刚体转动件的平衡
刚体的平衡与转动定律的应用
刚体的平衡与转动定律的应用在物理学中，刚体是指其形状和大小在外力作用下不发生变化的物体。
刚体的平衡和转动定律是刚体力学中的重要概念，它们被广泛应用于各种实际工程问题的分析和解决。
一、刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受到外力作用时，保持静止或以一定的速度进行匀速直线运动的状态。
刚体的平衡有两种类型：平稳平衡和不平衡。
1. 平稳平衡当刚体处于平稳平衡状态时，它的重心和支持点重合，不会发生任何转动。
这意味着刚体所受到的合力和合力矩都为零。
根据平衡条件，我们可以得出：∑F = 0 （合力为零）∑M = 0 （合力矩为零）其中，∑F表示合力矢量的矢量和，∑M表示合力矩矢量的矢量和。
平稳平衡的一个典型例子是悬挂在弹簧上的质点。
当质点受到向下的重力和向上的弹簧力之和为零时，质点处于平稳平衡状态。
2. 不平衡当刚体处于不平衡状态时，它的重心和支持点不重合，会发生转动。
此时，刚体所受的合力和合力矩都不为零。
根据不平衡条件，我们可以得出：∑F ≠ 0 （合力不为零）∑M ≠ 0 （合力矩不为零）不平衡的一个典型例子是一个倾斜的物体，当物体所受到的重力分量不平衡时，物体将发生转动。
二、转动定律的应用转动定律是描述刚体转动的物理定律，通过转动定律，我们可以对刚体的转动进行详细的分析。
1. 动量定理动量定理是刚体转动定律的基础，它描述了刚体转动的动力学关系。
根据动量定理，刚体所受的合外力矩等于刚体动量的变化率。
即：∑M = dL/dt其中，∑M表示合外力矩的矢量和，L表示刚体的角动量，t表示时间。
通过动量定理，我们可以计算刚体受到的合力矩以及刚体角动量的变化情况。
2. 角动量守恒定律角动量守恒定律是转动定律中十分重要的一个定律。
它描述了刚体在没有外力矩作用下的转动规律。
根据角动量守恒定律，如果刚体在某一时刻的合外力矩为零，则刚体的角动量将保持不变。
即：∑M = 0 时，L = 常数通过角动量守恒定律，我们可以解决一些与刚体转动相关的问题，如旋转飞盘的角速度变化、自行车的倾斜和转弯等。
刚体的平衡
第七章 刚体力学
y
F
Fy j
C
C´
E
Fxi30W°
B W
x
A FN
M z EA FN sin30 W (EB cos 30 CB sin30 )
W (EB cos 30 CB sin30 ) 0
解以上三方程得 FN 8.75 kN
Fx 4.38 kN, Fy 2.08 kN F Fx2 Fy2 4.85 kN, tan 0.4748
Fiy 0
Miz 0
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第七章 刚体力学
其中
Miz 0
是力对z轴力矩的代数和为零,z是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
(1) 诸力对任意轴的力矩和为零. 在力的作用平面内选O
和O´ 两个参考点，OO´ 连线不与Ox轴正交
Fix 0
Miz 0
Miz 0
(2) 在力的作用平面内选O、O´ 和O´´ 三个参考点，
O、O´ 和O´´ 三点不共线
Miz 0
Miz 0
Miz 0
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§7.6.2 杆的受力特点
第七章 刚体力学
在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡. 1. 杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对 光滑铰链联结,只有通过节点的压力.
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第七章 刚体力学 [例题2]将长为l ,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下, 已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分
别为1 和2 ，为使质量为m2 的人爬到梯子顶端时,梯
子尚未发生滑动.试求梯子与地面间的最小夹角.
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y
刚体的平衡
Ai-1
Pi P6
A1 C
A6
P1 mg
例7.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块， 在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图 所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长 为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥 孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l h
H
L
解：
l x1 2
解：设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则
Pi 2Pi（1 i=2 … 6）
P2 2P1
P3 2P2 22 P1
