CT影像教程

D f ( y ( q ), ( s , x , )) | q s
1 sin
d ds
e(s, x) (s, x) u (s, x)
( s , x , ) cos ( s , x ) sin e ( s , x )
(From G. Wang)
Noo’s Short-Scan (2002)
Integral on any line through a region
(From G. Wang)
我国CT的发展

1）85年第二代CT,上海计算技术研究所等 2）安科公司 3）Siemens 4） GE

5)中国人有才智、有能力造好CT。
Defrise M.Clark R.(1994)-- Reconstruction Algorithm

CT重建算法

近似重建算法 迭代重建算法 精确重建算法


Tam-Danielsson Geometry
Detector surface is limited to a cylindrical section between two consecutive helical turns Every point is on one and only one PI-line
先设φ为离散取值， 1则投影为
p ( x r ) p ( x r , 1 )
1


f r ( xr , yr )dyr
1


( xr , yr )dyr



( x r ) ( y r ) d y r ( x r ) | r co s 1

m0

pm[r cos( m )]
一般地，r cos( m ) nd 故 pm[r cos( m )] 不能直接得到，须内插。
内插
内插方法
1.紧邻内插:在 m m 时，若
r co s( m ) n d r co s( m ) ( n 1) d
1.16
0.06 0.5
3
1.66 1
2
1.33 0.33
1.16
0.16 0.83
再除以投影线数，平均化
断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经 过该点的射线投影之和的平均值
星状伪迹
0 0 0 0 0 5 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0.83 1.16 1 3 0.33 2 0.5 1.16
则以 ( m , n d ) 中的内容 p m ( n d ) 直接代替 p m [ r co s( m )] 。否则，用 p m [( n 1) d ] 代替
p m [ r co s( m )]
2.线形内插：如果 n d r co s( m ) ( n 1) d ，则
在输入图像为点源的情况下，由式(4.10)及式(4.13)可得
h r , 1

1

1


0
r co s d
1 1 1
1


2

0
0
r sin 0
d
r sin 0
r
投影
投影
投影
投影
投影
投影
投影
投影



月食、日食 日晷（计时） 几何投影，坐标分量（位臵） 魔术 电影 猴子捞月 杯弓蛇影 顾影自怜 希腊美少年 Narcissus（水仙） narcissi（自恋）
投影
投影
投影
经典断层成像
投影

根据反投影重建的定义式，点 x r , y r 的图像在所述坐 标系统表示为
f ( r , ) f r xr , y r 1 N 1 N

N
p 1
i 1
i
xr


N
i 1
p r co s i i


N
i 1
Perfect Mosaic
Tam, Samarasekera, Sauer: Exact cone-beam CT with a spiral scan, Phys. Med. Biol. 43:847-855, 1998 Kudo, Noo, Defrise: Cone-beam filtered-backprojection algorithm for truncated helical data, Phys. Med. Biol. 43:2885-2909, 1998
3 4
6
算法举例


根据反投影算法 x1=p5 = 5 3 4 x6=p2+p3+p5=18 … 6 平均化处理，除以投 影线数目 xi=xi/6
5
0
0 0 0
2
0
5 1 0
1
0
2 0 0
0
0 0 0
5 7 1
6 18 10
2 12 8
3 7 1
3
6
2
5
原像素值
0.83 1 0.33
反投影重建后
00.5
Cone-Beam Geometry
Z
Y
X
螺旋锥形束CT
(From G. Wang)
心脏成像
动态成像
4D CT
4D CT
4D CT 检测器
Multi-source cone-beam CT
Detector
Source
(From G. Wang)
小动物成像 Micro-CT

The possible structures satisfying the conditions are:
Completeness Conditions for ConeBeam CT

Works on Cone-Beam CT

Kirillov A.A. (1961)—Completeness condition Tuy H.K. (1983)-- Completeness condition Feldkamp L.A.(1984)---Practical,Incomplete projection Smith B.D.(1985)-- Completeness condition Grangeat P.(1987)—Reconstruction Algorithm Ge Wang .(1991)—Reconstruction Algorithm Kudo H. Saito T.(1991,1994)– Reconstruction Algorithm
正弦图
反投影重建算法的实现


正弦图中，射线位臵用 ( , x r )描述，扫描操作由角增量 Δ，步距d步进；若正弦图的Δ，d不是足够小，图中的 某些点 ( r , ) 可能找不到一点（mΔ，nd）与其对应； 若令Фi＝ m Δ，那么，
m M 1
f (r , ) 1/ N
Pi-Line
Tam: Three-dimensional computerized tomography scanning method and system for large objects with smaller area detector. US Patent 5,390,112, 1995
1 x y
2 2

