2012~2013年注册土木工程师(水利水电工程)《公共基础考试》真题及详解【圣才出品】
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B． 2xex2 C． 2(1 2x2 )ex2
D． (1 2x2 )ex2
【答案】A 【考点】原函数的定义及求导
e 【解析】 x2 是 f（x）的一个原函数，由公式 F（x）＝∫f（x）dx，两边求导，得：
f (x) 2xex2
再对 f（x）两边求导，得：
f (x) 2ex2 (2x)ex2 (2x) 2(1 2x2 )ex2
f (x, y)dxdy
D
在极坐标系下的二次积分是（ ）。
cos
A． 4 d f (r cos , r sin )rdr
0
0
1
B． 4 d cos f (r cos , r sin )rdr
0
0
1
C． 4 d cos rdr
0
0
1
D． 4 d cos f (x, y)dr
0
0
【答案】B
【考点】二重积分求解
【解析】采用三角换元求解定积分，先画出区域 D 的图形，在极坐标下，区域 D 可表
为：0≤θ ≤π/4，0≤r≤1/cosθ 。变量可表示为：x＝rcosθ ，y＝rsinθ ，dxdy＝rdrdθ 。故
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2012 年注册土木工程师（水利水电工程）《公共基础考试》真题及详解
单项选择题（共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意）
1．设
f
(
x)
cos
x
x
sin
1 x
(x 0)
x2 1 (x 0)
则 x＝0 是 f（x）的下面哪一种情况？（ ）
1
f (x, y)dxdy 4 d cos f (r cos, r sin )rdr
0
0
D
8．当 a＜x＜b 时，有 f′（x）＞0，f″（x）＜0，则在区间（a，b）内，函数 y＝f（x） 的图形沿 x 轴正向是（ ）。
A．单调减且凸的 B．单调减且凹的 C．单调增且凸的 D．单调增且凹的 【答案】C 【考点】函数的单调性 【解析】在定义域内，一阶导数大于零，函数单调递增，一阶导数小于零，函数单调递 减；二阶导数大于零，函数图形是凹的，二阶导数小于零，函数图形是凸的。由 f′（x）＞0 且 f″（x）＜0 可知，函数 y＝f（x）的图形沿 x 轴正向是单调增且凸的。
A．跳跃间断点
B．可去间断点
C．第二类间断点
D．连续点
【答案】D
【考点】函数的连续性与间断点
【解析】函数在某一点处，左右极限相等且有定义，则函数在这一点处连续。函数的左
右极限分别为：
lim (x2 1) 1
x0
1
lim (cos x x sin ) 1
x0
x
f（0）＝（x2＋1）|x＝0＝1，所以
lim f (x) lim f (x) f (0)
x0
x0
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即 x＝0 是 f（x）的连续点。
2．设 α（x）＝1－cosx，β（x）＝2x2，则当 x→0 时，下列结论中正确的是（ ）。
A．α（x）与 β（x）是等价无穷小
10．下列级数中，条件收敛的是（ ）。
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【解析】在拉格朗日中值定理中，函数 f（x）应满足：在闭区间[a，b]上连续，在开区 间（a，b）上可导。f（x）＝x2/3 在[－1，1]连续。f′（x）＝（2/3）x（－1/3）在（－1，1） 不可导（因为 f′（x）在 x＝0 处导数不存在），所以不满足拉格朗日定理的条件。
5．f′（x）连续，则∫f′（2x＋1）dx 等于（ ）。（C 为任意常数） A．f（2x＋1）＋C B．f（2x＋1）/2＋C C．2f（2x＋1）＋C
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D．f（x）＋C
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【答案】B
【考点】不定积分求解
【解析】微分和积分互为逆运算，连续函数必有积分，所以可通过以下计算公式计算积
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1 2
1+x
dx
1 2
1
dx 1
1 2
d(1
x2
)
0 1 x2
0 1 x2
2 0 1 x2
12 arcsin x
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1 x2 1 2
0
0
3 1 62
7．若 D 是由 y＝x，x＝1，y＝0 所围成的三角形区域，则二重积分
分：
f
(2x
1)dx
1 2
f
(2x
1)d(2x
1)
= 1 f (2x 1) C 2
6．定积分
1 2
1 x
dx 等于（
0 1 x2
）。
A． 3 32
B． 3 62
C．
3 1
62
D． 3 1 62
【答案】C
【考点】定积分求解
【解析】无理函数的定积分求解可分为分部求解和换元求解，用换元求解，得：
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【解析】该式为隐函数的求导，需要对等式两边同时微分，得：dy＝f（′ x）dx＝（1/cosx） （－sinx）dx＝－tanxdx。
e 4．f（x）的一个原函数为 x2 ，则 f′（x）等于（ ）。 A． 2(1 2x2 )ex2
B．α（x）是 β（x）的高阶无穷小
C．α（x）是 β（x）低阶无穷小
D．α（x）与 β（x）是同阶无穷小但不是等价无穷小
【答案】D
【考点】无穷小的比较
【解析】因
1 cos x
lim
x0
2x2
lim x0
1 x2 2 2x2
1 4
1
故 α（x）与 β（x）是同阶无穷小，但不是等价无穷小。
3．设 y＝ln（cosx），则微分 dy 等于（ ）。 A．（1/cosx）dx B．cotxdx C．－tanxdx D．－（1/cosxsinx）dx 【答案】C 【考点】函数的微分求解
