第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
微分中值定理与导数的应用习题
第四章 微分中值定理与导数的应用习题§4.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=， 故 )(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式 （１）当π<<x 0时，x xx cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xx cos sin >． （２）当 0>>b a 时，bb a b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而 b b a b a a b a -<<-ln ．。
4-1微分中值定理1203
y
C
y = f ( x)
o a
ξ1
ξ2 b
x
4
证 Q f ( x ) 在 [a , b] 连续 ,
∴ f ( x )在[a , b]有最大值 M和最小值 m .
(1) 若M= m. 则 f ( x ) = M . = 由此得 f ′( x ) = 0. ∀ ξ ∈ ( a , b ), 都有 f ′(ξ ) = 0. (2) 若M≠ m. Q f (a ) = f (b), ≠
则在开区间 (a , b)内至少存在一点 ξ , 使得
f ′(ξ) = 0. 2 如, f ( x ) = x − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1). 在[−1,3]上连续 ,在( −1,3)内可导,且 f ( −1) = f ( 3) = 0,
f ′( x ) = 2( x − 1), 取ξ = 1 ∈ ( −1, 3), f ′(ξ ) = 0.
第四章 微分中值定理 导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
1
第一节 微分中值定理
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 小结 思考题 作业
2
第四章 微分中值定理与导数的应用
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔 定理
罗尔定理 若函数 f ( x )满足 : (1) 在闭区间 [a , b]上连续; (2) 在开区间(a , b )内可导; (3) f (a ) = f (b ),
则 f ( x ) 在区间 I 内是一个常数 .
推论2 推论 若函数 f ( x )和 g ( x )在区间 I 内的导数处处相等 , 则 f ( x )和g ( x ) 在区间 I 内仅相差一个常数 .
第四章 中值定理及其应用
则F( x) f ( x) g( x) 0.
F( x) C, 即f ( x) g( x) C.
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例3、证明 arcsin x arccos x (1 x 1).
2
证：(arcsin x arccos x) 1 1 x2
由f ( x)、g( x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，
f ( ) f (b) f (a) (1)
ba
g( ) g(b) g(a) (2)
ba
(1) (2)得： f ( ) f (b) f (a) . 这样证可以吗？ g( ) g(b) g(a)
分析：条件中比罗尔 b a y
定理少了第三个条件.
C
y f (x)
M
B
由于直线AB对应的函数为
A
N
g(x)
f (a)
f
(b) b
f a
(a)
(
x
a).o
a
x
D
bx
且从图中可知 f ( x)与g( x)在x a及x b的值相等，
故G( x) f ( x) g( x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件.
证： f ( x)在[a,b]上连续, o a
bx
f ( x)在[a，b]上必取得最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m，则f ( x) C，所以在(a，b)内，有 f ( x) 0.
(a,b)，有f ( ) 0，故结论成立.
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3、罗尔定理：设f ( x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导
2
2
故 arcsin x arccos x (1 x 1).
(完整版)中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案.doc
第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 ()A ． y8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y1D ． y sin x1 x 22．函数 f x满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )x A ． 2,2B ．2,0C ． 1,2D ． 0,13．方程 x 5 5x 1 0 在1,1 内根的个数是 ()A ．没有实根B ．有且仅有一个实根C ．有两个相异的实根D ．有五个实根4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( )A ．对任意 x a,b ，有 f x g xB ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 )D ．对任意 x a,b ，有 f xg xC (C 是任意常数 )5．函数 f x3x 5 5x 3 在 R 上有 ()A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 ()A ．17B ．11C ．10D ． 97．设 f x 在闭区间1,1 上连续，在开区间1,1 上可导，且 f xM ，f 0 0 ，则必有 ()A ． f xM． f xMC ． f x MD ． f x MB8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 ()A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b aB ．存在0,1 ，有 f af bf ab a b aC ．存在 a, b ，有 f a f b f a bD ．存在a, b ，有 fbf afa b9．若 a 2 3b 0 ，则方程 f x x 3 ax 2 bx c0 ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根 ．求极限 x 2 sin 1()limx时，下列各种解法正确的是10 sin xx 0A ．用洛必塔法则后，求得极限为 0B ．因为 lim 1不存在，所以上述极限不存在x 0 xx xsin 1C ．原式 lim 0x 0sin x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11．设函数 y1 2x2 ，在 ()xA ． ,单调增加B ．,单调减少C ． 1,1 单调增加，其余区间单调减少D ．1,1 单调减少，其余区间单调增加e x ()12．曲线 y1 xA ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线 yx的渐近线 ()3 x 2 A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ． x3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ． 只有水平渐近线2x 2 114．函数 f xx 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为 ()A ． 729B ． 0C ．1D ．无最小值4x ln 1 x 15．求 limx 2x 01 116．求 limxx 0ln 1 x17．求 lim1 2 sin xxcos3x6118．求 lim 1 x 2 xx 01ln x19．求 limarctgxx220．求函数 y x 3 3x 29x 14 的单调区间。
经济数学(导数的应用习题及答案)
