数学建模论文《足球中的射门问题》

问题的提出

相信我们大家都看过足球赛，也许，看到小罗的急速突破，我们会为之喝彩；看到齐达内的精巧带球，我们会为之叹服；看到卡卡的绝妙助攻，我们会为之倾倒……但是，大家是否考虑过，其实，足球中蕴藏着的许多数学知识也是五彩缤纷的！让我们一起走近足球，探讨它的数学知识吧！

足球是一项广为流传的运动项目，大多数同学都玩过。可是，要想在足球比赛中把球踢入网中是件相对于在篮球场上得分要难得多的事。为了能玩得更尽兴，我们不禁思考：什么样的射门更容易得分？什么时候才是最好的射门时机？本文将着手探究此问题！

问题的分析

我们知道，射门时，在射门姿势一定的情况下，射门角度越大，射起门来就越容易，那么影响射门角度的因素又有哪些呢？

首先，我们需要知道一些关于足球的知识，经过在网上查找，得到了以下信息：

足球比赛场地是长方形，边线的长度长于球门线的长度。

长度：最短100米（110码）最长110米（120码）

宽度：最短64米（70码）最长75米（80码）

球门：球门应设在每条球门线的中央，由两根相距7.32米、与西面角旗点相等距离、直立门柱与一根下沿离地面2.44米的水平横木连接组成，为确保安全，无论是固定球门或可移动球门都必须稳定地固定在场地上。门柱及横木的宽度与厚度，均应对称相等，不得超过12厘米。球网附加在球门后面的门柱及横木和地上。球网应适当撑起，使守门员有充分活动的空间。

点球点距离球门9.15米，就是12码。

模型的假设

一、忽略空气阻力以及风力对足球前进路径的影响。

二、以质点和直线分别近似代替足球和球柱来讨论问题。

三、射门时没有受到防守队员的干扰。

四、不考虑球员之间心理素质，个人能力之间的差异。

模型的建立及求解

在球赛中，我们常看到边路球员传中，交给中场队员射门，是不是射门角度与左右位置有关呢？下面我们来验证一下。

下图为一球场的简图：

为了便于观察，我们将它的下部扩大如下：

如上图所示，点O为点球点，在左右位置的正中央，点P与点O距底线距离相同，但左右位置不同。根据圆的知识，很明显的知道∠AOB＞∠APB，事实上，多次作图，可以发现，在距底线距离相同的情况下，站在左右位置的中央时射门角度最大。

其次，据实践经验我们知道，距球门越近，射门越容易，那么，我猜想：在左右位置相同的情况下，射门角度很可能与距底线的距离有关。

如上图所示，

∠P=180°-（∠PAB+∠PBA）

∠O=180°-（∠OAB+∠OBA）

∵∠PAB+∠PBA＞∠OAB+∠OBA

∴∠P＜∠O

结果分析

由以上结果可知，在距底线距离相同的情况下，站在左右位置的中央时射门角度最大。而在左右位置相同的情况下，距球门越近，射门角度越大。

然而，事实上，在射门时，我们面对的往往不是空门，由于守门员的阻挡，会有一定的射门盲角，实际的射门角度其实还要减掉这个盲角。显而易见，同射门角度一样，这个盲角的大小也与距守门员所处的水平线的距离和与守门员的左右相差位置有关，所以，在射门时，还要考虑守门员所造成的盲角对射门角度的影响。把握住两者的平衡，才能抓住最好的进攻时机，轻而易举的克敌制胜！

辛杰

912113250159