初中数学人教版 三角形的初步知识 人教版

A
D
C
E
D
B
E
C
A
F
B
如上图，EF是AB的中垂线，分别延长BE、AE至D， C，使DE=CE，则AD与BC相等吗? 请说明理由。
三角形中线的性质：
三角形的中线把三角形分成两个
面积相等的三角形
A
如图，若AD是△ABC中BC边上的中线，
则有
△ABD的面积=△ACD的面积 B
D
C
如下图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC 的中线，若△ABC的面积是8，求△DEC的面积。
A E
B Leabharlann BaiduC
（要求写出完整的解题过程）
线段中垂线的性质：
线段中垂线上的任意一点到线段两个 端点的距离相等
如图，若直线m是线段的垂直平分线,
m C
C是直线上的任一点,
则有 CA=CB
A
B
如下图，已知△ABC中，DE是BC边上的中垂线，若 AC=5，EC=2， △ADC的周长是13，求△ABC的周长。
B（第6题）
（第7题）
6、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 100度
7、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，
则∠B= 50 度，∠C= 60 度
三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念
练一练:
A
1.如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线。 E 已知AB=4，AC=3，BE=5，△ABE的周长
A
_ _
B
C
例２
如图，已知：AB=CD，AC=DB，说明（1） ∠B=∠C （2）OA=OD
A B
D
解:（1）连结AD，
在△ABD和△ACD中：
O
∵
AB=DC （已知） BD=CA （已知）
AD=DA（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
C ∴∠B=∠C（全等三角形的对
应角相等）
练习:
如图,已知：CA=CB,AD=BD,M、N分别是CB、CA
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
A
A
E E
B
D
CB D
C
如上图，△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD 上的一点，若BD:CD=2:3 ，DE:AE=1:4 ，△ABC 的面积是8，求△DEC的面积。
练习
已知:如图,B是AC的中点,AD=CE,AE=CD. 说明(1)△ADC ≌△CEA (2)BD=BE的理由
D
E
=
= √√
1．以下各组线段，能组成三角形的是（ B ） A.2cm,2cm,4cm B.3cm,6cm,8cm C.2cm,3cm,6cm D.4cm,6cm,11cm
2、在△ABC中，若∠A=54°， ∠B=36°，则△ABC是（C） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形
3、如图,在△ABC，∠A=75°∠B=45° 则∠ACD=___1_2_0_。_
C
∴PB=PC
P
A
B
角平分线上点到角两边距离相等.
7、如图在△ABC，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC 于D。若DC=3，则点D到AB的距离是____3_____。
E
１、如图，△ABC中,DE垂直平分ＡＣ，AE=３cm, △ABD的周长是9cm,则△ABC的周长是_1_5_c_m___.
A E
B
D
C
２、 如图，已知△ABC中，∠B=45°， ∠C=75°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的 平分线，则∠DAE= 15 0
A
B ED C
3、如图，BE、CF是△ABC 的角平分线， ∠A=40°求∠BOC度数．
变式１
如图，BE、CF是△ABC 的外角平分线， ∠A=40°求∠BOC度数．
=__1__0_.5___.
C
B
A
F
2.如图,CE,CF分别是△ABC的 内角平分线和外角平分线,
则∠ECF的度数=__9_0___度.
E B
D C
3. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AC=3，△ABD和 △ACD的周长的差是2，你能求出AB的长吗？
1或5
例1、如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于
（2）角上的性质： 三角形三内角和等于180度 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角之和
练一练：
1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成 三角形吗？（单位：厘米。填“能”或“不能”) （1）3，4，能5（ ） （2）8，7，15（不能） （3）13，12，20（ 能 ）
（4）5，5，11（不能）
点M，AC、BE相交于点N，∠1=∠2，试说明（1） △ABE ≌ △ACD （2）AM=AN
A
12
D
E
M
N
B
C
创造条件！ ？
4.如图，AD、BF都是△ABC 的高线，若∠CAD=30度，则 ∠CBF=__3_0___度。
A EF
B
D
A
5、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。
已知∠ABC=600，∠ACB=700, 求∠ACEE， p
∠BDC的度数。
400
800
B
C
D C
三角形全等的判定方法 （1）全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形是全等三角形
（2）边边边公理（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等
（3）边角边公理（SAS） 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
的中点. 说明DM=DN的理由.
C N
M 按“三步走”的方法分析题 目!
A
B 连结CD.
D
课堂小结：{请你谈谈收获、感想}
1、证题前先分析（方法是“三步走”） 2、证明线段或角相等有时需通过两次全 等来实现 3、注意解题格式
发展练习:
已知:a,b,c是△ABC的三条边,d,e,f是 △DEF的三条边,若∣a-d∣+∣b-e∣= -(c-f)2,试说明△ABC≌△DEF.
