曲线的凹凸性与拐点及图象
微积分第二版课件第四节曲线的凹凸性与拐点
o
x
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y x3的拐点.
由此可以看到曲线的拐点可能在二阶导数为零 的点以及不可导处取得.
例 求曲线 y x3 与 y 3 x 的拐点.
解 所给曲线在 (,) 内为连续曲线弧.由于
y (x3) 3x2 , y (3x2 ) 6x.
y
当x<0时，y 0 , y x3为凸的. 当x>0时，y 0 , y x3为凹的.
在I内是凸的.
几何特征是凹曲线位于弦线下侧，凸曲线位于弦 线的上侧.
问题观察：观察曲线的凹凸方向与曲线的切线间 的位置关系.
y y=f (x)
y y=f (x)
o
x
o
x
凹曲线在切线的上侧，随 凸曲线在切线的下侧，随
着x的增大，切线斜率随之 着x的增大，切线斜率随之
增大，即 f (x) 0
增大，即 f (x) 0
0 拐点
(1/ 5,0) 0
+
不存在
凹
非拐点
(0,)
+ 凹
曲线在(,1/ 5) 为凸的. 在(1/ 5,) 内为凹的.
拐点为点(1/
5,
f
(1/
5))
(1/
5,1.2
1
25 3
).
当 a 0时, 曲线为凹的. 当a 0 时,曲线为凸的.
例 判定曲线弧 y x arctan x 的凹凸性.
解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
y
arctan
x
1
x x
2
,
y
1
1 x
2
(1 x2 ) x 2x (1 x2 )2
2 (1 x2 )2
函数的凹凸性ppt课件
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
9
10
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
f
(x ) 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
14
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
ax2 x 1
当
x
0时， a R ，当
x (0,1]时①即 ax2x恒成立1
a 即
a
1
x2 1
1
x 1
(1 1)2 x2
(1 1)2 1
1 4
恒成立，当
2
2
作
DC
x
轴交
f
(x)
于
D（
x1
2
x2
,
yD )
D
在
f (x)
上
有
：
yD
f
( x1
2
x2
)
yC
f (x1) f (x2 ) 故④不正确 2
11
点评:本题主要考查了 f (x) lg x 函数运算性质以及直
线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
12
定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 ： 如 果 对 任 意 x , x R 都 有 12
f
(
x 1
x 2
)
1
f (x ) f (x ) 则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数，已知二次函
高数课件-曲线的凹凸性与拐点
4.5.1 曲线的凹凸性 4.5.2 拐点
17-<#>
2021-10-3
前面讨论了函数的单调性和极值．从几何上讲，单调性 反映的是曲线的升降，极值反映的曲线的“峰值”或“谷底”．
单从单调性和极值来研究曲线是不够的．
比如当函数 f x 在某区间单调增加时，其方式是多样的
(见图4-4-6)．具体表现在曲线弯曲的方向不同，有凸有凹．曲 线的这种性态称为凹凸性．
设 f ( x)在(a, b)内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， 其中 x0 (a, b)，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为 曲线 f ( x)的拐点？举例说明.
f
(x0 )
f (1)(x1
x0 )
f (xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )
1 2
(
x2
x1) f (1) ，
f
(x2 )
f
(x0 )
f
(2 )(x2
x0 )
f
(x0 )
1 2 (x2
x1)
f
(2 ) ．
17-1
续证
2021-10-3
两式相加，从而有
f
(x1)
f
( x2 )
2f
(x0)
x2
2
x1 [
故 0，f 0是曲线 y f x的拐点.选（C）.
17-1
例
f x x x n 假定 ( )在 = 0處具有直到 階的連續導數，且
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
n 這裏 為奇數>3，
则( x0 , f ( x0 ))是拐点
高等数学导数应用二凹凸拐点图形PPT课件
从而, 点 (x0, f (x0 )) 为曲线 y f (x) 的拐点 .
