运筹学 第三章 对偶理论 第二讲 对偶单纯形法,灵敏度与参数分析

定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基
变量；
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
(5)普通单纯形法的最小比值是 问题的基本解可行，
bi min aik 0 其目的是保证下一个原 i aik
影 子 价 格 举 例
A 工 时 材 料 1 1
B 1 4
Chapter3 对偶理论 C Dual拥有量 Theory
1 7
3 9
单件利润
2
3
3
min W 3 y1 9 y2
y*1=5/3, y*2=1/3 即工时的影子价格为5/3， 材料的影子价格为1/3。 如果目前市场上材料的价 格低于1/3，则企业可以 购进材料来扩大生产，反 之可以卖掉部分材料。 如果有客户以高于5/3 的价格购买工时，则可以 出售一些工时，反之则反
2x1+ x2 = 51
P
1365=50x1+30x2
4x1+3x2 = 121 x1 4x1+3x2 = 120
可行域
L0： 50x1+30x2
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
•2）影子价格是一种机会成本 • 影子价格是在资源最优利用条件下对单位 资源的估价，这种估价不是资源实际的市场 价格。因此，从另一个角度说，它是一种机 会成本。 *
若yi 0, 有 aij x j bi
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j C B B Pj c j aij yi
1 i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
表3-7
XB
表(1) λj 表(2) λj
x4 x5 x2 x5 x2 x1
x1 -1 -1 4 1 [-2] 3↑ 0 1 0
x2 [-1] 1 1↑ 1 0 0 1 0 0
x3 -1 4 3 1 3 2 5/2 -3/2 13/2
x4 1 0 0 -1 1 1 -1/2 -1/2 5/2
min W 3 y1 9 y2 y1 y2 2 y 4y 3 1 2 s.t. y1 7 y2 3 y1 0, y2 0
y*1=5/3, y*2=1/3
即工时的影子价格为 5/3，材料的影子价格 为1/3。
影子价格的经济意义
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
j
a ij
的绝对值是使得比值非负，在极小化问题时λj≥0，分母 aij<0
这时必须取绝对值。在极大化问题中，λj≤0，分母aij<0，
a ij 非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成
j 总满足
max z ' 4 x1 x2 3x3
这里λj≤0在求θk时就可以不带绝对值符号。 (4)对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确
• 影子价格是根据资源在生产中作出的贡献 而作出的估价，这种估价不是资源的市场 价格。 它反映了在最优经济结构中，在资源得到 最优配置前提下，资源的边际使用价值。 单纯形表中松弛变量所对应的检验数的相反 数是在该经济结构中的影子价格，也可以 说对偶问题的最优解向量是结构中的影子 价格。
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
例2.9 用对偶单纯形法求解：
m i n Z 9 x 1 12 x 2 15 x 3 2 x 1 2 x 2 x 3 10 2 x 1 3 x 2 x 3 12 x 1 x 2 5 x 3 14 x j 0( j 1.2.3)
j min | alj 0 对偶单纯形法的最小比值是 j alj
其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行； (6)对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循
bl min bi | bi 0
规则，任选一个小于零的bi对应的基变量出基，不影响计算结果，只是迭 代次数可能不一样．
对偶单纯形法的计算步骤：
(1)将线性规划的约束化为等式，找出一个正则基，即全部检验 数λj≤0（max）或λj≥0（min）, 求出其对应的基本解，当基本解 可行时，则达到最优解；若基本解不可行，即有某个基变量的 解bi<0，则进行换基计算； (2) 换基计算 (i)先确定出基变量: bl＝min bi | bi 0 l 行对应的变量出基；
min z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 x4 5 x1 x2 4 x3 x5 3 x 0, j 1, 2,,5 j
x4、x5 为基变量，用对偶单纯形法，迭代过程如表2-7所示。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
cj cB xB
-9 x1
-12 -15 x2 x3
0 x4
0 x5
0 x6
b
i
0 0 0
x4 x5 x6
-2 -2 -1 -9
-2 -3 -1
源自文库
-1 -1 -5
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
λj
-12 -15
-10 (-9/-1 -12 .-12/-1 -14 . -15/-5 0 )
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
min z 4 x1 x2 3x3
【例3.9】用对偶单纯形法求解
x1 x2 x3 5 x1 x2 4 x3 3 x , x , x 0 1 2 3
【解】先将约束不等式化为等式，再两边同乘以(－1)，得到
