数形结合

观察图表中信息，提出问题，并解答.
总数 份数 63 7
学习方法提示：①提问；②解答；③填表；④交流； 学生独立思考，静心思考，再交流. 问题：蓝色部分表示多少？解法；63÷7×5； 问题：空白部分表示多少？解法：63÷7×12； 问题：涂色部分表示多少？解法：63÷7×12； 问题：整个图形表示多少？解法：63÷7×24； 师引导学生发现共同规律：在解决这些问题中，你们发现了什么规律？ 生：都是先求出一个小正方形表示多少？ 老师也来提一个问题：表示36的图形可以怎样画？ 学生解答，先求出有几格？36÷（63÷7）＝36÷9＝4 （有4格组成，但图形的形状可以不同，有5种不同情况） 师：你也能提出这样的问题？ 学生：表示45的图形怎么画？ 学生解答：45÷（63÷7）＝45÷9＝5.应该画5格. 再比较：有没有共同之处？不同的是什么？ 生交流：还是先求一个正方形是多少，只不过本来根据数量求总数，而后者是 根据总数求份数.
数形结合实现“算理直观与算法抽象”的有效融合
■数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形： ★一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些 属性，可称之为“以数解形”. ★二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系， 可称之为 “以形助数”.
■数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都 有非常普遍和广泛的应用，主要体现在以下几个方面： ★一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌 握知识、解决问题，如从低年级借助直线认识数的顺序， 到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系. ★二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，如数轴、 位置、正反比例关系图象等，使学生体会代数与几何之 间的联系.这方面的应用虽然比较浅显，但这正是数形结 合思想的重点所在，是中学数学的重要基础. ★三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的 体现，统计图表把抽象的枯燥的数据直观地表示出来， 便于分析和决策. ★四是用代数(算术)方法解决几何问题.如角度、周长、 面积和体积等的计算，通过计算三角形内角的度数，可 以知道它是什么样的三角形等等.
在直观图示的导引下，巩固学生根据总数和份数求每份数，以 及根据每份数和份数求总数的基本技能.在两个不同的直观图 示中，孕伏了解决归一问题的分解步骤，为学习归一做必要的 知识储备.
借助直观图形，初步感受归一的基本模式
师：下面这个图形的黄色部分表示多少？ 生：少条件的，应该告诉一份是多少？ 师追问：非要告诉一份是多少吗？我们一起来看看到底告诉了什么已知条件？ 能不能求出黄色部分是多少？ 出示：红色部分表示180. 学生独立思考，尝试解答.有的先分步：180÷3＝60，60×5＝300，教师引导 用综合算式解答：180÷3×5＝60×5＝300，特别强调：先算哪步，表示什么？ 师补充：如果已知的是整个图形表示480呢？ 生列式计算：480÷8×5＝60×5＝300. 师引导学生反思：刚才是怎样求出黄色部分的，我们一起来回顾一下，为了 比较的方便，可以用表格把相应的数据整理在一起.
六上，数轴表示整数（正整数、零、负整数）
六下，正比例关系函数图像
六下，反比例关系函数图像
所用正方形的个数
长方形的长和宽
2 3
1×2
1×3
1×4 2×2
4
5 6 7
1×5
1×6 2×3
1×7 1×8 1×9 2×4 3× 3
8
9 10
1×10 2×5 1×11
11
12 ……
1×12 2×6 3×4
数形结合思想
数形本是相倚依，焉能分做两边飞； 数缺形时少直觉，形缺数时难入微； 数形结合百般好，割裂分家万事休； 几何代数统一体，永远联系莫分离. ——华罗庚
■数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思 想方法.数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既 对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化.这里的数是指数、代数式、 方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象. ■数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化， 使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有 利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法.华罗庚先生的： “数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩 证关系以及数形结合的重要性.
四下85页，数形结合求三角形内角和
五上，平面图形的面积
四上43、44页，度量 角
18等份
180等份
1大格 10小格
外圈刻度
内圈刻度
五下p75页分数基本性质
五下p111页异分母分数加减
六上p10页，分数乘法
六上p29页，分数除法
六上，借助线段图分析数量关系，解决分数乘除法应用问题
六上，借助线段图分析数量关系，解决分数乘除法应用问题
一上15页，借助计数器，点子 图帮助学生计数
一上43页借助计数器，数直线，点 子图帮助学生理解序数含义
二下28页表示等分除 二上77页用线段图表示倍数关系
三上42、43页用算术方法解决周长
三下77、81页，用算术方法解决面积
三上99、100页，“以形助数”解决简单分数加减
三下5页，位置与方向
在学生初步建立正归一的直观模型基础上，通 过根据图表中信息的提问，引导提出反归一的 问题，在正反归一问题的比较中，进一步突出 归一的基本特征.针对三年级的学生学习特征， 学习时可结合学生的操作“画一画”表示36的 图，既对归一问题解决方法的强化，同时也是 加强空间观念，提高数学综合素养.
