EM=DM,则□AEMD是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
O
证明：平行四边形ABCD中
B
2
E
4
C
AD∥BC
∴∠1=∠2，∠3=∠4
EF垂直平分AC ∴AO=CO,AF=CF,
∴ △AOF≌△COE
∴ AF=CE
又AF∥CE ∴四边形AFCE是平行四边形
∴平行四边形四边形AFCE是菱形
第12页，幻灯片共25页
例1.已知：平行四边形ABCD的对角线AC的垂直
求证：四边形CDEF是菱形
A
12
F
E
O
B
C
D
第23页，幻灯片共25页
小结
我学会了什么？
第24页，幻灯片共25页
第25页，幻灯片共25页
∴ □ ABCD是菱形.
组邻边相等的平行四边形是菱形）
第8页，幻灯片共25页
（一
思考与探索
你能用直尺和圆规作一个菱形吗？请作图 并说明理由。
第9页，幻灯片共25页
归纳
A
B
平行四边形 邻边相等
D
C AD=DC
A 平行四边形
B对角线互相垂直
DA
C
AC⊥BD
四边形 B 四边相等
D
AD=DC=CB=BA
AC
四边形 B对角线互相垂直平分
八年级人教版菱形的判定市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
想一想
• 假如一种四边形是一种平行四
边形，则只要再有什么条件就
能够鉴定它是一种菱形？根据
什么？
A
D
根据定义得：
有一组邻边相等旳平行四边形叫做菱形.
B
C
在 ABCD中, AB AD
ABCD是菱形.
还有什么措施吗?
自学指导
• 自学内容：99页 • 自课时间：4分钟 • 自学要求：
1、矩形还有哪些鉴定措施？怎样证明？ 2 、例3
A
∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD;
B
O
D
∴BA=BC
(线段垂直平分线上旳点到线段两 个端点旳距离相等)
C
∴ ABCD是菱形 (有一组邻边相等旳平行四边形叫做菱形).
数学语言 ∵四边形ABCD是平行四边形; AC ⊥ BD;
∴ □ ABCD是菱形
画一画
先画两条等长旳线段AB、AD，然后分别以B、 D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧旳交点C， 连接BC、CD，就得到了一种四边形，猜一猜， 这是什么四边形？
分析： 四边形AFCE是菱形
AE=EC=CF=FA
A
ED
1
O
B
23
F
C
AE=EC AF=CF
AE=AF
EF 垂直平分AC
∠1= ∠2
∠1= ∠3
∠2= ∠3
ห้องสมุดไป่ตู้AE∥FC
AF=CF EF ⊥AC
四边形ABCD 是平行四边形
C
F
G
A
B
D
E
已知，如图， ∠ ABC中， ∠ ACB= 900,BF平分
∠ ABC，CD垂直于AB于D，和BF交于点G ，
菱形性质与判定课件ppt
面积计算
菱形面积的计算公式为
面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。由于菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以使用此公式来计算面积。
另一种计算菱形面积的方法是
面积 = 底 × 高。在这里，底是菱形的一条边，高是从这条边到对角顶点的垂直距离。
周长计算
01
菱形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。由于菱形的四条边都相等， 因此可以使用此公式来计算周长。
建筑学中的应用
建筑设计
菱形结构在建筑设计中常被用作装饰元素，如菱形窗格、菱形图案的墙面等，增加建筑物的美感和独特性。
空间划分
菱形地砖、菱形玻璃等可以用于室内空间划分，创造出独特视觉效果，同时起到引导人流、划分功能区域的作用。
工程学中的应用
结构工程
菱形结构具有较好的稳定性和承重能力，在桥梁、道路、隧道等工程建设中，菱形结构 常被用于增强结构的稳定性和承载能力。
邻边互相垂直且相等判定
邻边互相垂直
菱形的任意一组邻边互相垂直，因此 可以通过测量任意一组邻边的夹角是 否为90度来判断一个四边形是否为菱 形。
邻边长度相等
除了互相垂直外，菱形的任意一组邻 边的长度还相等。这也是菱形的一个 基本性质。
03
菱形与其他四边形的比较
与矩形的关系
01
02
03
边的性质
菱形的对边相等，与矩形 相同；但菱形的邻边也相 等，这是矩形不具备的性 质。
角度关系
两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补，即∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°。
对角线性质
对角线互相垂直： AC⊥BD。
对角线长度关系：对 角线长度不一定相等 ，但满足 AC²+BD²=4AB²。
1.1.2菱形的判定 课件(共20张PPT)
教师讲评
③四边相等的四边形是菱形.