Bi-1
LL
P6 25 P1 32P1 考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得
P1
l 2
mg
3 4
l
P6l
0
B6
P6 32P1 代入可解得：
1 P1 42 mg
Pi-1
Ai
1.刚体平衡条件
1）物体受力的矢量和为零：
r
Fi 0
i
2）对矩心的合力矩为零
r
Mi
rri
r Fi
0
i
i
重要推论：
刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的 合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相 交于一点。
2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳 定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定 平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为 随遇平衡。
x1
x2
mx1
m( x1 2m
l
/
2)
x1
l 4
x2
l 4
x1
x2
x3
m( x1
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
刚体转动惯量的测定实验报告
刚体转动惯量的测定实验报告实验目的：1.了解刚体转动惯量的概念和定义；2.学习利用旋转法测量刚体转动惯量；3.掌握利用平衡法测量刚体转动惯量的方法。
实验仪器：1.旋转法实验装置：圆盘、转轴、杠杆、螺旋测微器、质量砝码等；2.平衡法实验装置：平衡木、质量砝码、支撑点等。
实验原理：1.旋转法实验原理：设刚体的转动惯量为I，当刚体在转轴上匀加速转动时，在力矩M作用下，刚体产生角加速度α。
根据牛顿第二运动定律和角动量定理可得到：M=Iα(1)在角加速度恒定的情况下，转动惯量I与力矩M成正比。
2.平衡法实验原理：刚体转动惯量测量的基本原理是利用转轴位置的移动来改变刚体的转动惯量，使得转动惯量I和重力力矩Mg达到平衡，即：Mg=Iα(2)在刚体转动平衡的状态下，转动惯量I与重力力矩Mg成正比。
实验步骤：1.旋转法实验步骤：(1)将圆盘固定在转轴上，并将转轴竖直插入转台中央的孔中。
(2)将杠杆固定在圆盘上，使得杠杆能够自由转动。
(3)在杠杆上加上一定的质量砝码，使得圆盘开始匀加速转动。
(4)测量转轴上的螺旋测微器的读数，记录下圆盘旋转一定角度时的螺旋测微器的读数。
(5)记录下圆盘质量与加速度的数值，计算出实验测得的转动惯量。
2.平衡法实验步骤：(1)将平衡木放置在支撑点上，使得平衡木可以自由转动。
(2)在平衡木上加上一定的质量砝码，使得平衡木保持平衡。
(3)移动转轴的位置，直到平衡木重新平衡。
(4)记录下转轴位置与加在平衡木上的质量的数值，计算出实验测得的转动惯量。
实验数据处理：1.旋转法实验数据处理：(1)根据螺旋测微器的读数，计算出圆盘旋转的角度。
(2)根据实验测得的圆盘质量和加速度的数值，计算出实验测得的转动惯量。
2.平衡法实验数据处理：(1)根据转轴位置的变化，计算出实验测得的转动惯量。
实验结果分析：根据实验测得的数据，通过旋转法和平衡法两种方法测得的刚体转动惯量进行比较和分析。
分析实验数据的偏差和不确定度，讨论实验结果的可靠性。
刚体力学中的转动和平衡条件
刚体力学中的转动和平衡条件刚体力学是物理学中一门重要的学科，它研究的是刚体在外力作用下的运动和平衡条件。
转动和平衡是刚体力学中两个基本的概念，它们对于理解物体的力学行为具有重要意义。
一、转动的基本概念转动是指物体绕固定轴线或转轴进行旋转的运动。
在刚体力学中，我们通常使用转动惯量来描述物体在转动时对转轴的旋转惯性。
转动惯量与物体的质量和几何形状有关，可以通过质量分布和离转轴距离的积分来计算。
转动的力矩是引起物体转动的力的效果。
力矩的大小等于力乘以力臂，力臂是力相对于转轴的垂直距离。
根据牛顿第二定律，物体的转动加速度与力矩成正比，与转动惯量成反比。
这就是著名的欧拉定理：转动惯量乘以转动加速度等于力矩。
二、平衡的概念和条件当物体处于平衡状态时，它的重心不会偏离平衡位置，而且旋转加速度为零。
平衡可以分为静态平衡和动态平衡。
静态平衡指的是物体在不受外力作用时保持静止的状态。
为了实现静态平衡，物体必须满足两个条件：合力为零，合力矩为零。
合力为零意味着物体所受的所有力在任何方向上的分量都相互抵消。
这可以通过平行四边形法则来分析，将各力按其作用线的方向绘制成矢量，然后将这些矢量按照平行四边形的法则相加，如果合力为零，则物体处于平衡状态。
合力矩为零意味着物体所受的所有力矩对转轴的合力矩为零。
在平衡时，物体上的每一个力矩都可以通过力乘以力臂来计算，然后将这些力矩相加。
如果合力矩为零，则物体处于平衡状态。
动态平衡指的是物体在受到外力作用时，保持一种稳定的运动状态。
在动态平衡条件下，物体的加速度为零，且物体所受的合力与合力矩也为零。
为了实现动态平衡，物体必须具有一定的角动量和角动量守恒条件。
角动量是物体旋转时的运动量，它等于转动惯量乘以角速度。
根据角动量守恒定律，当物体在没有外力作用下旋转时，它的角动量保持不变。
三、转动和平衡条件的应用转动和平衡条件在工程和科学研究中有广泛的应用。
