高数练习题与答案

高等数学（下）模拟试卷一

一、 填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

11z x y x y =+

+-的定义域为 （2）已知函数

arctan

y z x =，则z

x ∂=

∂

（3）交换积分次序，

2

220

(,)y y dy f x y dx

⎰⎰

＝

（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则

()L

x y ds +=⎰

（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为

二、选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨

--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交

（2）设是由方程2222xyz x y z +

++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =

（ ）

A.dx dy +

B.2dx dy +

C.22dx dy +

D.2dx dy -

（3）已知Ω是由曲面2

2

2

425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将

22()x y dv Ω

+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ）

A.

22

530

00

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ B.

245

30

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ C.

22

5

350

2r

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ D. 22

5

2

d r dr dz

π

θ⎰

⎰⎰

（4）已知幂级数，则其收敛半径

（ ）

A. 2

B. 1

C. 1

2 D. 2

（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *

=（ ）

A. B.()x ax b xe + C.()x

ax b ce ++

D.()x ax b cxe ++

三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231

01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z

+-==的平面方程 2、 已知

22

(,)z f xy x y =，求z

x ∂∂， z y ∂∂ 得分

阅卷人

3、 设

22

{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求

2D

x dxdy ⎰⎰

4、 求函数22

(,)(2)x

f x y e x y y =++的极值

5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点

(0,0)O 到(,2)A π的一段弧

6、求微分方程 x

xy y xe '+=满足 1

1x y ==的特解

四.解答题（共22分）

1、利用高斯公式计算

2

2xzdydz yzdzdx z dxdy ∑

+-⎰⎰，其中∑由圆锥面22

z x y =+与

上半球面22

2z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)'

2、（1）判别级数11

1(1)3n n n n ∞

--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；

（6'）

（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1n

n nx

∞

=∑的和函数（6'）

高等数学（下）模拟试卷二

一．填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

2

224ln(1)x y z x y -=

--的定义域为 ； （2）已知函数xy

z e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；

（3）交换积分次序，

ln 1

(,)e x dx f x y dy

⎰⎰

＝ ；

（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则L yds =⎰ ；

（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .

二．选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨

--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为

（ ）；

A. 0

B. 2π

C. 3π

D. 4π

（2）设

是由方程33

3z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；

A. 2yz xy z -

B. 2yz z xy -

C. 2xz xy z -

D. 2

xy z xy -

（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *

=（ ）；

A.2()x

ax b e + B.2()x

ax b xe + C.2()x

ax b ce ++ D.2()x

ax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2

2

2

2

x y z a ++=所围成的闭区域, 将

dv

Ω

⎰⎰⎰在球面坐标系下化成

三次积分为（ ）；

A

22

2

sin a

d d r dr

π

πθϕϕ⎰⎰⎰ B.

22

a

d d rdr

π

πθϕ⎰⎰⎰

C.

20

a d d rdr

ππθϕ⎰

⎰⎰ D.

220

sin a

d d r dr

π

πθϕϕ⎰

⎰⎰

（5）已知幂级数1212n

n

n n x ∞

=-∑

，则其收敛半径

（ ）.

A. 2

B. 1

C. 1

2 D. 2

三．计算题（每题8分，共48分）

5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .

6、 已知

(sin cos ,)x y

z f x y e +=，求z

x ∂∂， z y ∂∂ . 7、 设22

{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算

arctan

D

y

dxdy x ⎰⎰ .

8、 求函数

22

(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算

(sin 2)(cos 2)x x L

e y y dx e y dy

-+-⎰

，其中

L 为沿上半圆周222

(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.

6、求微分方程 3

2

(1)1y y x x '-=++的通解.

四．解答题（共22分）

1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin

3n n n n π

∞

-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条

件收敛；

（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞

=∑的和函数 .

2、(12)'利用高斯公式计算

2xdydz ydzdx zdxdy

∑

++⎰⎰，∑为抛物面

22z x y =+(01)z ≤≤的下侧

得分

阅卷人

得分