曲线的凹凸性与拐点及图象

0）和
(
1 4
,
16
3
3
16 ) .
第六节 函数图形的描绘
一： 曲线的渐近线 1. 水平渐近线
定 义 1 若 自 变 量 x ( 有 时 仅 当 x 或
x ) 时 , 函 数 f (x) 以 常 数 C 为 极 限 , 即
lim f x C ,则直线 y C 叫做曲线 y f (x) 的水平渐 x
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性.
解 y 3x2 , y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的；
注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
2 曲线的拐点
定义 3 连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界
点叫做曲线的拐点.
f (x2 )
o
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义2 设f (x)在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两
点x , x
, 恒有
f
(
x 1
x 2
)
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
12
2
2
f (x) 在 I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）;
如果恒有
x x f( 1 2)
3
练习: 作函数 (x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 D : (,), W : 0 ( x) 1 0.4.
2
偶函数,图形关于y轴对称.
( x)
x
x2
e 2,
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
2
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)( x 1), f ( x) 2(3x 1). 令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1.
3 令 f ( x) 0, 得特殊点 x 1 .
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间 断 点
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A (1,2),
作图
B (1,6),
C (2,1).
y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
x
2
A
0
xx0
直线 x x 叫做曲线 y f (x)的垂直渐近线. 0
例如：lim ln(x 1) x 1 x 1是曲线 y ln(x 1)的垂直渐近线.
作函数图形的一般步骤 (1)确定函数 y f (x)的定义域,求出 f (x)和 f (x)；
(2)求 f (x) 0和 f (x) 0在定义域内的全部实根.用这 些根把定义域分成几个部分区间；
近线.
例如： lim arctan x ,lim arctan x
x
2 x
2
y 和 y 是曲线 y arctan x 的两条水平渐近
2
2
线.
1.2垂直渐近线
定义 2 若当自变量 x x (有时仅当 x x 或
0
0
x x )时, 函数 f (x)为无穷大量,即lim f x ,则
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
极大值
1
2
0
拐点
(1, 1 ) 2e
y1
2
1
o
1
x
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
例3 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
3
y
4
x
5 3
,
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的;
在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的. 点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
3 补充点 : A (1,0), B (0,1), C (3 , 5).
28 列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点 与拐点:
x (, 1) 1 ( 1 , 1) 1
3
3
33
3
f ( x)
0
f ( x)
f (x)
极大值
32
27
拐点
(1 , 16) 3 27
y
B (0,1)
(1 ,1) 3
1 (1,)
求函数拐点的步骤：
(1)求 f (x)
(2)令 f (x) 0,解出这方程在区间a,b内的实根
x 0
；
求 f (x)不存在的点
x 0
；
(3)在点
x 0
的左右两侧,检查
f
(x)
在
x 左右两侧附近 0
的符号：如果 f (x)的符号相反,则点(x , f (x ))就是拐点；
0
0
如果 f (x)的符号相同, 则点(x , f (x ))就不是拐点.
第五节 曲线的凹凸性与拐点
1、函数的凹凸性定义
y
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
C B
A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o
x
o
x
观察下图 ,理解定义
定义 1 如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点处 切线的上方, 则称此曲线弧在该区间内是凹的,此区间 称为凹区间；如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一 点处切线的下方, 则称此曲线弧在该区间内是凸的,此 区间称为凸区间.
0
极小值
0
C (3,5) 28
A (1,0)
1
1 o 1
1
3
3
x 返回
(3)确定每个部分区间内 f (x)和 f (x)的符号.由此确定图 形的升降和凹向,极值点和拐点；
(4)确定图形的水平,垂直渐近线及其他变化趋势；
(5)算出 f (x) 0和 f (x)的根所对应函数值.定出图形上 相应的点.
例1
作函数
f
(
x)
4(
x x2
1)
2
的图形.
解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
注意:若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x)的拐点.
练习：讨论曲线 y (x 1)3 x5 的凹凸性与拐点.
解 函数的定义域为 (,) ．
由于
y
x
8 3
5
x3
，
y
8 3
5
x3
5 3
2
x3
,
y
40 9
x
2 3
10 9
1
x3
10 9
4x
0
0
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x2 24x 36x(x 2)
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x (,0)
0 (0, 2 3)
2 3
(2 3 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 凹的
拐点
拐点
(0,1) 凸的 (2 3 ,1127)
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
x (,0) ０
y
＋
不存在Байду номын сангаас
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
和
(1 4
,)
内是凹的
,
在
内
(0,
1 4
)
是凸的；由于
y x0
0，
y
x1 4
16
3
3
16 ，故曲线
的拐点（0,
f
(
x)
4(
x x3
2)
,
f
(
x)
8(
x x4
3)
.
令 f ( x) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x) 0, 得特殊点 x 3.
lim
x
f
(
x)
lim[
x
4(
x x2
1)
2]
2,
得水平渐近线 y 2;
lim
x0
f
(x)
lim[
x0
4(
x x2
1)
2]
,
得铅直渐近线 x 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
y
问题:如何表示曲线的弯曲方向?
C B
f (x ) f (x )
y
1
2
2
y f (x)
f ( x1 )
f (x2 ) f ( x1 x2 )
2
o
x1
x1 x2 2
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
A
o
x
y
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 )
2
f ( x1 )