高考数学定积分的应用

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高考讲定积分及其应用举例课件理

高考讲定积分及其应用举例课件理日期:目录•定积分基本概念与性质•定积分的计算方法•定积分的应用举例•定积分的拓展应用与现实生活联系定积分基本概念与性质分割近似代替作和取极限01020304将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δxi。

在每个小区间上任取一点ξi，用f(ξi)Δxi近似代替小区间上的曲线段。

将所有小区间上的近似值加起来，得到Σf(ξi)Δxi。

当n趋近于无穷大，且最大的小区间长度趋近于0时，Σf(ξi)Δxi的极限就是定积分∫f(x)dx。

对于任意常数c1和c2，有∫[c1f(x)+c2g(x)]dx=c1∫f(x)dx+c2∫g(x)dx。

线性性对于任意两个区间[a,c]和[c,b]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]+[∫f(x)dx]。

区间可加性如果在区间[a,b]上f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。

保号性|∫f(x)dx|≤∫|f(x)|dx。

绝对值不等式面积：当f(x)≥0时，定积分∫f(x)dx表示由曲线y=f(x)、直线x=a和x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

距离：定积分可以用来计算平面曲线在直角坐标系下的长度。

通过将曲线分成小段并用直线近似，可以用定积分计算曲线长度。

以上是定积分的基本概念与性质，通过对这些内容的深入学习和理解，可以更好地应用定积分解决实际问题。

定积分的几何意义定积分的计算方法牛顿-莱布尼茨公式是定积分计算的基础公式，它建立了定积分与被积函数的原函数之间的关系，大大简化了定积分的计算过程。

通过使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以直接利用被积函数的原函数在积分上下限处的函数值之差来计算定积分，避免了复杂的积分运算。

牛顿-莱布尼茨公式公式应用公式内容定积分的换元法定积分的换元法是通过变量代换来简化被积函数的形式，从而便于计算定积分的方法。

通过选择合适的代换函数，可以将复杂的被积函数转化为简单的形式。

方法应用换元法常用于处理被积函数中含有复杂表达式或根号等情况。

高考数学复习点拨：略谈定积分的应用

略谈定积分的应用数学在生活中诞生，在应用中发展；定积分也是如此，它从计算曲边梯形的面积开始到计算曲线的弧长，再求变速直线运动的物体的位移，到后来在几何、物理、力学等都有十分广泛的应用，充分展现了定积分的威力。

当然，由于我们目前的基础知识有限，我们可以掌握的应用是有限的，本文在课本的基础上再向同学们介绍一点另外的应用，供学习时参考。

1、求面积例1、求由x y 42=与直线42-=x y 所围成图形的面积分析：本题初看象是课本中的例题2，但仔细分析才发现与课本中的例题有区别，这个阴影部分在x 轴的下方还有一部分，该如何是好？解法一：由⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=214422y x x y x y 或⎩⎨⎧==44y x 先看在]1,0[上的阴影部分，此时我们可以仅计算x 轴上方的面积，然后再两倍即可；再看另一部分是两函数的差。

于是阴影部分的面积+=--+=⎰⎰)32(4)]42(2[)2(210234110xdx x x dx x S 9)4322(41223=+-⨯x x x 解法二：图中的阴影部分，如果从y 的角度看，它正好是两个图形之差构成的，于是阴影部分的面积9)121241()424[(4232422=-+=-+=--⎰y y y dy y y S 点评：两种思路比较可以发现，第二种思路的求解过程要简单的多。

它告诉我们在使用“被积函数”时有灵活性，它不是不变的。

合理的选择对求解过程的优化作用很大。

2、求体积例2、将抛物线22x y =在第一象限与0=y 、1=x 所转成的平面图形绕x 轴旋转一周，求所得旋转体的体积。

分析：用定积分求面积很轻松、也很方便，但如何求体呢？如下图，我们可以在区间]1,0[内，取一个有代表性的小区间],[x x x ∆+，在这个小区间上，相应的小旋转体的体积为x y V ∆⋅=∆π2，此时，我们用底面半径为y ，高为x ∆的小圆柱的体积，替代了小旋转体的体积，当x ∆无限小时，这是可以的。

