马氏链的应用
马尔可夫链理论及其应用现状
的集成预测模型及其应用；杜尧东，赵国强和刘海波，陈孝思 等研究了马尔可夫链理论在灾变预测中的应用。
4.3 用马尔可夫链理论预测麦蜘蛛发生趋势
麦蜘蛛（Pot robia latons Mull）是乳山市小麦上的主要 害虫之一，历年发生面积为10 万亩- 20 万亩，约占小麦播种面 积的18 % -45 %。对麦蜘蛛发生趋势的预测，一般是根据虫源 基数、有关的气温和降水量，结合历史资料，进行综合分析， 从而做出预测。这种预测方法需要有较准确的虫源基数和相关 的气象数据，不仅调查虫源基数的工作量大、对气象预报的依 赖性大、受气象预报准确性的影响较大，而且不能进行较长期 的预测。能否利用麦蜘蛛发生程度本身的历史资料对麦蜘蛛的 发生趋势进行预测呢？2002 年官锡鸿，曲维平用马尔可夫分析 法对乳山市近11年来麦蜘蛛发生程度的资料进行分析，不仅获 得了比较理想的预测效果，而且还可以进行超长期预测。
5 马尔可夫链理论在计算机网络技术、软件设计等方 面的应用
5.1 随机Petri网与马尔可夫链预测理论可以有机地结合
随机Petri网和马尔可夫链有着内在的联系，用它来对状 态整体的变化规律不十分明确但状态分量的变化规律明确的一 类问题建模，可为马尔可夫预测模型的应用提供方便。
5.2 工业供应链的结构优化软件设计与马氏链预测理论可以有机 地结合
4.5 应用马尔可夫链方法预测晚稻稻飞虱发生程度
2003年陈观浩根据化州市1979～1999年21年晚稻稻飞虱 主害虫发生程度的时间序列资料，应用马尔可夫链预测法对 该市2000年和2001年稻飞虱发生程度进行了预测，结果与大 田实际发生情况完全一致。对1985～1999年的历史资料进行 回检，符合率为96.7 %，可对晚稻稻飞虱的发生程度进行超 长期预测。稻飞虱是水稻生产上的主要害虫之一，化州市以 褐飞虱 Nilaparvata lungens (Stual)为主的第6代是危害晚稻 中后期的主害代，做好晚稻稻飞虱主害代发生程度的预测, 对 科学决策指导防治，保障水稻生产具有十分重要的意义。
—马氏链的应用-随机过程论文
随机过程论文——马氏链的应用学院：东凌经济管理学院班级：金融0902班姓名:一、文献综述马氏链在日常生活诸多领域中有着广泛的应用0我引用了五篇文献，分别是刘家军的马氏链在无赔款优待模型中的应用；廖捷、陈功的叠加马尔科夫链模型在高原年降水量预测中的应用；郭小溪的借助于马尔柯夫链的无后效性性质，预测2000~ 2005年6年的8项支出量；吴加荣、谢明铎、何穗的一类马氏链的数据仿真与应用；肖定文、黄崇起的用马尔柯夫过程预测股市短期或中长期走势。
刘家军在2009年介绍了马氏链在无赔款优待模型中的应用，利用mat lab7. 0计算在未来几年中索赔事件发生的强度分布与被保险人所处折扣等级的分布以及两者的极限分布，并依此计算纯保费。
降水量的预测是气象学中一项重要的研究工作。
由于气象系统的复杂性、多样性，使得降水过程具有不确定性、较难精确预测的特点。
廖捷、陈功2010年引入了叠加马尔科夫链模型，以位于川西高原的小金站1961-2010年的全年降水量资料为例，探讨了叠加马尔科夫链模型在高原年降水量预测中的应用。
廖捷、陈功利用均值-均方差分级法对年降水量进行分级，并由此将小金站各年的全年降水量划分为5 个状态。
根据各年降水量的状态，可统计得到不同步长的概率转移矩阵。
在进行降水量的叠加预测时，主要考虑利用步长为1~4的概率转移矩阵进行计算。
首先利用1961〜2000长度为40年的降水量序列预测了2001年的降水量，之后去掉1961年降水量值，加入2001年实际观测降水量值，保持序列长度不变，预测2002年的降水量。
以此类推，利用叠加马尔科夫链模型预测了小金站200N2010共十年的降水量，并与该站实际观测降水量进行了对比。
2006年郭小溪利用长春市居民1998、1999连续两年的收、支数量变化，借助于马尔柯夫链的无后效性性质，建立居民消费性支出结构的概率转移矩阵，进而预测出自2000年至2005年6年的8项支出值；进一步分析居民消费性支出变化的基本规律和受控因素，并与经济发展条件一起探讨发展经济的人文环境影响作用。
