高中数学椭圆中点弦的斜率公式
中点弦公式点差法
中点弦公式点差法
中点弦公式是指通过连接曲线上两点中点的弦来近似曲线的斜率。
点差法是指对于曲线上的两个点，通过用极限的思想来逼近它们之间的点差（即横坐标之差），从而计算斜率。
中点弦公式的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。
2. 计算这两个点的中点坐标
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
3. 计算连接这两个点的弦的斜率，即$\frac{y_2-y_1}{x_2-
x_1}$。
点差法的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。
2. 计算这两个点之间的点差（即横坐标之差），即$\Delta
x=x_2-x_1$。
3. 通过极限思想，将点差逐渐缩小为0，即$\Delta x\rightarrow 0$。
4. 计算这两个点之间的斜率的极限值，即$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{y_2-y_1}{\Delta x}$。
这个极限值即为这两点之间的切线斜率。
需要注意的是，中点弦公式是一种近似计算方法，只有在两点之间的曲线变化不太剧烈时才适用；而点差法则是一种精确计算方法，可以得到任何两点之间的切线斜率。
高中数学新课标椭圆常结论
高中数学新课标中椭圆的常用结论一、椭圆上距离焦点距离最近的点，最远的点是长轴的两个端点。
二、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度：ab AB 22=三、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb四、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 五、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
中点弦斜率公式
中点弦斜率公式中点弦斜率公式是初中数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们计算曲线的斜率，从而更好地理解和解决数学问题。
在本文中，我们将详细介绍中点弦斜率公式的定义、推导和应用。
一、中点弦斜率公式的定义中点弦斜率公式是指，对于一条曲线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的中点为M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)，则曲线在点A和B之间的弦的斜率k等于曲线在点M处的斜率：k = (y2-y1)/(x2-x1) = f'(M)其中f'(M)表示曲线在点M处的导数，也就是曲线在该点的切线斜率。
二、中点弦斜率公式的推导中点弦斜率公式的推导需要用到导数的定义和中值定理。
导数的定义是：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h该式表示，当自变量x的变化趋近于0时，函数f(x)在x处的变化率即为f'(x)。
其中h为自变量x的增量，也可以理解为x的微小变化量。
中值定理是指，对于一个连续且可导的函数f(x)，在区间[a, b]内，存在一个点c，使得：f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)该式表示，函数f(x)在区间[a, b]内的平均变化率等于f(x)在某个点c处的变化率。
利用导数的定义和中值定理，我们可以推导出中点弦斜率公式。
具体步骤如下：1. 对于曲线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的中点为M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
2. 根据导数的定义，我们可以得到：f'(x1) = lim(h->0) [f(x1+h)-f(x1)]/hf'(x2) = lim(h->0) [f(x2+h)-f(x2)]/h3. 将x1+h替换为x2，得到：f'(x1) = lim(h->0) [f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)f'(x2) = lim(h->0) [f(x2+h)-f(x2)]/h4. 将x2+h替换为x1，得到：f'(x1) = lim(h->0) [f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)f'(x2) = lim(h->0) [f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)5. 根据中值定理，我们可以得到：f'(M) = [f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)6. 将f'(M)带入中点弦斜率公式中，得到：k = (y2-y1)/(x2-x1) = f'(M)三、中点弦斜率公式的应用中点弦斜率公式在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用场景。
高中数学椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b+=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b-=弦AB每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每（AB 不平行y 轴）的中点，则有22AB OMb k k a⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅= 例1、已知椭圆22221x y a b-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、12B、2 C、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且12OMk =-，根据定理有2212b a =，即2222112a c e a -=-=，解得e =，所以B 答案正确.例2、过椭圆221164x y +=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知14AB OM k k ⋅=-，显然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=.