第一部分仿射几何学的概念

高等几何需掌握的基本概念与方法

第一部分 仿射几何学的概念

一、平行投影与仿射对应

1.说明在一般情况下，仿射对应时对应点的连线不都是平行的。

2.在什么情况下，一般仿射对应时对应点的连线都互相平行。

3.两相交平面间的透视仿射对应有对应轴，如果有对应轴一般仿射对应时没有对应轴，那么这个仿射对应实质上仍然是透视放射对应。

二、仿射对应的不变性质与不变量

1.证明：三角形的重心是仿射对应下的不变性质。

2.证明：平行四边形的中心是仿射对应下的不变性质。

3.证明：梯形在仿射对应下仍是梯形。

4.说明：两个全等的矩形在仿射下对应于两个等积的平行四边形。

三、平面内的仿射变换及其决定

1.给出透视放射变换的对应轴 即对应点',P P ；求作已知三角形的对应图形。 已知：对应轴L 及一对对应点P ，P '；

求作：ABC ∆的对应图形。

2.在第一题条件下，求作已知正方形的对应图形。

已知：对应轴L 及一对对应点P ，P '；

求作：正方形ABCD 的对应图形

3.在题一条件下，做已知圆的对应图形。

已知：对应轴L 及一对对应点P ，P '；

求作：圆O 的对应图形。

4.给定由两个三角形321,,P P P 为'3'2'1,,P P P 所决定的仿射变换，求做在此仿射变换下平面

内任意一点A 的对应点'

A 。

5.给定一个梯形ABCD ，并且已知梯形中的三角形ABC 在仿射变换ABC 在仿射变换下的对应三角形'''C B A 。求做这梯形第四点D 的对应点。

C

6.给定一个正五角形，而且已知定点A ， C B ,在仿射变换下的对应点''',,C B A ，求作

E D ,两点的对应点'D 与'E 。

四、仿射变换的代数表示

1.证明：在仿射坐标系下直线的方程是一次方程。

2.在仿射变换下，试求向量的变换式。

3.试利用代数方法证明：三对对应点决定一个仿射变换。

4.欧氏几何学里的圆在仿射变换下变为怎样的图形？

5.在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的？

6.试从仿射变换式说明直线上三点所成的简比是仿射不变量。

五、仿射变换的特例

1.求仿射变换式

（1）使)1,1(),1,1(),0,0(-三点变到)7,3(),5,2(),3,2(-三点。

（2）使())4,3(,7,4),5,2(三点变到)7,4(),8,3(),1,5(-三点。

2.证明：平移可以当作是以两根平行直线为轴的轴对称积。

3.证明：两个相似变换之积仍是一个相似变换。，但两个对称变化之积一般不是对称变换。

4.求一般对称变换成为轴对称的条件。

5.证明：使两个向量的数量积不变的仿射变换式运动变换或对称变换。

6.证明：仿射变换成为：

（1）运动变换的条件是⎩⎨⎧=+=+=+10

2222122212

1122211211a a a a a a a a

（2）相似变换的条件是⎩⎨⎧+=+=+222212221211

222112110a a a a a a a a 7.证明：两条二次曲线

)

2(022210222'''''2'''''2''22⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+++++c y f x y y b y x h x a c fy yx by hxy ax ）

（ 成位似对应的条件是

'''b

b h h a a ==

第二部分仿射几何学的基本概念

一、中心投影

二、理想元素

三、齐次坐标

四、对偶原则

五、复元素

六、射影几何学的基本内容

第三部分一维影射几何学

一、一维影射几何学的对象

二、列点与线束

三、交比

四、一维几何学你的影射对应

五、透视对应

六、对合对应

第四部分几个点与线所成的图形

一、三点形与三线形

二、四点形与四线形

三、巴卜氏定理

四、应用

第五部分射影坐标系

一、一维射影坐标系

二、平面内的射影坐标系

三、射影坐标的特例

四、坐标变换

第六部分射影变换

一、射影变换的规定

二、射影变换的特征

三、射影变换的固定元素

四、射影变换的特例

第七部分变换群与几何学

一、变换群的意义

二、变换群的例证

三、变换群与几何学

第八部分欧氏仿射射影三种几何学的比较

一、欧氏几何学和

二、仿射几何学

三、射影几何学

四、三种几何学的比较

五、几何学与坐标系

第九部分二次曲线的射影定义

一、二阶曲线和二级曲线

二、二次曲线的是射影定义

三、巴斯卡与布利安香定理

第十部分二次曲线上的射影对应

一、二次曲线上的射影点列

二、二次曲线上的对合对应

三、直线和二次曲线上的射影对应

第十一部分有关二次曲线的配极对应

一、极点与极线

二、赫舍定理

三、配极对应

四、点线对应

第十二部分二次曲线的射影分类

一、二阶曲线的奇异点与二级曲线的奇异线

二、二阶曲线的射影分类

三、二次曲线的射影分类

第十三部二次曲线间的相互关系

一、两条二次曲线的交点与二次曲线束

二、二次曲线束的性质

三、两条二次曲线的切触

第十四部分二次曲线的仿射性质

一、二次曲线的渐近线

二、二次曲线的仿射分类

三、例题

第十五部分二次曲线的度量性质

一、原点

二、主轴与焦点

三、共交二次曲线束