弹性力学基础知识课件
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弹性力学课件
研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
弹性力学基础教学课件PPT
圆柱坐标：r—径向；θ—周向；z—轴向
dq
z
qr
zr
z
zq
r
q
qz
dr
rz dz
rq
r
dq dr
dz
r rq rz
o
y
ij qr
q
qz
q
r
zr zq z
x
➢圆柱坐标下的平衡微分方程
rr1 r qqr z zrr rq0
rrq1 r qq zzq2 rrq0
yz
1（wv） 2 y z
zx
1（uw） 2 z x
yz
x
1 2（z2vxy2wx）（2）
zx
y
12（x2wyz2uy）（3）
以上三个式子分别两两相加然后再减去第3 式，可得到：
yx
z
xz
y
yz
x
2u yz
xy
z
yz
x
xz
y
2v xz
• 左面三式分别对 X，Y,Z求偏导
• 平面问题应变协调方程
➢ 平面变形--物体内所有质点都只在一个坐标平面内发生变形，
而在该平面的法线方向没有变形。
➢ 发生变形的平面称为塑性流平面，它始终保持为平面，不会
发生扭曲、倾斜。
➢ 假设没有变形的方向为坐标的Z向，则Z方向上的位移分量 w=0; 其余两个位移分量与Z坐标无关，对Z的偏导数为零。
• 角标符号：同一个物理量的不同分量用同一个字母加不同
的的下标来表示。比如：
3根坐标轴：x,y,z
3个方向余弦：l,m,n, 3个基准矢量：i,j,k,
Xi (i=1,2,3)或（i=x,y,z) ni (i=1,2,3)或（i=x,y,z) ei (i=1,2,3)或（i=x,y,z)
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
弹性力学课件
第一章 内容提要
1.弹性力学--研究弹性体由于受外力、边界约束或温度 改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2.弹性力学中的几个基本物理量：
-2 体力--分布在物体体积内的力。（量纲）ML T-2.
坐标正向为正
-1 面力--分布在物体表面上的力。（量纲）ML T-2.
坐标正向为正 应力--单位截面面积上的内力值。（量纲） -1T-2. ML 正面正向，负面负向为正
当d x, d y → 0 时，得切应力互等定理 切应力互等定理, 切应力互等定理
τ xy = τ yx
第二节
平衡微方程
说明
平衡微分方程的有关说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量：超静定问题， 需找补充方程才能求解。 （2）适用的条件─连续性、小变形； （3）对于平面应变问题，上述方程两类平面问题均适用； （4）平衡方程中不含E、µ，方程与材料性质无关（钢、 石料、混凝土等）； （5）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
∂σy ∂y + ∂τ xy ∂x
ε x = ε x (x, y) ε y = ε y (x, y)
γ xy = γ yx = γ xy (x, y)
+ f =0
平衡微分方程
∂σx ∂τ yx + + fx = 0 ∂x ∂y
第二节
平衡微分方程
思考题 1. 试检查，同一方程中的各项，其量纲 必然相同（可用来检验方程的正确性）。 2. 将条件
第一节
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
例如： 挡土墙 隧道
o
o x x
y
y
第一节
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
例2 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切 向面力作用的等厚度薄板中，如图，当板边上只受 x,y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状 态接近于平面应变的情况。 （习题 2-4） 解：按平面应变问题特征 来分析，本题中
1.弹性力学--研究弹性体由于受外力、边界约束或温度 改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2.弹性力学中的几个基本物理量：
-2 体力--分布在物体体积内的力。（量纲）ML T-2.
坐标正向为正
-1 面力--分布在物体表面上的力。（量纲）ML T-2.
