数理统计的基本概念
概率与统计学课件-第六章-数理统计的基本概念2-1
�总体与样本
基本概念: 总体：研究的问题所涉及的对象的全体 个体：总体中的每个成员 样本：从总体中抽取部分个体 样本容量：样本所包含的个体数量 样本观测值：
数的属性 样本的二重性 随机变量的属性
设X1,X2, …,Xn为总体X的一个容量为 n的 样本。若它满足 独立性，即X1,X2, …,Xn 相互独立； 同分布性，即每个 Xi都与总体X服从相 同的分布. 则称这样的样本为简单随机样本，简称为 样本。
�统计量
设是总体X的样本，g(X1,X2, …,Xn)是样本 的实值函数，且不包含任何未知参数，则 称g(X1,X2, …,Xn)为统计量。
例2.若X1,X2, X3是来自总体X~N(μ, σ 2)的 其中参数μ未知， σ2已知，则
X 1 X 3 − 3µ , X12 + 4 X 22 + 5µ 都不是统计量
�定理
若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本，设X 的分布函数为 F(x)，则样本X1,X2, …,Xn的 联合分布函数为
n
∏ F (x )
i i =1
例1.若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本，设 X的分布函数为 F(x)，则样本 X1,X2, …,Xn的联合分布函数为
⎧ n − λ xi (1 − e ), xi > 0(i = 1, 2,⋯ , n) ⎪∏ F ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = ⎨ i =1 ⎪ 0 , 其他 ⎩
1/8， 25 ≤ x<27 2/8， 27 ≤ x<30 3/8， 30 ≤ x<33 Fn(x)= 5/8， 33 ≤ x<35 6/8， 35 ≤ x<45 7/8， 45 ≤ x<65 1， 65 ≤ x
第六章 数理统计的基本概念pdf_(一)基本要求
.第六章 数理统计基本概念
一、基本要求、重点与难点
（一）基本要求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念。掌握样本均值和样本 方差的计算。
（2）设 X ~ χ 2 (n) ，则 E(X)=n，D(X)=2n .
若 X ~ χ 2 (n) ，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P( X > χα2 (n)) = α的点χα2 (n) 为 χ 2 (n) 分布的
上侧α 分位点。当 n>45 时，R.A.Fisher 证明了下面的近似公式
( ) χα2
(n)
≈
1 2
uα +
2
2n −1 ,
其中 uα 为标准正态分布的上侧α 分位点。
2、 自由度为 n 的 t 分布：
定义设 X1, X2 独立，X1～N(0,1)， X2～ χ 2 (n) ，则称
T (n) = X1 X 2 n
的分布是自由度为 n 的 t 分布,简记为 t(n) ，亦称为学生（student）分布。这种分布是英国人 w.s.Gosset 在 1908 年以笔名”student”发表的，它是数理统计中最重要的分布之一。 命题 设 T(n)是自由度为 n 的 t 分布，则它的概率密度函数为：
2．会列出分组数据统计表。 3．了解X2-分布、t-分布和F-分布的定义及性质。了解分位数的概念并会查
表计算。 4．掌握正态总体的抽样分布规律。
（二）重点
1．样本均值和样本方差的计算。 2．分组数据统计表。 3．正态总体的抽样分布规律。
数理统计
四、数理统计的基本概念 五、参数估计
四、数理统计的基本概念
1. 总体和样本 总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体：总体中的每个元素为个体。 容量：总体中所包含的个体的个数。 按此分为有限总体和无限总体。 例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每 一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高 的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。
1 ˆ 解得： n
2
x
i 1 n
n
i
x
1 ˆ n
i 1
( X i X )2
(3)估计量的评选标准
1) ˆ ˆ 无偏性：若 ( X 1 , , X n )的数学期望存在， ˆ ˆ 且E . 则称是的无偏估计量。
2)
ˆ ˆ ˆ ˆ 有效性：若1 1 ( X 1 , , X n )， 2 2 ( X 1 , , X n ) ˆ ˆ 都是的无偏估计量；若D( ) D( ).
