离散型随机变量及其分布

求分布函数；
求随机事件的概率.
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分布律的形象化解释
设想有一单位质量的物质(如一克面粉),被分配在
随机变量X的所有可能取值
x ,x ,x 1 2, k,
处,其分配量依次为
p ,p , ,p 1 2 k,
个单位,这就是一个概率分布.
显然，要求事 件{X∈L}的概 率，只需将L 所含的各可能 取值处的概率 值累加即可。
p1
p2
p3
pk
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x1
x2
x3
xk
x
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一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取 【例1】 3只,以X表示取出的3只球的最大号码,写出随机变 量X的分布律. 【解】由于X表示取出的3只球的最大号码,故X的所有可 能取值为3,4,5. 2 C 1 [必取3号球,只能再取1,2号球] 2 P { X 3 } 3 , C 10 5 2 C 3 [必取4号球,再从1,2,3号球中取2只] 3 P { X 4 } 3 , C 10 5 2 C 6 4 P { X 5 } 3 , [必取5号球,再从1,2,3,4号球中取2只] C 10 5

满足下列性质: k k 1

k 1 ,2 , ); pk 0 (
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k 1
pk 1
[常用来确定分布律中的待定参数]
这两条也是非负 数列能为某随机 变量分布律的充 要条件
分布列有下列表示方法: 数列: 表格:
p P X x ( k 1 , 2 , ); k k
当
时 , , x ( 0 )
F ( x ) P { X x } P ( ) 0 ; [时 0 ,1 ) 当 x ,
F ( x ) P { X x } P { X 0 } 1 p ;
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[ 1 , 当 x 时 ,) F ( x ) P { X x } P { X 0 } P { X 1 } 1 ; 故X的分布函数为: 分布函数的图形
x 1 , 1 x 2 , 2 x 3 , x 3.
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各概率可以利用分布律或分布函数求得. 方法1 利用分布律
P { X 0 . 5 } P { X 1 } 0 . 25 ; P { 1 . 5 X 2 . 5 } P { X 2 } 0 . 5 ; P { 2 X 3 } P { X 2 } P { X 3 } 0 . 75 .
离散型随机变量 及其分布
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且X取各个可能值的概率为
p P X x ( k 1 , 2 , ) k k
我们称上式为离散型随机变量X的概率分布(分布律 或分布列) . 概率分布也可完整地描述离散型随机变量的统计规 律性。 由概率Leabharlann Baidu非负性与规范性公理易知离散型随机 变量的分布列 p
即所求分布律为:
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X pk
3 0.1
4 0.3
5 0.6
□
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三、离散型随机变量分布律与分布函数的关系 } 设 {p 是离散型随机变量 X的分布律,则X的 k k 1
分布函数为：
F(x) p k.
xk x
反过来,若F(x)为离散型随机变量X的分布函数, 则X的分布律为:
p F ( x ) F ( x 0 )( k 1 , 2 , ) k k k
可见,离散型随机变量的分布律与分布函数是相 互唯一确定,均能完整地描述离散型随机变量的统计
规律性.
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【例2】设随机变量X服从（0-1）分布，其分布律为 k 1 k P { X k } p ( 1 p ) ( k 0 , 1 ) 求X的分布函数，并作出其图形。 【解】由于分布函数是累积和，故对离散型随机变 量需分段考虑，X的所有可能取值就是分界点。 这里，X只取0，1两个值，它们将整个实轴分 为三个区间:(-∞，0),[0，1)和[1,+∞)。
概率的可加性易得分布函数
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P(), P 1 } {X F ( x ) P X x {X 1 }P {X 2 }, P ), P( x 1, 0, 0 . 25 1 x 2 , 0 . 75 , 2 x 3, x 3. 1,
x 0, 0, F(x) 1 p, 0 x 1, 1, x 1.
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【例3】 设随机变量X的分布律为
X 1 p k 0.25
2
3
0.5
0.25
求X的分布函数和概率P{X≤0.5},P{1.5<X ≤2.5}, P{2 ≤X ≤3}. 【解】注意到r.v.X只取三点：-1，2，3，故由
X
pk
x1
p1
x2
p2
xn
pn


矩阵:
x x x 1 2 n X~ p p p 2 n 1
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note
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离散型随机变量分布列的求法: 利用古典概率、条件概率等计算方法及运算
性质求事件{X=xk}概率;
利用已知的重要分布的分布列; 利用分布函数. 离散型随机变量分布列的应用: 确定分布列中的待定参数;
利用分布函数
方法2
P { X 0 . 5 } F ( 0 . 5 ) 0 . 25 ; 0 . 75 0 . 25 0 . 5 ; P { 1 . 5 X 2 . 5 } F ( 2 . 5 ) F ( 1 . 5 ) P { 2 X 3 } F ( 3 ) F ( 2 ) P { X 2 } □ 1 0 . 75 0 . 5 0 . 75 .