马尔可夫链预测
P(0) (0.5 0.3 0.2)
C
0.05
0.05
0.9
38
未来各期的市场占有率：
P 1 P 0 P
0.7 0.1 0.2
0.5, 0.3,
0.2Biblioteka 0.10.80.1
0.05 0.05 0.9
0.39,0.3,0.31
39
未来各期的市场占有率：
P 1 P 0 P
0.7 0.1 0.2
7
几个概念：
8
几个概念：
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
9
几个概念：
概率向量：对于任意的行向量（或列 向量），如果其每个元素均非负且总和等于1， 则称该向量为概率向量。
u (0.4,0.25,0.25,0.1)
10
几个概念：
一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态 转移之后，其状态概率分布保持不变，即，过程一旦处于 平衡状态后将永远处于平衡状态。
22
2. 稳态分布
问题：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时，
是否存在极限？
23
2. 稳态分布
问题：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时，
是否存在极限？
若存在，设其极限为 ，
C
1000/5000=0.2 300/3000=0.1 1800/2000=0.95
37
公司
A B C 周期 1 的 顾客数
周期 0 的 顾客数 5000 3000 2000
——
周期 1 的供应公司
A
B
C
3500 500 1000
300 2400 300
马氏链简介
显然，cij 0
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
用随机变量 X n 表示第 n 个月的经营状况
Xn 1 Xn 2
表示销路好； 表示销路坏；
n 0,1,2
X n 称为这个经营系统的状态。
用ai n表示第 n 月处于状态 i 的概率， i 1,2,
即
ai n PXn i ai n 称为状态概率。
pij 表示已知这月处于状态 i ，下月处于状态 j 的概率，i, j 1,2, 即
每次传播消息的失真率为 p, 0 p 1,
即 ai 将消息传给 ai1, 时，传错的概率为 p
这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息 的真实程度如何？
第n个人知道消息可能是真，也可能是假， 有两种状态，记为
Xn 1 Xn 2
表示消息假； 表示消息真；
n 0,1,2
用ai n表示第 n 个人处于状态 i 的概率， i 1,2,
n01 2 3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0.5 0.45 0.445 0.4445 ？
0 0.5 0.55 0.555 0.5555 ？
a1(n)
5 10
5 102
a2 (n)
4 9
5 10n
5 10
1 (
1 10n1
数学建模：马氏链及其应用
a1=‘1110010011111110011110111111001111111110001101101’; a2=‘111011011010111101110111101111110011011111100111’; a=[a1,a2]; f00=length(findstr(‘00’,a)) f01=length(findstr(‘01’,a)) format rat fid=fopen(‘data1.txt’,’r’); a=[ ]; while (~feof(fid))
的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态北吸收之前的平均转