ˆ 所以 A1 X ,
ˆ A2
2 2 A1
1 n
i 1
n
X i2
1 X n
2
i 1
n
( X i X )2
(2) 极大似然估计法
(1).若总体X属离散型，其分布律 { X x} p( x; ), P 的形式为已知， 为待估参数，是可能取值的范围。
解：X的概率密度为： 1 1 2 f ( x; , ) exp{ (x )2} 2 2 2
似然函数为：
L( , )
2
2 2 2 i 1 n n 1 ln L ln(2 ) ln( ) 2 2 2 2
数理统计基本概念
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;
数理统计的基本概念
第6章
§6.1-6.2
第10页
设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单随机样本 1 n 1.样本均值: X X i 常用于估计总体分布的均值，或 检验有关总体分布均值的假设。 n i 1
n 1 2 S2 ( X X ) 2.样本方差： i n 1 i 1
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第6章
§6.1-6.2 §6.1 样本及抽样分布
第3页
数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断
6.1.1 总体、个体与样本
1. 总体：研究对象的全体称为总体（母体）,用X表示， 它是一个随机变量. 总体分为有限总体和无限总体. 个体：组成总体的每个研究对象称为个体.
i 1 i 1
i
ki !
e
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结束
第6章
§6.1-6.2
第8页
3 加工某零件时，每一件需要的时间服从均值为1 / 的 指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n件 零件构成一个容量为n的样本,求样本分布.
解：零件的加工时间为总体X，则X ~ E ( ), 其概率 e x x0 密度为 f ( x) x0 0 于是样本( X 1 , X 2 , X n )的密度为 f ( x1 , x2 , xn )
样本容量为5
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第6章
§6.1-6.2
第5页
样本是随机变量. 抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1, X2, …, Xn). 一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
数理统计的基本概念
样本k阶原点矩 样本 阶原点矩 样本k阶中心矩 样本 阶中心矩
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1 Ak = n 1 Bk = n
∑ ∑
n
n
i =1
X ik ( k = 1, 2 , L )
i =1
( X i − X ) k ( k = 1, 2 , L )
概率论与数理统计
说明 (修正 样本方差还可表示为 修正)样本方差还可表示为 修正
n 1 S2 = [ ∑ X i2 − n X 2 ] n − 1 i =1
1 n 推导】 【推导】 S 2 = ( X i − X )2 ∑ n − 1 i =1 = = = =
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1 n ( X i2 − 2 X i X + X 2 ) ∑ n − 1 i =1 n n n 1 [ ∑ X i2 − 2 X ∑ X i + ∑ X 2 ] n − 1 i =1 i =1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 − 2 n X 2 + n X 2 ] n − 1 i =1 n 1 [ ∑ X i2 −n X 2 ] n − 1 i =1
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
做法
从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、 从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男
