数理课后精选作业题第5-6章
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章
1.下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级： 1)
2
2
)
1(1+z z 2)
3
sin z
z 7)
)
1(12
-z
e z
解：1）
2
2
2
2
11
(1)
()()
z z z z i z i =
++-，由极点的第一种判断方法可得，
0z =为一阶极点，z i =±为二阶极点。
2）和7）见ppt 上的例题。
8.求下列各函数)(z f 在有限奇点处的留数：
1)z
z z 212
-+ 2)
4
21z
e z
- 3)
3
2
4)1(1++z z
4)
z z cos
5)z
-11cos 6)z
z 1sin
2
7)z
z sin 1
8)chz
shz
解：（1）2
11
()2(2)z z f z z z
z z
++=
=
--
由极点的第一种判断方法可得，0,2z z ==都是f(z)的一阶极点， 0
2
11(0)lim (0).
(2)2
13(2)lim (2).
(2)
2
z z z Resf z z z z Resf z z z →→+=-=--+=-=-
(2) 解:把函数()f z 在0z <<∞内洛朗展开，
2
3
2
3
24
44
3
2
(2)(2)41[12]
2212242!
3!
3
3z
z z z z z z e z
z
z z
z
z
-+++
+---
+-=
=
=-
-
-
+
从上式的洛朗展开可得，0z =为函数的三阶极点，所以有
14(0)3
resf b -==-
（3）
44
2
3
3
3
11()(1)
()()
z
z
f z z z i z i ++=
=
++-
由极点的第一种判断方法可得，z i =±为f(z)的三阶极点。
24
3
2
3
324
3
2
3
3
113
()lim
[().
]2!
()()
8113()lim
[().
]2!
()()
8z i
z i
d
z
Resf i z i i
dz
z i z i d
z
Resf i z i i
dz z i z i →→-+=
-=-+-+-=
+=+- （4）
()cos z
f z z
=
解：cos 0,0,1,2,2
k z z k k π
π==+
=±± 令可得
k z 为cosz 的一阶零点，从而为f(z)的一阶极点。
1
/()(1)
(),0,1,2,(cos )
2
k
k k z z z resf z k k z ππ+==
=-+
=±±
或者用洛朗展开 2
4
3
1
1cos [1]
[
]2!
4!2!4!
z z z
z
z z
z
z ==-
+
--+-
（5）解:可知，1z =是函数的本性奇点，在01z <-<∞内用洛朗展开来求留数，
2
4
111()cos 11
2!(1)
4!(1)
f z z z z ==-+
+---
可知，1(1)0resf b -== （6）解： 2
1()sin
f z z z
=，0z =是函数的奇点，可知函数在0z <<∞有洛朗展开式
2
2
3
5
3
111111sin
(
)3!5!3!5!z z z z
z z
z
z
z
=-
+
+=-
+
-
所以，11
1(0)3!
6
resf b -==-=-
（7）解：
z
z sin 1
因为(0,1,2,)k z k k π==±± 是sin z z 的零点，从而是z
z sin 1的极点。
（i ）因为'(sin )
0(1,2,)k
z z z z k =≠=±± ，所以(1,2,)k z k k π==±± 是
z
z sin 1的
一阶极点，故'111()(1)
(sin )
cos k
z k resf k z z k k k π
πππ
π
==
=
=-
（ii ）由3
5
sin 3!
5!
z
z
z z =-
+
- ，
可知，00z =是1
sin z
的一阶极点，从而是
z
z sin 1的