在机械工程中，对于各种机械系统的设计和分析，刚体力学的转动和平衡条件是关键要素。
刚体的定轴转动及平衡分析
的是刚体 对 转轴 的角 动量 的变化 规律 ． 于刚体 对 轴上某 参 考点 的角 动量矢 量 及其 变化 规律则 比较 复杂 ， 至 在
普 通物 理范 围内很难 全 面涉 及． 是 我们 应 当理解 ： 但 刚体 对轴 上参 考点 的角动量 ．仅 在特 殊情 况下 与角 速度 ，
∞有相 同方 向 一般 说来 ， ． ∞有 某一 夹角ｎ ， ，和 １这时 Ｊ — ∞不 能成 立． （） 考虑 到 刚体 对 轴转 动惯 对 ２式
规 律 ．因此 ， 刚体 力 学 中 的规 律 实 际 上 是 质 点 组 力 学在 “ 点 间距 离保 持 不 变 ” 件 下 的 表 现 形 式 ． 质 条
［ 键 词 ］ 冈 体 ； 衡 ； 性 参 考 系 ； 动 动 能 ； 动 惯 量 关 ｜ Ｉ ｊ 平 惯 转 转
，
［ 章 编 号 ＿ 、 ６ ２２ ２ （ ０ ８ ０ －１ ８０ 文 ］ １ ７ －０ ７ ２ ０ ） ｔ０ ０ —２
■
［ 图分 类号］ 中
Ｏ３ ３ ３ ［ 献 标 识 码 ］ １ 文
｜
Ａ
１ 刚体 定 轴 转动
对 于 刚体 转 动 ， 原则 上 可 以将 牛顿 定理 用 于 刚体各 质元 来 进行 分 析 ， 出每个 质 元 的运 动状 态 ， 这 是 解 但 要 的作 用 ． 刚体视 作不 变质 点组 并且应 用质 点组 动 量定理 ， 得 到刚体 定轴 转动 定理 ． 将 就
和轴 的位置 有关 ．
能 以为 通 过这种 类 比就 算 掌握 刚体 定 轴转 动 的规律 了． 像所 有 的类 比一样 ， 然它 常 常 有助 于启 发 想象 ， 虽 但
此外 ， 们还 应该 掌握 用积 分计 算形状 简单 的物体 的转 动惯量 以及 关 于转 动惯 量 的规律 ： 我 平行 轴定 理和
刚体转轴知识点总结
刚体转轴知识点总结一、刚体转轴的概念刚体转轴是指刚体绕某一确定点进行旋转运动时的轴线。
在刚体的运动学和动力学中，刚体的旋转运动通常是绕着固定的点或者固定的轴线进行的，而这个固定的点或轴线就被称为刚体的转轴。
在实际应用中，我们经常会遇到刚体转轴的相关问题，比如物体的转动惯量、角动量等。
二、刚体转轴的性质1. 刚体转轴是刚体旋转的轴线，刚体可以绕着转轴进行自旋运动。
2. 对于任意一个刚体的旋转运动来说，都必须存在一个转轴。
3. 刚体的转轴可以是固定的，也可以是随时间变化的。
4. 对于平面刚体来说，其转轴通常是固定的，而对于空间刚体来说，其转轴可以是随着时间变化的。
三、刚体转轴与刚体运动的关系1. 刚体转轴与刚体的自旋运动密切相关，刚体绕着转轴进行自旋运动。
2. 刚体转轴的位置和方向决定了刚体的旋转运动的性质，对于不同位置和方向的转轴，刚体的旋转运动是不同的。
3. 对于不同形状和质量分布的刚体来说，其转轴的位置和方向也是不同的。
四、刚体转轴的应用1. 在机械工程中，刚体转轴广泛应用于各种机械设备和工具中，比如转轴的设计和制造、转轴的定位和安装等。
2. 在航空航天领域，刚体转轴常常用于飞行器和卫星的姿态控制系统中，用来控制飞行器的姿态和稳定性。
3. 在物理学和工程学中，刚体转轴被用来研究停车、转弯、滚动等运动现象，以及相关的力学和动力学问题。
五、刚体转轴的相关定理和定律1. 旋转惯量定理：刚体围绕着转轴做直线运动，它的动能是角动能 -- 这是刚体转动的基本定理。
2. 平行轴定理：将刚体的质心转移到刚体质心轴上的转动惯量，通过一个和刚体质心轴平行的轴线，刚体的转动惯量。
这是把刚体坐标原点转移到质心坐标原点的矢量转换法。
3. 垂直轴定理：刚体被转移到刚体质心轴上的转动惯量通过垂直于刚体的质心轴平行轴的平方。
这个震动也可以通过用刚体质心轴和刚体的垂直轴的垂直轴定理来推导。
4. 平均定理：当刚体平衡的时候，它转动惯量与异常性能合，并等于它的权重力面在平衡上的较小平均动能/较大转动惯量5. 平界定理：当刚体平衡时，它围绕它的质心旋转的转动惯量和围绕其他类的质心转动的转动惯量之间的比率和围绕它的转动惯量之间的比率相等。
1.5刚体平衡的条件
ΣF = 0
– W – P – G + FA + FB = 0 (3)
取A点为转动轴，有
Σ MA = 0
W×(6 – 2) – P×2 – G×(12 + 2) + FB×4 = 0 (4)
14G + 2P – 4W 由（4）式可得FB = = 870N 4
代入（3）式得FA = 210N
课堂小结
培养全面分析问题的能力和推理能力
教学重难点
重点
1、刚体的概念 2、刚体平衡的条件
难点
能正确运用平衡条件求解静力学问题
本节导航
1﹑刚体平衡的条件 2﹑例题详解
1、刚体平衡的条件
选用不容易变形的 直杆代表扁担。用弹簧 测力计测出它自身的重 量G，再设法测出杆的 重心C。
D
A
C
B
图1.5-1
用细线拴住杆的A、B两点，把它挂在两个 弹簧测力计下面，并在D处挂4个钩码（其总重量 G1），如图1.5-1所示。调节测力计的高低，使杆 在水平方向上平衡。
10G – 2P Wmin = 8 10×200－2×700 = kN 8 = 75kN
空载时G = 0，为了保证起重机不致绕A点 翻倒，所受力的力矩必须满足平衡方程ΣMA = 0，即所有外力对A点的力矩之和为零。在临界 情况下，FB = 0，这时求出的W值是所允许的 最大值。由ΣMA = 0 ，得
据牛顿第三定律，后轮对地面的压力大小为