移次数。
定理7 设 B FR (bij ) ，其中F 为吸收链的基矩阵，R 为(4)式中的 子阵，则 bij 表示从非吸收状态 i 出发，被吸收状态 j 吸收的概率。
3 马尔可夫链的应用
• 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是 根据某些变量现在的情况及其变动趋势，预测它在未来某特 定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。
可以到达某个吸收状态，那么这个马氏链被称为吸收链。
具有个吸收状态，个非吸收状态的吸收链，它的转移矩阵的标准形式为
P
Ir R
o
S
（4）
其中I r 为 r阶单位阵，O为 r s零阵， R为 s 矩r 阵， S为 s 矩s 阵。从(4)得
Pn
Ir Q
o
S
n
（5）
（5）式中的子阵 S n表示以任何非吸收状态作为初始状态，经过 n步转移后， 处于S 个非吸收状态的概率。
非齐次马氏链广义渐近均分性定理及其应用
汇报人：
非齐次马氏链的定义和性质
广义渐近均分性定理的证明
广义渐近均分性定理的应用
非齐次马氏链广义渐近均分性定理的扩展研究
非齐次马氏链广义渐近均分性定理的数值计算和 模拟
结论与展望
非齐次马氏链的定义和性质
非齐次马氏链的定义
非齐次马氏链是一种随机过程，其状态转移概率依赖于时间
非齐次马氏链广义渐近均分性 定理的数值计算和模拟
定理的数值计算方法
数值计算方法： 蒙特卡洛模拟、 随机游走等
计算步骤：设定初 始状态、设定转移 概率、设定迭代次 数、计算期望值等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
计算结果：得到 非齐次马氏链的 广义渐近均分性 定理的数值解
应用：在金融、 经济、生物等领 域进行数值模拟 和预测
定理的模拟实验和结果分析
广义渐近均分性定理的应用
在信息理论中的应用
信息传输：利用广义渐近均分性定理进行信息传输，提高传输效率 信道容量：利用广义渐近均分性定理计算信道容量，优化信道资源分配 信息编码：利用广义渐近均分性定理进行信息编码，提高信息传输的可靠性和安全性 信息解码：利用广义渐近均分性定理进行信息解码，提高信息接收的准确性和效率
在其他领域的应用
通信领域：用于分析通信网络的性能和稳定性 经济领域：用于分析经济系统的稳定性和预测经济趋势 生物领域：用于分析生物种群的动态和进化 社会领域：用于分析社会系统的稳定性和预测社会趋势
非齐次马氏链广义渐近均分性 定理的扩展研究
定理的进一步研究和发展
扩展研究：非齐次马氏链广义渐近均分性定理的推广和应用 研究方法：概率论、随机过程、统计物理等 研究成果：非齐次马氏链广义渐近均分性定理在金融、生物、物理等领域的应用 未来展望：非齐次马氏链广义渐近均分性定理在更多领域的应用和发展
《马氏链及其应用》课件
马氏链的性质
总结词
马氏链具有无记忆性、强马尔可夫性和转移概率性等性质。
详细描述
马氏链的一个重要性质是无记忆性，即下一个状态与过去状 态无关，只与当前状态有关。此外，马氏链还具有强马尔可 夫性和转移概率性等性质，这些性质使得马氏链在描述随机 现象时具有独特的优势。
马氏链的分类
要点一
总结词
马氏链可以分为离散时间和连续时间的马氏链，以及有向 和无向的马氏链。
机器学习算法
马氏链在强化学习中用于 估计策略值函数和近似最 优策略，提高机器学习的 效率和准确性。
图像处理
通过马氏链模拟图像的随 机过程，实现图像的降噪 、增强和修复等处理。
数据压缩
利用马氏链对数据进行编 码和压缩，降低存储和传 输成本，提高数据处理的 效率。
在其他领域的应用
物理学中的随机过程模拟
在生态领域的应用
种群动态模拟
01
马氏链用于模拟物种数量的变化过程，研究种群的增长规律和
生态平衡机制。
生态系统稳定性分析
02
通过马氏链分析生态系统中的反馈机制和稳定性条件，评估生
态系统受到干扰后的恢复能力。