你能由以上的几个定理归纳出 求曲线拐点的步骤吗？
第28页/共56页
求拐点一般步骤
求曲线 y f (x) 拐点的一般步骤 : (1) 求 f (x) 的定义域 (或确定讨论区间 ) ; (2) 计算 f (x) , f (x) , (如需要可求出 f (x)) ; (3) 求拐点可疑点 : 使 f (x) 0 的点和 f (x) 不存在的点 ; (4) 根据定理判别可疑点是 否确为拐点 .
且仅在孤立点处出现 f (x) 0 .
第24页/共56页
于是 f (x) (x0 , x0x ) , f (x) (x0 x, x0 ) , 故 f (x) 在 x x0 处取极小值, 从而必有 f (x0 ) ( f (x)) xx0 0 .
使 f (x) 0 及 f (x) 不存在的点 ,
第26页/共56页
定理 ( 判别拐点的充分条件 )
设 f (x) C( I ) , f (x) 在 U(x0 ) (x0 I )内三阶可导. 若 f (x0 ) 0 , 且 f (x0 ) 0 , 则
点 (x0 , f (x0 )) 为曲线 y f (x) 的拐点 .
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证 由于 f (x0 ) 0 , 故不妨设 f (x0 ) 0 .
成立 , 则称曲线
y f (x) 在区间 I 上是凹的 ;
第9页/共56页
例1
分析立方抛物线 y x3 的凹凸性.
分析
f ( x1 x2 ) x13 3x12 x2 3x1x22 x23
2
8
1( 2
f
(x1)
f
(x2 ))
《曲线凹凸与拐点》课件
曲线凹凸的计算方法
定义法
通过定义凹凸性，利用二阶导数正负来判断。如果二阶导数大于0，则曲线在相 应区间内是凹的；如果二阶导数小于0，则曲线在相应区间内是凸的。
切线法
通过切线斜率判断。在某点处做切线，如果切线斜率在相邻两点之间由负变正， 则该点为拐点。
拐点的计算方法
定义法
根据拐点的定义，即函数在某点的左 右极限不相等，来确定拐点。
具体应用
在气候学中，通过研究气候数据的曲线凹凸性，可以更好地理解气候变化的规律和趋势 。在金融学中，通过研究股票价格的拐点，可以更好地把握股票市场的变化和趋势。
导数符号变化法
通过判断函数在某点附近左右两 侧导数的符号变化来确定是否为
拐点。
二阶导数测试法
通过判断二阶导数的符号变化来确 定是否为拐点。如果二阶导数在某 点处从正变为负或从负变为正，则 该点为拐点。
切线方向变化法
通过观察曲线在某点处的切线方向 是否发生变化来确定是否为拐点。 如果切线方向发生改变，则该点为 拐点。
导数法
通过求函数的二阶导数，并令其为0 ，解出相应的x值，再判断该点是否为 拐点。
曲线凹凸与拐点计算中的注意事项
初始判断
在计算前应先大致判断 函数的形态，以便选择
合适的计算方法。
精确度要求
对于实际应用，应考虑 计算结果的精确度，选 择合适的数学工具和算
法。
拐点判断
在确定拐点时，应同时 考虑左右极限，避免误
拐点是曲线上的一个点，在该点处曲线的切线方向发变符号
在拐点处，曲线的导数由正变负或由 负变正。
拐点处凹凸性改变
拐点处切线方向变化
在拐点处，曲线的切线方向发生变化 ，由上升变为下降或由下降变为上升 。
4.6 曲线的凹凸性和拐点
4.6 曲线的凹凸性和拐点当前讲授一、什么是曲线的凹与凸及拐点从直观上看，图中左侧的函数曲线称为凹的，右侧的函数曲线称为凸的．思考：函数，，有没有凹凸性？函数是直线，不存在凹与凸，是凹的，在内是凸的，在内是凹的．定义：设函数在区间I内可导，如果是递减的，则称曲线在区间I上是凸的（上凸的）；如果是递增的，则称曲线在区间I上是凹的（下凸的）；曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点．在下面这张图中．曲线在AB段是凸的，在BC段是凹的．凹与凸的分界点B就是拐点．二、曲线的凹凸性与二阶导数的关系定理一：若在内有，则曲线在上是凹的；若在内有，则曲线在上是凸的；两侧二阶导数异号的点是拐点．可简记为：曲线凹（开口向上）曲线凸（开口向下）定理二（拐点的必要条件）：若点是曲线的拐点，且处二阶导数存在，则必有．反之，二阶导数为零的点未必是拐点．例如函数，在内其二阶导数处处为零，但曲线无拐点．此外，二阶导数不存在的点也可能是拐点．例如的二阶导数，在内，曲线是凹的；在内，曲线是凸的，所以原点是拐点，但在处二阶导数不存在．三、求曲线凹凸区间及拐点的步骤拐点隐藏在那些二阶导数为0和二阶导数不存在的点中．判定曲线凹凸性及求拐点的步骤：（1）求定义域（如果题目指定了区间，则此步骤可省略）．（2）求二阶导数为零的点及不存在的点．（3）列表分析．以上述点划分定义域，在各子区间确定的符号，从而确定曲线的凹凸区间，进而确定拐点．注意：拐点是曲线上的点，应表示为的形式．典型例题例4.6.1判定曲线的凹凸性．提示>>解定义域：，，在内，，曲线在内是凹的．例4.6.2讨论曲线的凹凸性，并求出它的拐点．提示>>解定义域：令，得二阶导数为零的点为，．无二阶导数不存在的点．－0 －0 +不对应拐点对应拐点可见：曲线在区间上是凸的，在区间上是凹的．有一个拐点，此拐点的横坐标，纵坐标，即曲线的拐点为．例4.6.3已知的拐点为，且在处有极值．求a、b、c．提示>>解：，∵是函数的极值点，且函数在该点可导，∴必然是驻点，于是有，即 (1)，∵点为拐点，且函数在该点二阶可导，∴在处函数的二阶导数必然为零，于是有，即 (2)又即 (3)联立求解方程（1）（2）（3），即可解得：，，．。