生),测试其所需数据(寿命、身高),最后对所得数据通过 ),测试其所需数据 寿命、身高), 测试其所需数据( ),最后对所得数据通过 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、 整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身 高)的分布情况,从而了解整体情况. 的分布情况,从而了解整体情况. 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X 一般,我们所研究的总体的某项数量指标X是一个随 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此, 机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此,对总体的研 究,就是对相应的随机变量X的研究。 就是对相应的随机变量X的研究。 今后,我们称X 今后,我们称X的分布函数和数字特征分别为总体的 分布函数和数字特征, 分布函数和数字特征,并不再区分总体与相应的随机变量 X.对总体的称呼 总体,总体X 总体F X.对总体的称呼:总体,总体X与总体F. 对总体的称呼:
第六章 数理统计的基本概念
1 n 2 S S ( X X ) i n 1 i 1
2
(4) 样本k阶(原点)矩
1 n k Ak X i n i 1
k 1, 2,
k 2,3,
(5) 样本k阶中心矩
1 n Bk ( X i X )k n i 1
§2
常用统计量的分布
统计量的分布称为抽样分布.下面介绍三种由 正态总体演化而来的统计量的分布：
• 从二战后到现在，是统计学发展的第三个时期，这是一个在 前一段发展的基础上，随着生产和科技的普遍进步，而使这 个学科得到飞速发展的一个时期，同时，也出现了不少有待 解决的大问题．
学科奠基者
数理统计作为一个进一步完善的数学学科的奠基者是英国人费歇尔。他1909 年入剑桥大学，攻读数学物理专业，三年后毕业。毕业后，他曾去投资办工 厂，又到加拿大农场管过杂务，也当过中学教员。1919年，他开始对生物统 计学产生了浓厚的兴趣，参加罗萨姆斯泰德试验站的工作，致力于数理统计 在农业科学和遗传学中（费歇尔1890—1962）的应用研究。 年轻的费歇尔主要的研究工作是用数学将样本的分布给以严格的确定。 在一般人看来枯燥乏味的数学，常能带给研究者极大的慰藉，费歇尔热衷于 数理统计的研究工作，后来的理论研究成果有：数据信息的测量、压缩数据 而不减少信息、对一个模型的参数估计等。 最使科学家称赞的工作则是试验设计，它将一切科学试验从某一个侧面 “科学化”了，不知节省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效。 费歇尔培养了一个学派，其中有专长纯数学的，有专长应用数学的。在30－ 50年代费歇尔是统计学的中心人物。1959年费歇尔退休后在澳大利亚度过了 最后三年。
若 x1 , x2 , , xn 是样本的观察值, 则 g ( x1 , x2 , xn ) 是 g ( X 1 , X 2 , X n )
数理统计基本概念
1 1 n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
定理 5 (两总体样本方差比的分布)
且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, ), Y ~ N ( 2 , )， X1, X2,…, X n1是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体.
二、统计量和抽样分布 1. 统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本 值进行“加工”，这就要构造一些样本的 函数，它把样本中所含的（某一方面）的 信息集中起来.
这种不含任何未知参数的样本的函数 称为统计量. 它是完全由样本决定的量.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机 变量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单 随机样本，它可以用与总体独立同分布的 n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示.
若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机 样本的联合分布函数为 F(x1) F(x2) … F(xn) 简单随机样本是应用中最常见的情 形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某 总体的样本”时，若不特别说明，就指简 单随机样本.
数理统计的基本概 念
一、总体和样本
1.总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
然而在统计研究中，人们关心总体仅仅 是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标 和该数量指标在总体中的分布情况. 这时， 每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.
数理统计的基本概念
证明:设F~F(n1,n2),则
P{F F1 (n1 , n2 )} 1
1 1 P{ } 1 F F1 (n1 , n2 ) 1 1 P{ } F F1 (n1 , n2 )
得证!