5.3 ×103N
例题
W 塔式起重机如图1.5-4所示。机 架重P = 700kN，重力作用线通过 塔架中心。最大起重量G = 200kN， 最大悬臂长为12m，轨道AB的间 距为4m。平衡块重W，到机身中 心线距离为6m，试问： 图1.5-4 G
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒转动力学是力学研究的一个重要分支，它主要研究刚体的旋转运动。
刚体的旋转运动受到力矩和角加速度的作用，其中转动平衡和角动量守恒是转动力学的基本原理。
一、转动平衡刚体的转动平衡是指刚体处于稳定的旋转状态，不受到外力的扰动，既不会产生角加速度，也不会改变角速度。
要实现转动平衡，必须满足以下条件：1. 力矩平衡条件力矩平衡条件是指刚体上作用的力矩的代数和为零。
对于一个刚体绕固定轴的旋转运动，力矩平衡条件可以表示为：∑M = ∑(r × F) = 0其中，∑表示对刚体上所有力矩求和，r表示作用力的杠杆臂，F表示作用力。
根据力矩平衡条件，可以求解出刚体的转动平衡状态。
2. 重心位置与支撑点位置的关系对于一个转动平衡的刚体，重心必须位于支撑点上方以保持稳定。
当重心位于支撑点下方时，刚体会不稳定，并发生滚动现象。
3. 稳定、不稳定和中立平衡刚体的转动平衡可以分为稳定、不稳定和中立平衡三种情况。
当刚体偏离平衡位置时，稳定平衡会使刚体回复原位置，而不稳定平衡会使刚体继续偏离平衡位置。
中立平衡则是指刚体在偏离平衡位置后，不会有任何变化。
二、角动量守恒角动量守恒是指一个刚体在没有外力矩作用下，角动量的大小和方向保持不变。
对于一个旋转的刚体，角动量可以表示为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
根据角动量守恒定律，在没有外部力矩作用下，刚体的角动量将保持不变。
三、应用举例下面通过一个实际例子来说明转动平衡和角动量守恒的应用。
假设有一个均匀的圆盘，圆盘质量为M，半径为R。
将圆盘以转轴垂直于盘面且通过重心的方式固定，使其处于转动平衡状态。
此时，圆盘的转动平衡可以通过力矩平衡条件来解释。
由于圆盘的重心位于转轴上，且没有施加外力矩，所以∑M=0，根据这个条件可以得到圆盘上各点产生的力矩之和为零。
进一步分析可以发现，圆盘上受重力的作用产生的力矩沿转轴方向相互抵消，所以圆盘能够保持转动平衡。
定轴转动刚体的动平衡与静平衡
FI1 FI 2
FI 3
一般情况下：惯性力系为平 衡力系是动平衡的充分条件
24
F
解： 受力分析
FB
B
FIB
FI a
mg mg
运动分析 添加惯性力
mg
Fx 0 MA 0
F FIA FIB FI 0 F 3ma 0
a F 3m
FB
F 2
tan
3 mg 2
FB L cos
FI
L sin
2
FIB L sin
mB gL cos
惯性力对x轴之矩：
M Ix m1( 2 y1)z1 m2 ( 2 y2 )z2
2
2
mi ( 2 yi )zi ( mi yi zi ) 2
i 1
i 1
n
M Ix ( mi yi zi ) 2
i 1
4
理论力学
§8-3 定轴转动刚体轴承动反力
一、定轴转动刚体惯性力系的简化
为板的对称轴。板可绕AB轴转动，板是静平衡还是动平衡。
y
判断 x 轴是否为中心惯量主轴
y'
mi x'
Jx'
m b2, 12
J y'
m 12
a2
A
C
x B
J x'y' mi x'i y'i 0
Jxy
mi xi yi (J y' J x')sin cos
msin 2 (a2 b2)
理论力学
鲁科版高中物理选修2-2：刚体的转动及平衡
情况。
画出直杆的受力分析 示意图（如图右）
从实验数据可以看出
F1 + F2 = G + G1 或 F1 + F2 – G – G1 = 0
以A为转动轴，计算 各力对A轴的力矩的 代数和，得到
F2×AB – G×AC – G1×AD = 0 若以B为转动轴，计算各力对B轴的力矩的代 数和，可得到
需将力分别向垂直于轴以及平行于 轴方向做正交分解，如图所示
对轴的有效力矩应为：
MM
rFr
siFn
Fh
(3)力矩迭加原理
MM MMii
力矩方向？
z
r
F
z
F//
F
h
r
A
F
6
三、刚体转动定律
第i个质元 Fi fi miai
切线方向 Fi fi miai
z L mivi ri miri2 ( miri2 ) J
i
i
i
2、刚体定轴转动的角动量定理
dL
d
(J) J d
J M
dt dt
dt
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
O ri
v i
mi
若 M 0 则 L J =常量
13
刚体平衡
14
•刚体平衡的条件：
选用不容易变形的 直杆代表扁担。用弹 簧测力计测出它自身 的重量G，再设法测
出杆的重心C。
用细线拴住杆的A、B两点，把它挂在两个弹
簧测力计下面，并在D处挂4个钩码（其总重量G1 ），如图所示。调节测力计的高低，使杆在水平 方向上平衡。
刚体 定轴转动定律
1 12
mL2
mh 2
例：半径为R、质量均匀分布的细圆环及薄圆 盘，质量均为m，求对中垂轴的转动惯量。
r
R
（1）细圆环：
J r 2dm R2 dm mR 2
（2）薄圆盘：看作由许多宽为dr的细圆环组成
dm ds 2π rdr dJ r 2dm 2π r 3dr
J R 2πr 3dr 1 mR 2