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理1 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的； （2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的. 例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解 函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x ''必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1） 求()f x ''；（2） 令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3） 对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解 函数的定义域为(,)-∞+∞ 3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点.解 定义域为(,)-∞+∞， 2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>， 即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、 函数绘图 1、渐近线定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x y a b a b -=+=为双曲线12222=-by a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解 （1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321lim 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2） 因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；（4） 作一些辅助点；（5） 由上面的讨论，画出函数的图形例6 作函数32()31f xx x=-+的图形. 解 （1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-， 令()0f x '= 得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的，”表示上升且为凹的.（3（4）取辅助点（1,3)--、（3，1）；（6） 画图（如图3-13）例7作函数1)2(12---=x x y 的图形.解 定义域为),2()2,(+∞⋃-∞ 342)2()2()2)(1(2)2(--=-----='x xx x x x y 令0='y ，得0=x ； 4623)2()1(2)2()2(3)2(-+=-----=''x x x x x x y ， 令0=''y ，得1-=x ；列表：渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为 1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线.作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-.作图：（如图3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性： （1）)0(2≠++=a cbx ax y ； （2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ； （2）321--=x y . 3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ； （2）x e y 1=；（3）)1ln(x e y +=； （4）11+-=x e y x. 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ； （2）2x e y -=； （3）3443x x y -=； （4）xxe y -=.。
《曲线凹凸性》PPT课件
原点时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线y = f (x)的渐近线 .
例如, 双曲线
有渐近线
x y0 ab
y
y f(x)
C M ykxb
L PN
o
x
y
但抛物线
无渐近线 .
渐近线分为水平渐近线、铅直渐近线
ox
和斜渐近线三种.