定积分的应用共29页

22.11.2019
12
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一、平面图形的面积
若函数 f (x) 、 g(x) 在[a,b] 上连续，且 f (x) g(x) ，
则由曲线 y f (x) 、 y g(x) 及直线 x a 、 x b 所围
成的平面图形的面积为 Aabf(x)g(x)dx
其中面积 A 的元素为 d A f (x) g(x)d x ．
a
c1
c2
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3
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一般地，由曲线 y f (x) ，直线 x a ， x b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 S 可表示为
S
b
|
f
(x) | dx
.
a
类似地，由曲线 x ( y) ，直线 y c ， y d 及
y 轴所围成的曲边梯形的面积 S (如图 5-13 所示)可
22.11.2019
10
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二、定积分的元素法
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
22.11.2019
ax
bx
19
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特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有 y
当考虑连续曲线段
oa x
x
y f (x)
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有

【高考数学】定积分的概念、基本定理及其简单应

①设函数
可导，则
；
试卷第 8 页，总 60 页
②过曲线
外一定点做该曲线的切线有且只有一条；
③已知做匀加速运动的物体的运动方程是的瞬时速度是米秒；
米，则该物体在时刻
秒
④一物体以速度的位移为米；
（米 /秒）做直线运动，则它在
到
秒时间段内
⑤已知可导函数
，对于任意
时，
是函数
在
上单调递增的充要条件．
涉及微积分定理的应用，属于中
档题；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何 “测度 ”可以是长度、面积、体积、
角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域
Ω
上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 Ω的区域（事
实也是角）任一位置是等可能的．
1
x3 1 1
2 ，所以 m
log 5 2 log 5 5
1 ， n log 2 3 1 ， 2
1 p.
2 所以 m p
n ，选 B.
【点睛】
本题考查定积分以及对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题
.
15． 2 (sin x | sin x |)dx （）
2
A．0 【答案】 C
B． 1
【解析】
的
几何意义是介于轴、曲线
以及直线
之间的曲边梯形面积的代
试卷第 2 页，总 60 页
数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上
积分值的相反数 ,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还
是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解

高考讲定积分及其应用举例课件理

总结词
定积分的定义包括将函数分割成小段，然后求和；定积分的性质包括奇偶性、可加性等。
VS
详细描述
定积分的定义是将一个函数分割成许多小段，然后求这些小段的面积和。具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么对于这个区间上的任意两个点a和b，都有定积分∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中 F(x)是f(x)的原函数。此外，定积分还具有一些性质，例如奇偶性、可加性等。这些性质在计算定积分时非常有用。
04
定积分的计算方法
直接积分法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
直接积分法是最基本的积分方法，主要依靠微分的概念进行计算。
详细描述
直接积分法是将一个函数的积分转化为另一个函数的导数的过程。具
体地，对于一个函数 f(x)，其不定积分就是所有使得f(x)成立的函数F(x)的导数。换句话说，不定积分就是找到一个函数，使得这个函数的导数等于原函数。
微积分基本定理
01
微积分基本定理的定义
微积分基本定理是指对于一个给定的函数f(x)，如果对其进行积分，那
么该积分等于f(x)的原函数在该区间上的增量。
02
微积分基本定理的意义
微积分基本定理是微积分学的基础，它揭示了可积函数的原函数与积分
之间的联系，为解决微积分问题提供了基本的方法和工具。
03
微积分基本定理的应用
05
定积分的应用扩展
物理应用
匀速直线运动
01
定积分可应用于计算位移，特别是在匀速直线运动中，速度是
恒定的，因此可以通过对速度的积分来求解位移。
简谐振动
02

高考数学复习知识讲解_定积分的简单应用(基础)

高考数学复习定积分的简单应用编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1.会用定积分求平面图形的面积。

2.会用定积分求变速直线运动的路程3.会用定积分求变力作功问题。

【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]b baaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积：()caS f x dx =+⎰()bcf x dx ⎰＝()c af x dx -⎰＋()bcf x dx ⎰.4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积：1212[()()]()()b b baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。