每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每例3、过椭圆2216436x y +=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM y k x=，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29(8)16y x x =-+例4、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:2121ABx b k a y =-⋅2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：211121()a y y y x x b x -=-，令0y =解得21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：22220a b a b x a a ---<<例5、已知双曲线2212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程； 若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方程2212y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每l 不存在.定理1推论：若A 、B 是椭圆22221x y a b+=上关于中心对称的两点，P 是椭圆上任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PB b k k a⋅=-. 证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则OM PA ，所以有OM PA k k =，由椭圆中点弦斜率公式得：22OM PBb k k a ⋅=-.所以22PA PB b k k a⋅=-.类似地可以证明定理2推论：若A 、B 是双曲线22221x y a b-=上关于中心对称的两点，P 是双曲线上的任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=.。
椭圆中点弦公式斜率
椭圆中点弦公式斜率椭圆中点弦公式斜率是一种椭圆的几何学知识，它在计算机图形学、机械设计、空间几何等领域都有广泛的应用。
本文将介绍椭圆中点弦公式斜率的概念、特性及计算方法，以供读者加深对该概念的理解。
首先，从椭圆的几何学定义入手，椭圆是平面上某一点到两个定点的距离之和等于常数的曲线，它具有一定的中心点和两个长轴线段，这两个长轴线段的长度称为长轴长a和短轴长b，它们的乘积是一个常数，即面积等于πab，它们构成的角度称为椭圆轴角。
椭圆中点弦公式斜率指的是以椭圆的中心点为原点，以椭圆的长轴和短轴为坐标轴的坐标系中，从椭圆中心点出发，沿着椭圆线上的每一个点，连接该点与椭圆中心点的连线，其斜率的绝对值等于弦化简的式子。
在椭圆的中心点弦公式斜率的计算中，使用的弦化简的式子是：$$ \frac{y}{x} = \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $$其中，b和a分别是椭圆的短轴和长轴的长度，θ表示椭圆的某个弦线上取的点的位置，它们的关系式为：$$ \frac{b^2}{a^2} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $$根据上述式子，可以求出椭圆的中心点弦公式斜率的绝对值：$$ \frac{|y|}{|x|} = \frac{b^2}{a^2} $$此外，椭圆的中心点弦公式斜率也可以用椭圆的参数方程来表示，即：$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$由此可知，当椭圆的中心点弦公式斜率为正时，表示椭圆的点在长轴的右侧；当椭圆的中心点弦公式斜率为负时，表示椭圆的点在长轴的左侧。
椭圆中点弦公式斜率的计算方法也有多种，比如可以利用椭圆参数方程来求得，也可以利用椭圆的长轴和短轴的比值来求得，或者使用椭圆的弦截式来求得。
总之，椭圆中点弦公式斜率是椭圆几何学的一个重要概念，它在计算机图形学、机械设计、空间几何等领域都有广泛的应用，其计算方法也有多种，读者可以根据自己的实际需要，选择合适的计算方法，从而更好地理解并使用椭圆中点弦公式斜率。
高中数学椭圆中点弦的斜率公式
下面介绍椭圆中点弦的斜率公式，利用它可起到事半功倍的效果．
定理设有二次曲线的方程为Ａ、Ｂ两点在曲线上，Ｍ是弦
ＡＢ的中点，Ｏ为坐标原点，则．
证明设Ａ、Ｂ两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)，则点Ｍ的坐标为
（）．
∵Ａ、Ｂ两点在曲线上，
∴
两式相减得：
整理得，
又，
．证毕．
注特别地，当＞０时，二次曲线为圆，显然ＯＭ⊥ＡＢ，有．
例１过椭圆内一点Ｄ（１，０）引动弦ＡＢ，求弦ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方程．解设动点Ｍ的坐标为（x,y），则
由定理得
整理得
这就是点Ｍ的轨迹方程．
例２设椭圆与直线相交于Ａ、Ｂ两点，且，又ＡＢ的中点Ｍ与原点Ｏ的连线的斜率为
解由定理得（－１）·＝－（１）
将代入椭圆方程整理得：
设Ａ、Ｂ两点横坐标分别为x1、x2,则
∴，∴
即（２）
由（１）、（２）解得。
过椭圆上一点的斜率
过椭圆上一点的斜率过椭圆上一点的斜率是指椭圆上某一点处切线的斜率。
椭圆是一种特殊的椭圆曲线，其数学定义为所有满足一个特定条件的点的集合。
椭圆经常用于研究各种自然现象和数学问题，因为其独特的性质和几何特征。
椭圆的方程通常表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的中心位于坐标原点，长轴与x轴平行。
要确定椭圆上一点的斜率，可以使用微积分的方法。
假设我们要求椭圆上一点P(x,y)处的斜率。
首先，我们需要求出椭圆上一点P的切线方程。
切线方程可以通过求取斜率和知道点的坐标来确定。
因此，我们需要确定椭圆上一点P的切线斜率。
求解椭圆上一点的切线斜率的步骤如下：1. 将椭圆的方程展开，使其满足标准形式。
例如，要求(2,3)处的切线斜率，我们可以将椭圆的方程展开为：4x^2 + 9y^2 = 36。
2. 对椭圆的方程进行求导。
将方程两边对x求导，得到：8x + 18y(dy/dx) = 0。
3. 将x和y代入点P的坐标，得到一个方程只包含切线斜率(dy/dx)的表达式。
4. 解方程，求解出切线斜率(dy/dx)。
举个例子，假设我们要求椭圆4x^2 + 9y^2 = 36上点P(2,3)处的切线斜率。
首先，我们对椭圆方程进行求导，得到：8x +18y(dy/dx) = 0。
然后，将P的坐标代入，得到：8(2) +18(3)(dy/dx) = 0。
解方程，我们可以求得(dy/dx)的值。
除了通过微积分的方法来求解椭圆上一点的斜率之外，还可以通过几何法来确定。
在几何法中，我们可以利用椭圆的性质来求解。
椭圆上的切线与椭圆的法线垂直。
因此，我们可以确定椭圆上一点的法线，然后求取法线的斜率的负倒数即可得到切线的斜率。
总结起来，过椭圆上一点的斜率可以通过微积分的方法或几何法来确定。
通过微积分的方法，我们可以利用椭圆方程求导并代入点的坐标来解方程，求解出切线斜率。
椭圆中点弦方程
椭圆中点弦方程椭圆是一种常见的几何图形，它具有很多有趣的性质和特点。
其中，椭圆的中点弦是一条十分重要且有特殊性质的直线。
本文将围绕椭圆中点弦方程展开讨论，探究椭圆中点弦的性质及其应用。
一、椭圆中点弦的定义及方程椭圆的中点弦是连接椭圆上两个焦点的直线，且该直线的中点恰好在椭圆上。
对于椭圆的中点弦，我们可以通过以下步骤来推导其方程。
1. 假设椭圆的长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，则椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。