（2） 3g sin 3g cos
2L
2L
d d d dt d dt
d d
d 3g cos d
2L
d
π 2
3g
cos
d
0
0 2L
L
mg
3g L
例：质量m的圆盘半径为R，绕中心旋转，与桌
面的摩擦系数为m。
求：圆盘从0到静止所需要的时间 t。
解： M f
J
J d dt
N
T2 m2 g m2a2
T1r T2r J
a1 a2 r
a1
a2
(m1 m2 )g
m1
m2
1 2
m
T1
2m1m2 g m1 m2
1 2
m1m3 g 1 2 m3
讨论 m3 0 :轻滑轮
3
T2
T1
T1 m3 T1 m3 g m1 a1
m1 g
a2
T2
T2
m2
m2 g
2m1m2
g
1 2
m2m
m1
T2
2mm2 1m122mg3 m1 m2
3
g
例：细杆质量为m，长为L，可绕水平光滑轴O
在竖直平面内转动，自水平静止释放。
求：（1）杆与铅直方向成 角时的；
刚体的受力分析及其平衡规律
可合性
F3 A Fn
AR
Fn
平面汇交力系
平面共点力系
合力
结论：平面汇交力系合成的结果为一合力，合
力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和
方向等于力系中各力的矢量和。即
n
R Fi i 1
平面汇交力系平衡的充要条件是力系的合力
为零，即
n
R Fi 0 i 1
几何条件为力多边形自行封闭。
平面汇交力系平衡的几何条件
（上例中整个梯）。 平面汇交力系--各力作用线汇交于一点的平面力
系。 平面共点力系--各力作用于一点的平面力系。 平面一般力系--各力作用线任意分布的平面力系
（上例中半梯受）。
一、平面汇交力系的简化
1、概述
力系的简化—求一力与一力系等效。即求力系 的合力。
F2 F1
A
F3
F2
F1
可传性原理
X
力F的从投原影点为画代出数时量所。在象限由X、Y正、负号判断。
3、合力投影定理
设平面共点力系 F1 、F2 、F3（与某汇交力系等效）
作用在刚体上的A点，由图可知：
ag=ab+be-eg=ab+ac-ad，即RX=X1+X2+X3
R1 F1 F2 , R R1 F3 F1 F2 F3
力的表示法：
（1）黑体字母，如：R、F 等。相应的普通体字 母R、F 表示其大小。
（2）有向线段:
A
F
B
说明：以解析法计算力的大小时，线段
AB长度可不按比例画出。
力通过物体直接接触或通过物体和场（重力场、 电磁场等）的相互作用而产生。力的作用点即 力的作用位置 一般并非一个点。如两物体直接 接触时的压力为面分布力，重力为体积分布力。 若分布面积很小或研究力对物体的外效应时可 将其简化为作用于接触面中心或重心的集中力。
第三章 刚体平衡
力偶系：作用在物体上的若干个力偶
简化
力偶系
合成
合力偶
合力偶的力偶矩 = 力偶系中各力偶的力偶矩的代数和
M M1 M 2 M n M
平面力偶系的平衡条件： 所有力偶的力偶矩的代数和等于零
M M1 M 2 M n 0
F
q
B FBx F’Bx B F’By
q
C
FAx
A FAy
D
FD
FBy
FC
梁ADB段的受力图
梁BC段的受力图
14
第一节 静力学基本概念及原理
F
q
C
FAx
A FAy
D
FD
B
FC
整体受力图
15
第一节 静力学基本概念及原理
例3-5 不计三铰拱桥的自重与 摩擦，画出左、右拱AB，CB 的受力图与结构整体受力图。
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
33
第三节 平面一般力系
平面一般力系向作用面内任一点 O 简化，可得一个力和一个 力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心; 这个力偶 的力偶矩等于力系对于简化中心O点的主矩。
一、力线平移定理
力线平移定理： 作用于刚体上的力，可以平移到同一刚体 的任意指定点，但必须同时附加一力偶， 其力偶矩等于原来的力对该指定点的矩。
F′
F B d A F′′ M F′
=
B A
力线平移定理 是力系简化的 理论依据
M=±F. d=MB(F)
32
刚体运动方程与平衡方程
F F F
A
B
F
A
B
力的可传性原理：
作用在刚体上的 力，沿着作用线 滑移，作用效果 不变。
精品课件
3
3.4 .1 力系的简化
汇交力系的简化
各力的作用线都交于一点，这样的力系叫做汇交
力系。
F1
A1
沿力线滑移
F1 F2
A3 A2
F2
F2 F3
F3
F
F3
n
汇交力系可以合成等效的单力 F Fi ，此单
例题
例题：一均质梯子，一端置于摩擦因数为1/2的地 板上，另一端则斜靠在摩擦因数为1/3的高墙上， 一人的体重为梯子的三倍，爬到梯的顶端时，梯 尚未开始滑动，则梯与地面的倾角最小为多少？
y
解：这是共面力系平衡
f2
Fx 0:
N2f10
(1)
A
N2
Fy 0:
f2N14G0
(2)
3G
O
l
MAN ,z1lc0:o s G 1 2lco sf1lsin 0 (3)
i1
力偶系可合成单力偶精：品课M件
n
Mi
称为主矩
9
i1
3.4 .1 力系的简化
Fn
F2
A1
An
A2
F1
O(简化中心)
等效
一般力系的简化
Mn M2
Fn
F2
M1
O F1
说明：
(1) 原则上可选择任意一点作为简化中心，
但实际为了理论研究的方便，通常以质心C
作为简化中心。