生物多样性保护
03
利用马氏链预测物种的灭绝风险和保护策略，为生物多样性保
护提供科学依据。
在计算机科学领域的应用
马氏链面临的挑战和问题
理论体系的完善
马氏链理论体系仍需不 断完善和发展，以适应 不断涌现的新问题和挑 战。
应用领域的拓展
尽管马氏链在某些领域 已经取得广泛应用，但 仍需拓展更多应用领域 ，解决实际问题。
计算效率的提高
随着数据规模的增大， 如何提高马氏链的计算 效率成为亟待解决的问 题。
THANKS
马氏链分类
马氏链分类马氏链是一种数学模型，用于描述随机过程中的状态转移规律。
它可以用来分类和分析各种现象，从社会科学到自然科学都有广泛的应用。
本文将以马氏链分类为题，从不同领域的实际案例入手，以人类的视角进行叙述，让读者能够更好地理解和感受马氏链的分类方法。
一、社会科学领域在社会科学领域，马氏链分类可以用来研究人们的职业选择和升迁情况。
假设我们有一个大学毕业生群体，他们可以选择进入不同的行业工作。
我们可以建立一个马氏链模型，来描述他们在不同行业之间的转移情况。
通过分析大量的数据，我们可以计算出每个行业的吸引力和升迁概率，从而为毕业生提供职业选择的建议。
二、自然科学领域在自然科学领域，马氏链分类可以用来研究动物的迁徙和栖息地选择。
以候鸟为例，它们在不同季节会迁徙到不同的地方。
我们可以建立一个马氏链模型，来描述它们在不同地区之间的转移情况。
通过分析大量的迁徙数据，我们可以了解候鸟的迁徙路径和迁徙规律，从而为保护候鸟提供科学依据。
三、经济金融领域在经济金融领域，马氏链分类可以用来研究股票市场的行情变化和投资组合的优化。
假设我们有一组不同类型的股票，我们可以建立一个马氏链模型，来描述它们之间的转移情况。
通过分析历史数据，我们可以计算出每只股票的涨跌概率和相关性，从而优化投资组合的配置，降低风险，获得更好的收益。
四、医学健康领域在医学健康领域，马氏链分类可以用来研究疾病的发展和治疗效果。
以癌症为例，我们可以建立一个马氏链模型，来描述癌症患者的不同病情状态之间的转移情况。
通过分析大量的临床数据，我们可以预测疾病的进展和治疗效果，从而为医生提供个体化的治疗方案。
通过以上实际案例的描述，我们可以看出马氏链分类在不同领域中的应用和意义。
它可以帮助我们理解和预测各种现象的发展趋势，为决策提供科学依据。
同时，我们也要意识到马氏链分类的局限性，它是基于历史数据和概率统计的方法，不能完全预测未来的变化。
因此，在实际应用中需要结合其他方法和考虑实际情况，以提高分类的准确性和可靠性。
随机过程(七)-马氏链
第四章Markov过程主要内容⏹离散时间Markov链⏹转移概率⏹平稳分布⏹状态分类⏹极限定理⏹连续时间Markov链⏹Kolomogrov微分方程⏹连续时间马氏过程第一节 离散时间Markov 链一、Markov 链的定义⏹ 直观含义：要确定过程将来的状态，只需知道过程现在的状态就足够了，并不需要知道过程以往的状态。
⏹ 定义：随机过程{,0,1,2,}n X n =⋅⋅⋅称为马氏链（Markov 链），若它只取有限或可列个值E 0, E 1,E 2,…，且对任意的n ≥0及状态011,,,,,n i j i i i -⋅⋅⋅有10011111{|,,,,}{|}n n n n n n P X j X i X i X i X i P X j X i +--+===⋅⋅⋅=====用条件概率的语言来说11011{,,|,,,}{,,|}n n k k n k k n P X j X j X X X P X j X j X ++==⋅⋅⋅===注：1、E 0, E 1,E 2,…称为Markov 链的状态，通常用0，1，2，…来标记E 0, E 1,E 2,…。
{0，1，2，…}称为过程的状态空间，记为S 。
2、若Markov 链的状态是有限的，则称为有限链，否则称为无限链。
2、条件概率11{|}n n n n P X i X i --==，n ＝1，2，……称为Markov 链的一步转移概率。