精选ppt
11
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0
4
(极大)
11
6
(拐点)
精选ppt
19
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4) 求渐近线
lim y ,x 3为铅直渐近线
x3
lim y 1,
x
lim y 0 x x
y 1 为水平渐近线 无斜渐近线
y
1
36x (x 3)2
,
y
36(3 x) (x 3)3
,
y
72( x (x
6) 3)4
3
9
93 x2
令 y 0, 得x =3, y 不存在的点为x =2,
列 x ( , 2)
2
( 2 , 3 ) 3 (3, )
表 y 不存在 0
y凸
20 9
凹 －4
凸
因此,曲线的拐点 ：( 2 , 2 0 ) , (3, 4);
9
凹区间: ( 2 , 3 ) 凸区精间选p:pt (, 2], [3, ).
弧 是向上凸的, 曲线在切线的下方,
而B是弯曲状况的
分界点.
O
A
a
精选ppt
x0
b
x
2
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曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘
曲线的凹凸性和拐点、函数图 像的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点 1．曲线凹凸性的定义及其判定
首先观察图3-9所示的两条曲线。
图3-9
如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何点处的切 线总位于曲线的下方；另一类曲线向下弯曲，它在任何点处的 切线总位于曲线的上方，由此我们给出关于曲线凹凸的定义：
x x0
则称直线 x x0 为曲线 y f (x)的垂直渐近线。
其一般步骤如下：
2．函数图像的描绘
（1）确定函数 y f (x) 的定义域、间断点及函数所具有的某些特 性（如奇偶性、周期性等）； （2）求出函数的一阶导数 f (x) 和二阶导数 f (x)，解方程
f (x)=0，f (x) 0 在定义域内的全部实根及 f (x) 和 f (x)不存在的 点，应用这些根和点，将函数的定义域划分为若干个子区间； （3）列表讨论 f (x)和 f (x) 在（2）中所得各子区间内的符号，由 此确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性和拐点； （4）如有渐近线，求出渐近线，并确定其他变化趋势； （5）求辅助点，如曲线与坐标轴的交点等； （6）在直角坐标系中，根据上面讨论，描点作图。
例2 求曲线 y x4 2x3 1 的凹凸点区间和拐点。 解 函数 y x4 2x3 1 的定义域为( ， )
y 4x3 6x2 y 12x2 12x 12x(x 1) ， 令 y 0，得 x 0 和 x 1。 列表讨论如下：
x y
曲线
( ，0) +
0 0 拐点 （0，1）
如果将定理中的区间改为其他区间，结论仍然成立。
例1 判定曲线 y x3 的凹凸性。 解 函数的定义域为 ( ， ) ，y 3x2，y 6x
（当 x 0 时，y 0 ，故曲线在 ( ，0] 内是凸的；当 x 0 时，y 0，股曲线在 [0 ， ) 内是凹的；当x 0时，y 0。 点（0，0）是曲线 y x3由凸变凹的分界点（图3-11）
《曲线的凹凸与拐点》课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
曲线的凹凸与拐点
当x 时，y 0,
三、曲率
1.弧微分 在曲线上取定点 M0(x0, y0) 作为度量弧长的起点，并且规定 x 增大的方向作为曲线弧的正方向，M(x, y) 为曲线上任一点， 如右图所示， 记有向弧 AM 的长度 为 s。 当 AM 的方向与曲线的正向一
2
x2
(3) 列表讨论y, y的符号，确定函数的单调
区间和极值，凹凸区间和拐点：
2 2
2 ,) 2
2 (2x 1), 由 y 0, 得 x ; 2
x y y
y
0
1
0
(0,
2 ) 2
0
拐点
2 2 ( ,e ) 2
1
(
曲线 极大值
所以y 0为该曲线的渐近线。 根据列表先作出[0, +∞)上的图象， 再利用偶函数的图象
例1 判定曲线 y arctanx 的凹凸性。
)， 解： y arctanx 的定义域为(，
1 y , 2 1 x 2x y (1 x 2 ) 2
令 y 0，
解得 x 0
当 x (,0) 时，y 0, 曲线是凹的； 当 x (0,) 时，y 0, 曲线是凸的；
(2) y 12 x 3 12 x 2 ,
(3) 令 y 0, 得x1 0, x2 ; 3 (4) 列表考察 y 的符号：
