(完整版)第六章实数知识点总结

第六章实数
知识网络：
考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类
（1）开方开不尽的数，如32
,7等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如
3
π+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）
判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16
π是有理数，而不是无理数。

3、有理数与无理数的区别
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根
1、概念、定义
（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方
根。

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

如果，那么x叫做a的平方根。

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

如果，那么x叫做a的立方根。

2、运算名称
（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号
（1）正数a的算术平方根，记作“a”。

（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。

（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。

4、运算公式
4、开方规律小结
（1）若a≥0，则a的平方根是a a a
它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；
负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。

（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。

考点三、实数的性质
有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。

1、相反数
（1）实数a 的相反数是-a ；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）
（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。

2、绝对值
（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。

|a|≥0。

（2）若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0，零的绝对值是它本身。

（3）
⎩⎨
⎧<-≥)0()0(a a a a
3、倒数
（1）如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

实数a 的倒数是1/a （a ≠0） （2）倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点四、实数的三个非负性及性质
1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2、非负数有三种形式
（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即
≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ()。

3、非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零； （2）非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
考点五、实数大小的比较
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
（2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。

（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．
考点六、实数的运算
（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。

同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。

（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

二、典例剖析，综合拓展 知识点1：算术平方根 1.
1691的算术平方根为（ ） （A ）131 （B ）－131 （C ）±131 （D ）（169
1）2
算术平方根的定义： 2.
169
1
的算术平方根可表示为 ，即 =
算术平方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 3. －
169
1
有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？ 算术平方根具有 性，即⑴被开方数a 0，⑵a 本身 0，必须同时成立
4、已知115+的小数部分为m ，115-的小数部分为n ，则=+n m
跟踪练习： ① 式子
3+x 有意义，x 的取值范围
② 已知：y=5-x +x -5+3,求xy 的值
③ 043=-+-b a ，求a+b 的值
知识点2：平方根
1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 ； 2、
9的平方根是
3、快速地表示并求出下列各式的平方根
⑴1
16
9
⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）2
平方根的定义： 平方根的表示方法 （用含a 的式子表示） 平方根的性质： 4、如果一个数的平方根是1+a 和72-a ，求这个数
5.用平方根定义解方程
⑴16（x+2）2
=81 ⑵4x 2
-225=0
6、下列说法正确的是( ) A 、
16的平方根是4± B 、6-
表示6的算术平方根的相反数
C 、 任何数都有平方根
D 、2
a -一定没有平方根 知识点3：立方根
1. －8的立方根是 ，表示为 立方根的定义：
立方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 2.说出下列各式表示的意义并求值： ⑴
3
512
.0-= ⑵－
3
729-= ⑶3
3
)2(-= ⑷（
3
8）3
=
3.如果
3
2-x 有意义，x 的取值范围为
立方根的性质：
4.用立方根的定义解方程
⑴x 3
-27 =0 ⑵2（x+3）3
=512
拓展提高： 1、已知
732
.13≈，
477.530≈，（1）≈300 ；（2）≈3.0 ；
（3）0.03的平方根约为 ；（4）若
77.54≈x ，则=x
2、已知
442
.133
≈，
107.3303
≈，694.63003≈，求（1）≈33.0 ；
（2）3000的立方根约为 ；（3）07.313
≈x ，则=x
知识点4：重要公式
公式一: ∵
2
2=
2
3=
2
4=
2
)
2(-=
2
)
3(-=
2
)
4(-=
∴
2
a =
有关练习： 1.
2)71
(-= 2
1999=
2.如果2)3(-a =a-3，则a 的取值范围是 ； 如果
2
)
3(-a =3-a,则a 的取值范围是
3.数a,b 在数轴上的位置如图：
化简：2
)(b a -+|c+a|
公式二：
∵（
4）2
= （9）2
= （25
）2
=
∴2)(
a = (a ≥0)
综合公式一和二，可知，当满足a 条件时，
2a =2)(a
公式三： ∵ 3
3
2=
3
3
3=
3
3
4=
3
3
)2(-= 3
3
)3(-= 3
3
)4(-=
∴
3
3
a = ；
随堂练习：化简：当1＜a ＜3时，
2
)1(a - +3
3
)3(-a
公式四： ∵ （
3
8）3
= （327
）3
= （
3
125
）3
=
∴33
)(
a =
综合公式三和四，可知，当满足a 条件时，
3
3a =33)(a
公式五：
3
a -=
知识点五：实数定义及分类
无理数的定义： 实数的定义： 实数与 上的点是一一对应的
1、判断下列说法是否正确：
（1）实数不是有理数就是无理数。

（ ）（2）无限小数都是无理数。

（ ） （3）无理数都是无限小数。

（ ）（4）根号的数都是无理数。

（ ）。