1 P{ F (n2 , n1 )} F
5.1.4 统计量及抽样分布
2. F分布的分位点 对于：0<<1，
若存在F(n1, n2)>0，
满足
P{FF(n1, n2)}=， 则
称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点；
F (n1 , n2 )
注：
1 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
列出其频数频率分布表。
组序 分组区间 组中值 1 (147，157] 152 2 (157，167] 162 3 (167，177] 172 4 (177，187] 182 5 (187，197] 192 合计
频数 4 8 5 2 1 20
频率 累计频率(%) 0.20 20 0.40 60 0.25 85 0.10 95 0.05 100 1
1、设X 1 , X 2 ,
, X n (n 2)为来自总体N (0,1)的简单随机样本， (n 1) X 12
2 X i i 2 n
X 为样本均值，S 2为样本方差，则统计量
服
从 __________ 分布。 (05—06二）
2、设 X 1 , X 2 , X 3是来自正态分布 N (0, 2 )总 体的简单随机样本，则 统计量 2 服从 ________ 分布。（05—06三） X1 X X
3.总体、样本、样本观察值的关系 总体
第五章 数理统计的基本概念
线性无偏估计量
定义：如果总体参数的 点估计 满足 （ 1 ） 是样本的线性函数； （2）E
最小方差线性无偏估计量
定义：如果总体参数的 点估计 满足 （ 1 ） 是样本的线性函数； （2）对 的一切线性无偏估计量 0，D D 0
定理 (R-C不等式)
设总体X具有分布密度f ( x; )。抽取样本( x1 ,..., xn )， 设g ( )为 的一个可估函数，T T ( x1 ,..., xn )为g ( ) 的一个无偏估计量，且 满足正则条件
• 若12， 22已知
（X Y） ( 1 2 ) U ~ N (0,1)
2 1
n
2 2
m
• 若12， 22未知，但是12= 22
T （X Y） ( 1 2 ) ~ t (m n 2)
12
m
2 2
n
mS12
12
2 nS2 2 2
T
（X Y） (1 2 ) 1 1 2 mS12 nS2 /(m n 2) m n
~ t (m n 2)
推论：设( X 1 ,..., X n )和(Y1 ,..., Ym )分别为来自
2 2 正态总体N ( 1 , 1 )和N ( 2 , 2 )的两个相互
独立的样本，则随机变量
F
2 若 1 2 2
2 2 Sm / 1 2 Sn 2 / 2
~ F (m 1, n 1)
F
2 Sm 2 Sn
~ F (m 1, n 1)
第六章 参数估计
第一节 点估计
• 定义：设为总体分布中的未知参数，从X 中抽取样本 (x1,…,xn) ，构造适当的统计量 (x1,…,xn)， 估计 (以的值作为的近似)， 这种方法称为参数的点估计。 • 统计量称为的点估计量； • 对于一组样本观测值 (x1,…,xn) ，该统计量 相应的值(x1,…,xn)称为的点估计值 • 的点估计量和点估计值简称为的点估计。
数理统计的基本概念
另一类是研究如何分析所获得的随机数据，对所研究 的问题进行科学的、合理的估计和推断，尽可能地为 采取一定的决策提供依据，作出精确而可靠的结论. 这部分的内容称为推断统计学，如：参数估计、假设 检验等。
我们主要讨论有关推断统计学中几个最基本的 问题。
在数理统计中总体X的分布永远是未知的，即使 有足够的理由可以认为总体X服从某种类型的分布， 但这个分布的参数还是未知的。
例如本市家庭的月收入X是个随机变量，X服从什么
分布事先是不清楚的，根据资料可确信 X ~ N , 2 .
但 , 2 究竟取什么值还是未知的，
由于总体X的分布是未知的，因此X的数字特征如 均值、方差等往往也是一个未知的值。对于这些未知
不过在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心
其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布
情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
称总体中所含个体的数目为总体容量, 总体容量有限的称为有 限总体, 总体容量无限的称为无限总体.
当个体个数很大时通常把有限总体看作无限总体。
从另一方面看： 统计的任务,是根据从总体中抽取的样本, 去推断总体的性质. 由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重， 灯泡的寿命,汽车的耗油量…)， 所谓总体的性质，无非就是这 些指标值集体的性质. 概率分布是刻划这种集体性质最适当的工具. 因此在理论上可 以把总体与概率分布等同起来. 如研究某批灯泡的寿命时, 关心的数量指标就是寿命, 那么, 此 总体就可用描述其寿命的随机变量 X 或用其分布函数 F(x)表示.
一个统计量.
