高中数学必修1基本初等函数常考题型_指数函数和性质

指数函数及其性质
【知识梳理】
1．指数函数的定义
函数x
y a =(0a >且1a ≠)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2．指数函数的图象和性质
1a > 01a <<
图 象
性 质
定义域
R
值域 ()0,+∞
过定点 过点()0,1即x =0时，y =1
单调性
是R 上的增函数
是R 上的减函数
【常考题型】
题型一、指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数：
①23x
y =⋅；②13x y +=；③3x y =；④3
y x =.
其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
(2)函数()2
2x
y a a =-是指数函数，则( ) A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a =
D ．0a >且1a ≠
[解析] (1)①中，3x
的系数是2，故①不是指数函数；
②中，1
3
x y +=的指数是1x +，不是自变量x ，故②不是指数函数；
③中，3x
y =的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x
一项，故③是指数函数；
④中，3
y x =中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．
(2)由指数函数定义知()2
21
01
a a a ⎧-=⎪⎨>≠⎪⎩且，所以解得3a =.
[答案] (1)B (2)C 【类题通法】
判断一个函数是否为指数函数的方法
判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数0a >，且1a ≠. (2)x
a 的系数为1.
(3)x
y a =中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． 【对点训练】
下列函数中是指数函数的是________(填序号)．
①2x
y =⋅
；②12x y -=；③2x
y π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；④x y x =；
⑤1
3y x
=-；⑥1
3y x =.
解析：
①中指数式
x
的系数不为1，故不是指数函数；②中1
1222
x x y -==
⋅，指数式2x
的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
答案：③
题型二、指数函数的图象问题
【例2】 (1)如图是指数函数①x
y a =，②x
y b =，③x
y c =，④x
y d =的图象，则a ，
b ，
c ，
d 与1的大小关系为( )
A ．1a b c d <<<<
B ．1b a d c <<<<
C ．1a b c d <<<<
D ．1a b d c <<<< (2)函数3
3x y a
-=+(0a >，且1a ≠)的图象过定点________．
[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.
过点()1,0作直线1x =，如图所示，在第一象限直线1x =与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1d c <<，1b a <<，从而可知a ，b ，c ，d 与1的大小关系为
1b a d c <<<<.
(2)法一：因为指数函数x
y a =(0a >，且1a ≠)的图象过定点()0,1，所以在函数
33x y a -=+中，令3x =，得134y =+=，即函数的图象过定点()3,4．
法二：将原函数变形，得3
3x y a
--=，然后把3y -看作是()3x -的指数函数，所以当
30x -=时，31y -=，即3x =，4y =，所以原函数的图象过定点()3,4．
[答案] (1)B (2)()3,4 【类题通法】
底数a 对函数图象的影响
(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当1a >时，指数函数的图象“上升”；当01a <<时，指数函数的图象“下降”．
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是1a >，还是01a <<，在第一象限底数越大，函数图象越靠近y 轴．
当1a b >>时，
①若0x >，则1x
x
a b >>；
②若0x <，则10x
x
b a >>>.
当10a b >>>时，
①若0x >，则10x
x
a b >>>；
②若0x <，则1x
x
b a >>.
【对点训练】
若函数()1x y a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象不经过第二象限，则有( ) A ．1a >且1b < B ．01a <<且1b ≤ C ．01a <<且0b >
D ．1a >且0b ≤
解析：选D 由指数函数图象的特征可知01a <<时，函数()1x y a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象必经过第二象限，故排除选项B 、C.又函数()1x
y a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象不
经过第二象限，则其图象与y 轴的交点不在x 轴上方，所以当0x =时，()010y a b =+-≤，即0b ≤，故选项D 正确.
题型三、与指数函数有关的定义域、值域问题
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y =(2)1
4
2
x y -=；(3)23y ⎛= ⎪
⎝⎭
.
[解] (1)要使函数式有意义，则130x
-≥，即0
313x
≤=， 因为函数3x
y =在R 上是增函数，所以0x ≤，
故函数y (],0-∞．
因为0x ≤，所以031x
<≤，所以0131x
≤-<，
[)0,1，即函数y [)0,1．
(2)要使函数式有意义，则40x -≠，解得4x ≠，所以函数14
2
x y -=的定义域为
{}R 4x x ∈≠．
因为
1
04
x ≠-，所以1
421x -≠，即函数142x y -=的值域为{}01y y y >≠且．
(3)要使函数式有意义，则0x -≥，解得0x =，所以函数
23x
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭的定义域为
{}0x x =．而23x
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
0213⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，则函数23x
y -⎛⎫= ⎪
⎝⎭的值域为{}
1y y =．
【类题通法】
指数型函数的定义域、值域的求法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是x
y a =型还是()
f x y a
=型，前者
的定义域是R ，后者的定义域与()f x 的定义域一致，而求()x y f a =型函数的定义域时，
往往转化为解指数不等式(组)．
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为()0,+∞，切记准确运用指数函数的单调性．
【对点训练】
求函数223
12x x y --⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的定义域和值域．
解：定义域为R .
∵()2
2
23144x x x --=--≥-，∴223
12x x --⎛⎫
⎪
⎝⎭
4
1162-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
　.
又∵223
102x x --⎛⎫
> ⎪
⎝⎭
，∴函数223
12x x y --⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的值域为(]0,16．
【练习反馈】
1．已知10n m >>>，则指数函数①x
y m =，②x
y n =的图象为( )
解析：选C 由于01m n <<<，所以x
y m =与x
y n =都是减函数，故排除A 、B ，作直
线1x =与两个曲线相交，交点在下面的是函数x
y m =的图象，故选C.
2．若函数()12x
y a =-是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值围为( )
A.1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭ B ．(),0-∞
C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D.11,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数121a ->，解得0a <.
3．指数函数()y f x =的图象过点()2,4，那么()()24f f ⋅=________. 解析：设()x f x a =(0a >且1a ≠)， 又()2
24f a ==，
∴()()2
4
2
3
2444464f f a a ⋅=⋅=⋅==.
答案：64
4．函数()113x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，[]1,2x ∈-的值域为________．
解析：∵12x -≤≤，∴11393x
⎛⎫
≤≤ ⎪⎝⎭
.
∴811293x
⎛⎫
-≤-≤ ⎪⎝⎭
.
∴值域为8,29⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
答案：8,29⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
5．已知函数()1
x f x a -=(0x ≥)的图象经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，其中0a >且1a ≠.
(1)求a 的值；
(2)求函数()y f x =(0x ≥)的值域． 解：(1)因为函数图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以2112a -=
，则12
a =. (2)()1
12x f x -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
(0x ≥)，
由0x ≥得，11x -≥-，
于是1
1
110222x --⎛⎫
⎛⎫
<≤= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
. 所以函数的值域为(]0,2．。