坐标正向为正 应力--单位截面面积上的内力值。（量纲） -1T-2. ML 正面正向，负面负向为正
当d x, d y → 0 时，得切应力互等定理 切应力互等定理, 切应力互等定理
τ xy = τ yx
第二节
平衡微方程
说明
平衡微分方程的有关说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量：超静定问题， 需找补充方程才能求解。 （2）适用的条件─连续性、小变形； （3）对于平面应变问题，上述方程两类平面问题均适用； （4）平衡方程中不含E、µ，方程与材料性质无关（钢、 石料、混凝土等）； （5）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
∂σy ∂y + ∂τ xy ∂x
ε x = ε x (x, y) ε y = ε y (x, y)
γ xy = γ yx = γ xy (x, y)
+ f =0
平衡微分方程
∂σx ∂τ yx + + fx = 0 ∂x ∂y
第二节
平衡微分方程
思考题 1. 试检查，同一方程中的各项，其量纲 必然相同（可用来检验方程的正确性）。 2. 将条件
第一节
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
例如： 挡土墙 隧道
o
o x x
y
y
第一节
平面应力问题和平面应变问题
平面应变
例2 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切 向面力作用的等厚度薄板中，如图，当板边上只受 x,y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状 态接近于平面应变的情况。 （习题 2-4） 解：按平面应变问题特征 来分析，本题中
弹性力学初步优秀课件
密度r
微元不是
力作用在微元的表面
应力：F/S 离散的质点
弹性形变——当物体所受外力撤除后，在外力作用下所发 生的形状和体积的变化完全消失，而恢复原状的形变. 弹性体——在外力作用下，物体内部各点的相对位置发生 改变；宏观上，表现为物体的大小和形状发生变化。 自然界中并没有完全弹性体，一般变形体，既有弹性，还 有撤去外力后不能完全复原的塑性。 假设： (1)变形体材料均匀连续，忽略实际物体中的微粒间的不 连续性。认为物体的性质处处相同。
✓纯正应力相对应的体应变 ✓纯剪切应力相对应的剪切应变
赵州桥
如果设计得好，楔型石 料将主要承受压应力
线应变
取一根长、宽、高分别为l，w，h的等截面杆形材料。如果两端 在拉力F作用下，其长度伸长为l，并满足小变形假设。
胡克定律：力与伸长成正比，即F∝l。
杆伸长l不仅取决于外力F，也取决于杆的长度。 F∝l/l 相对伸长l/l就是单位长度的伸长，一般称为应变。
whvl
wh
l
常数 v 称为泊松比，它是表征材料性质的另一个参数。 泊松比是一个无量纲的正数，小于1/2
8.2.2 叠加原理
在力和位移上都是线性的，而且均满足小位移假设， 所以叠加原理成立。
由此，一维情况下成立的应力-应变关系与泊松比关 系在多维情况下也成立
8.2.3 体应变与剪切应变
1）体积形变·体应力与体应变
若只有p1单独作用，棱边a为纵向边，
棱边b和c为横向边，三个应变分别为：
a1
a b
b
1
p1
Y v a1
a
v
p1 Y
c1 c
v
a1 a
v
p1 Y
在p2单独作用下，以及p3单独作用下，棱边a，b，c的
2024版弹性力学5PPT课件
2024/1/25
5
边界条件与约束类型
边界条件
位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件。
约束类型
几何约束、运动约束、动力约束。
2024/1/25
பைடு நூலகம்
6
应力、应变及位移关系
2024/1/25
应力
单位面积上的内力，包括正应力和剪应力。
应变
物体在外力作用下形状和尺寸的改变，包 括线应变和角应变。
位移
物体在外力作用下某点位置的改变，包括 线位移和角位移。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的定义
阐述广义平面应力问题和广义平面应变问题的基本概念和定义。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的求解方法
介绍如何利用弹性力学的基本方程和边界条件，求解广义平面应力问题和广义平面应变 问题。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的实例分析
通过具体实例，展示广义平面应力问题和广义平面应变问题求解方法的实际应用。
10
功的互等定理与卡氏定理
01
功的互等定理的基本内容
在弹性力学中，如果两个载荷系统在相同的物体上分别作用并产生相同
的位移场，则这两个载荷系统所做的功相等。
2024/1/25
02 03
卡氏定理的基本内容
在弹性力学中，如果物体在某一载荷作用下处于平衡状态，那么在该载 荷作用下物体内部任意点的应力分量与另一与之平衡的载荷在该点所引 起的位移分量成正比。
2024/1/25
03
平面问题求解方法
13
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
2024/1/25
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
弹性力学理论基础ppt课件
§1.1 弹性力学任务11
研究方法的差别造成弹性力学与材料力 学问题的最大不同。
•常微分方程，数学求解没有困难。
•偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重重， 除了少数特殊问题，一般弹性体问题很难得到 解析解。
•这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事 实上对于任何学科，如果不对研究对象作必要 的抽象和简化，研究工作都是寸步难行的。
1. 连续性假设
•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成 物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何 空隙。
•——变形后仍然保持连续性。
•根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、 应变和应力等均为物体空间的连续函数。
•微观上这个假设不可能成立——宏观假设。
§1.2 基本假设4
2. 均匀性假设
•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料 组成的。因此物体各个部分的物理性质都是 相同的，不随坐标位置的变化而改变。
•弹性是变形固体的基本属性。
•“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
•完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。 •完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力 和应变之间一一对应的关系。 •这种关系与时间无关，也与变形历史无关。
•材料的应力和应变关系通常称为本构关系；
•——物理关系或者物理方程
•线性弹性体和非线性弹性体
§1.2 基本假设2
•工程材料通常可以分为晶体和非晶体两种。
•金属材料——晶体材料，是由许多原子，离子 按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间 经常会有缺陷存在。
•高分子材料——非晶体材料，由许多分子的集 合组成的分子化合物。
•工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固 体材料微观结构的复杂性。
§1.2 基本假设3
弹性力学基础教学课件PPT
弹性力学基础教学课 件
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
弹性力学ppt课件
应变定义
