浅谈韦达定理在解析几何中的应用

考试规定的时间内完成, 难度很大。这也就对我们教师在教学中提 出了更高的 要求, 在教学时, 需 要针对 学生的实 际, 进
行韦达定理解题的专门练习, 使之在学习中能 灵活运用。
例谈几何变换的应用
朱振 武
( 安庆市外国语学校 安徽 安庆 246001)
变换在数学中出现较频繁, 如代数变换、三角变换、几何变换等。新课改尤其重视几何变换的学习并把它 作为工具, 要求学生掌握, 这是几何教学改革的一大亮点。几何内容虽然整 体要求有所减弱, 但几何变换的思想对一 线教师来讲 给 予了特别的关注和加强, 从中考也可窥见一斑 。几何变 换只有两大 类型: 一 种是合同 变换( 全等变 换) , 包括 平移、旋转、 轴对称; 一种是相似变换, 他的特殊情形是位似变换, 全 等是相似的特 殊情形, 在解题时 把他们联 系起来 考虑并 不少见。 几何变换的观点是课程标准要求培养的重 要思想 方法, 要让学 生/ 经历探 索物体 与图形 基本性质、变 换、位置关 系的 过 程。掌握平移、旋转、轴对称、相似等性质。在探索图形的性质、图形的 变换等 活动中 初步建立 空间观 念, 发 展直觉。0 几 何变换是将学习到的最基本的三角形、四边形、圆的知识进行横向、纵向联系的纽带, 把这些基本图形通过 几何变换转 化 为较复杂的图形。本文将通过例题来探究几何变换的内在联系, 综合应用几何变换来沟通几何与代数知识, 把分散的 条 件集中, 探究数量关系和位置关系, 建立数学模型, 简化 思维过程。
27, 设 P( x 1 , x 1 ) 、Q( y 2 , y 2 ) ,
y1 y 2 =
1 2
(
3
-
x1)
@
1 2
(3-
x2)
=
1 4
[
9-
3(x 1+
x2) +
x1x2]
=
图1
1 4
(9+
6+
4m 5
27) =
m + 12 5
因为OP L OQ , 所以 x 1 x 2 + y 1 y2 =
0,
的压轴题, 如:
例5
设
F1 、F2
分别是椭圆 x 2 5
+
y2 4
=
1 的左、右焦点, ( Ñ ) 若 P 是该椭 圆上的一个动点, 求PF 1 # PF 2 的最大值和
最小值; ( Ò ) 是否存在过点 A ( 5, 0) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C 、D , 使得 | F2 C | = | F2D | ?若存在, 求直线 l 的方 程; 若不存在, 请说明理由。
| P 1P 2 | =
( x 1 - x 2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 =
( x1 -
x2)2[1+
( y1 x1 -
y2) 2] x2
=
( x 1 - x 2) 2 ( 1 + k2 ) =
| x1 - x2 |
( 1 + k2 ) , 同理可得 | P 1P 2 | = | y 1 - y 2 |
所以x - x B xC - x
=
xB xC
,
]
x=
2x B x C x B + xC
( 1)
y = kx + a
设过 A 所作直线方程为 y = kx + a, ( 显然 k 存在) , 由
得( 1+ k2 ) x 2 + ( 2ak - 4) x + a2 + 3 = 0,
( x - 2)2 + y2 = 1
k
(
25 k2 5k2 +
4
-
5)
=
- 20k 5k2 + 4
。又
|
F2C |
=
|
F2D |
Z F2R L
l Z k # kF2R = -
1, 故 k # k F2 R =
k#
0
1
(-
2 0k 5k 2 +
4)
-
25 k2 5k2 + 4
=
20 k2 4 - 20k2
=-
1
得 20k2 = 20k 2 - 4, 所以不存在直线 l, 使得 | F2C | = | F2 D | 。 综上所述, 不存在直线 l, 使得 | F2 C | = | F2 D | 。
得4m5
27 +
m+ 5
12
=
0, 解得 m =
3。
4 求轨迹的问题
轨迹问题是高考重点考查的内容, 常常与最值及分 类讨论的思想结合在一起。解析几何中的/ 求轨迹方程, 并说明 是
什么曲线0 是近几年高考的热点 , 它综合考查了学生逻辑推理能力, 运算能力, 分析问题和 解决问题 的能力, 其计算的 重
利用韦达定理解有关圆锥曲线, 特别是在 求有关弦长与弦的中点时 非常简便; 它利 用了设而 不求的 方法进 行求解, 大大简化了计算步骤, 同时解题的思路比较清 晰, 如直线与曲线( 椭圆、双曲线、抛物线) 相交, 求弦长、弦 的中点等。