第四章 导数的应用习题 4－11. 验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理，如果满足，试求出定理中的ξ．(1)()f x =3x x -，[-1，1] (2)()f x =321x - [-1，1]解 (1) 因为函数3()f x x x =-是多项式函数，所以()f x 在[-1，1]上连续,在(-1,1)内可导, 且 (1)(1)0,f f -==故该函数在[-1，1]上满足罗尔定理条件,则至少存在一点(1,1)ξ∈-,使得2'()310 f ξξ=-=即ξ=(2)不满足.因为'()f x =,所以()f x 在x =0处不可导,故函数在[-1,1]上不满足罗尔定理的条件.2．验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理．如果满足，试求出定理中的ξ．(1) 311)(-+=x x f [2，9]（2）101()[0,3]113x x f x x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩，，解 (1)因为函数()1f x =+()f x 在[2,9]上连续,在(2,9)内可导, 满足拉格朗日中值定理的条件, 则至少存在一点(2,9)ξ∈, 使得(9)(2)'()(92)f f f ξ-=-即1ξ=+ (负值舍去).(2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理.3. 验证柯西中值定理对函数3()2f x x x =++及2()1g x x =+在区间[0，1]上的正确性，并求出相应的ξ值．解 因为3()2f x x x =++及2()1g x x =+是多项式函数，所以()f x 与 ()g x 在区间[0，1]上连续,在(0,1)内可导,且在(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件,则至少存在一点(0,1)ξ∈,使得(1)(0)'()(1)(0)'()1(13f f fg g g ξξξξ-=-==即舍去）.4. 证明方程51030x x ++=有且只有一个实根.证 设5()103f x x x =++ 先证方程()f x = 0根的存在性. 因为lim (),lim ()()x x f x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，而在区间（-∞，+∞）上连续，所以)(x f 在R 上满足零值定理条件,于是方程)(x f = 0在R 内至少有一个根.再证方程)(x f =0根的唯一性.假设方程)(x f =0至少有两个根βα,,即.0)()(==βαf f 则)(x f 在],[βα上满足罗尔定理条件,所以至少存在一点,0)('),,(=∈ξβαξf 使得即50104=+ξ显然这样的ξ是不存在的,故假设不成立.所以方程51030x x ++=有且只有一个实根.5. 证明不等式：(1)ln(1) (0)(2)1,x x x x x e ex>+>>>当时有证 (1)设)1ln()(t t f +=,不难验证在)(t f 在[0,x ] 上满足拉格朗日中值定理条件,则至少存在一点ξ( 0<ξ<x ),使得1ln(1)1x x x ξ+=⋅<+即 ln(1)x x >+.(2)设()tf t e =,显然()f t 在[1,x ] 上满足拉格朗日中值定理条件, 则至少存在一点ξ(1x ξ<<),使得(1)x e e e x ξ-=-又因为te tf =)(是单调增函数,且1<ξ<x ,所以不等式xe e e <<ξ于是有不等式(1) .x x e e e x e ex ->->即6. 证明恒等式:222arctan arcsin1xx x π+=+(x ≥1).证 令22()2arctan arcsin(1)1xf x x x x =+≥+则222'()1f x x=++因为当1x >时，2(1)0,x -<2(1)x =-- 所以当1x >时，222'()01f x x ==+由拉格朗日中值定理推论1可知，()f x ≡c(x ≥1),取x =1,有(1)f =2arctan1+arcsin1=π且函数()f x 在x =1处连续,所以1lim ()(1)x f x c f π+→===即当x ≥1时,222arctan arcsin1xx x π+=+.7. 不求导数判断函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数'()0f x = 有几个实根及根的范围.解 不难验证，函数()f x 在区间[1，2]，[2，3]上都满足罗尔定理条件， 故方程'()f x =0至少有两个实根，它们分别在区间（1，2），（2，3）内.8.设()f x 在(a ，b )内二阶可导，且1()f x =2()f x =3()f x ，而a <1x <2x <3x <b ，则在(1x ，3x )内至少存在一点ξ，使得"()0f ξ=.证 因为 a <1x <2x <3x <b , 1()f x =2()f x =3()f x , 所以在区间[1x ,2x ]、[2x ,3x ]上分别满足罗尔中值定理条件。
《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)
第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。
A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。
[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。
[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。
微积分上学期答案
1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。
第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
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1.不用求出函数的导数，分析方程有几个实根？()A．0B．1C．2D．3答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：2.=？（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析：3.=？，（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：4.求不能使用洛必塔法则。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
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1.下面关于函数的描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。
（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。
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1.某厂生产某产品，每批生产台得费用为，得到的收入为，则利润为？（）A．B．C．D．答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（）A．220B．230C．240D．250答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。
第四章中值定理与导数的应用1
例14. 求 lim n ( n n 1). 0型
则至少存在一点 (a, b) , 使得 f ( ) 0 .
y y f (x)
A
B
Oa
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
费马(Fermat)引理：
且
存在
(或 )
证：设
则
0 0
y O x0 x
y y f (x)
注意：
O a
bx
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如，
A
Oa
弦 AB 的方程： y f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
bx
利用罗尔中值定理 证明
注1：在[a, b]内的任意闭区间 [ x1, x上2 ],拉格朗日中值 定理均成立.
特别地, 若 x 与 x +Δx为区间(a, b)内的任意两点,则有
y f (x x) f (x) f (x x)x (0 1)
(化简)
lim
x0
2 cos3
x
2
连续使 用罗必 达法则
下面的介绍的是利用倒数法 或取对数法将其它的不定型 转化为可以运用罗必达法则 计算的例题 .
例8 求 lim x ln x . 0
x0
用另一种形式 颠倒行不行 ?
解
倒数法
lim
x0
x ln
x
lim
x0
ln x 1
x
行 , 但繁些 .
f (1) f (2 ) f (3) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) , 3 (c, d ) ,
即 f (x) 0 至少有三个实根.
f (x) 是四次多项式, f (x) 是三次多项式,
第四章 微分中值定理与导数的应用
1 1, 所以arctan x 2 arctan x1 x 2 x1 . 2 1
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x 例5 证明不等式 ＜ln(1+x)＜x 对一切x＞0成立. 1 x
证 由于f(x)=ln(1+x)在［０，＋∞）上连续、可导， 对任何x＞0，在［0, x］上运用微分中值公式,得 f(x)-f(0)=f′( x)x, (0< <1 ), x 即 ln(1+x)= (0< <1)． 1 x x x 由于 ＜x, ＜
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 )
因为 f(x)≡0,所以 从而 f(x2)=f(x1) .
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( x1 x2 )
f()=0 .