(2) 主矢不依赖于简化中心，但主矩依赖于简
对任意一点成立。得证精品课件
17
刚体力学中的受力平衡与转动条件
刚体力学中的受力平衡与转动条件在刚体力学中，受力平衡和转动条件是解决和分析物体静止或平衡的基础。
无论是在日常生活中还是在科学研究中，我们都会遇到各种需要解决物体平衡问题的情况。
了解和应用受力平衡和转动条件的原理，可以帮助我们更好地理解物体在静止或平衡状态下的行为规律。
首先，我们来了解什么是受力平衡。
受力平衡指的是物体所受到的所有外力的合力为零的状态。
也就是说，物体在受到外力作用时，并不会发生整体运动或者改变自身的平衡状态。
这种平衡状态可以是物体静止不动，也可以是物体以恒定速度做匀速直线运动。
当物体处于受力平衡状态时，我们可以根据平衡条件来解决问题。
其次，转动条件是在受力平衡的基础上，针对刚体绕某一轴线进行转动时的特殊条件。
根据转动条件，物体绕某一轴线的转动平衡与该轴线上的合力矩和合力的静摩擦力矩有关。
当物体绕某一轴线转动时，如果合力矩和合力的静摩擦力矩为零，那么物体就处于转动平衡状态。
受力平衡和转动条件在实际问题中的应用非常广泛。
例如，我们在安装一个门时需要考虑门是否会自动关闭，这时我们就需要根据受力平衡和转动条件来调整门的重心和铰链的位置。
又例如，建筑物的设计中需要考虑承重板材的平衡和转动，以确保建筑物的稳定性和安全性。
受力平衡和转动条件的应用还可以扩展到力学研究的其他领域。
例如，我们可以利用受力平衡和转动条件来分析机械系统中的各种连杆和齿轮的力学特性，从而优化机械设计。
另外，受力平衡和转动条件也是物体静力学和动力学中的基础概念，对于解决力学问题具有重要的意义。
总的来说，受力平衡和转动条件在刚体力学中起着重要的作用，可以解决物体静止或平衡的问题，并帮助我们更好地理解物体的行为规律。
无论是在日常生活中还是在科学研究中，了解和应用受力平衡和转动条件的原理都能够提升我们的解决问题的能力和见识。
因此，我们应该深入学习和掌握这些概念，并将其应用到实际生活和科学研究中。
只有这样，我们才能更好地探索和理解物体的运动与平衡规律，为人类的生活和科学进步做出更大的贡献。
刚体力学-刚体的平衡
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[解] 受力分析如图. 建立 直角坐标系 Exyz，得 Fx FN sin30 0
Fy FN cos30 W W 0
选择过E点 z 轴为定轴
第七章 刚体力学
y
F
Fy j
C
C´
E
Fx i30W°
B W
x
A FN
M z EA FN sin30 W (EB cos 30 CB sin30 )
W (EB cos 30 CB sin30 ) 0
解以上三方程得 FN 8.75 kN
Fx 4.38 kN, Fy 2.08 kN F Fx2 Fy2 4.85 kN, tan 0.4748
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第七章 刚体力学 [例题2]将长为l ,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下, 已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分
对共面力系, 在直角坐标系O-xyz中平衡条件化为
Fix 0
Fiy 0
Miz 0
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第七章 刚体力学
其中
Miz 0
是力对z轴力矩的代数和为零,z是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
(1) 诸力对任意轴的力矩和为零. 在力的作用平面内选O
在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡. 1. 杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对 光滑铰链联结,只有通过节点的压力.
节点——铰销中心. 2. 负荷对杆的作用力过节点. 3. 杆的自重与负荷相比可忽略不计.
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第七章 刚体力学
[例题1] 如图表示小型火箭发射架.火箭重量为W=1.5 kN，
刚体的平衡条件与转动惯量
刚体的平衡条件与转动惯量刚体是指具有一定形状和质量分布的物体，在物理学中占据着重要的地位。
许多现象和问题都涉及到刚体的平衡条件与转动惯量。
本文将从理论和实例两个方面来探讨这一主题。
一、刚体的平衡条件刚体的平衡可以分为静平衡和动平衡两种情况。
在这里我们主要关注静平衡的条件。
首先，刚体的平衡要满足力矩为零的条件。
力矩是指力对物体造成的转动效果。
当一根杆上的两个力大小相等，方向相反时，它们的力矩相互抵消，合成力矩为零。
因此，当刚体处于平衡状态时，刚体上所有的力矩之和都应该为零。
其次，刚体的平衡还要满足力的合力为零的条件。
如果一个刚体上的力合力不为零，那么它就会受到一个加速度，从而引起平衡失调。
因此，刚体的力合力必须为零。
最后，刚体的平衡要满足力的作用线经过质心的条件。
质心是一个刚体上所有质点质量综合考虑的中心位置，力对刚体的转动惯量与它们离质心的距离成正比。
