2005年考研数学一真题及答案
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2005年考研数学一真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。答案写在题中横线上）
(1)曲线y=x2
2x+1
的斜渐近线方程为。
【答案】y=1
2x−1
4
【解析】
a=lim
x→∞y
x
=lim
x→∞
x2
(2x+1)x
=
1
2
b=lim
x→∞(y−ax)=lim
x→∞
(
x2
2x+1
−
1
2
x)=lim
x→∞
−x
2(2x+1)
=−
1
4
所以斜渐近线方程为y=1
2x−1
4
。
综上所述，本题正确答案是y=1
2x−1
4
。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
(2)微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=−1
9
的解为。
【答案】y=1
3xlnx−1
9
x
【解析】
原方程等价于y′+2y
x
=lnx 所以通解为
y=e−∫2
x dx[∫lnx∙e∫
2
x dx dx+C]=
1
x2
∙[∫x2lnx+C]
=1
3xlnx−1
9
x+C1
x2
将y(1)=−1
9
代入可得C=0
综上所述，本题正确答案是y =13
xlnx −1
9
x 。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 (3)设函数u (x,y,z )=1+
x 26
+
y 212
+
z 218
,单位向量n =
√3
{1,1,1}，则
ðu ðn |(1,2,3)
= 。
【答案】√33
。
【解析】 因为 ðu ðx
=x 3,
ðu ðy =y 6,
ðu ðz =z
9
所以ðu
ðn |
(1,2,3)
=1
3∙
√3
+1
3∙
√3
+13∙
√3
=
√33
综上所述，本题正确答案是√33
。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (4)设Ω是由锥面z =√x 2+y 2与半球面z =√R 2−x 2−y 2围成的空
间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则∬xdydz +ydzdx +
Σ
zdxdy = 。 【答案】2π(1−√2
2
)R 3。 【解析】
∬xdydz +ydzdx +zdxdy = Σ
∭3dxdydz Ω
=
3∫ρ2dρ∫sinφdφπ
40R 0∫dθ=2π
2π(1−
√2
2
)R 3
综上所述，本题正确答案是2π(1−
√2
2
)R 3。 【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
(5)设α1,α2,α3均为三维列向量，记矩阵A =(α1,α2,α3),
B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3)如果|A|=1，那么|B|= 。
【答案】2。
【解析】
【方法一】
|B|=|α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3| =|α1+α2+α3,α2+3α3,α2+5α3|
=|α1+α2+α3,α2+3α3,2α3|
=2|α1+α2+α3,α2+3α3,α3|
=2|α1+α2+α3,α2,α3|=2|α1,α2,α3|=2|A|=2【方法二】
由于B=(α1,α2,α3)[111
123
149
]= A[
111
123
149
]
两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以
|B|=|A||111
123
149
|=2|A|=2
综上所述，本题正确答案是2。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理
(6)从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2,⋯,X中任一个数，记
为Y,则P{Y=2}= 。
【答案】13
48
。
【解析】
【方法一】
先求出(X,Y)的概率分布，因为X 是等可能的取1,2,3,4，故(X,Y)关于X 的边缘分布必有P {X =i }=1
4,i =1,2,3,4,而Y 只从1,2,⋯,X
中抽取，又是等可能抽取1,2,⋯,X 的概率为1
4X
所以P {X =i,Y =j }={0,j >i 1
,j ≤i 即：
所以P {Y =2}=1
8
+
112
+
116
=1348
【方法二】
P {Y =2}=∑P {X =i }P {Y =2|X =i }4i=1 =∑1
4P {Y =2|X =i }4i=1
=14×(0+12+13+14)=13
48
综上所述，本题正确答案是13
48。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） (7)设函数f (x )=lim n→∞
√1+|x|3n n
,则f(x)