几何语言:如图，∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形.
注意点：①②两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条
件来判定菱形.③是在四边形的基础上加上四条边相等来判定菱
形.
典例精讲
【题型一】菱形的判定简单应用
例1.下列条件中能判断四边形是菱形的是（ ）
如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是一个漂
亮的菱形.你知道怎样判断它是一个菱形吗？
为了迎接第33届牡丹花会，公园里的园艺师建造了一个如图所示
的平行四边形花坛ABCD，经测量花坛的边长AB=20米，沿着花
坛的两条对角线修建的两条小路AC和BD交于点O，AC=24米，
BD=32米，小亮说这是个菱形花坛。他的说法正确吗？为什么？
列结论一定成立的是( )
A. AD=CD
B.四边形 ABCD面积不变
C. AC=BD
D.四边形 ABCD周长不变
典例精讲 【题型二】利用菱形的性质与判定求长度、角度或面积
例4:如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,点E是AB边
上的中点，连接OE,OE=2.5,AC=8,BD=6.有下列结论：①△ABD是
弧，得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形，如图.
(1)猜一猜，这是什么四边形?
(菱形)
(2)根据画图，你还有其他方法能判定此四边形的形状吗?
小组合作试着进行证明. (四边相等的四边形是菱形)
证明：因为AB=AD,AB=BC,所以AD=BC . 又因为
AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形.
∴OA=OC= AC=3,OD=OB= BD=4.
菱形的性质与判定ppt课件
四边形
_______.
【探究提升】 取两张短边长度相等的平行四边形纸条和
< , ≤ ,其中 = ,∠ = ∠,将它们按图2放
置,落在边上,,与边分别交于点,.求证：四边形
是菱形.
证明：∵ 四边形纸条和是
折叠,使得落在边上,折痕为,
展平纸片.如图2，再次折叠该三角形
纸片,使点与点重合,折痕为,再
次展平后连接，.求证:四边形是菱形.
证明:由第一次折叠，得为∠
的平分线.∴ ∠ = ∠.
由第二次折叠，得∠ = ∠，
= , = .
= = = = ， = .若∠ = ∘ ，则
∠的度数为( B )
A.∘
B.∘
C.∘
D.∘
第10题图
11.
如图，将△ 沿着方
向平移得到△ ，只需添加一个条件即可证
明四边形是菱形，这个条件可以是
= （答案不唯一）
∴ 四边形为菱形.
第7题图
（2）求的长．
解：∵ 四边形为菱形，
∴ = = ， = ， ⊥ .
在 △ 中， = − = ，
∴ = = ．
第7题图
8.张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对
4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是
( C )
A.
B.
C.
D.
9.(2023洛阳期中改编)如图1，四边形
是菱形，在直线上找两点，，
使四边形是菱形，则甲、乙两个方
案( C )
A.甲对，乙错
B.乙对，甲错
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
10.如图，四边形内有一点，
_______.
【探究提升】 取两张短边长度相等的平行四边形纸条和
< , ≤ ,其中 = ,∠ = ∠,将它们按图2放
置,落在边上,,与边分别交于点,.求证：四边形
是菱形.
证明：∵ 四边形纸条和是
折叠,使得落在边上,折痕为,
展平纸片.如图2，再次折叠该三角形
纸片,使点与点重合,折痕为,再
次展平后连接，.求证:四边形是菱形.
证明:由第一次折叠，得为∠
的平分线.∴ ∠ = ∠.
由第二次折叠，得∠ = ∠，
= , = .
= = = = ， = .若∠ = ∘ ，则
∠的度数为( B )
A.∘
B.∘
C.∘
D.∘
第10题图
11.
如图，将△ 沿着方
向平移得到△ ，只需添加一个条件即可证
明四边形是菱形，这个条件可以是
= （答案不唯一）
∴ 四边形为菱形.