9．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的是（ ）。 A．f（x）＝x/（1＋x2），[－1，2] B．f（x）＝x2/3，[－1，1] C．f（x）＝e1/x，[1，2] D．f（x）＝（x＋1）/x，[1，2] 【答案】B 【考点】拉格朗日中值定理
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D． (1 2x2 )ex2
【答案】A 【考点】原函数的定义及求导
e 【解析】 x2 是 f（x）的一个原函数，由公式 F（x）＝∫f（x）dx，两边求导，得：
f (x) 2xex2
再对 f（x）两边求导，得：
f (x) 2ex2 (2x)ex2 (2x) 2(1 2x2 )ex2
f (x, y)dxdy
D
在极坐标系下的二次积分是（ ）。
cos
A． 4 d f (r cos , r sin )rdr
0
0
1
B． 4 d cos f (r cos , r sin )rdr
0
0
1
C． 4 d cos rdr
0
0
1
D． 4 d cos f (x, y)dr
0
0
【答案】B
【考点】二重积分求解
【解析】采用三角换元求解定积分，先画出区域 D 的图形，在极坐标下，区域 D 可表
为：0≤θ ≤π/4，0≤r≤1/cosθ 。变量可表示为：x＝rcosθ ，y＝rsinθ ，dxdy＝rdrdθ 。故
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单项选择题（共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意）
1．设
f
(
x)
cos
x
x
sin
1 x
(x 0)
x2 1 (x 0)
则 x＝0 是 f（x）的下面哪一种情况？（ ）
1
f (x, y)dxdy 4 d cos f (r cos, r sin )rdr
0
0
D
8．当 a＜x＜b 时，有 f′（x）＞0，f″（x）＜0，则在区间（a，b）内，函数 y＝f（x） 的图形沿 x 轴正向是（ ）。
A．单调减且凸的 B．单调减且凹的 C．单调增且凸的 D．单调增且凹的 【答案】C 【考点】函数的单调性 【解析】在定义域内，一阶导数大于零，函数单调递增，一阶导数小于零，函数单调递 减；二阶导数大于零，函数图形是凹的，二阶导数小于零，函数图形是凸的。由 f′（x）＞0 且 f″（x）＜0 可知，函数 y＝f（x）的图形沿 x 轴正向是单调增且凸的。
A．跳跃间断点
B．可去间断点
C．第二类间断点
D．连续点
【答案】D
【考点】函数的连续性与间断点
【解析】函数在某一点处，左右极限相等且有定义，则函数在这一点处连续。函数的左
右极限分别为：
lim (x2 1) 1
x0
1
lim (cos x x sin ) 1
x0
x
f（0）＝（x2＋1）|x＝0＝1，所以
lim f (x) lim f (x) f (0)
x0
x0
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即 x＝0 是 f（x）的连续点。
2．设 α（x）＝1－cosx，β（x）＝2x2，则当 x→0 时，下列结论中正确的是（ ）。
A．α（x）与 β（x）是等价无穷小
10．下列级数中，条件收敛的是（ ）。
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5．f′（x）连续，则∫f′（2x＋1）dx 等于（ ）。（C 为任意常数） A．f（2x＋1）＋C B．f（2x＋1）/2＋C C．2f（2x＋1）＋C
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【答案】B
【考点】不定积分求解
【解析】微分和积分互为逆运算，连续函数必有积分，所以可通过以下计算公式计算积
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1 2
1+x
dx
1 2
1
dx 1
1 2
d(1
x2
)
0 1 x2
0 1 x2
2 0 1 x2
12 arcsin x
Leabharlann Baidu
1 x2 1 2
0
0
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7．若 D 是由 y＝x，x＝1，y＝0 所围成的三角形区域，则二重积分
分：
f
(2x
1)dx
1 2
f
(2x
1)d(2x
1)
= 1 f (2x 1) C 2
6．定积分
1 2
1 x
dx 等于（
0 1 x2
）。
A． 3 32
B． 3 62
C．
3 1
62
D． 3 1 62
【答案】C
【考点】定积分求解
【解析】无理函数的定积分求解可分为分部求解和换元求解，用换元求解，得：
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【解析】该式为隐函数的求导，需要对等式两边同时微分，得：dy＝f（′ x）dx＝（1/cosx） （－sinx）dx＝－tanxdx。
e 4．f（x）的一个原函数为 x2 ，则 f′（x）等于（ ）。 A． 2(1 2x2 )ex2
B．α（x）是 β（x）的高阶无穷小
C．α（x）是 β（x）低阶无穷小
D．α（x）与 β（x）是同阶无穷小但不是等价无穷小
【答案】D
【考点】无穷小的比较
【解析】因
1 cos x
lim
x0
2x2
lim x0
1 x2 2 2x2
1 4
1
故 α（x）与 β（x）是同阶无穷小，但不是等价无穷小。
3．设 y＝ln（cosx），则微分 dy 等于（ ）。 A．（1/cosx）dx B．cotxdx C．－tanxdx D．－（1/cosxsinx）dx 【答案】C 【考点】函数的微分求解
9．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的是（ ）。 A．f（x）＝x/（1＋x2），[－1，2] B．f（x）＝x2/3，[－1，1] C．f（x）＝e1/x，[1，2] D．f（x）＝（x＋1）/x，[1，2] 【答案】B 【考点】拉格朗日中值定理
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