2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷(解析版)
七年级数学上册-2017各地中考真题-2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷
2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1．（3分）|（﹣3）﹣5|等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．82．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．3．（3分）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×1024．（3分）下列运算正确的是（）A．3x+2y=5（x+y）B．x+x3=x4C．x2•x3=x6D．（x2）3=x65．（3分）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（）A．65°B．50°C．55°D．60°6．（3分）能使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤27．（3分）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）下面几何体的主视图为（）A．B．C．D．9．（3分）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定10．（3分）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°11．（3分）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣812．（3分）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：xy2+8xy+16x=．14．（3分）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．15．（3分）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是．16．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17．（6分）（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．18．（6分）已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．19．（10分）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）20．（10分）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）21．（10分）如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD 与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．22．（10分）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．23．（12分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．（12分）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，=absin∠C即S△ABC同理S=bcsin∠A△ABCS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．=EF×DFsin∠F=；解：S△DEFDE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．25．（12分）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．26．（14分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1．（3分）（2017•赤峰）|（﹣3）﹣5|等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8【分析】根据分式的减法和绝对值可以解答本题．【解答】解：|（﹣3）﹣5|=|﹣3﹣5|=|﹣8|=8，故选D．【点评】本题考查有理数的减法和绝对值，解答本题的关键是明确有理数减法的计算方法．2．（3分）（2017•赤峰）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）（2017•赤峰）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：90021用科学记数法表示为9.0021×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2017•赤峰）下列运算正确的是（）A．3x+2y=5（x+y）B．x+x3=x4C．x2•x3=x6D．（x2）3=x6【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；B、不是同类项不能合并，故B错误；C、x2•x3=x5，故C错误；D、（x2）3=x6，故D正确．故选：D．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．（3分）（2017•赤峰）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（）A．65°B．50°C．55°D．60°【分析】先根据直角为90°，即可得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1=35°，∴∠3=90°﹣35°=55°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=55°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行同位角相等．6．（3分）（2017•赤峰）能使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2【分析】根据二次根式的意义：被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：，解得：1≤x≤2．故选：C．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．7．（3分）（2017•赤峰）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．，进而得【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S△CEB出答案．【解答】解：如图所示：连接BE，可得，AE=BE，∠AEB=90°，=S△BEC=S正方形ABCD，且阴影部分面积=S△CEB故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：．故选：B．【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用正方形性质得出阴影部分面积=S△是解题关键．CEB8．（3分）（2017•赤峰）下面几何体的主视图为（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，故选：C．【点评】本题考查了简单主题的三视图，从正面看得到的图形是主视图．9．（3分）（2017•赤峰）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空．【解答】解：∵反比例函数y=中的9＞0，∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3，∴y1＞y2，故选A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数图象与系数的关系以及函数图象的性质是解题的关键．10．（3分）（2017•赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°【分析】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF∥BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴E、F分别为AB、AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD，∴BD=2EF=4，∴BO=2，∴AO==2，∴AO=AB，∴∠ABO=30°，∴∠BAO=60°，∴∠BAD=120°．故选A．【点评】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．11．（3分）（2017•赤峰）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8【分析】根据函数图象上加下减，可得答案．【解答】解：由题意，得y=2x﹣3+8，即y=2x+5，故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题关键．12．（3分）（2017•赤峰）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26【分析】易得（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题．【解答】解：∵x、y是正整数，且最小的正整数为1，∴2x﹣5是整数且最小整数为﹣3，2y﹣5是整数且最小的整数为﹣3∵25=1×25，或25=5×5，∴存在两种情况：①2x﹣5=1，2y﹣5=25，解得：x=3，y=15，；②2x﹣5=2y﹣5=5，解得：x=y=5；∴x+y=18或10，故选A．【点评】本题考查了整数的乘法，本题中根据25=1×25或25=5×5分类讨论是解题的关键．二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．（3分）（2017•赤峰）分解因式：xy2+8xy+16x=x（y+4）2．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：xy2+8xy+16x=x（y2+8y+16）=x（y+4）2．故答案为：x（y+4）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14．（3分）（2017•赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，解得：m＜2．故答案为：m＜2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．15．（3分）（2017•赤峰）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是16．【分析】根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平均数，再相加即可．【解答】解：数据5出现了2次，次数最多，所以众数是5；数据按从小到大排列为4，5，5，6，10，中位数为5；平均数=（5+6+5+4+10）÷5=6；5+5+6=16．故答案为16．【点评】本题考查了平均数，中位数，众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．16．（3分）（2017•赤峰）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为（2，0）．【分析】求得点P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．【解答】解：P1坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（﹣3，3），P4坐标为（﹣2，﹣1），P5坐标为（2，0），∴P n的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，∵2017=2016+1=4×504+1，∴P2017坐标与P1点重合，故答案为（2，0）．【点评】本题考查了学生发现点的规律的能力，本题中找到P n坐标得规律是解题的关键．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17．（6分）（2017•赤峰）（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．【分析】先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值．【解答】解：原式=×﹣×=﹣=由于a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°，∴a=1﹣5+3=﹣1∴原式=﹣=﹣2【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．18．（6分）（2017•赤峰）已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．【分析】（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠4．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠4，据此可得出结论．【解答】解：（1）如图所示，AF即为所求；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠4，∴CE=CF．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．19．（10分）（2017•赤峰）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）【分析】（1）根据百分比=计算即可；（2）求出B、C的人数画出条形图即可；（3）利用树状图，即可解决问题；【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为16÷40%=40人．（2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人，条形图如图所示，（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为=．【点评】本题考查列表法、树状图法、扇形统计图、条形统计图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（10分）（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C=50°，AC=20cm，∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm，∵BC=18cm，∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，∴AB==，∵17=＜，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答．21．（10分）（2017•赤峰）如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD 与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．【分析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．【解答】解：（1）在y=﹣x+1中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO===，∴∠BAO=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠CAO=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C（，2），∵点C在反比例函数y=的图象上，∴k=2×=2，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵P（2，m）在第一象限，∴AD=OD﹣OA=2﹣=，PD=m，当△ADP∽△AOB时，则有=，即=，解得m=1，此时P点坐标为（2，1）；当△PDA∽△AOB时，则有=，即=，解得m=3，此时P点坐标为（2，3）；把P（2，3）代入y=可得3≠，∴P（2，3）不在反比例函数图象上，把P（2，1）代入反比例函数解析式得1=，∴P（2，1）在反比例函数图象上；综上可知P点坐标为（2，1）．【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．22．（10分）（2017•赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得：=，解得x=5．经检验x=5是原方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，依题意得：（5+2）（1100﹣a）+5a≤6000，解得a≥850．答：梨树苗至少购买850棵．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一元一次不等式解实际问题的运用，解答时由方程求出两种树苗的单价是关键．23．（12分）（2017•赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．【解答】解：（1）∵∠B=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠1=∠2=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM是⊙O的切线；（2）∵∠3=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=2，∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×2﹣=6﹣．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（12分）（2017•赤峰）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S=absin∠C△ABC=bcsin∠A同理S△ABCS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF 和DE2．解：S=EF×DFsin∠F=6；△DEFDE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=49．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，∴S△DEFDE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，解本题的关键是理解新定义，会用新定义解决问题．25．（12分）（2017•赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∴AP∥BQ，∴∠PAE=∠FBE，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE=OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ=OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）如图2连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°∴x+y=150°，∴∠AOB=150°．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解（1）的关键是构造全等三角形，解（2）的关键是判断出CE=DQ，解（3）的关键是判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，是一道中等难度的题目．26．（14分）（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q 点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，∴QG=×2=4，∴|﹣x2+3x|=4，当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