* *q x , y ( x , y )
反投影重建算法的数学描述
•
＊＊表示二维卷积，对上式取二维傅立叶变换 得 1

2 2
Q , 1
•
或
Q ,

2
2

•
这是一只二维滤波器，实现起来比较麻烦．若 ρ的变换范围可扩至∞，根本不能实现，但不管 怎样，它提供了去除星状伪迹的一个努力方 向．
投影
通缉令
谁先匹配准，奖励20万
投影
反投影重建算法
反投影重建算法的一般步骤：
原像 重建后图像
取投影
反投影重建
反投影重建算法的物理概念
投影重建算法的基本内容： “断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经 过该点的射线投影之和（的平均值）”。
xk
1 np

np
pk , i
i 1
式中xk表示象素的值，pk,i为经过象素的第i条射线投影。 可以这样理解：
p

f ( x, y, z )dl
l
其中f(x,y,z)是身体组织密度。
算法举例
5 2 1
p1 x 3 x 7 x11 x15 2
p2 p3 p4 p5 p6

x 2 x 6 x1 0 x1 4 6 x5 x 6 x 7 x8 7 x 9 x 1 0 x1 1 x1 2 1 x1 x 6 x11 x16 5 x 4 x 7 x10 x13 3
0.06
0.5
1.66
1
1.33
0.33
0.16
0.83
原像素值
再除以投影线数，平均化

反投影重建后，原来为0的点不再为0，形成伪迹
星状伪迹

我们考虑孤立点源反投影重建， 中心点A经n条投影线投影后，投 影值均为1： p1=p2=...=pn=1 因此重建后
fA 1 n ( p 1 p 2 ... p n ) 1
0 0 0
0 1 0
0 0 0
而其他点均为1/n 这类伪迹成为星状伪迹
1/n 1/n 1/n
1/n
1
1/n
1/n 1/n 1/n
星状伪迹

产生星状伪迹的原因在于：反投影重建的本质 是把取自有限物体空间的射线投影均匀地回抹 (反投影)到射线所及的无限空间的各点之上， 包括原先像素值为零的点
反ຫໍສະໝຸດ Baidu影重建算法的数学描述
我们设臵一旋转坐标系统Xr-Yr,它绕原点转动使投影线总 是沿着Yr方向。Xr-Yr的原点与X-Y的原点相重。两者的夹 角为φ，不同的φ代表不同的投射方向。投影线的位臵可由 (Xr,φ)完全确定。空间的任一点的位臵可用(X,Y), (Xr,Yr)或 极坐标(r,θ)表出。
反投影重建算法的数学描述

Completeness Condition ： If on every plane that intersects the object there exists at least one cone-beam source point,then one can reconstruct the object. (B.D.Smith1985)

x y
2
反投影重建算法的数学描述


可见，反投影重建算法相应的系统的扩展函数不是δ函 数，系统不是完美的．式定量地描述了反投影重建算 法星状伟迹的本质． 要除去反投影算法的星状伪迹，我们可以在输出端加 一滤波器，使加了滤波器后的反投影重建成像系统PSF ＝δ(x,y).使滤波器的PSF为q(x,y),相应的传递函数为 Q(ξ,η),这里 Q , F2 q x , y 我们要求：
(From G. Wang)
Katsevich Theorem (2002)
y (s2 )
e
y ( s1 )
u (s, x)

Object f ( x )
y ( s0 )
( s0 , x )
Source
Pi-Line
Detector Plate
f (x)
1 2
I PI

1
2
| x y (s) | 0 q (x)
正弦图

反投影重建算法要求对任一点 ( r , ) ，找出经过该 点的所有射线，从而求得过该点的射线投影的均值。 从图中可以看出，过给定点的射线 都在以r为 ( xr , ) 1 ( r , ) 直径，以 为圆心的圆周上，即
x r r co s( )
2
正弦图
正弦图

在 ( , x r ) 空间中，在给定 ( r , ) 情况下， 我们得到的是一条正弦曲线。图像中的 每一点，对应于空间中的一条正弦曲线， 全部图像对应于一簇正弦曲线族，这就 是正弦图。
p r co s i i
式中， / N , N 为投影数
反投影重建算法的数学描述
若在有限区间内射线增至不相重的无限条，即连续投影， 则式(4.12)过渡到更一般的连续情况下的反投影表达式：
f
r ,
1



0
p r co s d