6子空间的交与和

§6子空间的交与和

定理5 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交21V V 也是

V 的子空间.

由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：

1221V V V V =(交换律)，

)()(321321V V V V V V =（结合律）.

由结合律，可以定义多个子空间的交：

s

i i

s V V V V 1

21==

,

它也是子空间.

定义8 设1V ,2V 是线性空间V 的子空间，所谓1V 与2V 的和，是指由所有能表示成21αα+,而2211,V V ∈∈αα的向量组成的子集合，记作21V V +.

定理6 如果1V ,2V 是线性空间V 的子空间，那么它们的和21V V +也是V 的子空间.

由定义有，子空间的和适合下列运算规律：

1221V V V V +=+(交换律)，

)

()(321321V V V V V V ++=++（结合律）.

由结合律，可以定义多个子空间的和

∑==

+++s

i i

s V V V V 1

21 .

它是由所有表示成

),,2,1(,21s i V i i s =∈+++αααα

的向量组成的子空间.

关于子空间的交与和有以下结论：

1. 设W V V ,,21都是子空间，那么由1V W ⊂与2V W ⊂可推出21V V W ⊂；而由1V W ⊃与2V W ⊃可推出21V V W +⊃.

2. 对于子空间1V 与2V ，以下三个论断是等价的： 1）;21V V ⊂ 2) 121V V V = ; 3)221V V V =+.

例1 在三维几何中用1V 表示一条通过原点的直线，2V 表示一张通过原点而且与1V 垂直的平面，那么，1V 与2V 的交是{}0，而1V 与2V 的和是整个空间.

例2 在线性空间n P 中，用1V 与2V 分别表示齐次方程组

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨

⎧=+++=+++=+++0

,

0,0221

122221*********n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 与

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨

⎧=+++=+++=+++0

,

0,

0221

122221*********n tn t t n n n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间，那么21V V 就是齐次方程组

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧=+++=+++=+++=+++0

,0,

0,

022*******

1122111212111n tn t t n n n sn s s n n x b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a 的解空间.

例3 在一个线性空间V 中，有

),,,,,(),,,(),,,(112121t s t s L L L ββααβββααα =+.

关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.

定理7（维数公式）如果1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，那么

维（1V ）+维（2V ）=维（21V V ）+维（21V V ）.

从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.

推论 如果n 维线性空间V 中两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，那么1V ，2V 必含有非零的公共向量.