2. 设中点弦的斜率为k，中点的坐标为(h, k)。
3. 由椭圆的性质可知，中点弦的斜率与椭圆的切线斜率相等，即k = y' = -x(a^2/b^2) / y4. 将中点弦的斜率代入中点坐标得到k = -h(a^2/b^2) / k5. 解方程可得k^2 = -h(a^2/b^2)6. 将k的平方代入椭圆方程中，得到h^2/a^2 + k^2/b^2 = 17. 将k^2代入方程中，可得h^2/a^2 + (-h(a^2/b^2))^2/b^2 = 18. 化简方程得到h^2(a^2 + b^2h^2/a^2) = a^2b^29. 进一步化简可得b^2h^4 + a^2h^2 - a^2b^2 = 010. 因为h^2 = x^2，所以代入方程得到b^2x^4 + a^2x^2 - a^2b^2 = 011. 这是一个关于x的四次方程，解得x = ±a/b。
所以，椭圆的中点弦方程为x = ±a/b。
二、椭圆中点弦的性质椭圆中点弦有以下一些重要性质：1. 椭圆的中点弦与椭圆的切线垂直。
2. 椭圆的中点弦的斜率为±b/a。
3. 椭圆的中点弦的长度为2a。
4. 椭圆的中点弦与椭圆的两个焦点和两个顶点共线。
5. 椭圆的中点弦可以看作是椭圆的对称轴，将椭圆分成两个对称的部分。
三、椭圆中点弦的应用椭圆中点弦的特殊性质使它在实际应用中有着广泛的应用。
椭圆的中点弦问题
合作探究
例 3 已知椭圆 E：x2＋y2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 a2 b2
AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆 E 的方程为( )
A. x2 ＋y2 ＝1 45 36
B. x2 ＋y2 ＝1 36 27
C. x2 ＋y2 ＝1 27 18
则 x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16， 两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴yx11－ －yx22＝－4xy11＋＋xy22＝－4×4 2＝－12，即 kAB＝－21.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
知识回顾
1、直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)
2、直线斜率公式： kAB
y1 y2 x1 x2
3、中点坐标公式： x0
x1 x2 2
， y0
y1 y2 2
1 典例分析
PART ONE
中点弦问题
例 1 直线 y＝x＋1 被椭圆x2＋y2＝1 所截得的弦的中点坐标是( 42
A（. 2 ，5） 33
B（. 4 ，7） 33
C（. 2 ，1） 33
)
D（. 13， 17） 22
解
y＝x＋1，
联立
x2＋y
2
＝1，
42
消去 y，得 3x2＋4x－2＝0，设直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－4，故 AB 的中点横坐标 x0＝x1＋x2＝－2.纵坐标 y0＝x0＋1＝－2＋1＝1.
本课结束
于是 x1＋x2＝842kk22＋－1k.
点差法求椭圆的中点弦
部）
解：设(1 , 1 )，(2 , 2 )为弦的坐标.
因为点、在椭圆上，所以
12
2
൞ 2
2
2
12
+ 2
22
+ 2
=1
=1
两式相减得
(1 +2 )(1 −2 )
(1 +2 )(1 −2 )
−
2
2
=0
2
求椭圆 2
2
+ 2
= 1以点(, )为中点的弦的斜率。（在椭圆内
(1 +2 )(1 −2 )
=
2
− 2
(1 +2 )(1 −2 )
2
−
(1 −2 )
(1 −2 )
因为
(1 +2 )(1 −2 )
2
=0
(1 +2 )
(1 +2 )
= ，
= =
2
求椭圆 2
2
+ 2
= 1以点(, )为中点的弦的斜率。（在椭圆内
部）
解：设(1 , 1 )，(2 , 2 )为弦的坐标.
因为点、在椭圆上，所以
12
2
൞ 2
2
2
+
+
12
2
22
2
=1
=1
两式相减得
( + )( − )
整理得 (1 +2 )(1 −2 )
1
2
1
2
所以
=
2
− 2
=
2
− 2
(1 +2 )(1 −2 )
椭圆点差法中点弦斜率公式
椭圆点差法中点弦斜率公式
椭圆点差法是一种用于确定椭圆的参数的一种数值方法。
椭圆点差法的基本思想是建立一个椭圆和已知点之间的差分方程，通过解决这个方程，求出最优参数，从而拟合出最佳椭圆。
在椭圆点差法中，求得椭圆的参数最重要的是求解点弦斜率公式。
点弦斜率公式是椭圆点差法中用来求椭圆的参数的一种重要的方法，它可以用于计算椭圆上任意点的斜率。
设特定椭圆F为方程：
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，点P(x,y)位于椭圆上，点弦斜率公式可以表示为：$\frac{dy}{dx}=\frac{b^2x}{a^2y}$ 。
椭圆点差法中使用点弦斜率公式可以求解椭圆的参数。
首先，我们需要选择有限个已知点，例如P1(x1,y1)，P2(x2,y2)、P3(x3,y3)…，计算点弦斜率，求得其总和Σdy/dx。
然后将Σdy/dx代入椭圆的极坐标方程F中，以b2/a2 为未知数，可以求出a2、b2，进而获得椭圆的长轴、短轴长度。
通过点弦斜率公式，我们可以实现椭圆点差法求椭圆参数的目标。
结合实际应用，通过该方法可以获得准确的椭圆参数，为图像处理、3D计算等领域提供有效的方法。
备战2022年高考数学复习之解析几何知识讲解专练05 椭圆(原卷版)
专题05 椭圆一相关知识点1．椭圆的定义把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)当2a>|F1F2|时，P点的集合是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的集合是线段；(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23．i．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.ii．焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2ta n θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3) S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值为bc .(4)焦半径公式：|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0. (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ. (6)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .(7)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． (8)过点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1.