任意角的三角函数1

第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（1）

学习目的：

1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）.

学习重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各

象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点.

学习难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他

们的集合形式表示出来.

课堂探究：

一、复习引入：

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依

次为,,a b a sinA cosA tanA c c b

=

=

=

．

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：

1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，

它与原点的距离为(0)r r ==

>，那么

（1）比值y r

叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值

y x

叫做α的正切，记作tan α，即tan y x

α=

；

说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以

及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终

边上的位置的改变而改变大小；

③当()2

k k Z π

απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都

等于0，所以tan y x

α=

无意义；

④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r

、

x r

、

y x

分别是一个确定的实

数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。

2．三角函数的定义域、值域

注意：

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.

(2) α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.

(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.

3．例题分析

例1 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值。

解：因为2,3x y ==-，所以r =

=

，于是

3sin

13

y r α-==

=-

；2cos 13

x r α==

=

；

3tan 2

y x

α=

=-；

例2求下列各角的三个三角函数值：

（1）0； （2）π； （3）

32

π．

解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以

sin 00=， 01cos =， tan 00=.

（2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以 sin 0π=， c o s 1π=-， tan 0π=.

（3）因为当32π

α=时，0x =，y r =-，所以

3sin 12π

=-， 3c o s 02π

=，

3tan

2

π不存在.

例3已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的三个三角函数值。

解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以||r a =， ,2x a y a ==

当220sin

5

y a a a r

α>==

=

=

时，；

c o s

5

x r

α=

；

tan 2;

α=；

当0sin

5

y a r

α<==

=

=-

时，；

c o s

5

x r

α=

=；

tan 2;

α=．

4．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值y r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ③正切值

y x

对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

α

sin 为正 全正

α

tan 为正

α

cos 为正

5．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。 即有：

sin(2)sin k απα+=，

cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 三、巩固与练习

1 确定下列三角函数值的符号：

（1）cos 250

； （2）sin()4

π-； （3）tan(672)- ； （4）11tan 3

π．

2 求函数x

x x

x y tan tan cos cos +

=

的值域

解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上

又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上