2017年内蒙古赤峰市中考数学试题(含解析)
2017年内蒙古省赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共12小题，合计36分）1．（2017内蒙古赤峰，1，3分）|（-3）-5|等于（）A．-8 B．-2 C．2 D．8A．B．C．D．答案：D，解析：本题考查绝对值的意义和有理数的减法，掌握有理数的减法法则和求一个数的绝对值的方法是解题的关键．∵|（-3）-5|＝|-8|＝8，∴选D．2．（2017内蒙古赤峰，2，3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）B.A.C.D.答案：C，解析：本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握轴对称图形与中心对称图形的识别方法是解题的关键．图A有3条对称轴，图C有2条对称轴，图D有1条对称轴，它们都是轴对称图形；图B、图C绕某一点旋转180度后能与原图形重合，它们都是中心对称图形；所以所给出的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是C.3．（2017内蒙古赤峰，3，3分）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105B．9.0021×104C．90.021×103D．900.21×102答案：B，解析：本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．90021＝9.0021×104．4．（2017内蒙古赤峰，4，3分）下列运算正确的是（）A．3x＋2y＝5(x＋y) B．x＋x3＝x4C．x2·x3＝x6D．(x2) 3＝x6答案：D，解析：本题考查了整式的运算，正确掌握同类项概念、合并同类项的方法，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则是解题的关键．3x与2y不是同类项，不能合并，所以A错；x与x3不是同类项，不能合并，所以B错；由同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得x 2·x 3＝x 5，所以C 错； 由幂的乘方，底数不变，指数相乘，得(x 2) 3＝x 6，所以D 正确．5．（2017内蒙古赤峰，5，3分）直线a ∥b ，Rt △ABC 的直角顶点C 在直线a 上，若∠1＝35°，则∠2等于（ ）ABAA ．65°B ．50°C ． 55°D ．60°答案：C ，解析：本题考查了互为余角的概念和平行线的性质，掌握平行线的性质，会求一个角的余角是解题的关键．∵直角顶点C 在直线a 上，若∠1＝35°，∴∠2＝55°，∵直线a ∥b ，∴∠2＝∠3＝55°．故选C.6．（2017内蒙古赤峰，6，3x 的取值范围是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ≤2答案：C 成立的条件是2010xx -≥⎧⎨-≥⎩，是解题的关键． 2010x x -≥⎧⎨-≥⎩，，解得1≤x ≤2，故选C.7．（2017内蒙古赤峰，7，3分）小明向如图所示的正方形ABCD 区域内投掷飞镖，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．18答案：，解析：本题考查了概率的计算，弄清阴影部分的面积与总面积的比值是解题的关键．8．（2017内蒙古赤峰，8，3分）下面几何体的主视图为（ ）D.C.B.A.答案：C ，解析：本题考查了几何体的主视图，理解主视图是从正面看得到的平面图形是解题的关键．9．（2017内蒙古赤峰，9，3分）点A (1，y 1)、B （3，y 2）是反比例函数y ＝9x图象上的两点，则y 1、y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定答案：A ，解析：本题考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 反比例函数y ＝9x中，∵k ＝9＞0，∴y 随x 的增大而减小．∵1＜3，∴y 1＞y 2．10．（2017内蒙古赤峰，10，3分）如图，将边长为4的菱形ABCD 纸片折叠，使点A 恰好落在对角线的交点O 处，若折痕EF ＝A ＝（ ）BDA ．120°B ．100°C ．60°D ．30°答案：A ，解析：本题考查了特殊角的三角函数值，轴对称的性质和菱形的性质，掌握特殊角的三角函数值，轴对称的性质和菱形的性质是解题的关键．连接OA ，则OA ⊥OD ．∵点A 与点O 关于折痕EF 对称，∴EF ＝OD ，∵菱形ABCD 的边长为4，∴sin ∠OADOAD ＝60°．∴∠BAD ＝120°．11．（2017内蒙古赤峰，11，3分）将一次函数y ＝2x －3的图象沿y 轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）.A．y＝2x－5 B．y＝2x＋5 C．y＝2x＋8 D．y＝2x－8答案：B，解析：本题考查了直线的平移，掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．将一次函数y＝2x－3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为y＝2x－3+8＝2x+5.12．（2017内蒙古赤峰，12，3分）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26答案：A，解析：本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键．由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15．∴x＋y＝10或x＋y＝18．故选A.二、填空题：（每小题3分，共4小题，合计12分）13．（2017内蒙古赤峰，13，3分）分解因式：xy2＋8xy＋16x＝．答案：x（y＋4）2，解析：先提公因式得x（y2＋8 y＋16），再用完全平方公式得x（y＋4）2．14．（2017内蒙古赤峰，14，3分）如果关于x的方程x2－4x＋2m＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．答案m＜2，解析：本题考查了一元二次方程根的判别式，会根据一元二次方程根的情况列出不等式是解题的关键．∵关于x的方程x2－4x＋2m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝16－8 m＞0．∴m＜2．15．（2017内蒙古赤峰，15，3分）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是．答案：16，解析：本题考查了众数、中位数、平均数，会求这组数据的众数、中位数、平均数是解题的关键．数据5，6，5，4，10的众数是5，中位数5，平均数是6，众数、中位数、平均数的和是16.16．（2017内蒙古赤峰，16，3分）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P＇（－y＋1，x＋2），我们把点P＇（－y＋1，x＋2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n、…，，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为．答案：（2，0），解析：本题考查了学习型阅读理解，正确理解已知点的终结点这一新定义是解题的关键．根据新定义，得P1（2，0）的终结点为P2（1，4），P2（1，4）的终结点为P3（－3，3），P3（－3，3）的终结点为P4（－2，－1），P4（－2，－1）的终结点为P5（2，0），P5（2，0）的终结点为P4（1，4），……观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P2017的坐标为（2，0）.说明：原题不清楚，我是根据猜想完成的，有错误请指正.三、解答题：本大题共10个小题，满分102分．17．（2017内蒙古赤峰，17，6分）(26 4a a --－32a+)÷2aa-其中a＝20170＋（－15）-1＋°思路分析：本题考查了分式的化简求值，零指数幂的运算，负指数幂的运算，二次根式的化简，特殊角的三角函数值的运用，正确掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键．①化简时，先算括号内的异分母加减，再算分式的乘除；②求值时，先求得a值，再代入计算.解：原式＝(622)aa a-+-（）（－3222aa a-+-（）（）（）)×2aa-＝632)22)a aa a---+-（（）（×2aa-＝222)aa a-+-（）（×2aa-＝22a-+．∵a＝20170＋（－15）-1°＝1－5＋1∴原式＝22a-+＝212--+＝－2．18．（2017内蒙古赤峰，18，6分）已知平行四边形ABCD．B（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE＝CF．思路分析：（1）作AF平分∠BAD；（2）欲证CE＝CF，需证∠3＝∠4，由平行四边形对边平行可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，又∠1＝∠2，结论可得.解：（1）如图，射线AF即为所求；B（2）∵平行四边形ABCD ， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ． ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵AF 平分∠BAD ， ∴∠1＝∠2． ∴∠3＝∠4． ∴CE ＝CF ．19．（2017内蒙古赤峰，19，10分）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A 喜欢吃苹果的学生；B 喜欢吃桔子的学生；C 喜欢吃梨的学生；D 喜欢吃香蕉的学生；E 喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x ；（3）现有5名学生，其中A 类型3名，B 类型2名，从中任选2名学生参加很体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）图2图1思路分析：（1）此次抽查的学生人数＝A 类学生人数÷对应的百分率；（2）B类学生人数＝40×对应的百分率；C类学生人数＝40×对应的百分率；x＝1－40%－10%－25%－5%，将图2补充完整；（3）利用表格或树状图求得两名学生为同一类型的概率.解：（1）16÷40%＝40（人）（2）x＝10%，将图2补充完整，图2（3）方法一：列表法∴P（两名学生为同一类型）＝20＝5．方法二：树状图法12321321131221212312AA∴P（两名学生为同一类型）＝820＝25．20．（2017内蒙古赤峰，20，10分）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如下面左图所示．已知AC＝20cm，BC＝18cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°＝0.8，cos50°＝0.6，tan50°＝1.2）ACB思路分析：先作AD ⊥BC 于D ，化斜三角形为两个直角三角形；再利用三角函数求得AD ，CD ，进而得BD ；最后利用勾股定理求得AB 2，与172相比较得出结论.解：作AD ⊥BC 于D ．得 AD ＝AC sin50°＝20×0.8＝16． CD ＝AC cos50°＝20×0.6＝12． ∵BC ＝18，∴BD ＝BC －CD ＝6．∵AB 2＝AD 2＋DB 2＝162＋62＝292，172＝289＜292， ∴王浩同学能将手机放入卡槽AB 内．ACB21．（2017内蒙古赤峰，21， 10分）如图，一次函数y ＝－3x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限作等边△ABC ．（1）若点C 在反比例函数y ＝kx的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P （，m ）在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，当△PAD 与△OAB 相似时，P 点是否在（1）中反比例函数图象上，如果在，求出P 点坐标；如果不在，请加以说明．思路分析：（1）①由已知求得A ，B ，C 的坐标；②代入反比例函数y ＝kx求得k 值； （2）分△PAD ∽△BAO 与△PDA ∽△AOB 两种情况讨论，求得P 点坐标，再检验P 点是否在（1）中反比例函数图象上．解：（1）∵一次函数y ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当y ＝0时，x A 0）． 当x ＝0时，y ＝1，∴B （0，1）． ∵tan ∠OAB ＝OBOA ∴∠OAB ＝30°． ∵OB ＝2，∴AB ＝2．∵等边△ABC ，∴∠BAC ＝60°，AC ＝2． ∴∠OAC ＝90°．∴C 2）．代入，得2k ＝．∴反比例函数的解析式y ．（2）∵点P （m ），∴△PAD ∽△BAO 时，PD OB ＝AD AO ，即1m m ＝1，∴P （1）．∴△PDA ∽△AOB 时，PDOA ＝AD BO m ＝3，∴P （3）．当x ＝时， y ≠3．∴P（3）不在反比例函数y上．当x＝时，y＝1．∴P（1）在反比例函数y上．22．（2017内蒙古赤峰，22，10分）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．思路分析：本题考查了分式方程的运用，根据题中的数量关系列出方程或不等式是解题的关键．（1）根据“两种树苗购买的棵数一样多”列出分式方程，解之可得；注意验根；（2）根据“购买两种树苗的总费用不超过6000元”列出不等式，解之可得.解：（1）设一棵梨树苗x元，则一棵苹果树苗（x＋2）元．根据题意，得35002x＝2500x，解得x＝5．经检验，x＝5是原分式方程的解.所以梨树苗的单价是5元．（2）设购买梨树苗m棵，则购买苹果树苗（1100－m）棵．根据题意，得5m+7（1100－m）≤6000，解得m≥500．∴梨树苗至少购买500棵．23．（2017内蒙古赤峰，23，12分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM 垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B＝60°．DA（1）求证：AM 是⊙O 的切线；（2）若DC ＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．思路分析：本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，菱形的判定，特殊角的三角函数值，梯形面积公式，扇形面积公式，适当添加辅助线构造直角三角形ACD 是解题的关键．（1）设法证OA ⊥AM ．（2）将图中阴影部分的面积转化为规则图形的面积和差，即S 梯形OADC －S 扇形OAC ． 解：（1）∵OB ＝OB ，∠B ＝60°，∴△BOC 是等边三角形．∴∠BCO ＝∠BOC ＝60°． ∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝60°． ∴BC ∥OA ．∵BD ⊥AM ，∴OA ⊥AM ． ∴AM 是⊙O 的切线；（2）连接OA ，则四边形OACB 是菱形． ∵∠B ＝60°，∴∠ACD ＝60°．∵DC ＝2，∴AC ＝4，AD ＝CD tan60．图中阴影部分的面积＝S 梯形OADC －S 扇形OAC ＝12（2＋4）－2604360π⋅⋅＝83π．DA24．（2017内蒙古赤峰，24，12分）如图，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C＝ADAC，则S△ABC＝12BC·AD＝12BC·AC sin∠C＝12ab sin∠C，即S△ABC＝12ab sin∠C，同理S△ABC＝12bc sin∠A，S△ABC＝12ac sin∠B，aDB C通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理—余弦定理：在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bc cos∠Ab2＝a 2＋c2－2 ac cos∠Bc2＝a2＋b2－2 ab cos∠CA C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．：（1）如图，在△DEF中，∠F＝60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE 2．解：S△DEF＝12EF·DF sin∠F＝_______________；DE2＝EF 2＋DF2－2EF·DF cos∠F＝______________．F（2）在△ABC中，已知AC＞BC，∠C＝60°，△ABC＇、△BCA＇、△ACB＇分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC＇、△BCA＇、△ACB＇的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1＋S2＝S3＋S4．A'思路分析：（1）直接代入计算可得；（2）综合运用上面的三角形面积公式和余弦定理可解决问题．解：（1）S△DEF＝12EF·DF sin∠F＝12×3×8×2＝DE2＝EF 2＋DF2－2EF·DF cos∠F＝32＋82－2×3×8×12＝49．F（2）∵AB 2＝AC 2＋BC 2－2 AC ·BC cos60°， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－ AC ·BC ． ∴AB 2＋AC ·BC ＝AC 2＋BC 2． ∵S 1＋S 2＝12AC ·B Csin60°＋12AB 2·sin60°＝12（AC ·B C+ AB 2）sin60°， S 3＋S 4＝12B C 2·sin60°＋12AC 2·sin60°＝12（BC 2＋AC 2）sin60°， ∴S 1＋S 2＝S 3＋S 4．