A
B
C
O
F
E
变式２
如图，BE、CF分别是△ABC 的内角与外角 平分线，∠A=40°求∠BOC度数．
A
F
OE
B
C
D
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
E
A
F
C
D
B
思考题：
如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC， AC=DB，则∠B=∠C,请说明理由.
A
D
O
B
C
角平分线的性质：
角平分线上的任意一点到这个角两边 的距离相等
如图，若点P是∠CAB的平分线上 一点，并且PB⊥AB，PC⊥AC，
则有 PC=PB
A
C P
B
如图,在△ABC中, AD是△BAC的角平分线， DE是△ABD的高线， ∠C=90 度。若DE=2， BD=3，求线段BC的长。
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
1、我们已经学会的判定两个三角形全等的方法有：
SSS
SAS
ASA
AAS
注意:千万不要将SSA条件作为SAS条件来用。
2、关键：找对应角和对应边
3、三角形全等的解题前分析方法是 “三步走”
①要证什么； ②已有什么； ③还缺什么。
三角形的性质 （1）边上的性质：
三角形的两边之和大于第三边 三角形的两边之差小于第三边
AD
B E CF
3、在△ABC，AB＝5，BC＝9，那么 4 ＜AC＜ _1_4_
4、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为 奇数，那么第三边长是 _7_或__9__ 5、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm， 这个三角形的周长是 __1_7_c_m____
A
A
12
C 1E
D
B
D
C
（4）角边角公理（ASA） 两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
（5）角角边公理（AAS） 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
如图,已知AC平分∠BCD,要说明△ABC≌△ADC, 还需要增加一个什么条件?请说明理由。
BC=CD
或∠BAC=∠DAC
或∠B=∠D
C
B A
D
如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC, 说明∠EFD=∠BCA的理由。
第一重境界，是出得来，而进不去；第二重境界，是进得去，而出不来；第三重境界，才是进退自如、来去随意。放得下，是因为看透了、超脱了，所以随缘。 跟道家学想得开 。道家是追求超世、讲究自然的，要求心明大道、眼观天地、冷眼看破。概括为三个字，就是“想得开”。什么是“想得开”？且看这个“道”字——一个“走”字旁加一个“首”字，也就是脑袋走或者走脑袋。脑袋走就是动脑子，尽量透彻；走脑袋就是依胸中透彻而行，尽量顺应规律。合起来，就是要明道，并依道而行。这种智慧，就是想得开。
3、三角形按内角的大小分为三类：①锐角三角形； ②直角三角形；③钝角三角形。根据下列条件判断它们 是什么三角形？ （1）三个内角的度数是1:2:3（ 直角三角形 ） （2）两个内角是50°和30°（ 钝角三角形 ）
练习:
已知:如图∠B=∠DEF,AB=DE, 要说明ΔABC≌ ΔDEF. (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 C＿B＿=E＿F ＿； (2)若要以“ASA”为依据，还缺条件∠＿A＿=∠＿D＿； (3)若要以“AAS” 为依据，还缺条件∠＿AC＿B＿=∠＿D；FE
4、能把一个三角形分成面积相 等的两部分是三角形的是（A）
A、中线 B、高线 C、角平分线 D、过一边的中点且和这条边垂 直的直线
5、∵ l 是线段AB的中垂线， 点C在 l 上
∴CA=CB
l
C
AO
B
注意：
线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
６、∵点P是∠BAC的平分线上的
一点且 PB⊥AB,PC ⊥AC,
第二重境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。事情是需要去做才能成的，成越大的事业，需要越大的努力和付出，甚至要经受越大的磨难和困苦。这个世间，从来都是“艰难困苦，玉汝于成”；所以无论如何，都要“天行健，君子以自强不息”。 第三重境界是“众里寻她千百度，蓦(mò)然回首，那人却在，灯火阑珊处”。这说的是历经磨难而逐渐成熟、成长，最终豁然贯通、水到渠成。这其中蕴含一个重要道理，就是苏东坡所说的“厚积而薄发”。只有厚积才能薄发，人要做的，就是不断厚积，等待薄发。这就是拿得起的完整路径，也是事业成功的完整过程。 跟佛家学放得下 。佛家是追求出世、讲究清净的，要求能看到《金刚经》所言的“一切有为法，如梦幻泡影”，做到《心经》所言的“照见五蕴皆空”。概括为三个字，就是“放得下”。 什么是“放得下”？且看这个“佛”字——左边一个“人”，右边一个“弗”，弗的意思是“不”，合起来就是“不人”和“人不”。不人就是无人，也就是放下自我，摆脱私心的困缚；人不就是懂得拒绝，也就是放下欲望，超脱对外物的追逐。这两点能做到，就是放得下。
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。