高考数学定积分应用选择题

高考数学定积分应用选择题1. 定积分可以用来求解什么问题？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 以上都是2. 定积分表示的物理意义是什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 以上都是3. 求解曲线下的面积，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分4. 定积分的基本性质是什么？A. 定积分与被积函数单调性无关B. 定积分与积分区间长度无关C. 定积分与积分上下限无关D. 以上都是5. 定积分在物理学中的一个应用是求解什么？A. 物体的质量B. 物体的速度C. 物体的加速度D. 物体的位移6. 求解物体的质量，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分7. 定积分可以用来求解物体的体积，这是因为在三维空间中，物体的体积可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 以上都是8. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分9. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分10. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分11. 定积分可以用来求解物体的速度，这是因为在物理学中，物体的速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分12. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分13. 求解物体的位移，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分14. 定积分可以用来求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分15. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分16. 定积分可以用来求解物体的质量，这是因为在物理学中，物体的质量可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分17. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分18. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分D. 三重积分19. 定积分可以用来求解物体的速度，这是因为在物理学中，物体的速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分20. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分21. 求解物体的位移，应该使用哪种积分？A. 定积分C. 双重积分D. 三重积分22. 定积分可以用来求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分23. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分24. 定积分可以用来求解物体的质量，这是因为在物理学中，物体的质量可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分25. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分26. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分27. 定积分可以用来求解物体的速度，这是因为在物理学中，物体的速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分28. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分29. 求解物体的位移，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分30. 定积分可以用来求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分31. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分32. 定积分可以用来求解物体的质量，这是因为在物理学中，物体的质量可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分33. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分34. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分35. 定积分可以用来求解物体的速度，这是因为在物理学中，物体的速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分36. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分37. 求解物体的位移，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分38. 定积分可以用来求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分39. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分40. 定积分可以用来求解物体的质量，这是因为在物理学中，物体的质量可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分41. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量D. 物体的速度与时间的积分42. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分43. 定积分可以用来求解物体的速度，这是因为在物理学中，物体的速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分44. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分45. 求解物体的位移，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分46. 定积分可以用来求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分47. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分C. 双重积分D. 三重积分48. 定积分可以用来求解物体的质量，这是因为在物理学中，物体的质量可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分49. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分50. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分。

09年高考数学定积分的应用_课件 27页PPT文档

例4：如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧
拉长6cm,需做功（A）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设 Fkx则由题可得。
k 100
所以做功就是求定积分
0.06
100xdx0.18
0
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，
解两曲线的交点
y 2 x
(8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S2
S1
yx4
4
8
8
SS1S2 0
2xdx[ 4
2xdx (x4)dx] 4
4
8
8
8
8
(0 2 x d x 4 2 x d x ) 4(x 4 )d x0 2xdx4(x4)dx
23
于是所求面积 AA 1A 2
A 02(x36xx2)dx03(x2x36x)dx
253 . 12
说明：
y x2
A1
注意各积分区间上被积函数的形式．
A2
yx36x
09.08.2019
24
课题：定积分的应用
例题研究
(三)利用定积分求曲边旋转体的体积
例2:求由曲线 y2 4x,x1所围成的图形绕
则变力F(x) 所做的功为:
W＝
b
F(x)dx
09.08.2019
a
19
练习 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成
的图形的面积.
解
y y
x x2
x0及x

高中数学(新课标)选修2课件1.7.1-2定积分的应用

a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
③如图(6)所示，所求面积 S＝S1＋S2＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx
＝b|f(x)－g(x)|dx.
a
知识点二定积分在物理中的应用 1．变速直线运动的路程我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在时间区间 [a， b] 上的定积分，即 s ＝ ____b_v_(_t)_d_t ___.
【解析】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时， P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程
s1＝03(8t－2t2)dt＝4t2－23t330 ＝18. (2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝5(8t－2t2)dt
解析：由题意 v＝x′＝8t，t＝12 x，所以 v＝4 x.
又 F＝kv(k 是比例系数)，且当 v＝10 米/秒时 F＝2 牛，
所以 2＝10k，所以 k＝15，所以 F＝45 x，
又 F 与物体运动的方向相反，
所以 W＝－245 0
xdx＝－185x3220
＝－1165
2(焦耳)．
所以物体从 x＝0 到 x＝2 阻力所做的功为－1165 2焦耳．
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6 是所求的值．
状元随笔首先要确定的是所需求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解．
方法归纳
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．