1 弦长问题 设直线与曲线相交于 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P2 ( x 2 , y 2) 两点, 直线 P1 P2 的斜 率为 k, 则
第3期
操礼智: 浅谈韦达定 理在解析几何中的应用
# 121 #
由韦达定理的 x 1 + x 2 =
4k2 2k2 +
41k,
因为
x1
+ 2
x2
=
-
1
,
所以42kk22
+
4k 1
=
-
2 , 得k=
1 2
,
故直线
AB
所在的方程为:
x - 2y + 3 = 0。
3 向量数量积的 问题
向量是研究解析几何问题的重要工具, 向 量的数量积是向量运算的 重要内容, 其平面 直角坐 标运算 公式为: 若 a =
2009 年 8 月 第 15 卷第 3 期
安庆师范学院学报( 自然科学版)
Journal of Anqing Teachers College( Natural Science Edit ion)
Aug. 2009 Vol. 15 No. 3
浅谈韦达定理在解析几何中的应用
操礼 智
( 安庆市第十一中学, 安徽 安庆 246001)
所以 x B + x C =
41+
2 ak k2
, xBx
C
=
2a + 2-
3k ak
,
代入(
1)
得
x
=
a2 + 3 2 - ak
,
故
y
=
kx +
a=
2a + 2-
a3kk,
消去
k,
得所求轨迹为
2x - ay - 3 = 0, ( 在圆 M 内部) 。
5 求存在性问题
这个问题是解析几何中的难点, 在教学过 程中, 学生对这个问题 的掌握相 对而言比较 困难, 这类问 题一般 也是试 卷
在直线 l 斜率存在, 设为 k, 则有 y =
k( x - 5) , 由方程组
x5 5
+
y2 4
=
1 , 得( 5k2 + 4) x 2 - 50k2 x + 125k2 - 20 =
0, 依题
y = k( x - 5)
意 v = 20( 16 - 80k2 ) > 0, 得 -
5 5
<
k<
55, 当 -
线方程。
解 设 A B 所在直线的方程为 y - 1 = k( x + 1) , A ( x 1 , y 1) , B( x 2 , y2 )
由方程组
x2 4
+
y2 2
=
1
y - 1 = k( x + 1)
消去 y 得: ( 2k 2 + 1) x 2 + ( 4k - 4k2 ) x + 2k2 - 4x - 2 = 0
6 结束语
以上就韦达定理在解析几何中的应用作了简单分析, 从上述各例中 我们可以看 出: 韦 达定理 的应用 相当灵活 , 且 十
分广泛, 要很好地掌握它、应用它, 需对题中的条件、结论有精心的分析, 然后将其条件进行变形和转化成一元 二次方程,
方能运用它来解决相关问题。这类问题的特点主要表现 为概念性强, 计算量大, 对学生的运算能力要求比较高, 特别是 在
1 应用几何变换来沟通几何和代数知识 几何和代数是数学不可分割的两块, 它们 的联系紧密, 各自以 数和形作为 研究的重 点, 它 们的沟通 可以将 各自领 域 的棘手问题顺利解决。正如著名的数学家希尔伯特曾说:/ 算术 是写下来的 图形, 几何图形 是画出 来的公式 。0 构造图 形 利用几何变换的知识直观地解决一些代数问题, 以及利用几何变换将图形中的隐含条件挖掘出来, 再借助明了的代数 变 形解决几何问题都是常见的思路。
解 ( Ñ ) 易知 a = 5, b = 2, c = 1, 所以 F1 = (- 1, 0) , F2 = ( 1, 0) 。设 P ( x , y ) , 则PF 1 # PF 2 = ( - 1- x , - y )
# ( 1- x , - y) = x2 + y2 - 1, x2 + 4 -
( x 1 , y 1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) , 则 a# b = x 1 x 2 + y1 y 2 。利 用韦达定理解决有关直线与曲线相交的问题时, 将直 线方程与曲线方程 所构成的方程组中消去一元, 转化为一元二次方程的形 式, 根据题意便可利用韦
达定理求解有关 x 1 、x 2 或 y 1 、y 2 的代数表达式。 例 3 已知圆 x 2 + y 2 + x - 6y + m = 0 与直线 x + 2y - 3 = 0 相交于 P、