例4 试证 arcsin x arccos x 证
2 令f ( x ) arcsin x arccos x , 则
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三、 柯西中值定理
定理3 (柯西中值定理) 若函数f(x)和g(x)满足以下条件: (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导,且g(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点,使得
f (b) f (a ) f ( ) g(b) g(a ) g( )
( x 1).
f '( x)
1 1 x2
1 1 x2
0, x ( 1,1)
得f ( x ) C , x ( 1,1) 又因f (0)
2
, 且f ( 1)
2
,
故 f ( x ) arcsin x arccos x
高数(1)第四章微分中值定理和导数的应用
第四章微分中值定理和导数的应用【字体：大中小】【打印】4.1 微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。
【答疑编号11040101：针对该题提问】解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。
【答疑编号11040102：针对该题提问】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。
注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。
【答疑编号11040103：针对该题提问】推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
例4（教材162页习题4.1，4题）、证明【答疑编号11040104：针对该题提问】证设又，即，推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。
4.2 洛必达法则一、型及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。
经济数学——微积分——中值定理的答案
第四章 中值定理，导数的应用§4.1 4.1 中值定理中值定理一、单项选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是 (A) . (A) . (A) 256,[2,3]y x x =-+ (B) e ,[0,1]x y x -= (C) 321,[0,2](1)y x =- (D) 1,5,[0,5]1,5x x y x +<ì=í³î2、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是满足拉格朗日中值定理条件的是 (B) . (B) . (A) 22,[1,1]1x y x=-+ (B) ,[1,2]y x =-(C) 32452,[0,1]y x x x =-+- (D) 2ln(1),[0,3]y x =+3、函数3y x =在[1,2]-上满足拉格朗日中值定理的x = (B) . (A) 0 (B) 1 (C)12(D)324、设()y f x =是(,)a b 内的可导函数，,x x x +D 是(,)a b 内任意两点，则内任意两点，则 (C) . (C) . (A) ()y f x x ¢D =D(B) (B) 在在,x x x +D 之间恰有一点x ，使()y f x x ¢D =D (C) (C) 在在,x x x +D 之间至少有一点x ，使()y f x x ¢D =D (D) (D) 对于对于,x x x +D 之间任意一点x ，均有()y f x x ¢D =D 5、设()f x 在[,]a b 上有定义，在(,)a b 内可导，则内可导，则 (B) . (B) . (A) (A) 当当()()0f a f b ×<时，存在(,)a b x Î，使得()0f x = (B) (B) 对于任何对于任何(,)a b x Î，有lim[()()]0x f x f xx ®-=(C) (C) 当当()()f a f b =时，存在(,)a b x Î，使得()0f x ¢= (D) (D) 存在存在(,)a b x Î，使得()()()()f b f a f b a x ¢-=- 析：析：ABC ABC 均要求()f x 在[,]a b 上连续上连续. .二、证明题1、已知()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =.求证至少存在一点(0,1)x Î，使()()f f x x x¢=-.证明 令()()F x xf x =，则()()()F x f x x f x ¢¢=+，由题设知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0(0)0,(1)1(1)0F f F f =×==×=.所以根据罗尔定理，至少存在一点(0,1)x Î，使得()0F x ¢=，即()()0f xf x x ¢+=，从而()()f f x x x¢=-.2、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，0a b <<.试证明存在两点,(,)a b x h Î，使得()()()2f f a b h x h¢¢=+.证明 令2()g x x =,则(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.且在(,)a b 内，()20g x x ¢=¹.根据拉格朗日中值定理,至少存在一点(0,1)x Î，使得 ()()()f b f a f b ax -¢=-；又由柯西中值定理，至少存在一点(0,1)h Î，使得()()()()()()f f b f a g g b g a h h ¢-=¢-，即()()()11()2f f b f a f b a b a b a h x h ¢-¢=×=×-++， 亦即亦即 ()()()2f f a b h x h¢¢=+.所以存在两点,(,)a b x h Î，使得()()()2f f a b h x h¢¢=+.3、用拉格朗日中值定理证明：0x >时，ln(1)1x x x x<+<+.证明 令()ln(1)f x x =+，1()1f x x¢=+.显然()f x 在[0,]x 上连续，在(0,)x 内可导内可导..根据拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,,()(0)()(0)(0)f x f f x x x x ¢-=-<<，即ln(1)1x x x+=+，又11x x x xx<<++，所以当0x >时，有ln(1)1x x x x<+<+.4、证明方程510x x +-=只有一个正实根只有一个正实根. .证明 ①存在性存在性 令令5()1f x x x =+-，()f x 在[0,1]上连续上连续,,(0)10,(1)10f f =-<=>，据零点定理，至少存在一点(0,1)x Î，使得()0f x =，即方程510x x +-=至少有一实根(0,1)x Î.②唯一性②唯一性 用反证法，假设方程用反证法，假设方程510x x +-=有两个实根12,x x 且12x x <，则有12()()0f x f x ==，又()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，根据罗尔定理知，至少存在一点12(,)x x h Î，使得()0f h ¢=，即4510h +=，矛盾，矛盾..所以510x x +-=只有一个实根实根. .综合①②知，方程510x x +-=只有一个正实根只有一个正实根. .