ex1.设 X1, X 2, X3 是取自正态总体 X ~( , 2) 的一个样本,
数理统计的基本概念
数理统计的基本概念第6章数理统计的基本概念6.1 内容框图6.2 基本要求（1）理解总体、样本及统计量的概念，并熟练掌握常⽤统计量的公式.（2）掌握矩法估计和极⼤似然估计的求法，以及估计⽆偏性、有效性的判断. （3）掌握三⼤抽样分布定义，并记住其概率密度的形状.（4）理解并掌握有关正态总体统计量分布的⼏个结论，如定理6.4~6.9及定理6.11.6.3 内容概要1) 总体与样本在数理统计中，我们把作为统计研究对象的随机变量称为总体，记为ξ，η，… 。
对总体进⾏ n 次试验后所得到的结果，称为样本，记为（n X X X ,,,21 ），（n Y Y Y ,,,21 ），……，其中，试验次数 n 称为样本容量。
样本（n X X X ,,,21 ）中的每⼀个 i X 都是随机变量。
样本所取的⼀组具体的数值，称为样本观测值，记为总体与样本统计量点估计矩阵估计常⽤统计量定义统计量的分布正态总体统计量的分布极⼤似然估计点估计的评价三⼤抽样分布（n x x x ,,,21 ）。
具有性质：（1）独⽴性，即 n X X X ,,,21 相互独⽴。
（2）同分布性，即每⼀个 i X 都与总体ξ服从相同的分布。
称为简单随机样本。
如果总体ξ是离散型随机变量，概率分布为 }{k P =ξ，那么样本（n X X X ,,,21 ）的联合概率分布为∏∏=========ni i ni i in n x P x XP x X x X x X P 112211}{}{},,,{ξ。
如果总体ξ是连续型随机变量，概率密度为 )(x ?，那么样本（n X X X ,,,21 ）的联合概率密度为∏∏====ni i ni i X n x x x x x i1121)()(),,,(*??。
如果总体ξ的分布函数为 )(x F ，那么样本（n X X X ,,,21 ）的联合分布函数为∏∏====ni i n i i X n x F x F x x x F i 1121)()(),,,(* 。
数理统计
2
X ~ N (52 , 6.3 / 36)
2
P(50.8 X 53.8)
53.8 52 50.8 52 6.3 / 6 6.3 / 6 (1.7143) (1.1429) 0.8239
例3 设总体X 的概率密度函数为
数 理 统 计 的 分 类
—— 描述统计学 对随机现象进行观测、试验， 以取得有代表性的观测值 —— 推断统计学 对已取得的观测值进行整理、 分析,作出推断、决策,从而 找出所研究的对象的规律性
数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究怎样以有效的方式收集、整理和 分析带有随机性的数据，以便对所考察的 问题作出推断和预测，直至为采取一定的 决策和行动提供依据和建议.
样本 —— 从总体中抽取的部分个体.
用 ( X 1 , X 2 , , X n ) 表示, n 为样本容量.
称 ( x1 , x2 ,, xn )为总体 X 的一个容量为n的 样本观测值,或称样本的一个实现.
样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
总体、样本、样本值的关系 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的 、确定的值.如我们从某班大学生中抽取10 人测量身高，得到10个数，它们是样本取 到的值而不是样本.我们只能观察到随机变 量取的值而见不到随机变量.
1
1
(2)
E (S ) D( X ) E ( X ) 1 / 2.
2 2
(3) X ~ N (0,0.01) 由中心极限定理
近似
P( X 0.02) 1 P( X 0.02)
0.02 0 2 1 0.1 2
美国经济学家罗伯特 恩格尔
数理统计基本概念
S n2
1 C n2
i j
f (X i, X j)
1 ( X i X j )2 n ( n 1) i j
1 [ ( X i2 X 2 j ) 2 X i X j ] n ( n 1) i j i j 1 {( n 1) X i2 [( n X ) 2 X i2 ]} n ( n 1) 1 { X i2 n X 2 } n 1
22
(2) t分布
①定义1.2.3:设X~N(0,1), Y ( n) ,且X与Y独立, 则称随机变量 X T Y n 所服从的分布为t分布,记为T~t(n),称n为自由度.
2
(3)F分布
①定义1.2.4:设 X 2 (n) , Y 2 ( m ) , 且X与Y独立,则称随机变量
m0.25 Q1
第一四分位数 第三四分位数
17
m0.75 Q3
为该样本的 p 分位数(或 p 分位点).
m0.5 称为样本中位数, 显然有
Q1
Q3
18
3
2014-9-29
例2 设 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是 F(x) 的样本,
, 2
j
分别为总体均值与方差, 从中任选两个分量 X i 和 X 令
i 1 n
二、样本 为了推断总体分布及其各种特征，就必须从总体中 按一定法则抽取若干个体进行观测或试验，以获得 有关总体的信息 .这一抽取过程称为抽样 .所抽取的 部分个体称为样本,样本中个体的数目称为样本容量. 例如容量为n的样本可以看作是n维随机变量 ( X , X , , X ), 其观察值为( x1 , x2 , , xn ).