25．（2017内蒙古赤峰，25，12 分）△OPA 和△OQB 分别是以OP 、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点C 、D 、E 分别是OA 、OB 、AB 的中点．图3图2图1BAAO（1）当∠AOB ＝90°时如图1，连接PE 、QE ，直接写出EP 与EQ 的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．思路分析：本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，等角对等边，等边对等角，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，多边形内角和等，掌握相关图形的判定定理与性质定理是解题的关键．（1）①利用直角三角形斜边上的中线性质证OE＝AE；②证PE垂直平分OA；③证∠OPE＝45°，④证∠OQE＝45°，写出结论.（2）（1）中的结论成立.证△PCE≌△EDQ可得EP＝EQ．（3）∠AOB的度数＝12（四边形的内角和－∠AGB的度数）．解：（1）EP＝EQ．连接OE．∵∠AOB＝90°，E是AB的中点，∴OE＝AE．又∵OP＝AP，∴PE垂直平分OA，∴点C在PE上．∵∠OPA＝90°，∴∠OPE＝12∠OPA＝45°．同理可证∠OQE＝45°．∴EP＝EQ．（2）∵△OPA等腰直角三角形，点C是OA的中点，∴OC＝PC，∠PCA＝90°．∵点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点，∴CE∥OD，OC∥DE．∴四边形ODEC是平行四边形．∴OC＝DE．∴PC＝DE．同理可证CE＝DQ，∠BDQ＝90°．∵CE∥OD，OC∥DE，∴∠ACE＝∠AOD＝∠EDB．∴∠PCE＝∠EDQ．∴△PCE≌△EDQ．∴EP＝EQ．（3）连接OG．∵△OPA等腰直角三角形，点C是OA的中点，∴OC＝PC，∠PCA＝90°．∴PC 垂直平分OA ．∵点G 在PC 上，∴AG ＝OG ． 同理可证点G 在QC 上，∴BG ＝OG ． ∴∠PCA ＝∠PCA ，∠PCA ＝∠PCA ． ∵△ABG 为等边三角形，∴∠AGB ＝60°． ∵四边形的内角和为360°， ∴∠AOB 的度数＝12（四边形的内角和－∠AGB 的度数）＝12（360°－60°）＝150°．26．（2017内蒙古赤峰，26，12 分）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象交x 轴于A 、B两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为（3，0），顶点C 的坐标为（1，4）．备用图（1）求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；（2）点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B 、D 的点Q ，使△BDQ 中BD 边上的高为，若存在求出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．思路分析：本题考查了求二次函数的析式，一次函数解析式，一元二次方程根的判别，一元二次方程的解法，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，识别并构造等腰直角三角形是解题的关键．（1）①用待定系数法利用二次函数的顶点式求解较为简便；②用待定系数法可求直线BD 的解析式；（2）由y M －y P ，可求得线段PM 长度的最大值；（3）分两种情况讨论：①点Q 1在直线DB 的右上方；②点Q 2在直线DB 的左下方.根据题意列方程或方程组，问题可解决.解：（1）设二次函数的顶点式为y ＝a （x －k ）2＋h ．把点B （3，0），顶点C （1，4）代入，得0＝a （3－1）2＋4，解得a ＝－1． ∴二次函数的解析式为y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3．令x ＝0，则y ＝3，∴点D （0，3）．设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，点B （3，0），点D （0，3）代入，得03,3,k b b =+⎧⎨=⎩解得1,3.k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BD 的解析式为y ＝－x ＋3．（2）设P 点的横坐标为a ，则P （a ，－a ＋3），点M （a ，－a 2＋2 a ＋3）， 则线段PM 的长＝y M －y P ＝－x 2＋2x ＋3－（－x ＋3）＝－x 2＋3x ＝－（x －32）2＋94. ∴当x ＝32时，线段PM 的最大值是94． （3）分两种情况讨论：①如图，点Q 1在直线DB 的右上方，过点Q 1作Q 1E ⊥BD 于E ，Q 1F ⊥x 轴于F ，交DB 于G ． 则△OBD 、△FBG 、△EGQ 1是等腰直角三角形，Q 1E ＝EG ＝．设点Q 1（x ，－x 2＋2x ＋3），则点G （x ，－x ＋3），点F （x ，0）． ∵∠OBD ＝45°，∴BF ＝GF ＝3－x ． ∴Q 1G ＝－x 2＋2x ＋3－（3－x ）＝－x 2＋3x ． 在Rt △Q 1EG 中，∵Q 1G 2＝Q 1 E 2＋EG 2， ∴（－x 2＋3x ）2＝（2＋（）2． ∴（－x 2＋3x ）2＝16． ∴－x 2＋3x ＝±4．－x 2＋3x ＝4时，△＜0，方程无实根； －x 2＋3x ＝－4时，x 1＝4，x 2＝－1．∵0＜x ＜3，∴此种情况下不存在满足条件的点Q 1．②如图，点Q 2在直线DB 的左下方，过点Q 2作Q 2E ⊥BD 于E ，Q 2F ⊥x 轴于F ，交DB 于G ．则△OBD 、△FBG 、△EGQ 2是等腰直角三角形，Q 2E ＝EG ＝．∴GQ 2＝4.设点Q 2（x ，－x 2＋2x ＋3），则点G （x ，－x ＋3），点F （x ，0）． ∵∠OBD ＝45°，∴BF ＝GF ＝x －3． ∴Q 2 F ＝－（－x 2＋2x ＋3）＝4＋x －3． ∴x 2－3x －2＝0 ∴x 1＝4，x 2＝－1．当x ＝4时，－x 2＋2x ＋3＝－5； 当x ＝－1时，－x 2＋2x ＋3＝0； ∴Q 1（4，－5），Q 2（－1，0）．③如图，点Q 3在直线DB 的左下方，过点Q 3作Q 3E ⊥BD 于E ，EF ⊥x 轴于F ，Q 3G ⊥EF 于G ． 则△OBD 、△EFB 、△EGQ 3是等腰直角三角形，Q 3E ＝．∴GE ＝Q 2G ＝2．设点E （x ，－x ＋3），点Q 2（m ，－m 2＋2 m ＋3），则22,3(23)2x m m x m ⎧⎨-=⎩-=－＋－＋＋ ∴114,6m x ⎧⎨==⎩或221,2.m x ⎧⎨==-⎩∵0＜x ＜3，∴114,6m x ⎧⎨==⎩舍去.当m ＝－1时，－m 2＋2 m ＋3＝0，此时Q 3（－1，0），与点A 重合.综上，抛物线上存在异于B 、D 的点Q ，使△BDQ 中BD 边上的高为，点Q 的坐标为Q 1（4，－5），Q 2（－1，0）．。
内蒙古赤峰市2017年中考数学真题试题(含答案)
2017年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷数学一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1． |(3)5|--等于（ ）A ．-8B ．-2C ．2D ．82．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（ ）A ．59.002110⨯B ．49.002110⨯C ．390.02110⨯D ．2900.2110⨯4．下列运算正确的是（ ）A ．325()x y x y +=+B ．34x x x +=C ． 236x x x =gD ．236()x x = 5．直线//a b ，Rt ABC ∆的直角顶点C 在直线a 上，若135∠=o，则2∠等于（ ）A ．65oB ．50oC ． 55oD ．60o6成立的x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．2x ≥C ． 12x ≤≤D ．2x ≤7．小明向如图所示的正方形ABCD 区域内投掷飞镖，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．14C ． 13D ．188．下面几何体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．9．点2(1,)(3,)A y B y 、是反比例函数9y x=图象上的两点，则12y y 、的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y = C ． 12y y < D ．不能确定10．如图，将边长为4的菱形ABCD 纸片折叠，使点A 恰好落在对角线的交点O 处，若折痕EF =，则A ∠=（ ）A ．120oB ．100oC ． 60oD ．30o11．将一次函数23y x =-的图象沿y 轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ）A ．25y x =-B ．25y x =+C ． 28y x =+D ．28y x =-12．正整数x y 、满足(25)(25)25x y --=，则x y +等于（ ）A ．18或10B ．18C ．10D ．26二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．分解因式：2816xy xy x ++= ．14．如果关于x 的方程2420x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．15．数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数是 ．16．在平面直角坐标系中，点(,)P x y 经过某种变换后得到点(1,2)P y x '-++，我们把点(1,2)P y x '-++叫做点(,)P x y 的终结点．已知点1P 的终结点为1P ，点2P 的终结点为2P ，点3P 的终结点为4P ，这样依次得到1234n P P P P P L L 、、、、、，若点1P 的坐标为(2,0)，则点1n P +的坐标为 ．三、解答题 （在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17． 263()422a a a a a --÷-+- 其中2312017()305a -=+-o 18． 已知平行四边形ABCD ．（1）尺规作图：作BAD ∠的平分线交直线BC 于点E ，交DC 延长线于点F （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE CF =．19．为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A 喜欢吃苹果的学生；B 喜欢吃桔子的学生；C ．喜欢吃梨的学生；D ．喜欢吃香蕉的学生；E 喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x ；（3）现有5名学生，其中A 类型2名，B 类型2名，从中任选2名学生参加很体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）20．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如下面左图所示．已知20AC cm =，18BC cm =，50ACB ∠=o ，王浩的手机长度为17cm ，宽为8cm ，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin 500.8,cos500.6,tan 50 1.2===o o o）21．如图，一次函数13y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A E 、，以线段AB 为边在第一象限作等边ABC ∆．（1）若点C 在反比例函数k y x=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点)P m 在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，当PAD ∆与DAB ∆相切时，P 点是否在（1）中反比例函数图象上，如果在，求出P 点坐标；如果不在，请加以说明．22．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．23．如图，点A 是直线AM 与O e 的交点，点B 在O e 上， BD AM ⊥垂足为D ，BD 与O e 交于点C ，OC 平分,60AOB B ∠∠=o．（1）求证：AM 是O e 的切线；（2）若2DC =，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．如图，在ABC ∆中，设A B C ∠∠∠、、的对边分别为,,a b c ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，会有sin AD C AC∠=，则111sin sin 222ABC S BC AD BC AC C ab C ∆=⨯=⨯⨯∠=∠， 即1sin 2ABC S ab C ∆=∠ 同理1sin 2ABC S bc A ∆=∠ 1sin 2ABC S ac B ∆=∠ 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理—余弦定理：在ABC ∆中，若A B C ∠∠∠、、的对边分别为,,a b c ，则2222cos a b c bc A =+-∠2222cos b a c ac B =+-∠2222cos c a b ab C =+-∠用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．： （1）如图，在DEF ∆中，60F ∠=o，D E ∠∠、的对边分别是3和8．求DEF S ∆和2DE ． 解：1=sin 2DEF S EF DF F ∆⨯∠=_______________； 2222cos DE EF DF EF DF F =+-⨯∠=______________．（2）在ABC ∆中，已知,60AC BC C >∠=o ，ABC BCA ACB '''∆∆∆、、分别是以AB BC AC 、、为边长的等边三角形，设ABC ABC BCA ACB '''∆∆∆∆、、、的面积分别为1234S S S S 、、、，求证： 1234+=+S S S S ．25．OPA ∆和OQB ∆分别是以OP OQ 、为直角边的等腰直角三角形，点C D E 、、分别是OA OB AB 、、的中点．（1）当90AOB ∠=o时如图1，连接PE QE 、，直接写出EP 与EQ 的大小关系；（2）将OQB ∆绕点O 逆时针方向旋转，当AOB ∠是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将OQB ∆绕点O 旋转，当AOB ∠为钝角时，延长PC QD 、交于点G ，使ABG ∆为等边三角形如图3，求AOB ∠的度数．26．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象交x 轴于A B 、两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为(3,0)，顶点C 的坐标为(1,4)．（1）求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；（2）点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B D 、的点Q ，使BDQ ∆中BD 边上的高为若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．。
2017年中考真题数学(内蒙古赤峰卷)(无答案)
2017年中考真题精品解析数学（内蒙古赤峰卷）一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1．|（﹣3）﹣5|等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．82．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105B．9.0021×104C．90.021×103D．900.21×1024．下列运算正确的是（）A．3x+2y=5（x+y）B．x+x3=x4C．x2•x3=x6D．（x2）3=x65．直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（）A．65°B．50°C．55°D．60°6．能使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤27．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．8．下面几何体的主视图为（）A．B．C．D．9．点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定10．如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°11．将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣812．正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．分解因式：xy2+8xy+16x=．14．如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．15．数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是．16．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．18．已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．19．为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B 喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）20．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）21．如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB 相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．22．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．23．如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O 交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F=；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．25．△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．26．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B 的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．。