(9)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2. (10)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 4．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 (1)|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为 2a .题型一 椭圆的定义及其应用1．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为2．已知动点P (x ，y )的坐标满足x 2＋(y ＋7)2＋x 2＋(y －7)2＝16，则动点P 的轨迹方程为________．3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆题型二 椭圆的标准方程类型一 利用椭圆定义求椭圆的标准方程1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为2．在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为4．与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为_______．5．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为7．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．8．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为9．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．类型二 利用待定系数法求椭圆标准方程1．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为________．2．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为________．5．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是6．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________________．7．过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．8．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为9．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为10．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程 为11．与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程为12．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为10，一个焦点的坐标是(－5，0)，则椭圆的标准方程为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为14．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为15．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点的椭圆的标准方程为________．16．已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________．17．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________．18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为19．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为20．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________．21．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．22．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为23．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ．(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．题型三 椭圆的几何性质类型一 识别椭圆相关性质概念1．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为2．已知椭圆的标准方程为x 2＋y 210＝1，则椭圆的焦点坐标为 3．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于4．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．5．曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为____________．7．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为8．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于9．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．类型二 求离心率的值(或范围)1．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为________．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和直线l ：x 4＋y3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与直线l 平行，则椭圆C 的离心率为5．若椭圆x 24＋y 2m ＝1上一点到两焦点的距离之和为m －3，则此椭圆的离心率为6．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为7．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是8．