当力的作用线通过质心时，刚体的转动惯量将最小化，从而实现平衡的稳定性。
二、刚体的转动惯量转动惯量是描述刚体对转动运动的惯性特性的物理量。
它与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。
对于一个刚体的转动惯量，我们可以通过公式I = ∫r²dm来计算。
其中，I表示转动惯量，r表示质点距离转动轴的距离，dm表示刚体的质量微元。
转动惯量的大小取决于质量分布和旋转轴的位置。
当质量分布趋于均匀时，转动惯量也相对较小。
而当质量分布不均匀且集中在远离旋转轴的区域时，转动惯量将增大。
转动惯量在实际应用中具有重要的意义。
例如，对于摆线钟摆，转动惯量的大小将直接影响它的周期。
转动惯量越大，摆线钟摆的周期越长。
此外，在车辆的设计中，转动惯量也是一个重要参数。
车辆的转动惯量越大，其稳定性就越好，转弯时所需的力矩也相对较小。
总结：刚体的平衡条件与转动惯量是研究刚体力学性质的重要内容。
刚体的平衡条件要求力矩为零、力的合力为零以及力的作用线经过质心。
而转动惯量则关系到刚体对转动运动的惯性特性，它取决于质量分布和旋转轴的位置。
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5
允月/在匝 源员远缘原2006 返回总目录 返回分目录
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6
月.员雪；对双面平衡可加注许用不平衡量 穴参见图 月.圆雪。双面平衡时，平衡品质等级在任意一个校正平面 上标注即可。
图 月.员 单面平衡
附录悦
图 月.圆 双面平衡
穴提示的附录雪
选择静平衡和动平衡的一般方法
在制造厂的平衡工艺过程及交货时由用户进行的平衡检验中，应该考虑由测量方法及测量设备所 固有的不精确造成的可能误差。制造厂的平衡工艺必须保证转子剩余不平衡量低于适当的许用不平衡 量，而用户验收的平衡检验应该允许有些偏差。所定的许用不平衡量 哉责藻则 的许容偏差的大小取决于试 验仪器的精度。作为实例，表 圆 给出了适于两种情况的推荐许容偏差限。具体选用应由制造厂与用户
因此，当重型或高转速的转子，即使具有很小的偏心距，也会引起非常大的不平衡的离心力，成 为轴或轴承的磨损、机器或基础振动的主要原因之一。
转子不平衡有两种情况。 葬援 静不平衡—— —转子主惯性轴与旋转轴线不相重合，但相互平行，即转子重心不在旋转轴线上， 如图 员 所示。当转子旋转时，将产生不平衡的离心力。 遭援 动不平衡— ——转子的主惯性轴与旋转轴线交错，且相交于转子的重心上，即转子的重心在旋转 轴线上，如图 圆 所示。这时转子虽处于静平衡状态，但转子旋转时，将产生一不平衡力矩。 在多数情况下，转子既存在静不平衡，又存在动不平衡，这种情况称静动不平衡。此时，转子 主惯性轴线与旋转轴线既不重合，又不平行，如图 猿 所示。当转子旋转时，产生一个不平衡的离心力 和一个力矩。
圆园园8原12原3员 实施
后退
1
允月/在匝 源员远缘原2006 返回总目录 返回分目录
后退
2
动平衡主要应用于轴向长度较长的转子。校正平面应选择在间距尽可能最大的两个平面，为此， 校正平面往往选择在转子的两个端面上。
转子动不平衡必须采用平衡试验机确定其平衡量的数值和位置，使转子平衡。该平衡机能辨一切 静、动不平衡的分量，并指示出两个平衡面穴端面雪 上不平衡量的位置和数值。
苑援圆 驱动装置及附件的误差
在平衡过程中，特别是在检验剩余不平衡量时，必须考虑到与转子相联的驱动件可能带来较大的
误差；此外用来支承不带自身轴承转子的支承装置也可能带来误差。下面列出了可能产生误差的实例，
其中一些已在图 缘 中标明：
葬援 驱动轴固有不平衡；
躁援 键及键槽；
遭援 心轴固有不平衡；
噪援 驱动连接部分的轴向及径向跳动；
哉责藻则玉越苑援苑伊员园猿 早·皂皂 又因 哉责藻则域越砸哉责藻则玉，故
哉责藻则域越苑援苑伊员园猿 早·皂皂 转子许用不平衡量为：
第二种情况：
哉责藻则玉垣哉责藻则域越员缘援源伊员园猿早·皂皂约哉责藻则
蓸 蔀 运越
怨园园 圆 源园园
越园援猿苑缘
参考支承静载荷 总静载荷或转子重量
蓸 蔀 砸越
苑园园 源园园
臆园援源 臆员
臆圆援缘 臆远援猿 臆员远 臆源园 臆员园园
臆圆缘园
臆远猿园 臆员 远园园 臆源 园园园
按照本行业的具体情况，推荐选取 郧员远 和 郧远援猿 两档平衡品质等级。 郧员远：适用于所有机器零件、万向轴。 郧远援猿：适用于飞轮，在运转平稳性上要求高的机器零件以及轴承负载能力有限的机器零件和机床 零件。 对于要求特别高的零件，还可以选取平衡品质等级 郧圆援缘。
质。
注
员 运 值取决于不同的设计及操作条件，多数情况下其值为 园援缘；特殊情况下，如支承的载荷容量或刚度不同时，
允许一支承相对于另一支承有不同的剩余不平衡量，这是需要的。这种情况下，运 值允许在 园援猿 到 园援苑 之间变化。运 值
的计算式为：
运越参考支承静载荷辕总静载荷或转子重量
圆 在实际应用的大多数场合，比例 砸 应选为 员；特殊情况下，例如两个校正平面上的预期不平衡显著不同时，
例系数雪
砸越员 穴两校正平面玉及域上的许用不平衡量的比例系数雪
根据公式 穴缘雪，哉责藻则玉越怨援怨伊员园猿早·皂皂 根据公式 穴远雪，哉责藻则玉越员愿援怨伊员园猿早·皂皂 根据公式 穴苑雪，哉责藻则玉越苑援苑伊员园猿早·皂皂 根据公式 穴愿雪，哉责藻则玉越原员愿援怨伊员园猿早·皂皂 其中绝对值最小的为：