内蒙古赤峰市2017年中考数学试卷(解析版)
2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷一．选择题（共8小题）1．（2017赤峰）5-的倒数是（ ） A ．15B ．15-C ．5D ．5-考点：倒数。
解答：解：∵|﹣5|=5，5的倒数是， ∴|﹣5|的倒数是． 故选A ．2．（2017赤峰）下列运算正确的是（ ） A ．532x x x -=B ．222()a b a b +=+C ．336()mn mn =D ．624p p p ÷=考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。
解答：解：A ．x 5与x 3不是同类项，无法合并，故本选项错误； B ．根据完全平方公式得：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，故本选项错误； C ．（mn 3）3=m 3n 9，故本选项错误； D ．p 6÷p 2=p 4，故本选项正确． 故选D ．3．（2017赤峰）我们虽然把地球称为“水球”，但可利用淡水资源匮乏．我国淡水总量仅约为899000亿米3，用科学记数法表示这个数为（ ） A ．0.899×104亿米3B ．8.99×105亿米3C ．8.99×104亿米3D ．89.9×104亿米3考点：科学记数法—表示较大的数。
解答：解：899000亿米3=8.99×105亿米3， 故选：B ．4．（2017赤峰）一个空心的圆柱如图所示，那么它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：简单组合体的三视图。
解答：解：根据主视图的定义，得出它的主视图是：故选A ．5．（2017赤峰）已知两圆的半径分别为3cm 、4cm ，圆心距为8cm ，则两圆的位置关系是（ ） A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含考点：圆与圆的位置关系。
解答：解：∵两圆的半径分别为3cm 、4cm ， ∵两圆的半径和为：3+4=7（cm ）， ∵圆心距为8cm ＞7cm ， ∴两圆的位置关系是：外离． 故选A ．6．（2017赤峰）下列说法正确的是（ ） A ．随机掷一枚硬币，正面一定朝上，是必然事件 B ．数据2，2，3，3，8的众数是8 C ．某次抽奖活动获奖的概率为150，说明每买50张奖券一定有一次中奖 D ．想了解赤峰市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查 考点：概率的意义；全面调查与抽样调查；众数；随机事件。
北师大版初中数学七年级下册内蒙古赤峰市中考试卷
A．65° B．50° C．55° D．60° 6．（3 分）能使式子 + 成立的 x 的取值范围是（ ） A．x≥1 B．x≥2C．1≤x≤2 D．x≤2 7．（3 分）小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，点 E 是以 AB 为直 径的半圆与对角线 AC 的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分 的概率为（ ）
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（3）现有 5 名学生，其中 A 类型 3 名，B 类型 2 名，从中任选 2 名学生参加体 能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）
20．（10 分）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图 1 所 示．已知 AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为 17cm，宽为 8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈ 0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
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北师大初中数学 七年级
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2017 年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序 号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题 3 分，共计 36 分） 1．（3 分）|（﹣3）﹣5|等于（ ） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 2．（3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
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二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，共 12 分） 13．（3 分）分解因式：xy2+8xy+16x= ．
2017年内蒙古赤峰市中考数学试(含解析)
2017年内蒙古赤峰市中考数学试（含解析）一、选择题1. 将1，2，3，4四个数字排列组成3位数，其中不含数字3的数有（）A. 5B. 6C. 7D. 8解析：第一位数字只能选1或2，第二位数字只能选非3的数字，即1、2、4，第三位数字可以选任何一个数字，所以总共有2×3×4=24个数，去掉含有数字3的数，剩下8个，所以选D。
2. 若分数$\frac{a}{b}$与分数$\frac{c}{d}$比大小，应该比较（）A. $ad$和$bc$B. $ab$和$cd$C. $a+b$和$c+d$D. $a-b$和$c-d$解析：由于比较大小，两个分数的分子分母都需要同时乘以同一个正数或负数，才能得到正确的大小关系。
一般情况下，我们可以先将两个分数通分，比较分子的大小，如果相等，则比较分母的大小。
所以选B。
3. 若直线$ax+by+c=0$过点$(-1,1)$，垂直于直线$x+2y=5$，则$a+b=（）A. $4$B. $2$C. $-2$D. $-4$解析：对于两条直线垂直，它们的斜率之积为-1，所以$x+2y=5$的斜率是$-\frac{1}{2}$，所以它垂直的直线的斜率是2.设过点$(-1,1)$的直线为$l:ax+by+c=0$，则$l$的斜率是$-\frac{a}{b}$，由于$l$与$x+2y=5$垂直，因此$-\frac{a}{b}×(-\frac{1}{2})=-1$，解得$\frac{a}{b}=2$，代入$(-1,1)$得$-a+b+c=0$，又因为$ax+by+c=0$过点$(-1,1)$，代入得$-a+b+c=0$，联立解得$a=-2,b=1,c=-1$，因此$a+b=-1$，选C。
4. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，下列说法正确的是（）A. 当$x$增大时，$f(x)$减小，但无限接近于0B. $f(x)$是定义域在$(0,+\infty)$上，值域在$(-\infty,0)$上的单调递减函数C. $f(-1)=1$D. $f(x)$在点$x=0$处的导数不存在解析：A. 当$x$增大时，$f(x)$减小，但无限接近于0，这是正确的，因为$y=\frac{1}{x}$的图像是两个一四象限的渐近线，随着$x$越来越大，$\frac{1}{x}$越来越接近于0.B. $f(x)$在$x<0$时是负的，在$x>0$时是正的，所以说它在定义域上不是单调递减的，选项错误.C. $f(-1)=-1$，所以选项错误.D. $f(x)$在$x=0$处的导数不存在，因为它在$x=0$的左右两边的斜率是相反的，即左边为负无穷，右边为正无穷，所以选项正确.综上可知，选D.5. 设直线$l_1:y=-\frac{1}{2}x+2$与直线$l_2:x+y-1=0$的交点为$P$，点$Q$与$l_1$垂直，且$l_1$交线段$PQ$的延长线于点$R$，则$PQ×QR=$（）A. $\frac{9}{2}$B. $\frac{11}{2}$C. $3$D. $\frac{13}{3}$解析：首先求出$P$的坐标，将$l_1$代入$l_2$中得到$x=2,y=-1$，所以$P(2,-1)$.$PQ=\sqrt{(\frac{8}{5}-2)^2+(\frac{14}{5}+1)^2}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$，$QR=\sqrt{(-\frac{4}{3}-\frac{8}{5})^2+(\frac{8}{3}-\frac{14}{5})^2}=\sqrt{\frac{169}{225}}=\frac{13}{15}$，因此$PQ×QR=\frac{9}{2}$，选A.二、填空题6.若$ax+\frac{1}{x}=3$，则$x^2+\frac{1}{a^2x^2}=$（）解析：由于$(ax)^2+2×ax×\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2=(ax+\frac{1}{x})^2$，代入得到$a^2x^2+2+\frac{1}{a^2x^2}=9$，因此$x^2+\frac{1}{a^2x^2}=7$.所以填7.7. 令$x=100y^2-25,\ y=1+\sqrt{2}$，则$x=$（）解析：$x=100y^2-25=100(3+2\sqrt{2})-25=275+200\sqrt{2}$.所以填275+200$\sqrt{2}$.8. 如图，长方形$ABCD$中，$P$为$AD$延长线上的点，$E$为$PC$上的点，$\angle BAP=45^\circ$，则$\angle ADE=$（）解析：由于$\angle APB=45^\circ$，所以$PA=PB$，又因为$PC=PA+AC=PA+CD$，所以$PE=PB+BC=PB+AD$，由于$\triangle PAB\cong\triangle PEC$（从$\angle BAP=\angleECP$和$\angle ABP=\angle EPC$），所以$AE=PC=PA+CD$，因此$\triangle ADE$是等腰三角形，$\angle ADE=45^\circ$.三、解答题9. 一本数学书定价8元，某书店用优惠券销售这本书，第一个顾客以一张优惠券将这本书售出，此后每位顾客以前面一位顾客所剩的书的价格的$\frac{1}{3}$售出它，若直到此书售罄时已售出65本，则它在第几位顾客手中售出了？（6分）解析：设第几位顾客手中售出了这本书为$n$，设这本书在第$n$位顾客手中的价值为$x$元，则有$x=\frac{1}{3}x+\frac{1}{8}$，解得$x=\frac{4}{7}$.所以这本书在第6位顾客手中售出。
内蒙古赤峰市中考数学试卷
人教版九年级数学试题2017年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷数学一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1． |(3)5|--等于（ ）A ．-8B ．-2C ．2D ．82．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（ ）A ．59.002110⨯B ．49.002110⨯C ．390.02110⨯D ．2900.2110⨯4．下列运算正确的是（ ）A ．325()x y x y +=+B ．34x x x +=C ． 236x x x =D ．236()x x = 5．直线//a b ，Rt ABC ∆的直角顶点C 在直线a 上，若135∠=，则2∠等于（ ）A ．65B ．50C ． 55D ．60621x x --x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．2x ≥C ． 12x ≤≤D ．2x ≤7．小明向如图所示的正方形ABCD 区域内投掷飞镖，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．14C ． 13D ．188．下面几何体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．9．点2(1,)(3,)A y B y 、是反比例函数9y x=图象上的两点，则12y y 、的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y = C ． 12y y < D ．不能确定10．如图，将边长为4的菱形ABCD 纸片折叠，使点A 恰好落在对角线的交点O 处，若折痕23EF =，则A ∠=（ ）A ．120B ．100C ． 60D ．3011．将一次函数23y x =-的图象沿y 轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ）A ．25y x =-B ．25y x =+C ． 28y x =+D ．28y x =-12．正整数x y 、满足(25)(25)25x y --=，则x y +等于（ ）A ．18或10B ．18C ．10D ．26二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．分解因式：2816xy xy x ++= ． 14．如果关于x 的方程2420x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．15．数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数是 ．16．在平面直角坐标系中，点(,)P x y 经过某种变换后得到点(1,2)P y x '-++，我们把点(1,2)P y x '-++叫做点(,)P x y 的终结点．已知点1P 的终结点为1P ，点2P 的终结点为2P ，点3P 的终结点为4P ，这样依次得到1234n P P P P P 、、、、、，若点1P 的坐标为(2,0)，则点1n P +的坐标为 ． 三、解答题 （在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17． 263()422a a a a a --÷-+- 其中2312017()27tan 305a -=+-+ 18． 已知平行四边形ABCD ．（1）尺规作图：作BAD ∠的平分线交直线BC 于点E ，交DC 延长线于点F （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE CF =．19．为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A 喜欢吃苹果的学生；B 喜欢吃桔子的学生；C ．喜欢吃梨的学生；D ．喜欢吃香蕉的学生；E 喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x ；（3）现有5名学生，其中A 类型2名，B 类型2名，从中任选2名学生参加很体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）20．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如下面左图所示．已知20AC cm =，18BC cm =，50ACB ∠=，王浩的手机长度为17cm ，宽为8cm ，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin 500.8,cos500.6,tan 50 1.2===）21．如图，一次函数31y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A E 、，以线段AB 为边在第一象限作等边ABC ∆．（1）若点C 在反比例函数k y x=的图象上，求该反比例函数的解析式； （2）点(23,)P m 在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，当PAD ∆与DAB ∆相切时，P 点是否在（1）中反比例函数图象上，如果在，求出P 点坐标；如果不在，请加以说明．22．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．23．如图，点A 是直线AM 与O 的交点，点B 在O 上， BD AM ⊥垂足为D ，BD 与O 交于点C ，OC 平分,60AOB B ∠∠=．（1）求证：AM 是O 的切线；（2）若2DC =，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．如图，在ABC ∆中，设A B C ∠∠∠、、的对边分别为,,a b c ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，会有sin AD C AC ∠=，则111sin sin 222ABC S BC AD BC AC C ab C ∆=⨯=⨯⨯∠=∠， 即1sin 2ABC S ab C ∆=∠ 同理1sin 2ABC S bc A ∆=∠ 1sin 2ABC S ac B ∆=∠ 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理—余弦定理：在ABC ∆中，若A B C ∠∠∠、、的对边分别为,,a b c ，则2222cos a b c bc A =+-∠2222cos b a c ac B =+-∠2222cos c a b ab C =+-∠用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．： （1）如图，在DEF ∆中，60F ∠=，D E ∠∠、的对边分别是3和8．求DEF S ∆和2DE ． 解：1=sin 2DEF S EF DF F ∆⨯∠=_______________； 2222cos DE EF DF EF DF F =+-⨯∠=______________．（2）在ABC ∆中，已知,60AC BC C >∠=，ABC BCA ACB '''∆∆∆、、分别是以AB BC AC 、、为边长的等边三角形，设ABC ABC BCA ACB '''∆∆∆∆、、、的面积分别为1234S S S S 、、、，求证：1234+=+S S S S ．25．OPA ∆和OQB ∆分别是以OP OQ 、为直角边的等腰直角三角形，点C D E 、、分别是OA OB AB 、、的中点．（1）当90AOB ∠=时如图1，连接PE QE 、，直接写出EP 与EQ 的大小关系；（2）将OQB ∆绕点O 逆时针方向旋转，当AOB ∠是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将OQB ∆绕点O 旋转，当AOB ∠为钝角时，延长PC QD 、交于点G ，使ABG ∆为等边三角形如图3，求AOB ∠的度数．26．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象交x 轴于A B 、两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为(3,0)，顶点C 的坐标为(1,4)．（1）求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；（2）点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B D 、的点Q ，使BDQ ∆中BD 边上的高为22若存在求出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。