如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 28＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的交点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是A.23B.45C.35D.259．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，若|PF |＝34|AF |，则该椭圆的离心率是________．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为12．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为13．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠P AF ＝12，则椭圆的离心率e 为14．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为15.如图，底面直径为12 cm 的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B sin C＝________.18．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM ―→·NF ―→＝0，则椭圆的离心率为19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为20．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为21．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为22．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.则椭圆C 的离心率是________．23．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点， 且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|＝2|PF 2―→|，则椭圆的离心率为24．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点， |OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为25．椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是26．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是27．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________.28.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．29．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF →1·MF →2＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．30．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是31．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，t )(0＜t ＜b )．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为32．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22＝33．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是34．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于32(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是____．35．已知F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B 上下两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是36．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.37．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使1－cos 2∠PF1F21－cos 2∠PF2F1＝a2c2，求该椭圆的离心率的取值范围．38．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q )．(1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程．类型三 求参数的值(或范围)1．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．2．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是3．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是4．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是5．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．6．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．7．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于9．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．10．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点， 若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是12．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是13．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________．14．已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．类型四 焦点三角形1．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________．2．过椭圆x 24＋y 2＝1的左焦点F 1作直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆右焦点，则△ABF 2的周长为3．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．4．已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝5．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为6．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.8．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为9．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为10．已知F 1，F 2是长轴长为4的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点， 则△PF 1F 2面积的最大值为________．11．P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝12．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于13．设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为 点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为14．设椭圆x 29＋y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过焦点F 1的直线交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若△ABF 2的内切圆的面积为π，则|y 1－y 2|＝15．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为16．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是17．椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为18．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．19．已知F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2.(1)求△ABF 2的周长；(2)若AF 2⊥BF 2，求△ABF 2的面积．类型五 与椭圆的几何性质有关的最值问题1．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为2．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为 ，最小值为 .3．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)， 则|P A |＋|PB |的最大值为5．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)， 则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．6．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点， 则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为________．7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为8．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是9．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．。
中点弦公式斜率结论
中点弦公式斜率结论
中点弦公式是数学中的基础公式之一，一般应用于解析几何中的
直线问题，其基本思想是通过一条直线的两点，求解出中点对应的直
线的斜率。
中点弦公式的数学表达式为：
斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别表示直线上的两个点，k 表示
直线的斜率。
中点弦公式的原理是基于物理学中的斜率定义，即“斜
率（或坡度）表示垂直方向的变化量与水平方向的变化量之比”。
在应用中点弦公式时，需要遵循一些基本原则：
1. 两点必须在同一直线上，否则计算得出的斜率将无意义。
2. 中点必须在两点之间，不能在两点外部或超过两点的限定范围。
3. 中点弦公式仅计算直线的斜率，不能用于求解直线的方程式或
直线的长度。
中点弦公式具有广泛的应用价值，它可以帮助我们理解直线的性质、斜率的概念以及直线与坐标系之间的关系。
例如，在几何学中，
中点弦公式可以用于证明两条平行线之间距离等于任意一点到两直线
间的距离。
而在物理学中，中点弦公式可以用于计算物体的速度或加
速度，并且可以推导出物理学中的牛顿第二定律公式。
总之，中点弦公式是一种基础的数学工具，对于理解数学、几何和物理的基本概念以及解决实际问题具有重要的意义。
我们要时刻学习和运用这一公式，提高我们的数学素养和解决问题的能力。
人教高中数学 选修 2-1 第二章 2.3 椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广(含答案)
椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b+=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ⋅=-定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b-=弦AB（AB 不平行y 轴）的中点，则有22AB OMb k k a⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ⋅= 例1、已知椭圆22221x y a b-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、12 B、、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且12OMk =-，根据定理有2212b a =，即2222112a c e a -=-=，解得2e =，所以B 答案正确. 例2、过椭圆221164x y +=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知14AB OM k k ⋅=-，显然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=.