天津市高三数学总复习综合专题定积分的简单应用(学

定积分的简单应用
1、定积分在几何中的应用
例：计算由曲线22,x y x y ==所围图形的面积S 。

解析：
例：计算由曲线0,2,4==
-=y x y x y 所围图形的面积S 。

解析：
2、定积分在物理中的应用
①变速直线运动的位移
思路提示：设作变速直线运动的物体所经过的位移S ，等于其速度函数()],[,b a t t v v ∈=，则()dt t v a b S ⎰=。

例：作变速直线运动的物体初速度为s m /20，t s 后的速度t t v 820+-=，求该物体停止时所运动的位移S 。

解析：
②变力做功
思路提示：一物体在变力()x F 的作用下由a x =运动到b x =（方向与F 方向一致）所做的功
()dx x F a b
W ⎰=。

例：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所做的功。

解析：
练习：一物体按规律3bt x =作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方。

试求物体由0=x 运动到a x =时，克服阻力所做的功。

解析：。

高考数学一轮复习定积分及其应用举例-教学课件

2 0
＝－a＋1＝2，
a＝－1.
4．若
a
( 1
2x＋1)dx＝2，则
a＝__1___.
5．汽车以v＝3t＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是__6_._5__ m.
考点1 定积分的计算
例 1：①(2011 年福建)
1(ex ＋2x)dx 等于( 0
C
(7)
b axdx＝
a
lanxaab(a>0 且 a≠1)．
1．(2010 年广东深圳第一次调研)曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直
线 x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为( D )
π
A．
2 0
(
sinx－cosx)dx
π
C．
2 0
(
cosx－sinx)dx
π
B．
2
4 0
(
sinx－cosx)dx
解题思路：汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．
解析：由题意，v0＝54(千米/时)＝15(米/秒)， ∴v(t)＝v0－at＝15－3t，令 v(t)＝0 得 15－3t＝0，t＝5，即 5 秒时，汽车停车． ∴汽车由刹车到停车所行驶的路程为
0
9－x2，直线 x＝0，x＝3 围成的封闭图形的面积，
故3 0
9－x2dx＝π·432＝94π，选 C.
5
③ 21|1－x|dx＝_2___.
解析： 2 |1－x|dx＝ 1 (1－x)dx＋ 2 (x－1)dx
1
1
1
＝x －12x21－1＋ 12x2 －x12

高考数学定积分应用选择题

高考数学定积分应用选择题1. 定积分可以用来求解函数在区间上的最大值和最小值，已知函数f(x)在区间[a, b]上的最大值为M，最小值为m，则定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？2. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，且f(x)在[a, b]上是单调递增的，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。

3. 已知函数f(x)在区间[a, b]上是单调递减的，那么在区间[a,b]上f(x)的定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？4. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，且f(x)在[a, b]上是单调递减的，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。

5. 函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？6. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。

7. 已知函数f(x)在区间[a, b]上是单调递增的，那么在区间[a,b]上f(x)的定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？8. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，且f(x)在[a, b]上是单调递减的，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。

9. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？10. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。

11. 已知函数f(x)在区间[a, b]上是单调递增的，那么在区间[a,b]上f(x)的定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？12. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，且f(x)在[a, b]上是单调递减的，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。

定积分的应用(13

定积分的应用(13定积分是高中数学中十分重要的概念之一，其应用范围很广。

在这篇文章中，我们将会介绍一些定积分的应用。

1. 计算曲线下的面积对于一个平面上的曲线，我们可以通过计算它与 $x$ 轴之间的定积分来计算它所占的面积。

如果我们已知一个函数 $f(x)$，并且想要计算它的图像和 $x$ 轴之间的面积，可以使用下面的公式：$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$其中，$a$ 和 $b$ 是积分的上下限。