物体在外力作用下产生的 形变，表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系，通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变， 是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他 外界因素作用下产生的变形和内力， 从而在变形与外力之间建立一定关系 的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通 过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方 程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在 网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从 而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进 而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度 和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。
弹性力学课件(高教课堂)
弹性力学课件(高教课堂)教学内容：1. 弹簧的弹性特性：弹簧的弹性系数、弹簧的弹性力、弹簧的弹性势能。
2. 弹性体的变形与应力：弹性体的应变、应力、胡克定律、弹性模量。
3. 弹性体的变形能：弹性体的变形能的定义、计算方法、变形能与弹性势能的关系。
4. 弹性体的平衡条件：弹性体的受力分析、弹性体的平衡条件、弹性体的支座反力。
教学目标：1. 理解弹簧的弹性特性和弹性体的变形与应力。
2. 掌握弹性模量的概念和计算方法。
3. 能够计算弹性体的变形能和支座反力。
教学难点与重点：重点：弹簧的弹性特性、弹性体的变形与应力、弹性模量的计算、弹性体的变形能的计算。
难点：弹性体的受力分析和支座反力的计算。
教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、弹簧演示器、弹性体模型。
学具：笔记本、尺子、计算器。
教学过程：1. 实践情景引入：通过弹簧演示器展示弹簧的弹性特性，让学生观察和感受弹簧的弹性力。
2. 讲解弹簧的弹性特性：解释弹簧的弹性系数、弹性力和弹性势能的概念，并用公式进行说明。
3. 讲解弹性体的变形与应力：解释弹性体的应变、应力和胡克定律的概念，并用公式进行说明。
4. 讲解弹性体的变形能：解释弹性体的变形能的定义和计算方法，并用公式进行说明。
5. 讲解弹性体的平衡条件：解释弹性体的受力分析和支座反力的概念，并用公式进行说明。
6. 例题讲解：给出一个弹性体的受力分析的例题，让学生运用所学的知识进行解答。
7. 随堂练习：给出几个关于弹性体的变形与应力、变形能和支座反力的问题，让学生进行练习和解答。
板书设计：1. 弹簧的弹性特性：弹性系数、弹性力、弹性势能。
2. 弹性体的变形与应力：应变、应力、胡克定律、弹性模量。
3. 弹性体的变形能：变形能的定义、计算方法、变形能与弹性势能的关系。
4. 弹性体的平衡条件：受力分析、支座反力。
作业设计：1. 计算一个弹簧在拉伸5cm时的弹性力。
答案：根据胡克定律，弹性力F=kx，其中k为弹簧的弹性系数，x 为弹簧的伸长量。
弹性力学ppt课件(2024)
建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
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02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
弹性力学专题知识课件
7
2）弹性力学： 在弹性力学中,一般不作出那些假定,故解比较精确。
例如在研究直梁在横向荷载作用下旳弯曲,弹性力学就不引 用了平面截面旳假定；又例如在研究有孔旳拉伸构件，弹 性力学也不假定拉应力在净截断面均匀分布；这使数学推 演复杂, 但解往往是比较精确旳。
3）构造力学： 构造力学研究措施有位移法、力法或混正当等。 弹性力学一般不研究杆件系统，但诸多人致力于弹
10
2. 面力
（1）定义：分布在物体表面上旳力。如流体压力和接触力
F 。如图1－3所示。
（2）性质：面力一般是物体表面点旳位置坐标旳函数。
（3）面力集度： S 上面力旳平均集度为： F
S
P点所受面力旳集度为：
z
fz F
f lim F S 0 S
△S F （4）面力分量：
fx
P fy
y
P点旳面力分量为 fx , f y , fz ，量 纲是 L1MT 2
zy yz , yx xy , xz zx
作用在两个相互垂直旳面上而且垂直于该两面交线旳切应 力是互等旳（大小相等，正负号也相同。）
17
图1-9
（4）注意弹性力学切 应力符号和材料力学是有 区别旳，图1－9中，弹性
弹性力学 力学里，切应力都为正，
而材料力学中相邻两面旳 旳符号是不同旳。正应力 与材料力学旳正负号要求 相同（即拉为正压为负）。
C
y
z
yx z
x P yz
A
y
（1）为了分析一点P旳应力
状态，在这一点从物体内取出
一种微小旳正平行六面体，各
yz
面上旳应力沿坐标轴旳分量称
y 为应力分量。即每个面上旳应
yx B 力分量可分解为一种正应力和
2）弹性力学： 在弹性力学中,一般不作出那些假定,故解比较精确。
例如在研究直梁在横向荷载作用下旳弯曲,弹性力学就不引 用了平面截面旳假定；又例如在研究有孔旳拉伸构件，弹 性力学也不假定拉应力在净截断面均匀分布；这使数学推 演复杂, 但解往往是比较精确旳。
3）构造力学： 构造力学研究措施有位移法、力法或混正当等。 弹性力学一般不研究杆件系统，但诸多人致力于弹
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2. 面力
（1）定义：分布在物体表面上旳力。如流体压力和接触力
F 。如图1－3所示。
（2）性质：面力一般是物体表面点旳位置坐标旳函数。
（3）面力集度： S 上面力旳平均集度为： F
S
P点所受面力旳集度为：
z
fz F
f lim F S 0 S
△S F （4）面力分量：
fx
P fy
y
P点旳面力分量为 fx , f y , fz ，量 纲是 L1MT 2
zy yz , yx xy , xz zx
作用在两个相互垂直旳面上而且垂直于该两面交线旳切应 力是互等旳（大小相等，正负号也相同。）
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图1-9
（4）注意弹性力学切 应力符号和材料力学是有 区别旳，图1－9中，弹性
弹性力学 力学里，切应力都为正，
而材料力学中相邻两面旳 旳符号是不同旳。正应力 与材料力学旳正负号要求 相同（即拉为正压为负）。
C
y
z
yx z
x P yz
A
y
（1）为了分析一点P旳应力
状态，在这一点从物体内取出
一种微小旳正平行六面体，各
yz
面上旳应力沿坐标轴旳分量称
y 为应力分量。即每个面上旳应
yx B 力分量可分解为一种正应力和
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z的函数。
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19
平衡方程是弹性体内部必须满足 的条件，它6个应力分量不是独 立的，它们通过3个平衡方程相 互联系
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20
• 几何方程描述几何量应变和位移之间的关系
6个应变分量可用该点的 3个位移分量表示，因此 6个应变分量也不是独立的
可写成矩阵形式为
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21
• 物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系，这种关系与材料的 物理特性有关。物理方程共有6个，其形式为
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性 的偏微分方程组。
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8