3、若转移概率1{|}n n P X j X i -==只与状态,i j 有关，而与时间n 无关，则称该Markov 链是时齐Markov 链，并记1{|}ij n n p P X j X i -===，否则称Markov 链是非时齐的。
矩阵000102101112012()ij ij Sn n n p p p p p p P p p p p ∈⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为转移矩阵。
4、(){|}k ij n k n p P X j X i +===称为k 步转移概率，()k P 称为k 步转移矩阵。
马氏链的应用实例
马尔可夫链在害虫测报应用中计算方法的简化马尔可夫链在害虫测报上有不少应用的实例, 它之所以应用如此广泛, 是因为它只要利用害虫本身发生的历史状态的演变特点, 就能预测未来的状况。
这里要谈的是马尔可夫链运算的简化。
本文引用〔幻文中的资料作为例子。
此例中预测的是害虫发生的面积。
害虫的历史状态见表1。
虫害级数的分级标准是0.3~0.6万亩为1级, 6.1~12万亩为2级。
12.1~18万亩3为级, 18.1万亩以上为4级。
例中一阶转移频次矩阵的构成步骤见表2。
由表2的数据构成的一阶转移频次矩阵为：相应地其概率矩阵为：由于1981年即1982年的前一年, 转移一次即到1982年的状态为4级, 故应从一阶概率转移矩阵中的第四行寻找最大的数,查得的结果是第列和第列的元素, 其值皆为0.5。
这种方法的实质是, 预报年（1982年）的前一年（1981年）的虫害级数即为中的行数, 而预报年虫害的级数则是该行中值最大的那个几个元素所在的列数。
从预报年向前数几年, 所求的即为几阶转移概率矩阵。
用同样的方法可求得、和分别为只要细看以上计算过程, 我们就会发现,在中仅仅第四行是有用的, 而其它各行全是白算了。
由此我们即会想到我们是否可以只算有用的一行以免浪费不必要的时间如果可以, 具体做法又是怎样？这正是本文所想解决的问题。
前面我们说过, 预报年前一年的虫害级数即为中的行数, 推而广之, 预报年前i年的虫害级数即为中的行数本例中()从本例来看, 只有第四行是有用的, 只有三行, 只有第二行, 只有第一行是有用的。
也就是说, 这个转移概率矩阵中, 一共只有四行是有用的,而其余十二行是无用的, 可以略而不算。
下面我们就来研究转移频次矩阵的通式、现在仍用上例做一示范。
由于i=1,所以直接计数, 又由于1981年的虫灾级数为4, 所以我们所需计算的是、、和它们分别表示“41”、“42 ”“43”和“44 ”级出现的次数, 从表1查得, =1，=0，=1，=0。
马尔科夫链
不可约定义 如闭集C的状态互通，则闭集C称为不可约的。如 马氏链 X n 状态空间不可约，则马氏链 X n 称为不可约的。
状态空间的分解
一、闭集和不可约
闭集判断 C是闭集的充要条件为对任意i C及k C都有 p ik =0,n≥1.
(n )
证 只需证必要性. 用归纳法，设C为闭集，由定义当n=1时结论 p (m ) 成立. 今设n=m 时， ik =0，i C, k C,则
T T
(n )
回顾：马尔科夫链的状态分类
一、周期态
马尔科夫链周期定义
如集合n : n 1, p iin 0 非空，则称该集合的最大公约数d=d (n （i）=G.C.D n : pii ) 0 为状态i的周期，如d>1就称i为周期的， 如d=1就称i为非周期的。
( )
回顾：马尔科夫链的状态分类
定 理4.5 可达关系与互通关系都具有传递性，即 如果I j，j k，则i k; 如果I j，j k，则i k。 定 理4.6 如I j则 （1）i与j同为常返或非常返，如为常返，则他们同为正常返或 零常返。 （2）i与j由相同的周期。
状态空间的分解
一、闭集和不可约
闭集定义 如对任意I C及k C都有 p ik =0，状态空间I的子集C 称为（随机）闭集. 闭集的意思是自C的内部不能到达C的外部. 这意味着一旦 质点进入闭集C中，它将永远留在C中运动. 另如 p ii =1，则称状态i为吸收的.显然状态i吸收等价于单点 集 为闭集. i