实现来自百度文库理直观与算法抽象有效融合，提高计算教学效率
…… 1×24 2×12 3×8 4×6 ……
24
……
“形数结合”解决归一问题
教学目标 1.经历从直观图示中抽象出数量关系的过程，从不同 情境中概括出共同的模型，初步感知归一问题的解决方法； 2.沟通图形、表格、及具体数量之间的联系，通过形 数结合的训练，提高学生比较、分析和综合的能力； 3.组织富有现实性的数学活动，提高学生参与学习的 积极性，借助归一的实际应用，内化归一思想，提高学生 的综合素养.
借助直观图形，初步感知每份数、份数与总数之间的关系
1.师：今天的学习从一个简单的图形开始.呈现一个 长方形，表示120.现在平均分成4份，1份涂上黄色， 黄色部分表示多少？ 2.学生解答：120÷4＝30. 3.师：你是怎么想的？ 4.生：用总数除以份数，可以求出一份是多少. 5.呈现另一个图形：一个三角形表示90，黄色部分 有6个，黄色部分表示多少？ 6.学生解答：90×6＝540. 7.师：你是怎么想的？ 8.生：用每份数乘以份数，可以求出总数.
■然而，在日常的计算教学活动中，却出现了两种认识上误区： 一种倾向是重算理，轻算法。实验教材在计算内容的呈现方式上 相比传统教材淡化了对计算法则的总结概括，导致部分教师片面 理解实验教材的意图，过分专注于算理多样化的直观呈现，而忽 视或忽略了计算教学的另一重要目标---算法抽象，缺乏算理直 观和算法抽象内涵的有效沟通。学生往往凭借浅层次的感知和初 步探索获取的经验以及巩固练习来完成对计算方法的掌握，从而 导致学习效率较低，差错率较高，两极分化严重，不可取。另一 种倾向则是重算法，轻算理。有的教师嫌麻烦，或囿于自身对算 理的理解不到位、不够深刻。抑或是不易找到有效的算理直观呈 现方式和沟通算理算法的有效途径，为图省事，则在教学中直接 向学生将计算方法全盘托出，然后利用大容量、高强度的训练来 记忆法则。这样的教学尽管一定程度上也能让学生掌握计算方法， 但学生因为算理不清，只知其然，而不知其所以然，同类知识方 法迁移的能力和范围极为有限，无法适应计算式题的各种变化情 况，缺乏数学思维的深刻性和灵活性，将数学学习陷入沉闷、枯 燥的樊篱之中，亦不可取。
红色 总数 份数 180 3 黄色 300 5 整个图 480 8
学生观察表格，以及相应的算式，教师引导学生发现解答这些问题有什么共 同之处？ 生：都是先求出一个小三角形是多少？
在直观图示的导引下，学生形成了一定的认 知冲突，要求黄色部分是多少，但又不知道 一份是多少？引导学生根据已知的总数和份 数求出每份数，再根据每份数和份数，求出 相应的总数.虽然先后两次呈现条件，一次 已知红色部分，一次已知整个图形，但每一 次都是为了先求出每个三角形是多少，突出 归一的必要和重要.
■所谓“算理”，就是说明计算过程中的依据和合理性（道
理），解决“为什么这样算”的问题，算理是由数学概念、性 质、定律等内容构成的数学基础理论知识。算法就是计算的方 法，就是解决“怎么算”的问题，是说明计算过程中的规则和 逻辑顺序，它通常是算理指导下的一些人为规定。算理为计算 提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法 为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度，算理往往 是隐性的，算法则是显性的，它们相辅相成，而算理的探讨有 助于学生探索算法、获取算法。
■小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数 学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百 计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助 数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法 和解决方案.如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常 要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不 开形.另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出 什么规律和特点，这时就需要用数来表示.如一个角是不是直角、 两条边是否相等、周长和面积是多少等.换句话说，就是形也 离不开数.因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大.
四下18页，位置与方向
六上2、3页，位置（坐标）
三下42、43页，用数据进行统计分析、推断
三下82、83页，数形结合解决面积单位进率
四上89、90页，借助数直线解决小数意义及大小比较
四下50、51页，借助数直线进一步理解小数的意义
四下58页借助数直线 理解小数的性质
四下62、63页用数形结合帮助学生理解小数点 移动引起小数大小变化的规律