这个公式是一个重要的几何概念，可以用于计算圆的面积、三角形的面积等。

2. 计算速度和位移可以使用定积分来计算物体的速度和位移。

当物体的速度是一个连续函数时，我们可以用定积分来计算它的位移。

例如，一个物体的速度曲线可以表示为 $v(t)$，则物体的位移可以通过下面的公式计算：这个公式表示的是从时间 $a$ 到时间 $b$ 的总位移。

如果我们知道物体的位移曲线，并且想要计算它的速度，可以通过求导来得到速度曲线。

3. 动量和力的计算在物理学中，动量是一个十分重要的概念。

如果我们知道一个系统中各个物体的质量和速度，可以使用下面的公式计算它的总动量：$$p = \sum_{i=1}^{n}m_iv_i$$其中，$m_i$ 表示物体 $i$ 的质量，$v_i$ 表示它的速度。

如果我们需要计算某个时间段内系统的总动量，可以使用在这个时间段内速度的平均值。

其中，$F_i$ 表示物体 $i$ 受到的力。

4. 发现未知函数的性质定积分可以帮助我们发现一个未知函数的性质。

例如，我们可以通过计算一个函数在所有可能的 $x$ 值上的定积分，来探究函数的奇偶性、增减性等。

同时，如果我们已知一个函数的一些性质（如连续性、单调性等），可以使用定积分来证明这些性质。

总的来说，定积分在科学和工程领域中有着广泛的应用。

无论是求解面积、计算速度和位移、计算动量和力、还是探究未知函数的性质，所有这些应用都用到了定积分的概念。

定积分是数学中一个极为重要的工具，掌握定积分的应用是我们进行科学研究和实践工作的必备技能。

定积分的几何应用总结知乎

定积分的几何应用总结
对于定积分的几何应用，以下是一些常见的总结：
1.面积计算：定积分可以用于计算曲线与x轴之间的有界区
域的面积。

将曲线或曲线组合表示为函数，并将其积分，
可以得到该区域的面积。

2.弧长计算：曲线的弧长是曲线沿着x轴或y轴的长度。

通
过使用定积分，可以计算曲线的弧长，将其表示为函数，
并应用弧长的求和公式来获得结果。

3.体积计算：通过将曲线或曲面绕着轴旋转，可以使用定积
分来计算所得到的旋转体的体积。

例如，旋转一条曲线或
一个区域围绕x轴或y轴旋转，可以使用定积分来计算所
得到的圆柱体或圆锥体的体积。

4.重心和质心计算：通过将物体划分为无穷小的微元，并使
用定积分来计算每个微元的质量，可以计算出物体的重心
和质心。

这对于研究物体的平衡和运动以及静力学方面很
有用。

5.曲线长度计算：通过将曲线表示为参数方程或极坐标方程，
并使用定积分来计算微元曲线的长度，可以得到整个曲线
的长度。

这些是定积分的一些常见几何应用示例，但实际上，定积分在几何学中还有更多的应用。

它们在计算和描述曲线、平面和空间几何形状的属性时起着关键作用。

09年高考数学定积分的应用_课件

y
ya
a
b
y f (x)
x
a
2019/5/10
b
bx
y f (x)
12
(3)两条曲线 y f ( x)，y g( x)(其中f ( x) g( x)）
与直线 x a, x b(a b)围成的曲边梯形的面积: y
y f (x)
y g(x)
a
b
S＝ b[f (x)－g(x)]dx a
则变力F(x) 所做的功为:
W＝
b
F ( x)dx
2019/5/10
a
19
练习 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成
的图形的面积.
解

y y

x x2

x

0及x

1
两曲线的交点 (0,0) (1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
y
y y2 xx B
y x3 6x
2019/5/10
23
于是所求面积 A A1 A2
A

0 ( 2
x3

6x

x2
)dx
3(x2 0

x3

6 x )dx
253. 12
说明：
y x2
A1
注意各积分区间上被积函数的形式．
A2
y x3 6x
2019/5/10
24
课题：定积分的应用
2 32 2019/5/10
3
x2
|80
( 1 2
x2
4x) |84
40 3

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