数理统计的基本概念
数理统计的基本概念
1. 总体和样本：总体是研究对象的全体，样本是从总体中选取的一部分。
2. 参数和统计量：参数是总体的性质，统计量是样本的函数，用来估计总体的参数。
3. 随机变量和概率分布：随机变量是取值不确定的变量，概率分布是描述随机变量取值可能性的函数。
4. 分布特征：包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。
5. 假设检验：用样本的统计量推断总体参数的方法。
6. 置信区间：用来估计总体参数的区间，表示参数真值有一定概率落在该区间之内。
7. 方差分析：用来比较多组数据的差异来源和大小的方法。
8. 回归分析：用来研究自变量和因变量之间关系的方法。
《概率论》 第六章 数理统计的基本概念.
2. 抽样原则 为使抽取的样本能很好地反映总体的特征，
一般要求抽取样本时遵循以下两点原则：
(1) 代表性 要求样本中的每个样品都是从总体 中 完全随机地抽出的，即每个样品与总体 具有相同
的分布；
(2) 独立性 要求每个样品的抽出相互之间是互不 影响的，即要求每个样品之间相互独立.
满足以上两点要求的样本称为简单随机样本.
1n
n 1 i1
i
2
(4) 样本 k 阶原点矩
Mk
1 n
n
i 1
k i
,
k
1,
2, ;
(5)样本 k 阶中心矩
M
k
1 n
n
(i
i 1
)k
, k 2, 3, ;
注 1. 上述几个统计量统称为样本矩；
2.
X
M1 ,
S2
M
2
.
三、样本矩的性质
2. 2分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性)
设 ~ 2(n1 ), ~ 2(n2 ), 并且 , 独立, 则 ~ 2(n1 n2 )
推广： 设 i ~ 2(ni ), 并且 i (i 1, 2,, m) 相互
独立,
则
m
i
~
2 (n1
2π
标准正态分布的上侧分位点
定义 设 U ~ N (0,1) ，对给定的正数(0 1)，
若实数u 满足
P{U u }
则称点 u为标准正态分布U的 上侧分位点（或称 上 分位数或 临界值）.
6.1.数理统计的基本概念
对容量较小的样本可分为5-6组，容量100左右的可分7-10组，
容量200左右的可分9-13组，容量300左右及以上的可分12-20 组，目的是使用足够的组来表示数据的变异。本例中只有20个 数据,我们将之分为5组，即k=5。
(2) 确定每组组距：每组区间长度可以相同也可以不同,实用中 常选用长度相同的区间以便于进行比较，此时各组区间的长度 称为组距，其近似公式为：
频数fi
3
4
8
3
2
试写出此分组样本的经验分布函数。
解：由经验分布函数的定义得到
0
0.15
Fn
(
x)
0.35 0.75
0.9
1
x 37.5 37.5 x47.5 47.5 x57.5 57.5 x67.5 67.5 x77.5 x 77.5
例6 以下是一组来自标准正态分布总体的样本的观测值： -1.4462 , -0.7012 , 1.2460 , -0.6390 , 0.5774 , -0.3600 , -0.1356, -1.3493 , -1.2704 , 0.9846
13
100—110
105
16
110—120
从总体X中抽取一个个体，就是对总体X进行一次观察并记 录其结果。取样是随机的，且观察前无法预知起结果，故每 个观察结果都是随机变量，且与总体同分布。
定义 1 在相同的条件下，对总体X进行n次重复的、独立的 观察，得到n个结果 X1, X 2 , , X n ，称随机变量X1, X 2 , , X n 为来自总体X的容量n的简单随机样本，简称样本。其观测值
641 635 640 637 642 638 645 643 639 640 这是一个容量为10的样本的观测值，对应的总体为该厂生产 的瓶装啤酒的净含量。
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6 数理统计的基本概念