j I
回顾：马尔科夫链的基本概念
三、n步转移概率和矩阵
n步转移概率和矩阵定义 称条件概率
pij
(n )
P X m n j | X m i i ,j I ,m 0,n 1 ,
平稳环境中马氏链的几点注记
平稳环境中马氏链的几点注记
马氏链是一种具有弹性的庞大的态势，用于描述多个不规则数据的相互关系的工具，其结构可以用来描述噪声、预测、模式识别。
它由一系列节点组成，这些节点把不同刻度的数据组织在一起，并且每个节点都相互联系，形成一个分层次的结构。
在稳定环境中，马氏链具有许多优点：
首先，马氏链可以用来提取模式，这有助于我们从大量的复杂数据中发现有用的信息。
其次，它能够提供关于历史数据的有用信息，从而使我们能够精确地预判未来。
第三，它是异常检测的有力工具，可以帮助检测可能被错误识别为常规数据的异常值。
此外，由于马氏链可以用来构建虚拟模型，可以有效地模拟各种不同环境，从而可以帮助我们进行重要决策。
总之，马氏链在稳定环境中是一种有用、弹性的工具。
它可以为我们提供相关的数据以及有助于发现模式的有用信息，从而可以帮助我们进行精确的预测和重要的决策。
二重非齐次马氏链的遍历性及其应用
摘
要
给 出二重非齐次马氏链的强遍历性，绝对平均强遍历性， Ｃ ｓｒ ｅａｏ平均收敛的概念．利用二维
马氏链 的遍历性和 Ｃ Ｋ方程，建立 Ｔ－维马氏链与二重非齐次马氏链遍历性的关系．并 讨论了齐次二 － －
重马氏链绝对平均强遍历与强遍历的等价性．最后给 出 Ｃ ｓｒ 平均 收敛在马氏决策过程和信息论中应 ｅａｏ
和 状态均为 离 散的随机转 移问题。它为 信息科 学，管理科 学以及 金 融决策 提供 了强有力 的 数 学 工 具 ，马 氏 链 的 极 限理 论 是 马 尔 科 夫 过程 研 究 的 基 本 领 域 之 一 ．有 关 齐 次 马 氏链
的极 限 性 质 已 有 了 成 熟 的结 果 ，并 形 成 了 完 整 的 理 论 体 系 ．随着 马 氏 链 理 论 的 不 断 发 展 和 应 用 ，人 们 对 多 重 马 氏链 的理 论 和 应 用 也 越 来 越 有 兴 趣 ．多 重 马 氏链 的 概 念 是 一 般 马 氏 链 概 念 的 推 广 ，在 信 息论 定 理 的 研 究 中 及 地 质 学 研 究 中具 有 十 分 重 要 的 现 实 意 义 ，如 文 献 【 中利 用二重 马 氏链的数学 摸型来 研 究地震迁 移规律 １ ］ 受 到 文 献 【６ 的 启 发 ，本 文 给 出 二 重 非 齐 次 马 氏链 强 遍 历 性 ，绝 对 平 均 强 遍 历 性 ， ２】 －
概率． 易 知
Ｐ （ ，） （ ｉ ＝∑Ｒ ｉｉ １（ （ ｉ． ｌ Ｉ １＋ ’ ｌ ｏ） Ｐ ） ，
ｒ Ｓ Ｅ
Ｐ（ ＝（ （ｉ ） 为 ． ， ） ｌ： ） （ 佗＝０ｌ２…） ） Ｐ ｊｏ １ ，，， 的二阶 ｋ 步转 移矩 阵 ． 令 ＝（ ， ｎ １ 则 ， Ｘ ＋） ， ｎ＝０１２… 为一阶二维 非齐次马 氏链 ， ，，， 记 ， Ｉ ， ） （ ＋ ＝（ ，１ ＝（ ， ） 为 ｚ ， Ｊ ｔ ｉ ＝Ｐ １ Ｊ Ｊ） １０ ｌ ｏ ｌ ｉｎ） ｏ ｎｎ＝０１２… 的转 移概率 ．易知 ，，，
马氏链及其应用
1 t 1 1 t p11 2 t p21 n t pn1 2 t 1 1 t p12 2 t p22 n t pn 2 ⑼ . t 1 t p t p t p 1 1n 2 2n n nn n
三种状态的转移概率
平行于⑴式，有
n1 1 n 1 p11 n 2 p21 n 3 p31 ,
n1 2 n 1 p12 n 2 p22 n 3 p32 , ⑷
n1 3 n 1 p31 n 2 p32 n 3 p33 ,
马尔科夫连原理及其建模实例
马氏链及其应用
1.一个简单的例子 我们知道，人寿保险公司最为关心的是投保人的健康