2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷 (2)
2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1．（3分）|（﹣3）﹣5|等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．82．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．3．（3分）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×1024．（3分）下列运算正确的是（）A．3x+2y=5（x+y）B．x+x3=x4C．x2•x3=x6D．（x2）3=x65．（3分）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（）A．65°B．50°C．55°D．60°6．（3分）能使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤27．（3分）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）下面几何体的主视图为（）A．B．C．D．9．（3分）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定10．（3分）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°11．（3分）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣812．（3分）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：xy2+8xy+16x=．14．（3分）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．15．（3分）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是．16．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17．（6分）（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．18．（6分）已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．19．（10分）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）20．（10分）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）21．（10分）如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD 与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．22．（10分）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．23．（12分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．（12分）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，=absin∠C即S△ABC同理S=bcsin∠A△ABCS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．=EF×DFsin∠F=；解：S△DEFDE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．25．（12分）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．26．（14分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1．（3分）（2017•赤峰）|（﹣3）﹣5|等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8【解答】解：|（﹣3）﹣5|=|﹣3﹣5|=|﹣8|=8，故选D．2．（3分）（2017•赤峰）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：C．3．（3分）（2017•赤峰）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102【解答】解：90021用科学记数法表示为9.0021×104．故选：B．4．（3分）（2017•赤峰）下列运算正确的是（）A．3x+2y=5（x+y）B．x+x3=x4C．x2•x3=x6D．（x2）3=x6【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；B、不是同类项不能合并，故B错误；C、x2•x3=x5，故C错误；D、（x2）3=x6，故D正确．故选：D．5．（3分）（2017•赤峰）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（）A．65°B．50°C．55°D．60°【解答】解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1=35°，∴∠3=90°﹣35°=55°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=55°，故选：C．6．（3分）（2017•赤峰）能使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2【解答】解：根据题意得：，解得：1≤x≤2．故选：C．7．（3分）（2017•赤峰）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E 是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：连接BE，可得，AE=BE，∠AEB=90°，且阴影部分面积=S=S△BEC=S正方形ABCD，△CEB故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：．故选：B．8．（3分）（2017•赤峰）下面几何体的主视图为（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看，故选：C．9．（3分）（2017•赤峰）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定【解答】解：∵反比例函数y=中的9＞0，∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3，∴y1＞y2，故选A．10．（3分）（2017•赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴E、F分别为AB、AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD，∴BD=2EF=4，∴BO=2，∴AO==2，∴AO=AB，∴∠ABO=30°，∴∠BAO=60°，∴∠BAD=120°．故选A．11．（3分）（2017•赤峰）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8【解答】解：由题意，得y=2x﹣3+8，即y=2x+5，故选：B．12．（3分）（2017•赤峰）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26【解答】解：∵xy是正整数，∴（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，∵25=1×25，或25=5×5，∴存在两种情况：①2x﹣5=1，2y﹣5=25，解得：x=3，y=15，；②2x﹣5=2y﹣5=5，解得：x=y=5；∴x+y=18或10，故选A．二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．（3分）（2017•赤峰）分解因式：xy2+8xy+16x=x（y+4）2．【解答】解：xy2+8xy+16x=x（y2+8y+16）=x（y+4）2．故答案为：x（y+4）2．14．（3分）（2017•赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜2．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，解得：m＜2．故答案为：m＜2．15．（3分）（2017•赤峰）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是16．【解答】解：数据5出现了2次，次数最多，所以众数是5；数据按从小到大排列为4，5，5，6，10，中位数为5；平均数=（5+6+5+4+10）÷5=6；5+5+6=16．故答案为16．16．（3分）（2017•赤峰）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为（2，0）．【解答】解：P1坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（﹣3，3），P4坐标为（﹣2，﹣1），P5坐标为（2，0），∴P n的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，∵2017=2016+1=4×504+1，∴P2017坐标与P1点重合，故答案为（2，0）．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17．（6分）（2017•赤峰）（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．【解答】解：原式=×﹣×=﹣=由于a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°，∴a=1﹣5+3=﹣1∴原式=﹣=﹣218．（6分）（2017•赤峰）已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．【解答】解：（1）如图所示，AF即为所求；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠4，∴CE=CF．19．（10分）（2017•赤峰）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为16÷40%=40人．（2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人，条形图如图所示，（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为=．20．（10分）（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C=50°，AC=20cm，∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm，∵BC=18cm，∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，∴AB==，∵17=＜，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．21．（10分）（2017•赤峰）如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD 与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．【解答】解：（1）在y=﹣x+1中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO===，∴∠BAO=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠CAO=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C（，2），∵点C在反比例函数y=的图象上，∴k=2×=2，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵P（2，m）在第一象限，∴AD=OD﹣OA=2﹣=，PD=m，当△ADP∽△AOB时，则有=，即=，解得m=1，此时P点坐标为（2，1）；当△PDA∽△AOB时，则有=，即=，解得m=3，此时P点坐标为（2，3）；把P（2，3）代入y=可得3≠，∴P（2，3）不在反比例函数图象上，把P（2，1）代入反比例函数解析式得1=，∴P（2，1）在反比例函数图象上；综上可知P点坐标为（2，1）．22．（10分）（2017•赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得：=，解得x=5．经检验x=5是原方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，依题意得：（5+2）（1100﹣a）+5a≤6000，解得a≥850．答：梨树苗至少购买850棵．23．（12分）（2017•赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【解答】解：（1）∵∠B=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠1=∠2=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM是⊙O的切线；（2）∵∠3=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=2，∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×2﹣=6﹣．24．（12分）（2017•赤峰）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF 和DE2．=EF×DFsin∠F=6；解：S△DEFDE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=49．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，∴S△DEFDE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．25．（12分）（2017•赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∴AP∥BQ，∴∠PAE=∠FBE，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE=OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ=OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）如图2连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°∴x+y=150°，∴∠AOB=150°．26．（14分）（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，∴QG=×2=4，∴|﹣x2+3x|=4，当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．参与本试卷答题和审题的老师有：zgm666；gbl210；HJJ；szl；sd2011；2300680618；王学峰；wd1899；499807835；曹先生；HLing；神龙杉；ZJX；弯弯的小河；Ldt；dbz1018；星月相随（排名不分先后）菁优网2017年7月15日。
内蒙古赤峰市中考数学试含解析
内蒙古赤峰市2017年中考数学真题试题
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）
1．|(3)5|--等于（
）A．-8
B．-2C．2D．8
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据分式的减法和绝对值可以解答本题．
|（﹣3）﹣5|=|﹣3﹣5|=|﹣8|=8，
故选D．
考点：有理数的减法；绝对值.
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C.
【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选C．
考点：中心对称图形；轴对称图形.
3．风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）
A．59.002110
⨯B．49.002110⨯C．390.02110⨯D．2900.2110⨯【答案】B.
【解析】。
2017内蒙古中考数学试题及答案,中考数学试题及答案
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2017内蒙古中考数学真题及答案发布入口
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2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷
2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1．（3分）|（﹣3）﹣5|等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．82．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．3．（3分）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×1024．（3分）下列运算正确的是（）A．3x+2y=5（x+y）B．x+x3=x4C．x2•x3=x6D．（x2）3=x65．（3分）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（）A．65°B．50°C．55°D．60°6．（3分）能使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤27．（3分）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）下面几何体的主视图为（）A．B．C．D．9．（3分）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定10．（3分）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°11．（3分）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣812．（3分）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：xy2+8xy+16x=．14．（3分）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．15．（3分）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是．16．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17．（6分）（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．18．（6分）已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．19．（10分）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）20．（10分）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）21．（10分）如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD 与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．22．（10分）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．23．（12分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．（12分）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，=absin∠C即S△ABC同理S=bcsin∠A△ABCS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．=EF×DFsin∠F=；解：S△DEFDE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．25．（12分）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．26．（14分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1．（3分）（2017•赤峰）|（﹣3）﹣5|等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8【分析】根据分式的减法和绝对值可以解答本题．【解答】解：|（﹣3）﹣5|=|﹣3﹣5|=|﹣8|=8，故选D．【点评】本题考查有理数的减法和绝对值，解答本题的关键是明确有理数减法的计算方法．2．（3分）（2017•赤峰）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）（2017•赤峰）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：90021用科学记数法表示为9.0021×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2017•赤峰）下列运算正确的是（）A．3x+2y=5（x+y）B．x+x3=x4C．x2•x3=x6D．（x2）3=x6【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；B、不是同类项不能合并，故B错误；C、x2•x3=x5，故C错误；D、（x2）3=x6，故D正确．故选：D．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．（3分）（2017•赤峰）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（）A．65°B．50°C．55°D．60°【分析】先根据直角为90°，即可得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1=35°，∴∠3=90°﹣35°=55°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=55°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行同位角相等．6．（3分）（2017•赤峰）能使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2【分析】根据二次根式的意义：被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：，解得：1≤x≤2．故选：C．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．7．（3分）（2017•赤峰）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S △CEB ，进而得出答案．【解答】解：如图所示：连接BE ， 可得，AE=BE ，∠AEB=90°，且阴影部分面积=S △CEB =S △BEC =S 正方形ABCD ，故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：． 故选：B ．【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用正方形性质得出阴影部分面积=S △CEB 是解题关键．8．（3分）（2017•赤峰）下面几何体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，故选：C．【点评】本题考查了简单主题的三视图，从正面看得到的图形是主视图．9．（3分）（2017•赤峰）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空．【解答】解：∵反比例函数y=中的9＞0，∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3，∴y1＞y2，故选A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数图象与系数的关系以及函数图象的性质是解题的关键．10．（3分）（2017•赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°【分析】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF∥BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴E、F分别为AB、AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD，∴BD=2EF=4，∴BO=2，∴AO==2，∴AO=AB，∴∠ABO=30°，∴∠BAO=60°，∴∠BAD=120°．故选A．【点评】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．11．（3分）（2017•赤峰）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8【分析】根据函数图象上加下减，可得答案．【解答】解：由题意，得y=2x﹣3+8，即y=2x+5，故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题关键．12．（3分）（2017•赤峰）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26【分析】易得（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题．【解答】解：∵x、y是正整数，且最小的正整数为1，∴2x﹣5是整数且最小整数为﹣3，2y﹣5是整数且最小的整数为﹣3∵25=1×25，或25=5×5，∴存在两种情况：①2x﹣5=1，2y﹣5=25，解得：x=3，y=15，；②2x﹣5=2y﹣5=5，解得：x=y=5；∴x+y=18或10，故选A．【点评】本题考查了整数的乘法，本题中根据25=1×25或25=5×5分类讨论是解题的关键．二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．（3分）（2017•赤峰）分解因式：xy2+8xy+16x=x（y+4）2．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：xy2+8xy+16x=x（y2+8y+16）=x（y+4）2．故答案为：x（y+4）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14．（3分）（2017•赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，解得：m＜2．故答案为：m＜2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．15．（3分）（2017•赤峰）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是16．【分析】根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平均数，再相加即可．【解答】解：数据5出现了2次，次数最多，所以众数是5；数据按从小到大排列为4，5，5，6，10，中位数为5；平均数=（5+6+5+4+10）÷5=6；5+5+6=16．故答案为16．【点评】本题考查了平均数，中位数，众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．16．（3分）（2017•赤峰）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为（2，0）．【分析】求得点P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．【解答】解：P1坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（﹣3，3），P4坐标为（﹣2，﹣1），P5坐标为（2，0），∴P n的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，∵2017=2016+1=4×504+1，∴P2017坐标与P1点重合，故答案为（2，0）．【点评】本题考查了学生发现点的规律的能力，本题中找到P n坐标得规律是解题的关键．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17．（6分）（2017•赤峰）（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．【分析】先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值．【解答】解：原式=×﹣×=﹣=由于a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°，∴a=1﹣5+3=﹣1∴原式=﹣=﹣2【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．18．（6分）（2017•赤峰）已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．【分析】（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠4．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠4，据此可得出结论．【解答】解：（1）如图所示，AF即为所求；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠4，∴CE=CF．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．19．（10分）（2017•赤峰）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）【分析】（1）根据百分比=计算即可；（2）求出B、C的人数画出条形图即可；（3）利用树状图，即可解决问题；【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为16÷40%=40人．（2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人，条形图如图所示，（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为=．【点评】本题考查列表法、树状图法、扇形统计图、条形统计图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（10分）（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C=50°，AC=20cm，∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm，∵BC=18cm，∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，∴AB==，∵17=＜，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答．21．（10分）（2017•赤峰）如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD 与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．【分析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．【解答】解：（1）在y=﹣x+1中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO===，∴∠BAO=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠CAO=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C（，2），∵点C在反比例函数y=的图象上，∴k=2×=2，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵P（2，m）在第一象限，∴AD=OD﹣OA=2﹣=，PD=m，当△ADP∽△AOB时，则有=，即=，解得m=1，此时P点坐标为（2，1）；当△PDA∽△AOB时，则有=，即=，解得m=3，此时P点坐标为（2，3）；把P（2，3）代入y=可得3≠，∴P（2，3）不在反比例函数图象上，把P（2，1）代入反比例函数解析式得1=，∴P（2，1）在反比例函数图象上；综上可知P点坐标为（2，1）．【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．22．（10分）（2017•赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得：=，解得x=5．经检验x=5是原方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，依题意得：（5+2）（1100﹣a）+5a≤6000，解得a≥850．答：梨树苗至少购买850棵．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一元一次不等式解实际问题的运用，解答时由方程求出两种树苗的单价是关键．23．（12分）（2017•赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．【解答】解：（1）∵∠B=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠1=∠2=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM是⊙O的切线；（2）∵∠3=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=2，∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×2﹣=6﹣．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（12分）（2017•赤峰）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，=absin∠C即S△ABC同理S=bcsin∠A△ABCS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF 和DE2．解：S=EF×DFsin∠F=6；△DEFDE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=49．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，∴S△DEFDE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，解本题的关键是理解新定义，会用新定义解决问题．25．（12分）（2017•赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∴AP∥BQ，∴∠PAE=∠FBE，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE=OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ=OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）如图2连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°∴x+y=150°，∴∠AOB=150°．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解（1）的关键是构造全等三角形，解（2）的关键是判断出CE=DQ，解（3）的关键是判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，是一道中等难度的题目．26．（14分）（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q 点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，∴QG=×2=4，∴|﹣x2+3x|=4，当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷 精编