2 y 36 x 2 24 x 36 x( x ); 3 2
x
y
(,0) 0
2 (0, ) 3
0
拐点 (0,1)
2 3
x 0 0
曲线的凹凸与拐点概述课件
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
曲线的凹凸性与拐点
x
y′′
( −∞ , 0)
0
1 (0, ) 4
1 4
1 ( , + ∞) 4
＋
不存在
拐点(0,0)
－
0
1 1 拐点( , f ( )) 4 4
＋
y
1 内是上凹的; 结论: 结论: 曲线在 ( −∞ , 0) ∪ ( , +∞ ) 内是上凹的; 曲线在 4
1 1 3 ( 0 , ) 内是下凹的; 拐点为(0, 0)和 ( , − 内是下凹的; 拐点为 ). 和 3 4 4 16 16
曲线上任意一点( x0 , f ( x0 ))的切线方程为,
y= ƒ(x)
y = f ( x0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 )
a o
•
• }( x, y) •%%
x x 设( % , f ( % ))为曲线上的另一个任意点, 则
x 由f ( x )在 x0 与 % 之 间满足拉 格朗日 中值定 理
o y
y=ƒ(x)
x
x1 + x2 1 ) > (或 <) [ f ( x1 ) + f ( x2 )] ∀x1 ≠ x2 ∈ (a, b), 均有 f ( 2 2
凹的. 则称曲线在该区间内是下 (上)凹的.
4
y
1 [ f (x )+ f (x2)] 2 1
y
A
• •
y = ƒ(x)
y = ƒ(x)
Q f ′′( x ) > 0, f ′( x )在 (a, b) 内单调增加
∴ 由 ∆ x < 0知 , 有 f ′ ( x 0 + θ ∆ x ) − f ′ ( x 0 ) < 0
曲线的凸凹性与拐点课件
凸函数的性 质
凸函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x_1, x_2 \in I$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
凸函数的性质还包括
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x \in I$， 都有$f(\frac{x + x}{2}) \leq f(x)$。
定义
对于函数$f(x)$，如果$f''(x_{0})=0$ 且$f'(x_{0})\neq 0$，那么点 $(x_{0},f(x_{0}))$称为函数$f(x)$的拐 点。
拐点的求法
求解方法一
直接求解法。通过观察函数的导数形式，确定导数在某一点为零，然后进一步求 解二阶导数在该点的值，判断其是否为零。
VS
极值的意义
极值反映了函数在某一点附近的变化情况， 是局部的、暂时的最大值或最小值。
极值的求法
01
02
03
04
判断函数的单调性
根据导数与函数单调性的关系， 判断函数在某区间内的单调性，
寻找极值点。
求导数
根据函数表达式求出导数，并 找到导数为零的点。
判断导数的符号
判断导数在零点附近的符号变 化，以确定极值的存在性。
凹函数的几何特征
曲线开口向下，即函数图像是向内凹的。
凹函数的性 质
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$。
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $\frac{f(x_{1})}{x_{1}} \leq \frac{f(x_{2})}{x_{2}}$。
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是连续曲线 y f ( x)的拐点.
练习：讨论曲线 y (x 1)3 x5 的凹凸性与拐点.
解 函数的定义域为 (,) ．
由于
y
x
8 3
5
x3
，
y
8 3
5
x3
5 3
2
x3
,
y
40 9
x
2 3
10 9
1
x3
10 9
4x
3
练习: 作函数 (x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 D : (,), W : 0 ( x) 1 0.4.
2
偶函数,图形关于y轴对称.
( x)
x
x2
e 2,
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
2
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)( x 1), f ( x) 2(3x 1). 令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1.