§4.2洛必达法则一、填空题1、0e elimsin xxx x -®-=2；是00型未定式型未定式. .2、2ln 2limtan x x x p p +®æö-ç÷èø=0；是¥¥型未定式型未定式. .3、1lim (1)x x x ®¥+=1；是¥型未定式型未定式. .4、21lim 1x x x -®¥æö-=ç÷èø1e -；是1¥型未定式型未定式. .5、2201lim cot x x x ®æö-=ç÷èø23；是¥-¥型未定式型未定式. .析：2201l i m c o t x x x ®æö-=ç÷èø222220sin cos lim sin x x x x x x ®-()()40s i n c o s s i n c o sl i m x x x x x x x x ®-+=30sin sin cos lim cos x x x x x x x x ®-æöæö=+ç÷ç÷èøèø20cos cos sin 2lim 3x x x x x x ®-+=0sin 22lim 33x x x ®== 二、单项选择题1、设0()lim()x x f x g x ®为未定式，则0()lim()x x f x g x ®¢¢存在是0()lim()x x f x g x ®也存在的也存在的 (A) (A) (A) 条件条件条件. .(A) (A) 充分非必要充分非必要充分非必要 (B) (B) (B) 必要非充分必要非充分必要非充分 (C) (C) (C) 充要充要充要 (D) (D) (D) 既非充分也非必要既非充分也非必要既非充分也非必要2、求201sinlimsin x x xx®时，下列各种解法正确的是时，下列各种解法正确的是 (C) . (C) .(A) (A) 用法洛必达则后，求得极限为零用法洛必达则后，求得极限为零用法洛必达则后，求得极限为零 (B) (B) 因为因为01lim sinx x®不存在，所以上述极限不存在不存在，所以上述极限不存在(C) (C) 原式原式01lim sinsin x xx x x®æö=×=ç÷èø(D) (D) 因为不能用洛必达法则，所以极限不存在因为不能用洛必达法则，所以极限不存在因为不能用洛必达法则，所以极限不存在3、下列求极限问题中，能够使用洛必达法则的是、下列求极限问题中，能够使用洛必达法则的是 (C) . (C) .(A) 21sinlimsin x x x x ® (B) cos lim cos x x x x x®¥+- (C) 0sin lim sin x x x x x ®- (D) 1ln lim 1x x x x ®+-三、用洛必达法则计算下列极限1、2232tan tan sec 1limlim(sin )limsin 3x x x x x x x x x x x xxx®®®---== 因2202sec tan sec 1limlim()633x x x xx x x x®®×=== 因tan .2、22221111ln 1111lim lim lim lim 11111arccot 11x x x x x x x x x x xx ®+¥®+¥®+¥®+¥æö×-ç÷æöèø++ç÷+èø==×=×=-++. 或2222111ln 11lim lim lim lim 11arccot arccot 1x x x x x x x xxx xx®+¥®+¥®+¥®+¥æö+-ç÷+èø====-+. 3、11111ln 1ln 11ln lim lim lim lim 111ln (1)ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x®®®®-++-æö-===ç÷---èø++- 1211lim112x xx x ®==+. 4、1ln(e )limlim (e )exx x x x x x x ®+¥®+¥++=,而 ln(e )1e e e lim lim lim lim 1e1+e e x xxxx x x x x x x x x x ®+¥®+¥®+¥®+¥++====+，所以，所以 1lim (e )e xxx x ®+¥+=. 5、11(ln 1)1limlim ()1ln 11xxxx x x xx x x x x x®®-+-=-+-的导数由取对数求导法算出21121(ln 1)(ln 1)1limlim111x x xx x x x x x x xxx®®++×+-==--2211lim (ln 1)2x x x x x x ++®éù=-++=-ëû. §4.3 导数的应用（一） 函数的单调性一、单项选择题1、函数arctan y x x =-在(,)-¥+¥内 (A) .(A) (A) 单调增加单调增加单调增加 (B) (B) (B) 单调减少单调减少单调减少 (C) (C) (C) 不单调不单调不单调 (D) (D) (D) 不连续不连续不连续 2、设32()(21)(1)f x x x =--，则()f x 的单调递减区间为的单调递减区间为 (A) . (A) .(A) 2[,1]3(B) 2(,],[1,)3-¥+¥ (C) (,1)-¥ (D) 2[,)3+¥二、求函数32()231213f x x x x =--+的单调区间的单调区间. .解 定义域(,)x Î-¥+¥，2()66126(1)(2)f x x x x x ¢=--=+-，令()0f x ¢=，得121,2x x =-=，列表如下：，列表如下：x (,1)-¥-(1,2)- (2,)+¥()f x ¢ +-+()f x↗ ↘ ↗三、求函数23()(1)f x x x =-的单调区间的单调区间. .解 定义域(,)x Î-¥+¥，213313252()(1)33x f x x x xx --=+-×=,令()0f x ¢=，得25x =，又0x =为()f x 的不可导点，列表如下：的不可导点，列表如下：x(,0)-¥2(0,)52(,)5+¥()f x ¢+-+()f x↗↘↗四、利用单调性证明不等式1、0x >时，2cos 12x x >-.证明 令2()cos 12x f x x =-+，则()sin f x x x ¢=-+，()cos 10f x x ¢¢=-+³，所以()f x ¢在(0,)+¥内单调递增，于是有()(0)0f x f ¢¢>=，从而()f x 在(0,)+¥内单调递增，所以()(0)0f x f >=，即2cos102x x -+>，亦即2cos 12x x >-.2、0x >时，()221ln 11x x xx +++>+. 证明 令()22()1ln 11f x x x x x =+++-+,则()()2222211()ln 1ln 111x x x f x x xx x xx xx++¢=+++×-=+++++>0从而又有()f x 在(0,)+¥内单调递增，所以()(0)0f x f >=， 即 ()221ln 110x x x x +++-+>，亦即()221ln 11x x xx +++>+.§4.3 导数的应用（二） 函数的极值一、单项选择题1、若函数()f x 的极值点是0x ，则必有，则必有 (D) . (D) .(A)0()0f x ¢= (B)0()f x ¢不存在不存在 (C) (C)0()0f x ¢¹ (D)0()0f x ¢=或0()f x ¢不存在不存在 2、设23()(1)f x x =-，则1x =是()f x 的 (D) .(A) (A) 间断点间断点间断点 (B) (B) (B) 可导点可导点可导点 (C) (C) (C) 驻点驻点驻点 (D) (D) (D) 极值点极值点极值点 3、设2()()lim1()x af x f a x a ®-=--，则()f x 在x a =处 (A) .(A) (A) 必有极大值必有极大值必有极大值 (B) (B) (B) 必有极小值必有极小值必有极小值 (C) (C) (C) 没有极值没有极值没有极值 (D) (D) (D) 是否有极值不能确定是否有极值不能确定是否有极值不能确定 析：2()()()limlim1()2()x ax af x f a f x x a x a ®®¢-=---洛必达,lim ()0x af x ®¢\=，即()0f a ¢=,()()()limlim2()2()x ax af x f x f a x a x a ®®¢¢¢-=--''''()()lim122x af x f a ®===-,()20f a ¢¢=-<,()f x \在x a =处取得极大值处取得极大值二、求函数()e x f x x -=的极值的极值. .