基本要求
1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。
能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。
2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。
3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。
4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。
了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。
了解正态总体的某些常用抽样分布。
疑难解答
1、采用抽样的方法推断总体，对样本应当有怎样的要求？
答：为了对总体X的分布进行研究，逐个研究每个个体是不现实的。
采用抽样推断总体，其出发点是利用局部认识整体，因此抽出的样本要具有代表性。
即要求每个个体被抽取的机会均等，并且抽取一个个体后总体成分不变。
首先要求抽样具有“随机性”，第一次抽取的样品X1的可能取值应与总体的可能取值是完全一样的，且去取个个值的概率相同。
因此，X1是一个随机变量，并且是与X同分布的随机变量。
其次，应具有“独立性”，第一次抽样不改变总体成分，第二次抽取的样品X2可能的值也与X完全一样，且取值的概率也是相同的，因此X2也是与X同分布的一个随机变量且与X1是相互独立的，同样道理，X3，X4，…，X n都是与X同分布的随机变量，并且X1，X2，…，X n是一组相互独立的随机变量，故要求X1，X2，…，X n是简单随机样本。
2、什么是简单随机样本？在实践中如何获得简单随机样本？
答：设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n的样本，如果它满足以下两个条件，则称它为简单随机样本：
（1）X1，X2，…，X n与总体X具有相同的分布
（2）X1，X2，…，X n相互独立
由简单随机样本的定义知，用简单随机样本研究总体，可以更好地用概率论中独立条件下的一系列结论，正是这些结论为概率统计提供了必要的理论基础。
一般说来，对总体进行独立重复观测，便可以获得简单随机样本。
具体来说，当抽取样本容量n相对于总体数N很小时（一般)
≤
n），则连续抽
N
10
1
取n个个体，就近似地看做一个简单随机样本。
这是因为抽取的个数很小时，可认为对总体不影响或影响很小。
如果采取有放回抽样，则不必要求n相对很小。
3、什么叫大样本和小样本？它们之间的区别是否是一样本容量的大小来区分的？
答：在样本容量固定的条件下，进行的统计推断、分析问题称为小样本问题，而在样本容量趋于无穷的条件下，进行的统计推断、分析问题称为大样本问题。
然而，众多统计推断与分析问题与统计量或样本的函数的分布相关联。
能否得到有关统计量或样本的函数的分布常成为解决问题的关键。
所以，大、小样本的区分常与这一分布
*该部分内容考研不作要求。
能否得到相联系。
对于固定的样本容量，如果能得到有关统计量或样本函数的精确分布，相应统计推断，分析问题通常属于小样本问题。
此时，在样本容量有限情况下，能够较精确、满意的讨论各种推断与分析问题。
但是，在一般情况下要确定一个统计量或样本函数的精确分布不是一件容易的事。
如果统计量或样本函数的精确分布求不出或其表达方式过于复杂而难于应用时，如能求出在样本容量趋于无穷时的极限分布，利用此极限分布作为其近似分布进行统计推断、分析，此类问题便属于大样本问题。
大样本与小样本决不可以以样本容量的大和小来区分。
样本容量的大小受多种因素的影响。
有时虽属小样本问题，但要求的样本容量却可能比较大；反之，对某些大样本问题，有可能要求其样本容量却不大。
4、什么是统计量？为什么要引进统计量？
答：所谓统计量是指不含任何未知参数的样本（X 1， X 2，…，X n ）的函数T=T （X 1， X 2，…，X n ）.