3 令 f ( x) 0, 得特殊点 x 1 .
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间 断 点
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A (1,2),
作图
B (1,6),
C (2,1).
y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
x
2
A
(3)确定每个部分区间内 f (x)和 f (x)的符号.由此确定图 形的升降和凹向,极值点和拐点；
(4)确定图形的水平,垂直渐近线及其他变化趋势；
(5)算出 f (x) 0和 f (x)的根所对应函数值.定出图形上 相应的点.
例1
作函数
f
(
x)
4(
x x2
1)
2
的图形.
解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
0）和
(
1 4
,
16
3
3
16 ) .
第六节 函数图形的描绘
一： 曲线的渐近线 1. 水平渐近线
定 义 1 若 自 变 量 x ( 有 时 仅 当 x 或
x ) 时 , 函 数 f (x) 以 常 数 C 为 极 限 , 即
lim f x C ,则直线 y C 叫做曲线 y f (x) 的水平渐 x
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性.
解 y 3x2 , y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的；
注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
2 曲线的拐点
定义 3 连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界
点叫做曲线的拐点.
y
问题:如何表示曲线的弯曲方向?
C B
f (x ) f (x )
y
1
2
2
y f (x)
f ( x1 )
f (x2 ) f ( x1 x2 )
2
o
x1
x1 x2 2
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
A
o
x
y
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 )
2
f ( x1 )
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
例3 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
3
y
4
x
5 3
,
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的;
在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的. 点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
第
y
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
C B
A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o
x
o
x
观察下图 ,理解定义
定义 1 如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点处 切线的上方, 则称此曲线弧在该区间内是凹的,此区间 称为凹区间；如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一 点处切线的下方, 则称此曲线弧在该区间内是凸的,此 区间称为凸区间.
0
极小值
0
C (3,5) 28
A (1,0)
1
1 o 1
1
3
3
x 返回
求函数拐点的步骤：
(1)求 f (x)
(2)令 f (x) 0,解出这方程在区间a,b内的实根
x 0
；
求 f (x)不存在的点
x 0
；
(3)在点
x 0
的左右两侧,检查
f
(x)
在
x 左右两侧附近 0
的符号：如果 f (x)的符号相反,则点(x , f (x ))就是拐点；
0
0
如果 f (x)的符号相同, 则点(x , f (x ))就不是拐点.
0
0
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x2 24x 36x(x 2)
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x (,0)
0 (0, 2 3)
2 3
(2 3 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 凹的
拐点
拐点
(0,1) 凸的 (2 3 ,1127)
近线.
例如： lim arctan x ,lim arctan x
x
2 x
2
y 和 y 是曲线 y arctan x 的两条水平渐近
2
2
线.
1.2垂直渐近线
定义 2 若当自变量 x x (有时仅当 x x 或
0
0
x x )时, 函数 f (x)为无穷大量,即lim f x ,则
0
xx0
直线 x x 叫做曲线 y f (x)的垂直渐近线. 0
例如：lim ln(x 1) x 1 x 1是曲线 y ln(x 1)的垂直渐近线.
作函数图形的一般步骤 (1)确定函数 y f (x)的定义域,求出 f (x)和 f (x)；
(2)求 f (x) 0和 f (x) 0在定义域内的全部实根.用这 些根把定义域分成几个部分区间；
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
极大值
1
2
0
拐点
(1, 1 ) 2e
y1
2
1
o
1
x
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
和
(1 4
,)
内是凹的
,
在
内
(0,
1 4
)
是凸的；由于
y x0
0，
y
x1 4
16
3
3
16 ，故曲线
的拐点（0,
f
(
x)
4(
x x3
2)
,
f
(
x)
8(
x x4
3)
.
令 f ( x) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x) 0, 得特殊点 x 3.
lim
x
f
(
x)
lim[
x
4(
x x2
1)
2]
2,
得水平渐近线 y 2;
lim
x0
f
(x)
lim[