1 弹性力学的基本假设 6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有 应力。
弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产生的。
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9
弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、 完全弹性和小变形假设等。
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
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22
物理方程写成矩阵形式
简记为
其中，［Ｄ］为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数Ｅ和μ。
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23
15个方程
几何方程
物理方程
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平衡方程
24
弹性力学基本方程
• 由上可见，三类基本方程共包含15个方程，含6个应力分量，6个应 变分量和3个位移分量，共15个未知量，因而原则上可以解出15个物 理量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分 （称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。根据基本 未知量的选法不同，也就产生了3中不同的解题方法——位移法，应 力法和混合法。
τyx
σy
应力分量
符号规定：
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元
体面的应力称为正应力。
正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴
的方向。
平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其 第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿坐 标轴的方向。如图示的τyx、τyz
• 基本假设是学科的研究基础。 • 超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
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2
1 弹性力学的基本假设
• 连续性假设 • 均匀性假设 • 各向同性假设 • 完全弹性假设 • 小变形假设 • 无初始应力的假设
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3
1 弹性力学的基本假设
1. 连续性假设
• ——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满， 各个质点之间不存在任何空隙。
28
谢 谢！
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29
1 弹性力学的基本假设 2 弹性力学基本概念 3 弹性力学基本方程 4 边界条件
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1
1 弹性力学的基本假设
基本假设的必要性
• 工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有 因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。
• 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。 使问题的研究限定在一个可行的范围。
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12
• 其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分 布力的合力。
ΔQ
取截面的一部分，它的面积为ΔA， 作用于其上的内力为ΔQ，
ΔA
平均集度为ΔQ/ΔA，其极限
S limQ A
为物体在该截面上ΔA点的应力。
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13
• 通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为
τS
σ
正应力σ
切应力τ
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14
z
o
y
x
应力分量
应力不仅和点的位置有关，和截面的方 位也有关。 描述应力，通常用一点平行于坐标平面 的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分 量来表称为应力分量。
物体内各点的内力平衡，因此相对平 面上的应力分量大小相等，方向相反。
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15
z
oy x
τyz
• ——宏观假设，材料性能是显示各向同性。 • 当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。 • ——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。
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6
1 弹性力学的基本假设 4. 完全弹性假设
• ——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而 且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。
• ——变形后仍然保持连续性。
• 根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物 体空间的连续函数。
• 微观上这个假设不成立——宏观假设。
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4
1 弹性力学的基本假设
2. 均型的均匀材料组成的。因此物体各个 部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
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25
弹性力学的基本未知量： 位移分量，应力分量和应变分量。 基本方程：平衡微分方程，几何方程和物理方程。 要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。 边界条件一般分为：静力（面力）边界条件、位移边界条件和混合边 界条件。 弹性力学的任务：就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十 五个基本方程。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与 应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
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7
1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变 形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸 变化。
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26