与疾病以及相应的风险。通过下面的例子我们来看保险 公司是如何处理这类问题的。
问题的提出 设t
1,2,3,
表示年龄的时段，假定在一年中，今
年健康而明年患病的概率是0.2, 而今年患病明年转为健
0时系统的状态概率向量，又称为
例
在前两例中，初始向量与概率转移矩阵分别为
0 0.8,0.2 ,
0.8 0.2 P , 0.7 0.3
0.8 0.18 0.02 0 0.75,0.25,0 , P 0.65 0.25 0.1 . 0 0 1
n 1 1 0.8 0.78 0.778 0.7778 n 2 0 0.2 0.22 0.222 0.2222
若投保人在开始时处于疾病状态，即0 1 0, 0 2 1. 则有
n
0
1
2
3
4
数学建模马氏链讲座课件
内容提要
?马氏链与马氏链预测方法 ?马氏链预测方法在各领域中的应用 ?实例分析: 年径流量预测
1.马氏链与马氏链预测方法
1.1 马氏链
马尔可夫过程是随机过程的一个分支，它的最基 本特征是“无后效性” , 也称为“马氏性”. 即在已 知随机过程现在状态的条件下，其将来的状态与过去 的状态无关。换句话讲，就是： 已知“现在”，“将 来”与“过去”无关。
实际应用中，常记（1.1）式的右端
P{X (m ? k) ? im? k | X (m) ? im} ? P{Xm?k ? j | Xm ? i} ? pij{m; k}, i, j ? E
一般考虑齐次马尔可夫链，即对任意的m, k ? T, 有
pij (m; k ) ? pij (k ), i, j ? E.
(1) 与“ADMCP 法”相同; ((32)) 对也“与(“2)A”所DM得C的P 结法果”进相行同统; 计，可得不同滞时(步长)的 马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程 的概率法则； (4) “马氏性” 检验（应用工作者使用该方法时，一般也 不做这一步，本文加上这一步同样意在完善“ SPMCP 法”）；
其中
p ij
(m;
k
)
表示“系统时刻m时处在状态i，经k步状态转 移
到达状态j
的概率”，pij
(
k
)
表示“系统从状态i，经k 移
步状态转
到达状态j的概率”， pij . 由pij(k)组成的矩阵, 称为马尔可夫链的k步转移
概率矩阵,记为Pk.
另一种传统的马尔可夫链预测方法——叠加马尔可夫链预 测方法，尽管运用了各阶（各种步长）马尔可夫链的绝对分 布叠加来预测状态，但没有考虑各阶（各种步长）马尔可夫 链的绝对概率在叠加中所起的作用，即认为各阶（各种步长） 马尔可夫链的绝对概率所起的作用是相同的，这显然不科学。 事实上，一个满足马氏性的相依时间序列，其各阶自相关性 是不一样的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
份子，两者有很大差别。
03
马氏链的应用
PageRank基本思想
1. 对于前者，似乎可用对方的重要性传播过来来刻画。
2. 对于后者，对方的重要性的影响跟对方发出的链接数目(出度)有关，
出度越大, 能分到的越少，因此可以采用（1/出度）进行加权。
03
马氏链的应用
随机冲浪模型
根据上面的思想，对于网页 u, 如果它被多个网页 v 所链接，如果 用pr(u)表示网页 u 的重要性，那么该网页的重要性可以由下面的公式确
03
马氏链的应用
参考文献
1. 钱敏平, 龚光鲁. 应用随机过程教程及在算法和智能计算中的随机模型. 北京： 清华大学出版社, 2004. 2. David W. Mount. Bioinformatics, Sequence and Genome Analysis. Cold Spring Harbor Laboratory Press, 2002. 3. Amy N. Langville，Carl D. Meyer. Deeper Inside PageRank. Internet Mathematics, 2004, 1(3): 335-380.