引进统计量的目的是为了将杂乱无章的样本值整理成便于对所研究问题进行统计推断、分析的形式。
将样本中所含的有关所研究问题的信息集中起来，从而更有效地揭示出问题的实质，进而得到解决问题的方法。
例如，为估计总体的期望值μ，可将样本中关于总体取平均值的信息集中起来，这一信息便集中体现在样本分量X 1， X 2，…，X n 的算术平均值
∑==
n
i i X n
X 1
1
上。
因为若总体期望值比较大时，取自总体的观测值的平均值自然也有偏大
倾向，反之。
这样就比较清楚地提出了估计μ的办法，而若直接考虑样本就显得没有头绪。
此外，样本X 1， X 2，…，X n 是一个n 维统计量，对其直接进行统计推断和分析显然没
有使用适当统计量——一个一维随机变量来的简单。
当然，选择的统计量应较好地集中样本中所含的关于所研究问题的信息，而不会丢失有用的信息。
5、为什么要求统计量中不含有任何未知参数？统计量的分布是否也不含位置参数？ 答：统计量的使用目的在于对所研究的问题进行统计推断和分析。
如用统计量对位置参数进行估计时，若统计量本身仍含有位置参数，那么就无法根据所测得的样本值求得未知参数的估计值。
利用统计量估计参数将失去意义。
再如，在假设检验中，若检验统计量中含有未知参数，那么由样本值就无法求出相应的检验统计量的值，也就无法与相应的临界值进行比较，从而使得通过统计量表示的拒绝域失去意义。
总之，从统计量的意义上看，要求它不含未知参数是自然的。
统计量本身虽不含未知参数，但它的分布却可能含未知参数。
如，对正态总体N (2
,σμ)，其μ和2
σ为未知参数，则统计量X ～),
(2
n
N σ
μ，可见其分布中却含有位置参数μ和2
σ。
然而，含有未知参数的样本函数其分布却不一定含有未知参数。
如在上例中含有未知参数μ和2
σ的样本函数
n
X /σμ
-却服从不含任何未知参数的标准正态分布N (0，1)。
6、数理统计中流行样本方差的两种形式：2
1
2
)(1
1
X X n S
i
n
i --=
∑=，
∑=-=n
i i
X X n
B 1
2
2)
(1
这两种形式在统计中会发生哪些不同的效应？
答：由于2
2
σ
=ES
，是总体X 的方差的无偏估计，而2
21σn
n EB -=
不是总体方差2
σ
的无偏估计，因此，一般都是以2S 作为方差2σ的估计量。
但2
2
21lim
lim σ
σ
=-=∞
→∞
→n
n EB n n ，故
当样本容量很大时，2S 和2B 两者相差很小，对于大样本来说，亦可用2B 来估计总体方差
2
σ。
因此，有时把2B 称为大样本方差，2B 也叫二阶样本中心矩而，2S 称为样本修正方差。
7、为什么只要已知总体X 的数学期望E(X)= μ,方差D(X)= 2σ存在时，样本均值X 的
渐进分布就为正态分布),
(2
n
N σ
μ呢？；
答：由独立同分布的中心极限定理，可知
,21lim 0
2
12
⎰
∑-
=→∞
=⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-x
t
n i i n dt e
x n n X P π
σμ
即 ⎰
-
∞
→=
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤-x
t
n dt e
x n X P 0
2
2
21lim π
σμ
故随机变量
n
X σμ
-的渐进分布为标准正态分布N (0,1)。
即
n
X σμ
-)1,0(~N n ∞
→→ （1）
由此可知
),
(2
~
n
N X n σ
μ∞
→→
这样，在求样本均值X 落在某区间内的概率P {}x X ≤时，就可以利用（1）式
这是很重要的结论。
8、t 分布与标准正态分布的关系如何？
答：从标准正态分布与t 分布的概率密度曲线看，他们有相似之处。
另外从理论上可以证明，当∞→n 时自由度为n 的t 分布的极限分布是标准正态分布，故当n 足够大时（一般地n>45），有ααz n t ≈)(.
9、什么是自由度？如何计算自由度？
答：所谓自由度通常是指不受任何约束，可以自由变动的变量的个数.在数理统计中，自由度是对随机变量的二次型（可称为二次统计量）而言。
有线性代数知识可知，一个含有n 个变量的二次型
∑∑==n
i n
j j i ij
X X a
1
1
),2,1,,(n j i a a ji ij ==
的秩是指对称阵n ij a A )(=的秩。
秩的大小反映了n 个变量中可自由变动、无约束的变量个数的多少。
这里的自由度便是指二次型的秩。
因此要判断一个二次统计量的自由度是多少，便可由判断矩阵A 的秩为多少而得到。
10、
11、 12、。