第7题图
（2）求的长．
解：∵ 四边形为菱形，
∴ = = ， = ， ⊥ .
在 △ 中， = − = ，
∴ = = ．
第7题图
8.张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对
4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是
( C )
A.
B.
C.
D.
9.(2023洛阳期中改编)如图1，四边形
是菱形，在直线上找两点，，
使四边形是菱形，则甲、乙两个方
案( C )
A.甲对，乙错
B.乙对，甲错
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
10.如图，四边形内有一点，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=4 OB=OD=3 A 又∵AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴∠AOB=90° ∴AC⊥BD 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形. D O B C
归纳
菱形常用的判定方法：
1、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：∵DE∥AC DF∥AB
E
3
12
∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE∥AC B ∴∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
F D C
探究一
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以 B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点 C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一 猜，这是什么四边形？说出你的理由
A D
在 ABCD中, AB AD ABCD是菱形.
B
C
判定方法1：
一组邻边相等的平行四边形是菱形
A D
数学语言：
B
O
C
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
还有其他么方法吗?
练习：已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． A 求证：四边形AEDF是菱形．
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.） 3、有四条边相等的四边形是菱形.Biblioteka 小结：菱形的判定方法：
四条边相等
四边形 菱形
平行四边形
1.做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形． 对 (2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形 是菱形． 对 (3)邻角相等的四边形是菱形．错 (4)有一组邻边相等的四边形是菱形．错 (5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形 是菱形． 对 错 (6)对角线互相垂直的四边形是菱形． (7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 对 (8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 对
1 1 EF GH BD，FG EH AC 2 2
H
G
C
∴EF=FG=GH=HE ∴四边形EFGH是菱形
探究二
菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形 吗？
过点O画两条互相垂直的线段AC 和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB， BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如 图2-55.
菱形的判定方法3：
A D AC⊥BD B C B C A D
对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
□ABCD
菱形ABCD
AC⊥BD
□ABCD
四边形ABCD是菱形
练习：如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交 于点O，AB=5，AC=8，DB=6 求证:四边形ABCD是菱形.
图2-55
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？
如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线 AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角 线互相垂直，上述问题抽象出来就是： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 我们来进行证明.
由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD 互相平分，因此它是平行四边形.
2、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱 （2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
矩 形； 矩
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是
D
形；
C
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
O A B
3、选择：
（1）.下列命题中正确的是（C ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
A D B 四边形ABCD C AB=BC=CD=DA A
D
B
C
菱形ABCD
数学语言
∵在四边形ABCD中 AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
练习：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点， 得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱 形。 E
A D
证明：连接AC、BD F ∵四边形ABCD是矩形 B ∴AC=BD ∵点E、F、G、H为各边中点
互相平分 1、对角线_____________ 的四边形是平行四边形。
相等 2、对角线_____________ 的平行四边形是矩形。 互相垂直 3、对角线_____________ 的平行四边形是菱形。 相等且互相平分 4、对角线__________________ 的四边形是矩形。
互相垂直平分 5、对角线___________________ 的四边形是菱形。
又由于DB是线段AC的垂直平分线， 因此，DA=DC. 从而平行四边形ABCD是菱形.
图2-55
命题：对角线互相垂直的平行四边 形是菱形.
已知：在
求证： ABCD 中，AC ⊥ BD
ABCD 是菱形
A B O C D
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴ ABCD是菱形
菱形的判定
想一想： 1.菱形、矩形的定义？
2.它们分别比平行四边形多了哪些性质？ 3.怎样判定一个四边形是矩形？
矩形与菱形
矩形 定义
有一角是直角的平行 四边形叫做矩形.
菱形
有一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形.
四条边都相等
平行四边形的性质 性 边 质 角 对角线 四个角都是直角 相等
有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形
A B C O D
猜想：四条边相等的四边形是菱形。
下面我们来证明这个结论.
如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. ∵ AD = BC， AB = DC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又 AB = AD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
图2-53
菱形的判定方法2：
四条边都相等的四边形是菱形.
互相垂直且平分每一组对角
????