03
马氏链的应用
句子的平均长度
1. 序例如列为
TGCAATCGGATAACCAAACA
2. 限制性内切酶将序列切成如下片断
TGCAATCGGATAACCAAACA
03
马氏链的应用
句子的平均长度——马氏链
1. 状态集合{A, B, AA} 。 2. xn={原始链上第 n 个位置示从网页 v 发出的网页数目，L(u) 表示所有指向网页 u 的
03
马氏链的应用
随机冲浪模型的迭代计算
上面的公式可以迭代计算
其中
表示从网页 v 发出的网页数目，L(u)表示所有指向网页 u 的
网页。
03
马氏链的应用
随机冲浪模型的迭代计算
1/3 pr=0.35 1/3 1 1/3
pr(u)
3. 例子： TATCAAT
03
马氏链的应用
句子的平均长度——马氏链
转移概率矩阵为
其中
03
马氏链的应用
句子的平均长度——马氏链
1. 不变分布
2. 那么句子的平均长度就是
。
03
马氏链的应用
句子的平均长度——马氏链
1. 由上述方程得
2. 那么句子的平均长度就是
。
03
马氏链的应用
PageRank算法
随机冲浪模型对应的马氏链
03
马氏链的应用
随机冲浪模型对应的马氏链
1. 如果迭代收敛，即有 Pr=Pr· W。 2. Pr就是以 W 为转移矩阵的马氏链的不变分布。
3. 或者说，Pr是矩阵 W 的特征值 1 所对应的特征向量。
03
马氏链的应用
阻尼因子（Damping Factor）
1. 人们在浏览网页时，往往会厌倦了顺着网页所给的链接浏览，而重新 随机打开一个网页。
2. 将这种可能性用一个恒定的概率引入。如果这个概率是0.15, 那么阻
尼因子就是0.85。
03
马氏链的应用
阻尼因子（Damping Factor）
考虑到阻尼因子，新的迭代公式为
DF
1
2
3
…
N 1
N
03
马氏链的应用
说明
1. 阻尼因子引入可以给那些没有被链接的网页一个基准值。 2. 另一方面，阻尼因子也降低了PageRank算法中前期的估计量对当
pr=0.1
1
1/2
1/2
pr=0.25 pr=0.15
03
马氏链的应用
随机冲浪模型对应的马氏链
1. 记行向量 Pr=(pr(1), pr(2), … , pr(D))。 2. 令矩阵
其中网页 v 对应的行中，只有 v 所指向的网页所在的列元素取1/dout(v)，
其他列中元素都为 0。
03
马氏链的应用
1. PageRank基本思想 2. PageRank计算方法
3. PageRank和马氏链
03
马氏链的应用
PageRank基本思想
1. 问题：如何评价网页的重要性。 2. 看该网页被引用(链接)的情况：
•
•
如果该网页被网络大V所链接，那么该网页也比较重要；
如果网页被网络大V所唯一链接，相比于网络大V众多链接中的一
03
马氏链的应用
03
马氏链的应用
句子的平均长度
设DNA序列(由四个字母{A, C, G, T}构成)每个字母的出现是独立同分布 的(记为i.i.d)，每个字母出现的概率分别是PA, PC, PG, PT. 现在有一个特
殊的机器(生物上称之为限制性内切酶)，遇到AA就将序列切断。
问题：这些片断的平均长度是多少？
前估计的影响。
3. 从马氏链的角度来看，加入阻尼因子使得所有的网络节点是互通的，
从而保证了遍历性，以至于不变分布存在。
03
马氏链的应用
总结
1. 食堂人气排行榜可以通过调查得到转移概率，求对应的马氏链的不变分布得到。 2. 马氏链是一类重要的随机过程，完全由初始概率和转移概率矩阵唯一确定；转 移概率矩阵决定了其重要特性（互通性，常返性）；在互通常返下有遍历性定 理，保证了不变分布的存在。 3. 马氏链的平均返回时间来求句子的平均长度；用网页链接确定马氏链，用马氏 链的不变分布为网页排序。