解 定义域(,)x Î-¥+¥，()e ee(1)xxxf x x x ---¢=-=-，令()0f x ¢=，得驻点1x =，列表如下：列表如下：x (,1)-¥1(1,)+¥()f x ¢+ 0+()f x↗ 极大值点极大值点↘所以()f x 的极大值为1(1)e f -=,无极小值无极小值. .三、求函数32()(1)x f x x =-的极值的极值. .解 定义域(,1)(1,)x Î-¥+¥ ，2232433(1)2(1)(3)()(1)(1)x xx x x x f x x x --×--¢==--，令()0f x ¢=，得驻点120,3x x ==，列表如下：，列表如下：x(,0)-¥0 (0,1)1 (1,3)3 (3,)+¥()f x ¢+ 0+不存在不存在 -+()f x↗不是不是 极值点极值点↗间断间断↘极小极小 值点值点↗所以()f x 的极小值为27(3)4f =，无极大值，无极大值. .四、试求a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在点3x p=处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出该极值还是极小值？并求出该极值. .解 ()cos cos 3f x a x x ¢=+，据题设知03f p æö¢=ç÷èø，即c o s c o s 03a p p +=，2a =.()2sin 3sin 3f x x x ¢¢=--,从而2sin 3sin 3033f pp p æö¢¢=--=-<ç÷èø，所以3x p=是()f x 的极大值点，极大值33f p æö=ç÷èø.§4.3 导数的应用（三） 凸性与拐点一、单项选择题1、若在区间(,)a b 内，()0,()0f x f x ¢¢¢><，则()f x 在该区间内在该区间内 (D) . (D) . (A) (A) 单调减少，曲线是凹的单调减少，曲线是凹的单调减少，曲线是凹的 (B) (B) (B) 单调增加，曲线是凹的单调增加，曲线是凹的单调增加，曲线是凹的 (C) (C) 单调减少，曲线是凸的单调减少，曲线是凸的单调减少，曲线是凸的 (D) (D) (D) 单调增加，曲线是凸的单调增加，曲线是凸的单调增加，曲线是凸的2、若点(1,0)是曲线322y ax bx =++的拐点，则的拐点，则 (B) . (B) .(A) 1,2a b == (B) 1,3a b ==- (C) 0,3a b ==- (D) 2,2a b == 3、曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为的拐点个数为 (C) . (C) .(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4、曲线arctan y x x =的图形在的图形在 (A) . (A) .(A) (,)-¥+¥内是凹的内是凹的 (B) (B) (,)-¥+¥内是凸的内是凸的 (C) (,0)-¥内是凹的，(0,)+¥内是凸的内是凸的 (D) (,0)-¥内是凸的，(0,)+¥内是凹的内是凹的5、设()f x ¢在x a =处连续，又()lim 1x a f x x a ®¢=--，则，则 (B) .(B) . (A) x a =是()f x 的极小值点的极小值点 (B) (B) x a =是()f x 的极大值点的极大值点 (C) (,())a f a 是曲线()y f x =的拐点的拐点(D) x a =不是()f x 的极值点，(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点的拐点二、求曲线2ln(1)y x =+的凹凸区间与拐点的凹凸区间与拐点. .解 定义域(,)x Î-¥+¥，221x y x¢=+，2222222(1)222(1)(1)(1)x x xx y x x +-×-¢¢==++，令0y ¢¢=，得121,1x x =-=，列表得结论如下：，列表得结论如下：x(,1)-¥-1-(1,1)-1(1,)+¥()f x ¢¢- 0+- ()f xÇ拐点拐点(1,ln 2)-È拐点拐点 (1,ln 2)Ç三、已知曲线32y ax bx cx =++在点(1,2)处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，试求,,a b c 的值，并写出该曲线的方程的值，并写出该曲线的方程. .解 232,62y ax bx c y ax b ¢¢¢=++=+，由题设知1102,0,0x x x yy y ===¢¢¢===，即，即232020a b c a b c b ++=ìï++=íï=î，解得，解得 103a b c =-ìï=íï=î，所以曲线的方程为33y x x =-+.§4.3 导数的应用（四） 函数图形的描绘一、填空题1、曲线221(1)xy x -=-有2条渐近线，其方程为10x y ==和.2、曲线ln x y x x=+的垂直渐近线为x =，斜渐近线为y x=.3、曲线exy x -=+有斜渐近线y x=.4、曲线32(1)x y x =-有垂直渐近线1x =，斜渐近线2y x =+.5、曲线2211earctan(1)(2)x x x y x x +-=+-有2条渐近线条渐近线. . 析：2211lim earctan(1)(2)4x x x x x x p®¥+-=+-，4y p\=是水平渐近线；是水平渐近线；22011lim earctan,0(1)(2)x x x x x x x ®+-=¥\=+-是垂直渐近线是垂直渐近线.. 二、求函数e 1xy x -=+的单调区间与极值及此函数曲线的凹凸区间与拐点，并求其渐近线，作出函数的图形作出函数的图形. .解 定义域(,)x Î-¥+¥.(1)e ,(2)e xxy x y x --¢¢¢¢¢=-=-.令0y ¢=，得1x =；令0y ¢¢=，得2x =，无一阶导数和二阶导数不存在的点，无一阶导数和二阶导数不存在的点..列表得结论如下：列表得结论如下：x(,1)-¥1(1,2)2(2,)+¥()f x ¢+--()f x ¢¢--+()f xÇ极大值点极大值点Ç拐点拐点È极大值1(1)e 1y -=+，拐点()22,2e 1-+.因为1lim (e1)lim 1lim 11e exx x x x x x x -®¥®¥®¥+=+=+=，所以1y =为曲线的水平渐近线，曲线无垂直渐近线和斜渐近线直渐近线和斜渐近线. .选取辅助点3(0,1),(3,3e1)-+，做出函数的图形如下：，做出函数的图形如下：无垂直渐近线和斜渐近线无垂直渐近线和斜渐近线. . . 选取辅助点选取辅助点3(0,1),(3,3e 1)-+，做出函数的图形如下：，做出函数的图形如下：§4.4函数最大值与最小值及其在经济中的应用一、填空题1、1y x x =+-在区间[5,1]-上的最大值为54，最小值为65-.2、322(2)y x x =-在区间[1,3]-上的最大值为39，最小值为0.取得最大值的点为取得最大值的点为1,3x x =-=，取得最小值的点为0,2x x ==.3、设32()6f x ax ax b =-+在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-，又0a >，则a =2，b =3.析: 2()3123(4)00,4f x ax ax ax x x x ¢=-=-=Þ==(舍) ) ，， ()6126(2)0f x ax a a x ¢¢=-=-= (0)0f ¢¢\<，(0),(2)7,(2)16f b f b a f b a =-=-=-，()f x 最大值为3,3b \=，1x =1(1,e1)-+2(1,2e1)-+x()f x 最小值为29,1629,2b a a \-=\=.二、单项选择题1、设31()3f x x x =-，则1x =是()f x 在[2,2]-上的上的 (B) . (B) .