判 定
学习目标：
• 1、回顾菱形的定义及性质
• 2、探索并掌握菱形的判定方法 • 3、能利用菱形的判定方法解决实际问题
想一想
我们在学习平行四边形的判定和矩形的 判定时，我们首先想到的第一种方法是什 么？那么类比着它们，菱形的第一种判定 方法是什么？ 根据定义得： 一组邻边相等的平行四边形是菱形.
归纳
菱形常用的判定方法：
1、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：∵DE∥AC DF∥AB
E
3
12
∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE∥AC B ∴∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
F D C
探究一
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以 B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点 C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一 猜，这是什么四边形？说出你的理由
A D
在 ABCD中, AB AD ABCD是菱形.
B
C
判定方法1：
一组邻边相等的平行四边形是菱形
A D
数学语言：
B
O
C
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
还有其他么方法吗?
练习：已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． A 求证：四边形AEDF是菱形．
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.） 3、有四条边相等的四边形是菱形.Biblioteka 小结：菱形的判定方法：
四条边相等
四边形 菱形
平行四边形
1.做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形． 对 (2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形 是菱形． 对 (3)邻角相等的四边形是菱形．错 (4)有一组邻边相等的四边形是菱形．错 (5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形 是菱形． 对 错 (6)对角线互相垂直的四边形是菱形． (7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 对 (8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 对
1 1 EF GH BD，FG EH AC 2 2
H
G
C
∴EF=FG=GH=HE ∴四边形EFGH是菱形
探究二
菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形 吗？
过点O画两条互相垂直的线段AC 和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB， BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如 图2-55.
菱形的判定方法3：
A D AC⊥BD B C B C A D
对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
□ABCD
菱形ABCD
AC⊥BD
□ABCD
四边形ABCD是菱形
练习：如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交 于点O，AB=5，AC=8，DB=6 求证:四边形ABCD是菱形.
图2-55
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？
如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线 AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角 线互相垂直，上述问题抽象出来就是： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 我们来进行证明.
由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD 互相平分，因此它是平行四边形.
2、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱 （2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
矩 形； 矩
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是
D
形；
C
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
O A B
3、选择：
（1）.下列命题中正确的是（C ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
A D B 四边形ABCD C AB=BC=CD=DA A
D
B
C
菱形ABCD
数学语言
∵在四边形ABCD中 AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
练习：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点， 得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱 形。 E
A D
证明：连接AC、BD F ∵四边形ABCD是矩形 B ∴AC=BD ∵点E、F、G、H为各边中点
互相平分 1、对角线_____________ 的四边形是平行四边形。
相等 2、对角线_____________ 的平行四边形是矩形。 互相垂直 3、对角线_____________ 的平行四边形是菱形。 相等且互相平分 4、对角线__________________ 的四边形是矩形。
互相垂直平分 5、对角线___________________ 的四边形是菱形。
又由于DB是线段AC的垂直平分线， 因此，DA=DC. 从而平行四边形ABCD是菱形.
图2-55
命题：对角线互相垂直的平行四边 形是菱形.
已知：在
求证： ABCD 中，AC ⊥ BD
ABCD 是菱形
A B O C D
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴ ABCD是菱形
菱形的判定
想一想： 1.菱形、矩形的定义？
2.它们分别比平行四边形多了哪些性质？ 3.怎样判定一个四边形是矩形？
矩形与菱形
矩形 定义
有一角是直角的平行 四边形叫做矩形.
菱形
有一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形.
四条边都相等
平行四边形的性质 性 边 质 角 对角线 四个角都是直角 相等
有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形
A B C O D
猜想：四条边相等的四边形是菱形。
下面我们来证明这个结论.
如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. ∵ AD = BC， AB = DC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又 AB = AD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
图2-53
菱形的判定方法2：
四条边都相等的四边形是菱形.
互相垂直且平分每一组对角
????
判 定
学习目标：
• 1、回顾菱形的定义及性质
• 2、探索并掌握菱形的判定方法 • 3、能利用菱形的判定方法解决实际问题
想一想
我们在学习平行四边形的判定和矩形的 判定时，我们首先想到的第一种方法是什 么？那么类比着它们，菱形的第一种判定 方法是什么？ 根据定义得： 一组邻边相等的平行四边形是菱形.