静力（面力）边界条件
➢静力边界条件：结构在边界上所受的面力与应力分量之间的关系 。 ➢由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用， 设单位面积
上n。的参面考力应分力量矢为量F与sx、应F力sy和分F量sz的，关物系体，外可表得面法线n的方向余弦为l，m，
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27
位移边界条件
• 位移边界条件：结构在边界上位移为位置坐标的已知函数。
u u(x, y, z)
v
v(x,
y,
z)
w w ( x , y , z )
•混合边界条件：结构在一部分边界上位移为位置坐标的已知 函数，其它边界上所受的面力为已知函数，或者结构在边界 上部分面力分量和位移分量为位置坐标的已知函数。
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17
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18
• 弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置的改变称 为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z三个坐标轴上的投 影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。
• 位移的矩阵表示为 • 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移也是x、y、
这些假设都是关于材料变形的宏观假设。
弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。
这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。
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10
•
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11
• 物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出 这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分：
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16
• 外力作用下弹性体将产生变形，因此微分体棱边的长度以及它们之间 的夹角将发生变化。各棱边每单位长度的伸缩量称为正应变（normal strain），各棱边之间的直角改变则称为剪应变（shear strain）。剪应 变以直角减小为正，增大为负，应变无量纲。几何意义如图
应力矩阵
应变矩阵
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物 体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料
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5
1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说 物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
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平衡方程是弹性体内部必须满足 的条件，它6个应力分量不是独 立的，它们通过3个平衡方程相 互联系
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20
• 几何方程描述几何量应变和位移之间的关系
6个应变分量可用该点的 3个位移分量表示，因此 6个应变分量也不是独立的
可写成矩阵形式为
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21
• 物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系，这种关系与材料的 物理特性有关。物理方程共有6个，其形式为
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性 的偏微分方程组。
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8
1 弹性力学的基本假设 6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有 应力。
弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产生的。
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9
弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、 完全弹性和小变形假设等。
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
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物理方程写成矩阵形式
简记为
其中，［Ｄ］为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数Ｅ和μ。
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15个方程
几何方程
物理方程
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平衡方程
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弹性力学基本方程
• 由上可见，三类基本方程共包含15个方程，含6个应力分量，6个应 变分量和3个位移分量，共15个未知量，因而原则上可以解出15个物 理量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分 （称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。根据基本 未知量的选法不同，也就产生了3中不同的解题方法——位移法，应 力法和混合法。
τyx
σy
应力分量
符号规定：
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元
体面的应力称为正应力。
正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴
的方向。
平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其 第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿坐 标轴的方向。如图示的τyx、τyz
• 基本假设是学科的研究基础。 • 超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
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1 弹性力学的基本假设
• 连续性假设 • 均匀性假设 • 各向同性假设 • 完全弹性假设 • 小变形假设 • 无初始应力的假设
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1 弹性力学的基本假设
1. 连续性假设
• ——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满， 各个质点之间不存在任何空隙。
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谢 谢！