蓸 蔀 许用不平衡度：
藻责藻则 越圆援缘
远园 圆仔伊源 怨缘园
猿
伊员园
越源援愿 早·皂皂/噪早
许用不平衡量： 哉责藻则 越皂·藻责藻则越猿 远园园伊源援愿越员苑援猿伊员园猿早·皂皂
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后退
4
允月/在匝 源员远缘原2006 返回总目录 返回分目录
第一种情况：
运越园援缘 穴参考支承处的许用不平衡量与转子许用不平衡量的比
缘 根据所选的平衡品质等级来确定许用不平衡量
由第 源 章中的公式 （员） 及 （圆） 导出：
藻责藻则越员 园园园 郧辕棕
穴猿雪
及
哉责藻则越藻责藻·则 皂
穴源雪
式中：郧—平衡品质等级值，皂皂/泽；
棕—最高工作角速度，则葬凿/泽； （棕越圆仔灶/远园，灶—转速，则/皂蚤灶）
皂—转子质量，噪早；
藻责藻则—许用不平衡度，早·皂皂/噪早；
藻
责藻则越
哉责藻则 皂
穴圆雪
在特殊情况下，即转子不平衡能简化为一个横截面内单个不平衡的等效系统而偶不平衡为零时，
许用不平衡度 藻责藻则 可与转子质心偏离轴线的许用质量偏心距等效。一般情况下，经双面平衡达到许用值
后，等效质量偏心距 藻 小于许用不平衡度 藻责藻则。
平衡品质的等级规定为 员员 级 穴见表 员）。表中每一个平衡品质等级包括从上限到零的许用不平衡
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后退
1
中国第一重型机械集团公司标准
刚体转动件的平衡
允月辕在匝 源员远缘原2006 代替 允月辕ZQ 4165-97
员 一般概念
具有一定转速的转动件 穴或称转子雪，由于材料组织不均匀、零件外形的误差、装配误差以及结构 形状局部不对称等原因，使通过转子重心的主惯性轴与旋转轴线不相重合，因而旋转时，转子产生不 平衡离心力。离心力的大小与转子的质量、转子重心对旋转轴线的偏移量即偏心距以及转子的转速有 关。
选用不同的 砸 值更合适，各支承平面上的剩余不平衡量是独立于 砸 值的。砸 值如超出 园援缘耀圆援园 的范围是不实际的。砸 值
的计算式为：
砸越校正平面 陨 与质心 杂 间的距离辕校正平面域与质心 杂 间的距离
苑 剩余不平衡量的确定
剩余不平衡量的确定应考虑下述所概括的各种误差。 苑援员 仪器和测量方法的误差
令 哉责藻则玉和 哉责藻则域分别为校正平面玉和域上的许用不平衡 量，其确定方法如下：
选择一个支承作为参考点，所有距离在该参考点到另一
支承一侧时为正。
设支承间距为 蕴，参考支承到校正平面玉的距离为 葬，
校正平面间距离为 遭穴参见图 源雪。
根据本条注 员 的定义确定参考支承的许用不平衡量与转
子许用不平衡量 哉责藻则 的比例为 运，则另一支承的许用不平衡 量为穴员原运雪 哉责藻则，两支承的许用不平衡量之和等于 哉责藻则。
根据本条注 圆 确定校正平面域及玉上的许用不平衡量之
图 源 通用方法计算中所使用的转子参数
比为 砸越哉责藻则域辕哉责藻则玉。 按下列方程计算 哉责藻则陨 的四个值：
哉责藻则玉越哉责藻·则 穴蕴原葬雪垣砸运穴蕴蕴原葬原遭雪
穴缘雪
哉责藻则玉越哉责藻·则 穴蕴原葬雪原砸运穴蕴蕴原葬原遭雪
穴远雪
哉责藻则玉越哉责藻·则 葬穴垣员砸原运穴葬雪垣遭蕴雪
猿 动不平衡
转子动不平衡及静动不平衡必须在垂直于旋转轴的两个平面 穴即校正平面雪 内各加 穴减雪 一个平衡 量，使转子达到平衡。平衡量的数值和位置，必须使转子在动力状态下，即转子在旋转的情况下确定， 这种方法称动平衡。因需两个平面作平衡校正，故又称双面平衡。
中国第一重型机械集团公司 圆园园8原12原01 批准 返回总目录 返回分目录
蚤 转子带有两个以上的轴承；
则援 安装间隙。
图 缘 端驱动部件的误差来源
附录粤
穴标准的附录雪
计算实例
粤.员 远援圆 条所给两校正平面转子许用不平衡量分配通用方法的数值计算实例
转子种类：透平转子 穴参见图 粤.员雪
平衡品质等级：郧圆援缘 转子质量：皂越猿 远园园 噪早
工作转速：灶越源 怨缘园 则/皂蚤灶
穴苑雪
哉责藻则玉越哉责藻·则 葬穴原员砸原运穴葬雪垣遭蕴雪
穴愿雪
从上述方程求得的值中选取绝对值最小的，作为校正平面玉上的许用不平衡量 哉责藻则玉。 利用下式计算校正平面域上的许用不平衡量 哉责藻则域。
哉责藻则域越砸 哉责藻则玉
穴怨雪
如果校正平面玉及域上的剩余不平衡量都分别不超过 哉责藻则玉和 哉责藻则域，则转子具有所要求的平衡品
哉责藻则—许用不平衡量，早·皂皂。
远 转子许用不平衡量向校正平面的分配
远援员 单面 穴静雪 平衡 对于具有一个校正平面的转子，在该平面测量的许用不平衡量等于 哉责藻则。
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后退
2
允月/在匝 源员远缘原2006 返回总目录 返回分目录
后退
3
远援圆 双面穴动雪 平衡
本方法是适用于所有转子的通用方法。
图员
图圆
图猿
圆 静不平衡
转子静不平衡只须在一个平面上 穴即校正平面雪 加 穴减雪 一个平衡量，就可以使转子达到平衡，故 又称单面平衡。平衡量的数值和位置，在转子静力状态下确定，即将转子的轴颈搁置在水平刀刃支承 上，加以观察，就可以看出其不平衡状态。质量较大的部分会向下转动，这种方法叫静平衡。
静平衡主要应用于转子端面之间的宽度比转子直径小得多的盘形转子，如齿轮、飞轮、皮带轮等。