等比数列_优秀课件

【例 1】 等比数列an中，a2＝4，a5＝－12，求通项 公式．
解：由 a2＝4，a5＝－12知aa11qq＝ 4＝4－，12 ，
a1＝－8， 解得q＝－12，
∴所求通项公式为 an＝－8·－12n－1.
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列 中基本量的计算是最重要、最基本的问题．
1．在等比数列an
解析：等比数列的首项为 1，公比为31＝13，
所以其通项公式为 an＝13n－1.
答案：an＝13n－1.
Fra Baidu bibliotek
4．若等比数列的通项公式为 an＝2×12n－1.则数 列的第 5 项为________．
解析：a5＝2×125－1＝18. 答案：18
要点阐释
1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一 项均不为0，因此q也不能是0. (2)aan＋n 1均为同一常数，即比值相等，由此体现了 公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项
3．通项公式的应用
通项公式 an＝a1qn－1 反映了等比数列an的各项 与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an 四个量，常用作“知三求一”．
特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数 列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而 要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．
典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝ a1q4·a1q6＝a12q10＝962·1210＝9. ∴a5，a7 的等比中项是±3.
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的 基本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
之比，防止前后次序颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或 第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此 数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或 第3项起按原数列的项的排列顺序组成一个新数列是 一个等比数列．
(4)项不为0的常数数列是等比数列．
(5)证明一个
数列为等比数
列，其依据
预习测评
1．已知 a 是公比为
n
q
的等比数列，则这个数列
的通项公式为
()
A．an＝a3qn－2 C．an＝a3qn－3
B．an＝a3qn－1 D．an＝a3qn－4
解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝aqn－1＝an. 答案：C
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
(c
为不等于
0
的常数)
是________数列．
答案：等比
自主探究
1．如果等比数列an中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，
那么 am·an＝ak2 是否成立？反之呢？ 答案：如果等比数列的三项的序号成等差数列，
那么对应的项成等比数列． 事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1) ＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2.
题型二 等比数列的判断
【例 2】
已知数列an
满足
a1＝1，an＋1＝2an＋1，
(1)求证：数列an＋1是等比数列；
(2)求 an 的表达式．
(1)证明：因为 an＋1＝2an＋1，所以 an＋1＋1＝2(an＋1)，
由 a1＝1，故 a1＋1≠0，由上式易知 an＋1≠0，所以aan＋n＋1＋11
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b
＝±3，又因为等比数列奇数项符号相同，得b＜0，
故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac
＝9，故选B
答案：B
3．等比数列 1，13，…的通项公式为________________． 1
∴b2＝－2，∴a2－b2 a1＝－－12＝12
课堂总结
1．等比数列an的通项公式为 an＝a1qn－1.在等比数 列中，an≠0，q≠0.
2．公比q可为正数、负数．特殊地，当q＝1时， 为常数列a1，a1，…，又若a1≠0，则它既为等差数列， 又为等比数列；当q＝－1时，数列为a1，－a1，a1， －a1，….
答案：相等
2．若 a 、 b n
n
是等比数列
，则 a b 是
n
n
________
数列．
答案：等比
3．在公比为 q 的等比数列an中，am＝an×________. 答案：qm－n
4．在等比数列an中，am 是与它“距离”相等的两项 的________中项．
答案：等比
5．若数列an是等比数列，则can
－1，b1，b2，b3，－4
成等比数列，求a2－a1的值． b2
错解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差
为 d，则 a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1.
∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列．
∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
当
b2＝2
时，a2－a1＝－1＝－1，
则 a3＝
()
A．8 B．－8 C．±8 D．16
解析：由题意得aa15＋ －aa5122＝ ＝334022，
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
⇔ a
n
是等比数列；
(2)通项公式法：an＝cqn(c，q 均是不为 0 的常数，
n∈N*)⇔an是等比数列；
(3)中项公式法：an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n
∈
N*)⇔an
是
等比数列．
2．在等差数列an中，已知 a1，a2，a4 成等比数
列，求证：a4，a6，a9 也成等比数列．
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以 上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等 比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项 以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是 等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，…. 那么a2，a5，a8，a11，a14，…；a3，a5，a7，a9， a11…各自仍构成等比数列．
证明：设等差数列an的公差为 d，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0.