• 1. 影子价格的数学分析：
maxZ CX AX b P X 0 minW Yb YA C D Y 0
由对偶问题得基本性质可得：
z c j x j bi yi
j 1 i 1
n
m
影 子 价 格 举 例
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求 出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数≤0（求 max问题）。
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
m axZ 9 x1 12x 2 15 x 3 10 2 x1 2 x 2 x 3 x 4 x5 12 2 x1 3 x 2 x 3 x 6 14 x1 x 2 5 x 3 x16 0
i
j (ii)再选进基变量: 求最小比值 k min | alj 0 j alj (3)求新的基本解，用初等变换将主元素alk化为l, k列其它元素化 为零，得到新的基本解，转到第(1)步重复运算。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
设线性规划问题为：
max Z CX ( P)
原始单纯形法的思想： 从满足可行性条件的一个基可行解(即基B满足
AX ＝ b X 0
B b 0 )出发，经过换基运算迭代到另一个基可行解，
直到找到满足最优性条件( C C B 1 A 0 )的基可行解， B 这就是原问题的最优解。
L0： 50x1+30x2
Chapter3 对偶理论 Dual Theory

影子价格的直观含义： x2 2x1+ x2 = 50
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
1355=50x1+30x2
a
i 1
m
ij
yi
是生产该种产品所消耗各项资源的影子价格的总和，即产品的 隐含成本。
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
•2. 影子价格的经济意义
•1）影子价格是一种边际价格 • 在其它条件不变的情况下，单位资源数量 的变化所引起的目标函数最优值的变化。即 对偶变量yi 就是第 i 种资源的影子价格。即：
Z * y i * ( i 1,2 m ) bi
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
问题：可否从满足条件(2)的基出发去找原问题的最优解？ 对偶单纯形法思想： 从满足条件(2) 的基(一般称为正则基)B出发，经 过换基运算到另一个正则基，即一直保证条件 (2)成立， 直到找到一个满足条件(1)的正则基。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
y1 y2 2 y 4y 3 1 2 s.t. y1 7 y2 3 y1 0, y2 0
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
特点4、表明生产过程中该种资源的影子价格不等于0，表明 生产过程中资源得到充分利用。 如果某种资源未得到充分利用，该种资源的影子价格=0；
若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi > mi 时，企业愿意 购进这种资源，单位纯利为yi*－mi ，则有利可图；如果yi* < mi ， 则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi * ，否则，企业 无利可图，甚至亏损。 结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi
影子价格 王老板的家具生产模型的图解： x2
2x1+ x2 = 50
（P）max Z = 50x1+30x2 s.t. 4x1+ 3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1，x2 ≥ 0 Z*=1350 Y*=(5,15)
（15，20）
P
1350=50x1+30x2
可行域
4x1+3x2 = 120 x1
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
影子价格和对偶单纯形法
第一节影子价格
影子价格
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常 数bi （第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标 函数最优值z* 的改变量称为第 i 种资源的影子价格，其值等 于D问题中对偶变量yi*。
A 工 时 材 料 单件利润 1 1 2
B 1 4 3
C 1 7 3
拥有量 3 9
分析： 1. y1=5/3说明在现有的资源限量的条件下，增加一个单位第一种 资源可以给企业带来5/3元的利润；如果要出售该资源，其价格至少在 成本价上加5/3元。如果y1为0，则表示增加第一种资源不会增加利润， 因为第一种资源还 没有用完。
1
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB λ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
x5 0 1 0 0 1 0 1/2 －1/2 3/2
b －5→ －3 5 －8→ 1 4
表(3)
λj
最优解：X＝(4，1，0)T；Z=17
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注意：
(1)对偶单纯形法求解线性规划的一种求解方法，而不是去求对偶问题的最优 解； (2)初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别准则； (3)最小比值中