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1 弹性力学的基本假设 2 弹性力学基本概念 3 弹性力学基本方程 4 边界条件
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1
1 弹性力学的基本假设
基本假设的必要性
• 工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有 因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。
• 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。 使问题的研究限定在一个可行的范围。
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• 其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分 布力的合力。
ΔQ
取截面的一部分，它的面积为ΔA， 作用于其上的内力为ΔQ，
ΔA
平均集度为ΔQ/ΔA，其极限
S limQ A
为物体在该截面上ΔA点的应力。
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• 通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为
τS
σ
正应力σ
切应力τ
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z
o
y
x
应力分量
应力不仅和点的位置有关，和截面的方 位也有关。 描述应力，通常用一点平行于坐标平面 的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分 量来表称为应力分量。
物体内各点的内力平衡，因此相对平 面上的应力分量大小相等，方向相反。
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• ——宏观假设，材料性能是显示各向同性。 • 当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。 • ——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。
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1 弹性力学的基本假设 4. 完全弹性假设
• ——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而 且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。
• ——变形后仍然保持连续性。
• 根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物 体空间的连续函数。
• 微观上这个假设不成立——宏观假设。
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1 弹性力学的基本假设
2. 均型的均匀材料组成的。因此物体各个 部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
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弹性力学的基本未知量： 位移分量，应力分量和应变分量。 基本方程：平衡微分方程，几何方程和物理方程。 要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。 边界条件一般分为：静力（面力）边界条件、位移边界条件和混合边 界条件。 弹性力学的任务：就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十 五个基本方程。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与 应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
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1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变 形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸 变化。
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静力（面力）边界条件
➢静力边界条件：结构在边界上所受的面力与应力分量之间的关系 。 ➢由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用， 设单位面积
上n。的参面考力应分力量矢为量F与sx、应F力sy和分F量sz的，关物系体，外可表得面法线n的方向余弦为l，m，
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位移边界条件
• 位移边界条件：结构在边界上位移为位置坐标的已知函数。
u u(x, y, z)
v
v(x,
y,
z)
w w ( x , y , z )
•混合边界条件：结构在一部分边界上位移为位置坐标的已知 函数，其它边界上所受的面力为已知函数，或者结构在边界 上部分面力分量和位移分量为位置坐标的已知函数。
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• 弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置的改变称 为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z三个坐标轴上的投 影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。
• 位移的矩阵表示为 • 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移也是x、y、
这些假设都是关于材料变形的宏观假设。
弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。
这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。
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•
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• 物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出 这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分：
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• 外力作用下弹性体将产生变形，因此微分体棱边的长度以及它们之间 的夹角将发生变化。各棱边每单位长度的伸缩量称为正应变（normal strain），各棱边之间的直角改变则称为剪应变（shear strain）。剪应 变以直角减小为正，增大为负，应变无量纲。几何意义如图
应力矩阵
应变矩阵
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物 体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料
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1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说 物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。