2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1．（3分）（2017•赤峰）|（﹣3）﹣5|等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值．【分析】根据分式的减法和绝对值可以解答本题．【解答】解：|（﹣3）﹣5|=|﹣3﹣5|=|﹣8|=8，故选D．【点评】本题考查有理数的减法和绝对值，解答本题的关键是明确有理数减法的计算方法．2．（3分）（2017•赤峰）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）（2017•赤峰）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105B．9.0021×104C．90.021×103D．900.21×102【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：90021用科学记数法表示为9.0021×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2017•赤峰）下列运算正确的是（）A．3x+2y=5（x+y）B．x+x3=x4 C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x6【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；B、不是同类项不能合并，故B错误；C、x2•x3=x5，故C错误；D、（x2）3=x6，故D正确．故选：D．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．（3分）（2017•赤峰）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（）A．65°B．50°C．55°D．60°【考点】JA：平行线的性质．【分析】先根据直角为90°，即可得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1=35°，∴∠3=90°﹣35°=55°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=55°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行同位角相等．6．（3分）（2017•成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2D．x≤2【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：2010xx-≥⎧⎨-≥⎩，解得：1≤x≤2．故选：C．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．7．（3分）（2017•赤峰）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．18【考点】X5：几何概率．【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S △CEB ，进而得出答案．【解答】解：如图所示：连接BE ，可得，AE=BE ，∠AEB=90°，且阴影部分面积=S △CEB =12S △BEC =14S 正方形ABCD ， 故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：14． 故选：B ．【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用正方形性质得出阴影部分面积=S △CEB 是解题关键．8．（3分）（2017•赤峰）下面几何体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，故选：C．【点评】本题考查了简单主题的三视图，从正面看得到的图形是主视图．9．（3分）（2017•赤峰）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=9x图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空．【解答】解：∵反比例函数y=9x中的9＞0，∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3，∴y1＞y2，故选A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数图象与系数的关系以及函数图象的性质是解题的关键．10．（3分）（2017•赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L8：菱形的性质．【分析】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF∥BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而∠BAO 的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴E、F分别为AB、AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD，∴BD=2EF=BO=∴，∴AO=12AB，∴∠ABO=30°，∴∠BAO=60°，∴∠BAD=120°．故选A．【点评】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．11．（3分）（2017•赤峰）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【分析】根据函数图象上加下减，可得答案．【解答】解：由题意，得y=2x﹣3+8，即y=2x+5，故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题关键．12．（3分）（2017•赤峰）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26【考点】1C：有理数的乘法．【分析】易得（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题．【解答】解：∵xy是正整数，∴（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，∵25=1×25，或25=5×5，∴存在两种情况：①2x﹣5=1，2y﹣5=25，解得：x=3，y=15，；②2x﹣5=2y﹣5=5，解得：x=y=5；∴x+y=18或10，故选A．【点评】本题考查了整数的乘法，本题中根据25=1×25或25=5×5分类讨论是解题的关键．二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．（3分）（2017•赤峰）分解因式：xy2+8xy+16x=x（y+4）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：xy2+8xy+16x=x（y2+8y+16）=x（y+4）2．故答案为：x（y+4）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14．（3分）（2017•赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜2．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，解得：m＜2．故答案为：m＜2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．15．（3分）（2017•赤峰）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是 16 ．【考点】W5：众数；W1：算术平均数；W4：中位数．【分析】根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平均数，再相加即可．【解答】解：数据5出现了2次，次数最多，所以众数是5；数据按从小到大排列为4，5，5，6，10，中位数为5；平均数=（5+6+5+4+10）÷5=6；5+5+6=16．故答案为16．【点评】本题考查了平均数，中位数，众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．16．（3分）（2017•赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2017的坐标为 （2，0） ．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】求得点P 2、P 3、P 4、P 5的值，即可发现其中规律，即可解题．【解答】解：P 1 坐标为（2，0），则P 2坐标为（1，4），P 3坐标为（﹣3，3），P 4坐标为（﹣2，﹣1），P 5坐标为（2，0），∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，∵2017=2016+1=4×504+1，∴P 2017 坐标与P 1点重合，故答案为（2，0）．【点评】本题考查了学生发现点的规律的能力，本题中找到P n 坐标得规律是解题的关键．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17．（6分）（2017•赤峰）263()422a a a a a --÷-+-，其中a=2017°+（﹣15）﹣1．【考点】6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值．【解答】解：原式=6232(2)(2)2a a aa a a a a---⨯-⨯+-+=636(2)(2)a aa a a a---++=22a-+由于a=2017°+（﹣15）﹣1，∴a=1﹣5+3=﹣1∴原式=212--+=﹣2【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．18．（6分）（2017•赤峰）已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠4．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠4，据此可得出结论．【解答】解：（1）如图所示，AF即为所求；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠4，∴CE=CF．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．19．（10分）（2017•赤峰）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】（1）根据百分比=所占人数总人数计算即可；（2）求出B、C的人数画出条形图即可；（3）利用树状图，即可解决问题；【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为16÷40%=40人．（2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人，条形图如图所示，（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为82= 205．【点评】本题考查列表法、树状图法、扇形统计图、条形统计图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（10分）（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C=50°，AC=20cm，∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm，∵BC=18cm，∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，∴∵17，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答．21．（10分）（2017•赤峰）如图，一次函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=kx的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB 相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．【解答】解：（1）在y=﹣3x+1中，令y=0可解得x=0可得y=1，∴A 0），B （0，1），∴tan ∠BAO=OB OA ==BAO=30°， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠CAO=90°，在Rt △BOA 中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C 2），∵点C 在反比例函数y=k x的图象上，∴∴反比例函数解析式为y=x；（2）∵P （m ）在第一象限，∴AD=OD ﹣PD=m ，当△ADP ∽△AOB 时，则有PD AD OB OA =，即1m =，解得m=1，此时P 点坐标为（1）；当△PDA ∽△AOB 时，则有PD ADOB OA =，=，解得m=3，此时P 点坐标为（3）；把P （3）代入y=x 可得，∴P （3）不在反比例函数图象上，把P （1）代入反比例函数解析式得∴P （1）在反比例函数图象上；综上可知P 点坐标为（1）．【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C 点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．22．（10分）（2017•赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得：250035002x x=+，解得x=5．经检验x=5是原方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，依题意得：（5+2）（1100﹣a）+5a≤6000，解得a≥850．答：梨树苗至少购买850棵．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一元一次不等式解实际问题的运用，解答时由方程求出两种树苗的单价是关键．23．（12分）（2017•赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM 垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【考点】ME ：切线的判定与性质；MO ：扇形面积的计算．【分析】（1）由已知条件得到△BOC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到【解答】解：（1）∵∠B=60°，∴△BOC 是等边三角形，∴∠1=∠2=60°，∵OC 平分∠AOB ，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA ∥BD ，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM 是⊙O 的切线；（2）∵∠3=60°，OA=OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴∴S 阴影=S 梯形OADC ﹣S 扇形OAC =160π168π(42)23603⨯+⨯=．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（12分）（2017•赤峰）如图1，在△ABC 中，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，会有sin ∠C=AD AC，则S △ABC =12BC×AD=12×BC×ACsin ∠C=12absin ∠C ， 即S △ABC =12absin ∠C ，同理S △ABC =12bcsin ∠A S △ABC =12acsin ∠B 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC 中，若∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则a 2=b 2+c 2﹣2bccos ∠A ，b 2=a 2+c 2﹣2accos ∠B ，c 2=a 2+b 2﹣2abcos ∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF 中，∠F=60°，∠D 、∠E 的对边分别是3和8．求S △DEF 和DE 2．解：S △DEF =12EF×DFsin ∠F= DE 2=EF 2+DF 2﹣2EF×DFcos ∠F= 49 ．（2）如图4，在△ABC 中，已知AC ＞BC ，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB 、BC 、AC 为边长的等边三角形，设△ABC 、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，求证：S 1+S 2=S 3+S 4．【考点】KY ：三角形综合题．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S 1，S 2，S 3，S 4，最后用余弦定理即可得出结论．【解答】解：（1）在△DEF 中，∠F=60°，∠D 、∠E 的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，∴S △DEF =12EF×DFsin ∠F=12×3×8×sin60°= DE 2=EF 2+DF 2﹣2EF×DFcos ∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC•BCcos60°=AC 2+BC 2﹣AC•BC ， 两边同时乘以12sin60°得，12AB 2sin60°=12AC 2sin60°+12BC 2sin60°﹣12AC•BCsin60°， ∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S 1=12AC•BCsin60°，S 2=12AB 2sin60°，S 3=12BC 2sin60°，S 4=12AC 2sin60°， ∴S 2=S 4+S 3﹣S 1，∴S 1+S 2=S 3+S 4，方法2、令∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∴S 1=12absin ∠C=12absin60°=4ab ∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S 2=122，S 3=122，S 4=12b 2，∴S 1+S 2ab+c 2），S 3+S 4a 2+b 2）， ∵c 2=a 2+b 2﹣2ab•cos ∠C=a 2+b 2﹣2ab•cos60°，∴a 2+b 2=c 2+ab ，∴S 1+S 2=S 3+S 4．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，解本题的关键是理解新定义，会用新定义解决问题．25．（12分）（2017•赤峰）△OPA 和△OQB 分别是以OP 、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点C 、D 、E 分别是OA 、OB 、AB 的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE 、QE ，直接写出EP 与EQ 的大小关系；（2）将△OQB 绕点O 逆时针方向旋转，当∠AOB 是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG 为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∴AP∥BQ，∴∠PAE=∠FBE，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE=12OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ=12OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）如图2连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°∴x+y=150°，∴∠AOB=150°．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解（1）的关键是构造全等三角形，解（2）的关键是判断出CE=DQ，解（3）的关键是判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，是一道中等难度的题目．26．（14分）（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B 两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣32）2+94，∴当m=32时，PM有最大值94；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为QH=HG=∴，∴|﹣x2+3x|=4，当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