(A) (A) 极小值点，但不是最小值点极小值点，但不是最小值点极小值点，但不是最小值点 (B) (B) (B) 极小值点，也是最小值点极小值点，也是最小值点极小值点，也是最小值点 (C) (C) 极大值点，但不是最大值点极大值点，但不是最大值点极大值点，但不是最大值点 (D) (D) (D) 极大值点，也是最大值点极大值点，也是最大值点极大值点，也是最大值点 2、设00()0,()0f x f x ¢¢¢=>，则，则 (B) . (B) .(A) 0()f x 一定是()f x 的最小值的最小值 (B) (B) 0()f x 一定是()f x 的极小值的极小值 (C) 0()f x 一定是()f x 的最大值的最大值 (D) (D) 0()f x 一定是()f x 的极大值的极大值 3、设()f x 在某区间内可导且只有一个驻点0x ，则，则 (C) . (C) .(A) 0()f x 一定是()f x 的极值的极值 (B) (B) 0()f x 一定不是()f x 的极值的极值 (C) (C) 当当0()f x 是()f x 的极小值时，0()f x 一定是()f x 在该区间上的最小值；在该区间上的最小值；当0()f x 是()f x 的极大值时，0()f x 一定是()f x 在该区间上的最大值在该区间上的最大值 (D) (D) 以上结论均不正确以上结论均不正确以上结论均不正确三、求函数2()1x f x x=+在1[,1]2-上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .解 2222(1)(2)1(),,2(1)(1)2x x x x x f x x x x +-+æö¢==Î-ç÷++èø，令()0f x ¢=，得0x =，因为，因为 111(0)0,,(1)222f f f æö=-==ç÷èø，所以()f x 在1[,1]2-上的最大值为11(1)22f f æö-==ç÷èø,最小值为(0)0f =.四、一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-（万元（万元//吨），其中x 为销售量，该商品的成本函数为31C x =+（万元）（万元）..（1）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求该商家获最大利润时的销售量；（2）t 为何值时，政府税收总额最大？为何值时，政府税收总额最大？解 (1) 设政府税收总额为T ，商品销售收入为R ，则2,70.2T tx R xp x x ===-，利润函数为函数为 2270.2(31)0.2(4)1L R C T x x x tx x t x =--=--+-=-+--；0.4(4)L x t ¢=-+-.4a 0.40.1x c b pb=-，4b x c4b x c-324b x bc -+(34)2b a c b ,2b c -<(34)2b a cb时可31518282b a b a -=+ç(5216b b -æö=ç÷。
第四章 微分中值定理与导数的应用
第四章 微分中值定理与导数的应用数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。
——爱因斯坦本章首先介绍微分中值定理，然后，运用微分中值定理，我们介绍一种求极限的方法——洛必达法则。
最后，运用微分中值定理，通过导数来研究函数及其曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。
第一节 微分中值定理一、 罗尔定理定理4.1 (罗尔(Rolle )定理)如果函数()f x 满足： (1) 在[,]a b 上连续， (2) 在(,)a b 内可导， (3) ()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．证明 由闭区间上连续函数性质，)(x f 在] ,[b a 上必能取到最小值m 和最大值M 。
如果m = M ，那么C x f ≡)(，于是] ,[b a x ∈∀有，0)(='x f 。
否则，m M >，于是，)(a f M ≠或)(a f m ≠至少有一个成立。
根据罗尔中值定理的条件（3），在) ,(b a 内至少存在一个最值点ξ，不妨设M f =)(ξ，因为)(x f 在ξ可导，那么，由费马定理，0)(='ξf 。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条连续曲线)(x f y =，除曲线端点之外每一点都存在切线，并且曲线的两个端 点在同一水平线上，那么在该曲线上至少存在一点，使得过该点的切线为水平切线.如图4.1.1所示，由定理假设知，函数y =f (x )(a ≤x ≤b )的图形是一条连续曲线段 ACB ，且直线段AB 平行于x 轴。
定理的结论表明，在曲线上至少存在一点C ，在该点曲线具有水平切线．图4.1.1例4.1.1 验证罗尔定理对函数2()23f x x x =-+在区间[1,3]-上的正确性． 解 显然函数2()23f x x x =-+在[1,3]-上满足罗尔定理的三个条件，由 ()222(1)f x x x '=-=-,可知(1)0f '=,因此存在1(1,3)ξ=∈-,使(1)0f '=． 注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立．但也不能认为这些条件是必要的．例如，f (x )=sin x （0≤x ≤3π2）在区间［0, 3π2］上连续，在(0, 3π2)内可导，但f (0)≠f (3π2)=-1,而此时仍存在3(0,)22ππξ=∈，使()f ξ'=cos π2=0(图4.1.2 )．图4.1.2若不满足罗尔定理中的三个条件，则罗尔定理的结论就不一定成立。
高等教育自学考试高等数学(一)第 四 章 微分中值定理和导数的应用
第四章微分中值定理和导数的应用一、考核要求Ⅰ 知道罗尔定理成立的条件和结论，知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论。
Ⅱ 能识别各种类型的未定式，并会用洛必达法则求它们的极限。
Ⅲ 会判别函数的单调性，会用单调性求函数的单调区间，并会利用函数的单调性证明简单的不等式。
Ⅳ 会求函数的极值。
Ⅴ 会求出数在闭区间上的最值，并会求简单应用问题的最值。
Ⅵ 会判断曲线的凹凸性，会求曲线的凹凸区间和拐点。
Ⅶ 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。
二、基本概念、主要定理和公式、典型例题Ⅰ 微分中值定理今后，如果函数f(x)在某一点x0处的导数值=0，就说这一点是驻点，因此罗尔中值定理的结论也可以说f(x)在（a，b）内至少有一个驻点。
从y=f(x)的几何图形（见下图）可以看出，若y=f(x)满足罗尔中值的条件，则它在（a，b）内至少有一点，其切线是水平的，根据导数的几何意义知道，该点的斜率=k=0。
从函数y= f(x)的图形看（见下图），连接y= f(x)在[a，b]上的图形的端点A与B，则线段AB的斜率为：将AB平行移动至某处，当AB的平行线与曲线y=f(x)相切时，若切点为x=c，则根据导数的几何意义知：或写作故从几何图形看，拉格朗日定理是成立的。
典型例题例一：（单选）下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条件的函数是（）① ，[-1，1]；② ，[-1，1]；③ ，[1， 2]；④ ，[-1，1]。
解：①在[-1，1]上处处有意义，没有无意义的点，因为他没有分母，所以在b区间[-1，1]上处处连续满足第一个条件。
又f(-1)=1，f(1)=1，所以在端点上函数值相等，满足第三个条件因此这函数在开间内不是处处可导，只少在0这一点不可导的，因此不满足第二个条件。
② 在x=o处不可导，∴也不满足第二个条件。
③ f(1)=1，f(2)=4，∴在[1，2]上满足第三个条件。
④ ，处处可导且处处连续，f(-1)=1， f(1)=1。
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