x=
x1 + 2
x2
=-
13 5
y = - 2x - 4 =
6 5
| A B | = | x 1 - x 2 | ( 1 + k2 ) =
262 -
4@ 5
5@
33 @
1+
(-
2)2 =
45 5
所以, 圆的方程是( x + 13 ) 2 + ( y - 6 ) 2 = 4 。
5
5
5
2 弦的中点问题
直线与曲线相交时的弦的中点或弦中点的轨迹方程可以用韦达定理解决, 如设直线 m: y = kx + b 与曲线相交于 两
Q 两点( 如图 1) , O 为坐标原点, 若OP L OQ, 求实数 m 的值。
x + 2y - 3 = 0
解
由 x 2 + y2 + x - 6y + m = 0
消 y 得, 5x 2 + 10x - 27 + 4m = 0,
根据韦达定理, x 1 +
x2 = -
2, x 1 x 2 =
4m 5
( 1+
1 k2
)
,
故弦长公式
|
P1P2 | = |
x1 -
x2 |
( 1+ k2) 或
| P1P 2 | = | y1- y2 |
(1+
1 k2
),
其中 |
x1
-
x2 | =
( x 1 + x 2) 2 - 4x 1 x 2 , | y1 - y 2 | =
( y 1 + y 2 ) 2 - 4y1 x y 2 可由
点就是通过韦达定理来求解。
例 4 过点 A ( 0, a) 作直线交圆 M : ( x - 2) 2 + y 2 = 1 于点 B、C, 在 BC 上取一点 P , 使 P 点满足: AB = KA C , BP =
KPC ( K I R) , 求点 P 的轨迹方程。
解 令 P ( x , y ) , 因为A B = KA C, BP = KPC , ( K I R) , 所以 x B = Kx C , x - x B = K( x C - x )
4 5
x2 -
1=
1 5
x2 +
3, 因 x
I
[-
5, 5] , 故当 x = 0, 即点 P 为椭圆短轴端点
时, PF1 # PF 2 有最小值 3; 当 x = ? 5, 即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 # PF2 有最大值 4 。 ห้องสมุดไป่ตู้ Ò ) 假设存在满足条件的直线 l, 易知点 A ( 5, 0) 在椭圆的外部, 当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 与椭圆无交点, 所
韦达定理是初中课程中的重要定理, 但在整个中学 阶段解题时都会经常用到它。鉴于它应用的灵活性, 在解决有 关 方程、三角、几何等问题中都有着广泛的应用, 特别对于 圆锥曲线问题, 初看起 来没有方 程的影子, 也不 是两数 之和与 两 数之积的问题, 没有直接运用韦达定理的条件, 但经过适当的变形或转化后, 就显出了一元二次方程的性质, 变成两数 之 和与两数之积的问题了, 就可以运用韦达定理 来求解。下面就韦达定理在解析几何中的应用举例介绍:
5 5
<
k<
5 5
时,
设交点 C( x 1,
y 1 ) 、D( x 2 , y 2 ) , CD
的中点为
# 122 #
安庆师范学院学报( 自然科学版)
2009 年
R(x0 , y0) , 则 x1 +
x2 =
50 k2 5k2 +
4,
x0
=
x1
+ 2
x2
=
25k 2 5k 2 +
4,
所以
y
0
=
k( x 0 - 5) =
点 A ( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 线段 A B 中点为 M ( x 0 , y 0 ) , 则: x 0 =
x1 + x2 ,y = 2
y1 + y2 = 2
kx 0 + b。
例2
已知过点 P(-
1, 1)
作直线与椭圆 x 2 4
+
y2 2
=
1 交于 A , B 两点, 若线段 AB 的中点恰为点 P , 求 A B 所在的直
韦达定理求得。
例 1 求过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x - 4y + 1 = 0 的交点, 且面积最小的圆的方程?
2x + y + 4 = 0
解由
, 消 y 得 5x 2 + 26x + 33 = 0, 根据韦达定理, A B 的中点 P 的坐标为
x 2 + y2 + 2x - 4y + 1 = 0