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2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷(解析版)2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1．|（﹣3）﹣5|等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．82．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105B．9.0021×104C．90.021×103D．900.21×1024．下列运算正确的是（）A．3x+2y=5（x+y）B．x+x3=x4C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x65．直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（）A．65°B．50°C．55°D．60°6．能使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤27．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．8．下面几何体的主视图为（）A．B．C．D．9．点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定10．如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O 处，若折痕EF=2，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°11．将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣812．正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．分解因式：xy2+8xy+16x= ．14．如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．15．数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是．16．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17．（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．18．已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．19．为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）20．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）21．如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD 与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．22．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．23．如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD 与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，△ABC=absin∠C即S△ABC=bcsin∠A同理S△ABC=acsin∠BS△ABC通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F= ；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= ．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．25．△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E 分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．26．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）1．|（﹣3）﹣5|等于（）A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值．【分析】根据分式的减法和绝对值可以解答本题．【解答】解：|（﹣3）﹣5|=|﹣3﹣5|=|﹣8|=8，故选D．2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：C．3．风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（）A．9.0021×105B．9.0021×104C．90.021×103D．900.21×102【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：90021用科学记数法表示为9.0021×104．故选：B．4．下列运算正确的是（）A．3x+2y=5（x+y）B．x+x3=x4C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x6【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；B、不是同类项不能合并，故B错误；C、x2•x3=x5，故C错误；D、（x2）3=x6，故D正确．故选：D．5．直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（）A．65°B．50°C．55°D．60°【考点】JA：平行线的性质．【分析】先根据直角为90°，即可得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1=35°，∴∠3=90°﹣35°=55°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=55°，故选：C．6．能使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：，解得：1≤x≤2．故选：C．7．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【考点】X5：几何概率．【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S△CEB，进而得出答案．【解答】解：如图所示：连接BE，可得，AE=BE，∠AEB=90°，且阴影部分面积=S△CEB =S△BEC=S正方形ABCD，故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：．故选：B．8．下面几何体的主视图为（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，故选：C．9．点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空．【解答】解：∵反比例函数y=中的9＞0，∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3，∴y1＞y2，故选A．10．如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O 处，若折痕EF=2，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L8：菱形的性质．【分析】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF∥BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴E、F分别为AB、AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD，∴BD=2EF=4，∴BO=2，∴AO==2，∴AO=AB，∴∠ABO=30°，∴∠BAO=60°，∴∠BAD=120°．故选A．11．将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【分析】根据函数图象上加下减，可得答案．【解答】解：由题意，得y=2x﹣3+8，即y=2x+5，故选：B．12．正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26【考点】1C：有理数的乘法．【分析】易得（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题．【解答】解：∵xy是正整数，∴（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，∵25=1×25，或25=5×5，∴存在两种情况：①2x﹣5=1，2y﹣5=25，解得：x=3，y=15，；②2x﹣5=2y﹣5=5，解得：x=y=5；∴x+y=18或10，故选 A．二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）13．分解因式：xy2+8xy+16x= x（y+4）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：xy2+8xy+16x=x（y2+8y+16）=x（y+4）2．故答案为：x（y+4）2．14．如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜2 ．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，解得：m＜2．故答案为：m＜2．15．数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是16 ．【考点】W5：众数；W1：算术平均数；W4：中位数．【分析】根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平均数，再相加即可．【解答】解：数据5出现了2次，次数最多，所以众数是5；数据按从小到大排列为4，5，5，6，10，中位数为5；平均数=（5+6+5+4+10）÷5=6；5+5+6=16．故答案为16．16．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为（2，0）．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】求得点P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．【解答】解：P1坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（﹣3，3），P4坐标为（﹣2，﹣1），P5坐标为（2，0），∴Pn的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，∵2017=2016+1=4×504+1，∴P2017坐标与P1点重合，故答案为（2，0）．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）17．（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．【考点】6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值．【解答】解：原式=×﹣×=﹣=由于a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°，∴a=1﹣5+3=﹣1∴原式=﹣=﹣218．已知平行四边形ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠4．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠4，据此可得出结论．【解答】解：（1）如图所示，AF即为所求；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠4，∴CE=CF．19．为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图2补充完整，并求图1中的x；（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】（1）根据百分比=计算即可；（2）求出B、C的人数画出条形图即可；（3）利用树状图，即可解决问题；【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为16÷40%=40人．（2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人，条形图如图所示，（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为=．20．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C=50°，AC=20cm，∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm，∵BC=18cm，∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，∴AB==，∵17=＜，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．21．如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD 与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．【解答】解：（1）在y=﹣x+1中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO===，∴∠BAO=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠CAO=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C（，2），∵点C在反比例函数y=的图象上，∴k=2×=2，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵P（2，m）在第一象限，∴AD=OD﹣OA=2﹣=，PD=m，当△ADP∽△AOB时，则有=，即=，解得m=1，此时P点坐标为（2，1）；当△PDA∽△AOB时，则有=，即=，解得m=3，此时P点坐标为（2，3）；把P（2，3）代入y=可得3≠，∴P（2，3）不在反比例函数图象上，把P（2，1）代入反比例函数解析式得1=，∴P（2，1）在反比例函数图象上；综上可知P点坐标为（2，1）．22．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得： =，解得x=5．经检验x=5是原方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，依题意得：（5+2）+5a≤6000，解得a≥850．答：梨树苗至少购买850棵．23．如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD 与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．【解答】解：（1）∵∠B=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠1=∠2=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM是⊙O的切线；（2）∵∠3=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=2，∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×2﹣=6﹣．24．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF 和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F= 6；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= 49 ．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得， AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．25．△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E 分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∴AP∥BQ，∴∠PAE=∠FBE，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE=OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ=OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°∴x+y=150°，∴∠AOB=150°．26．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，∴QG=×2=4，∴|﹣x2+3x|=4，当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．第31页（共32页）2017年7月12日第32页（共32页）。