第四章 中值定理与导数的应用一、填空1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。
2、若21cos 1sin lim20=-→kx x x ，则k = 。
3、=a ，=b 时，点（1，3）为23bx ax y +=的拐点。
4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。
5、函数)1ln(2x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。
6、函数23)5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。
7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e xx x ，则=a ，=b 。
8、xx x y )11(-+=的水平渐近线为 。
二、选择1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)41,21(-内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(><f f ，则)(x f 在（0，1）内（ ） A 、至少有两个零点 B 、有且仅有一个零点 C 、没有零点 D 、零点个数不能确定3、函数)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（ ） A 、0)(0='x f B 、0)(0<''x fC 、0)(0='x f 且0)(0<''x fD 、0)(0='x f 或不存在 4、1ln )(2-=x xx f 的垂直渐近线为（ ） A 、1=x B 、1±=x C 、1±=x ，0=x D 、0=x 5、函数)(x f 有连续二阶导数，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(-=''f ，则=-→2)(limx xx f x （ ） A 、-1 B 、0 Ｃ、不存在 Ｄ、－２６、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→xx f x ，则在0=x 处)(x f （ ）Ａ、不可导 Ｂ、可导且0)0(≠'f Ｃ、取得极大值 Ｄ、取得极小值 ７、设在［０，１］上，0)(>''x f ，则)(x f 满足（ ）Ａ、)0()1()0()1(f f f f ->'>' Ｂ、)0()0()1()1(f f f f '>->' Ｃ、)0()1(')0()1(f f f f '>>- Ｄ、)0()1()0()1(f f f f '>->'８、设)()(x f x f --=对一切x 恒成立，且当),0(+∞∈x 时，有0)(>'x f ， 0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内一定有（ ）Ａ、0)(<'x f ，0)(<''x f Ｂ、0)(<'x f ，0)(>''x f Ｃ、0)(>'x f ，0)(<''x f Ｄ、0)(>'x f ，0)(>''x f９、设函数)(x f 在上有定义，在开区间),(b a 内可导，则（ ） Ａ、当时，存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf B 、对任何),(b a ∈ξ，有0)]()([lim =-→ξξf x f xC 、当)()(b f a f =时，存在),(b a ∈ξ，使0)('=ξf D 、存在),(b a ∈ξ，使=-)()(a f b f ))(('a b f -ξ 10、设)1()(x x x f -=，则（ ） A 、0=x 是)(x f 的极值点，但（0，0）不是曲线)(x f y =的拐点 B 、0=x 不是)(x f 的极值点，但（0，0）是曲线)(x f y =的拐点 C 、0=x 是)(x f 的极值点，且（0，0）是曲线)(x f y =的拐点 D 、0=x不是)(x f 的极值点，（0，0）也不是曲线)(x f y =的拐点三、计算 1、0lim→x x x 3sin )21ln(+ 2、0lim →x )21ln(arctan 3x x x +- 3、0lim→x )tan 11(2xx x - 4、-∞→x lim )arctan 2(x x +π5、0lim →x xxex 11)1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+ 6、0lim →x x x 12)1(+ 四、应用题1、已知函数)(x f y =，在),(+∞-∞上具有二阶连续的导数，且其一阶导函数)('x f 的图形如图所示，且8)1(=-f ，7)0(=f ，6)1(=f ，5)2(=f ，4)3(=f则（1）函数)(x f 的驻点是 。
赵树嫄微积分第四版第四章-中值定理与导数的应用
练习 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x ,
(2) 若 M m. f (a) f (b),
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
设 M f (a), 则 M f (b),
(a,b)，使 f ( ) M. 由费马引理, 条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
f ( x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2) 及 (2, 3) 内。
思考： f ( x) 的零点呢？
11
例4 证明：可导函数 f ( x) 的两个零点之间必有 f ( x) f ( x) 的零点. 证 对 g( x) ex f ( x) 使用罗尔定理,
g( x) ex[ f ( x) f ( x)]，
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
证明 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
F(x) 在 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，
F(a) F(b) 0， 由罗尔定理， (a, b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
17
例7 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
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第四章 中值定理与导数的应用一、填空1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。
2、若21cos 1sin lim20=-→kx x x ，则k = 。
3、=a ，=b 时，点（1，3）为23bx ax y +=的拐点。
4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。
5、函数)1ln(2x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。
6、函数23)5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。
7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e xx x ，则=a ，=b 。
8、xx x y )11(-+=的水平渐近线为 。
