弹性力学基础知识课件

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谢 谢！
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• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与 应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
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1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变 形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸 变化。
τyx
σy
应力分量
符号规定：
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元
体面的应力称为正应力。
正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴
的方向。
平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其 第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿坐 标轴的方向。如图示的τyx、τyz
• ——宏观假设，材料性能是显示各向同性。 • 当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。 • ——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。
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1 弹性力学的基本假设 4. 完全弹性假设
• ——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而 且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。
• 基本假设是学科的研究基础。 • 超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
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1 弹性力学的基本假设
• 连续性假设 • 均匀性假设 • 各向同性假设 • 完全弹性假设 • 小变形假设 • 无初始应力的假设
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1 弹性力学的基本假设
1. 连续性假设
• ——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满， 各个质点之间不存在任何空隙。
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• 外力作用下弹性体将产生变形，因此微分体棱边的长度以及它们之间 的夹角将发生变化。各棱边每单位长度的伸缩量称为正应变（normal strain），各棱边之间的直角改变则称为剪应变（shear strain）。剪应 变以直角减小为正，增大为负，应变无量纲。几何意义如图
应力矩阵
应变矩阵
• 位移边界条件：结构在边界上位移为位置坐标的已知函数。
u u(x, y, z)
v
v(x,
y,
z)
w w ( x , y , z )
•混合边界条件：结构在一部分边界上位移为位置坐标的已知 函数，其它边界上所受的面力为已知函数，或者结构在边界 上部分面力分量和位移分量为位置坐标的已知函数。
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1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
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物理方程写成矩阵形式
简记为
其中，［Ｄ］为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数Ｅ和μ。
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15个方程
几何方程
物理方程
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平衡方程
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弹性力学基本方程
• 由上可见，三类基本方程共包含15个方程，含6个应力分量，6个应 变分量和3个位移分量，共15个未知量，因而原则上可以解出15个物 理量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分 （称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。根据基本 未知量的选法不同，也就产生了3中不同的解题方法——位移法，应 力法和混合法。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物 体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料
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1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说 物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
• ——变形后仍然保持连续性。
• 根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物 体空间的连续函数。
• 微观上这个假设不成立——宏观假设。
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1 弹性力学的基本假设
2. 均匀性假设
• —— 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个 部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
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• 弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置的改变称 为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z三个坐标轴上的投 影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。
• 位移的矩阵表示为 • 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移也是x、y、
τS
σ
正应力σ
切应力τ
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z
o
y
x
应力分量
应力不仅和点的位置有关，和截面的方 位也有关。 描述应力，通常用一点平行于坐标平面 的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分 量来表称为应力分量。
物体内各点的内力平衡，因此相对平 面上的应力分量大小相等，方向相反。
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z
oy x
τyz
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弹性力学的基本未知量： 位移分量，应力分量和应变分量。 基本方程：平衡微分方程，几何方程和物理方程。 要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。 边界条件一般分为：静力（面力）边界条件、位移边界条件和混合边 界条件。 弹性力学的任务：就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十 五个基本方程。
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性 的偏微分方程组。
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1 弹性力学的基本假设 6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有 应力。
弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产生的。
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弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、 完全弹性和小变形假设等。
这些假设都是关于材料变形的宏观假设。
弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。
这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。
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•
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• 物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出 这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分：
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• 其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分 布力的合力。
ΔQ
取截面的一部分，它的面积为ΔA， 作用于其上的内力为ΔQ，
ΔA
平均集度为ΔQ/ΔA，其极限
S limQ A
为物体在该截面上ΔA点的应力。
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• 通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为
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静力（面力）边界条件
➢静力边界条件：结构在边界上所受的面力与应力分量之间的关系 。 ➢由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用， 设单位面积
上n。的参面考力应分力量矢为量F与sx、应F力sy和分F量sz的，关物系体，外可表得面法线n的方向余弦为l，m，
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位移边界条件
z的函数。
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平衡方程是弹性体内部必须满足 的条件，它6个应力分量不是独 立的，它们通过3个平衡方程相 互联系
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• 几何方程描述几何量应变和位移之间的关系
6个应变分量可用该点的 3个位移分量表示，因此 6个应变分量也不是独立的
可写成矩阵形式为
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• 物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系，这种关系与材料的 物理特性有关。物理方程共有6个，其形式为
1 弹性力学的基本假设 2 弹性力学基本概念 3 弹性力学基本方程 4 边界条件
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1 弹性力学的基本假设
基本假设的必要性
• 工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有 因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。
• 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。 使问题的研究限定在一个可行的范围。