例3、过椭圆2216436x y +=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM yk x=，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29(8)16y x x =-+ 例4、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:2121ABx b k a y =-⋅2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：211121()a y y y x x b x -=-，令0y =解得21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：22220a b a b x a a ---<<例5、已知双曲线2212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程；若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方程2212y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线l 不存在.定理1推论：若A 、B 是椭圆22221x y a b+=上关于中心对称的两点，P 是椭圆上任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=-.证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则OM PA ，所以有OM PA k k =，由椭圆中点弦斜率公式得：22OM PBb k k a ⋅=-.所以22PA PB b k k a⋅=-.类似地可以证明定理2推论：若A 、B 是双曲线22221x y a b-=上关于中心对称的两点，P 是双曲线上的任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=.。
圆锥曲线弦的斜率公式
圆锥曲线弦的斜率公式圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线。
在研究圆锥曲线的性质时，我们经常需要计算曲线上的斜率。
本文将介绍圆锥曲线弦的斜率公式，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、椭圆的弦斜率公式椭圆是圆锥曲线中的一种，它具有两个焦点和一个长轴和短轴。
当我们在椭圆上选择两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，并且这两个点不在椭圆的焦点上时，我们可以通过以下公式计算弦AB的斜率：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)这个公式可以通过计算两点之间的纵坐标差除以横坐标差得到。
通过这个公式，我们可以计算出椭圆上任意两点之间的弦的斜率。
二、双曲线的弦斜率公式双曲线也是圆锥曲线中的一种，它具有两个分离的无限远点和两个渐近线。
当我们在双曲线上选择两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，并且这两个点不在双曲线的渐近线上时，我们可以通过以下公式计算弦AB的斜率：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)与椭圆的弦斜率公式相同，双曲线的弦斜率公式也是通过计算两点之间的纵坐标差除以横坐标差得到。
这个公式适用于双曲线上任意两点之间的弦。
三、抛物线的弦斜率公式抛物线是圆锥曲线中的一种，它具有一个焦点和一个对称轴。
当我们在抛物线上选择两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，并且这两个点不在抛物线的焦点上时，我们可以通过以下公式计算弦AB的斜率：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)同样地，抛物线的弦斜率公式也是通过计算两点之间的纵坐标差除以横坐标差得到。
这个公式适用于抛物线上任意两点之间的弦。
综上所述，圆锥曲线弦的斜率公式可以统一表示为：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别表示曲线上的两个点的坐标。
通过这个公式，我们可以计算出椭圆、双曲线和抛物线上任意两点之间的弦的斜率。
这个公式在解决与圆锥曲线相关的问题时非常有用，帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
点差法中点弦斜率公式结论
点差法中点弦斜率公式结论中点差法是一种用于求曲线的导数的一种数值计算方法。
它可以以更加准确的计算速度求出曲线的导数。
基本定义：中点差法使用多个点的中点来求取曲线斜率，其公式为：$$f′(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^2)$$其中，$h$ 是点数偏差，一般使用 1 一维函数中点偏差法计算函数某一点的导数。
1. 定义中点差法是一种用于求曲线的导数的一种数值计算方法。
它可以以更加准确的计算速度求出曲线的导数。
2. 中点弦斜率公式中点弦斜率公式是求出曲线斜率的一种公式，即：$$f′(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^2)$$其中，$h$是点数偏差，一般使用 1 一维函数中点偏差法计算函数某一点的导数。
3. 应用中点差法是一种经常用于二维图形分析的数值计算方法，可以用来求出曲线的斜率。
一般来说，我们用它来计算函数的单调性、极大值和极小值等。
例如，在一维函数中，我们可以用它来计算函数在某一点的斜率：$$f′(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^2)$$以此公式可以方便地确定函数某一点处的斜率，从而求出函数的单调性、极大值和极小值等。
4. 优势中点差法比传统的求导方法更快捷，更准确，更可靠。
它甚至可以在低微分情况下采取措施显著改善计算精度。
因此，它可以说是寻求拟合点的有效方法，使用的是梯度下降的技术，能够更有效地求解曲线的斜率。
此外，它还具有占用内存少且执行速度快的特点，可以有效地提高求导效率，这样就可以有效地降低耗时。
5. 结论总之，中点差法具有更加简单正确准确、执行速度快的特点，可以有效地改善计算精度，使用的是梯度下降的技术，可以有效地求解曲线的斜率，更加节约内存。
因此，它是求取曲线斜率的一种有效方法。
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下面介绍椭圆中点弦的斜率公式，利用它可起到事半功倍的效果．
定理设有二次曲线的方程为Ａ、Ｂ两点在曲线上，Ｍ是弦
ＡＢ的中点，Ｏ为坐标原点，则．
证明设Ａ、Ｂ两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)，则点Ｍ的坐标为
（）．
∵Ａ、Ｂ两点在曲线上，
∴
两式相减得：
整理得，
又，
．证毕．
注特别地，当＞０时，二次曲线为圆，显然ＯＭ⊥ＡＢ，有．
例１过椭圆内一点Ｄ（１，０）引动弦ＡＢ，求弦ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方程．
解设动点Ｍ的坐标为（x,y），则
由定理得
整理得
这就是点Ｍ的轨迹方程．
例２设椭圆与直线相交于Ａ、Ｂ两点，且，又ＡＢ的中点Ｍ与原点Ｏ的连线的斜率为
解由定理得（－１）·＝－（１）
将代入椭圆方程整理得：
设Ａ、Ｂ两点横坐标分别为x1、x2,则
∴，∴
即（２）
由（１）、（２）解得。