二、选择1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)41,21(-内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(><f f ，则)(x f 在（0，1）内（ ） A 、至少有两个零点 B 、有且仅有一个零点 C 、没有零点 D 、零点个数不能确定3、函数)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（ ） A 、0)(0='x f B 、0)(0<''x fC 、0)(0='x f 且0)(0<''x fD 、0)(0='x f 或不存在 4、1ln )(2-=x xx f 的垂直渐近线为（ ） A 、1=x B 、1±=x C 、1±=x ，0=x D 、0=x 5、函数)(x f 有连续二阶导数，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(-=''f ，则=-→2)(limx xx f x （ ） A 、-1 B 、0 Ｃ、不存在 Ｄ、－２６、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→xx f x ，则在0=x 处)(x f （ ）Ａ、不可导 Ｂ、可导且0)0(≠'f Ｃ、取得极大值 Ｄ、取得极小值 ７、设在［０，１］上，0)(>''x f ，则)(x f 满足（ ）Ａ、)0()1()0()1(f f f f ->'>' Ｂ、)0()0()1()1(f f f f '>->' Ｃ、)0()1(')0()1(f f f f '>>- Ｄ、)0()1()0()1(f f f f '>->'８、设)()(x f x f --=对一切x 恒成立，且当),0(+∞∈x 时，有0)(>'x f ， 0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内一定有（ ）Ａ、0)(<'x f ，0)(<''x f Ｂ、0)(<'x f ，0)(>''x f Ｃ、0)(>'x f ，0)(<''x f Ｄ、0)(>'x f ，0)(>''x f９、设函数)(x f 在上有定义，在开区间),(b a 内可导，则（ ） Ａ、当时，存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf B 、对任何),(b a ∈ξ，有0)]()([lim =-→ξξf x f xC 、当)()(b f a f =时，存在),(b a ∈ξ，使0)('=ξf D 、存在),(b a ∈ξ，使=-)()(a f b f ))(('a b f -ξ 10、设)1()(x x x f -=，则（ ） A 、0=x 是)(x f 的极值点，但（0，0）不是曲线)(x f y =的拐点 B 、0=x 不是)(x f 的极值点，但（0，0）是曲线)(x f y =的拐点 C 、0=x 是)(x f 的极值点，且（0，0）是曲线)(x f y =的拐点 D 、0=x不是)(x f 的极值点，（0，0）也不是曲线)(x f y =的拐点三、计算 1、0lim→x x x 3sin )21ln(+ 2、0lim →x )21ln(arctan 3x x x +- 3、0lim→x )tan 11(2xx x - 4、-∞→x lim )arctan 2(x x +π5、0lim →x xxex 11)1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+ 6、0lim →x x x 12)1(+ 四、应用题1、已知函数)(x f y =，在),(+∞-∞上具有二阶连续的导数，且其一阶导函数)('x f 的图形如图所示，且8)1(=-f ，7)0(=f ，6)1(=f ，5)2(=f ，4)3(=f则（1）函数)(x f 的驻点是 。
（2）函数)(x f 的递增区间为 。
（3）函数)(x f 的递减区间为 。
（4）函数)(x f 的极大值为 。
（5）函数)(x f 的极小值为 。
为 。
（6）曲线)(x f y =的上凹区间为 。
（7）曲线)(x f y =的下凹区间（８）)(x f y =的拐点为 。
（注：只写结果即可） ２、一商家销售某商品，其销售量Ｑ（单位：吨）与销售价格Ｐ（单位：万元／吨）有关系：Ｑ＝３５－５Ｐ，商品的成本函数为Ｃ＝３Ｑ＋１（万元），若销售一吨商品，政府要征税a 万元（１）求商家获得最大利润（指交税后）时的销售量Ｑ（２）每吨税收a 定为何值时，商家既获得最大利润，且政府税收总额最大？３、已知c bx ax x x f +++=23)(在0=x 处有极大值，且有一拐点（１，－１），求c b a ,,之值，且求)(x f的单调区间，凹向与极小值。
五、证明１、证明：当π<<x 0时，有πx x >2sin２、设)(x f 在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且0)1()0(==f f ，1)21(=f 试证明：至少存在一个点)1,0(∈ξ，使得1)(='ξf 答案一、 填空1、2 ；2、±2 ；3、29,23=-=b a； 4、2； 5、),(+∞-∞；1-ln2 ; -1-ln2；6、01=x ，32=x ，;53=x 108；0； 7、4,1-==b a ； 8、2e y =二、选择1、D 、2、B3、D4、D5、A6、D7、B8、C9、B 10、C 三、计算1、解：原式=0lim →x 323cos 3212=+x x2、解：原式=0lim →x =-32arctan x x x 0lim →x =-+226111xx 0lim →x 61)1(6222-=+-x x x 3、解：原式=0lim →x x x x x tan tan 2-=0lim →x 3tan x xx -=0lim →x 2231sec x x -=0lim →x x x x 222cos 3cos 1-=0lim →x 6132122=x x4、原式=-∞→x lim xx 1arctan 2+π=-∞→x lim 22111xx -+=-∞→x lim 1122-=+-xx 5、解：原式=0lim →x =+xxex 11])1([xx x z e 1)1ln(1lim 0-+→=2)1ln(limxxx x e-+→=xx x e2111lim 0-+→=1)1(21lim 0-=+-→x x e6、解：原式=)1ln(1lim2x x x e+-∞→=x x x e)1ln(lim2+-∞→-∞→x lim x x )1ln(2+=-∞→x lim 01122=+x x∴ 原式=10=e四、应用 1、解：（1）3,1,1==-=x x x；（2）)1,(--∞和),3(+∞；（3）[-1，3]；（4）8；（5）4；（6）（0，1）和),2(+∞；（7）)0,(-∞和（1，2）；（8）（0，7），（1，6），（2，5） 2、解：（1）税后利润为：aQ Q QP Q L ---=13)(又由p Q535-=得Q P 2.07-=a Q Q L -+-='44.0)( 令0)(='Q L 得驻点∴a Q5.210-=（吨）时，获利润最大。
（2）征税总额为：aQ T =，而Q 是厂家获利最大时的销售量，因此，此处a Q 5.210-=25.210a a T-= a T 510-=' 令0='T 得驻点2=a05<-=''T ∴ 当2=a 万元时，征收税额最大。
3、解：1)0(=f ⇒ 1=c令0)2(363)(2=-=-='x x x x x f ⇒ 2,0==x x 令0)1(666)(=-=-=''x x x f ⇒ 1=x1、证明：设πxx x f -=2sin)( 则π12cos 21)(-='x x f ∴ 函数)(x f 对应曲线在),0(π内向上凸又由于0)()0(==πf f∴ 当π<<x 0时，)(x f >0即：πxx >2sin2、证明：作辅助函数x x f x F -=)()(显然)(x F 在[21，1]上连续，在（21，1）内可得，且021)21(,01)1(>=<-=F F ，由零值定理，存在点)1,21(∈η，使得0)(=ηF ，又由于0)0(=F ，对)(x F 在],0[η上应用罗尔定理，存在点)1,0(),0(⊂∈ηξ使得0)(='ξF ，即1)(='ξf。