当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d， ∴a62＝a4a9＝36d2， ∴a4，a6，a9成等比数列． 当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意． 综上可知a4，a6，a9成等比数列．
＝2，所
以 a ＋
n
1 是以
2
为公比的等比数列．
(2)解：由(1)可知an＋
1 是以
a1＋1＝2
为首项，
2 为公比的等比数列，所以 an＋1＝2×2n－1，所以
an＝2n－1.
方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种：
(1)定义法：aan＋n 1＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*)
(3)如果数列an是等比数列，c 是不等于 0 的常
数，那么数列c ·an仍是等比数列．
中．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
解：(1)由aa11qq＝3＝188，，
a1＝27， 解得q＝23，
a1＝－27， 或q＝－23.
(2)由aa11qq43－ －aa11＝q＝156， ， 得q2＋q 1＝52， 得 q＝12或 q＝2. 当 q＝12，a1＝－16，此时 a3＝a1q2＝－4； 当 q＝2 时，a1＝1，此时 a3＝a1q2＝4.
b2
2
2
当 b2＝－2 时，a2－b2 a1＝－ －12＝12.∴a2－b2a1＝±12.
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 则 a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0.
3．已知三个数成等比数列，积为27，和为13， 求这三个数．
解：设这三个数为aq，a，aq，则aqaq·＋a·aa＋ q＝a2q＝7，13，
整理得a3＝ q2－3，10q＋3＝0，
解得
a＝3，q＝3
或1， 3
∴这三个数为 1,3,9 或 9,3,1.
误区解密 忽视题中隐含条件而出错
【例 4】 已知数列－1，a1，a2，－4 成等差数列，
3．要证明一个数列为等比数列，必须对任意 n ∈N*，aan＋n 1＝q，或aan－n 1＝q(n≥2)都成立．
4．公式中含有四个量a1，an，q，n，如果已知 任意三个，可求第四个量．
等比数列（二）
进一步巩固等比数列的定义和通项公式，掌握 等比数列的性质，会用性质灵活解决问题．
自学导引
1．在等比数列an中，若对于正整数 m、n、k、t， 满足 m＋n＝k＋t，则 aman 与 akat 的关系是________．
＝32或23.
答案：23或32
4．在等比数列{an}中，a6·a15＋a9a12＝30，则前 20项的积等于__________．
解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510.
等比数列
掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公 式及推导过程，并能应用等比数列的定义及通项公 式解决问题．
自学导引
1．如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的比等于同一个常数，那么这个 数列叫做________数列，这个常数叫做等比 数列的________，公比通常用字母q表示 (q≠0)．
在等比数列an中，若 am·an＝ap·aq＝ak2，不一 定有 m＋n＝p＋q＝2k，如非零常数列．
2．既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？ 如果存在，你能举出例子吗？
答案：存在．例如：an＝1，既是公差为0的等 差数列，又是公比为1的等比数列．
预习测评
1．在等比数列an中，若 a1＋a5＝34，a5－a1＝30，
是an＋1＝ an
q(n∈N*)，利用这种形式来判定，便于操作．
2．等比中项的应用 等比数列递推关系an2＝an－1·an＋1(n≥2)，即说 明等比数列的任何一项(除第一项和最后一项)都是其 前后两项的等比中项．
特别提醒：(1)利用等比中项可在成等比数列 的三数中“知二求一”．
(2)只有同号的两数才存在等比中项，且等比 中项有两个值，即 G＝± ab.
题型三 等比中项的应用
【例3】 等比数列的前三项和为168，a2－a5＝ 42，求a5，a7的等比中项．
解：设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，由已知
a1＋a1q＋a2q2＝168， a1q－a1q4＝42，
∴aa11q11＋－qq＋3q422.＝168，
①
②
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， ①÷②q(1－q)＝14⇒q＝12. ∴a1＝1－4214＝96.
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12
答案：D
3．在等比数列an中，a5·a7＝6，a2＋a10＝5，则aa1180等 于________．
解析：
因等比数列an
中，
a5·a7＝
6＝a2·a10，又
a2＋
a10＝5，求得 a2＝2，a10＝3 或 a2＝3，a10＝2，则aa1180＝aa120
答案：等比 公比
2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的________．
答案：等比中项 3．等比数列的通项公式为________． 答案：an＝a1qn－1
自主探究
1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0? 答案：等比数列的首项，公比都不为0. 2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 答案：不一定，因为若G＝0，且a，b中至少有 一个为0，使G2＝ab，根据等比数列的定义，a，G， b不成等比数列．当a，G，b全不为零时，若G2＝ab， 则a，G，b成等比数列．