平行线、相似三角形

平行线的判定 条件 同位角相等 结论
平行线的性质 条件 结论 同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行 两直线平行 内错角相等
同旁内角互补
在同一个平面内，垂直于
同一条直线的两条直线平行。
a
b c
平行线的判定 条件 同位角相等 结论
平行线的性质 条件 结论 同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
ห้องสมุดไป่ตู้
两直线平行 两直线平行 内错角相等
共有三对相似三角形。
相似三角形的8类基本模型
相似三角形的基本模型
一线三等角型：是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
A Q
B
P
C
一线三直角型：
A
P
D
E B
C
模型“双垂直”三角形
C
直角三角形斜边上的高
分直角三角形所成的两个 直角三角形与原三角形相似.
△ACD∽△CBD∽△ABC.
A
D
特殊 斜交型 斜交型 特殊 一般 平移 双垂直 斜交型 特殊 一般 双垂直 一边平移
翻折180°
判定两个三角形相似的基本思路
已知条件中有平行线截线时，先考虑用预备定理
已知两个三角形中有一个角对应相等时
证明另一个角对应相等 证明夹这一对角的两组边对应成比例 已知两个三角形中有两边对应成比例时 证明这两边的夹角对应相等 证明第三对边与其余两边中的一对边对应成比例 证明有一对角是直角
二是从作用上看
平行线的判定是证明两直线平行的依据 平行的性质是作为证明两角相等或互补的依据．表达时要特别注意因果关 系．
例1.如图是某市部分街道图，比例尺是1:10000，请你估计三
条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.
解：地图上的比例尺为1：10000，就是地图上的△ABC与实际三角形地 块的相似比为1：10000，量得地图上AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm。 则地图上△ABC的周长为3.4+3.8+2.5=9.7(cm)
F
B
C
AB 当 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
2014-2-26
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条 直线, 所得的对应线段成比例. A C
B
M
D E F
平移
A B C
D (E) C
(D) E F
A B F
平移
D A B NE C F
平移
! 注意:应用平行线分线段成比例定理得到的比例式 中,四条线段与两直线的交点位置无关!
两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等， 那么在另一直线上所截得的线段也相等。
因为： l
1
// l2 // l3 ,
2014-2-26

AB=BC DE=EF

AB DE 1 BC EF
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
A B A D E
D E
AB 当 1 BC
与比例有关定理
三角形一边的平行线
性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两
平行线分线段成比例
定理(没有逆定理）
判定定理
如果一条直线截三 角形的两边,截得 的对应线段成比例， 那么这条直线平行 于三角形的第三边.
边所在的直线，截得的对应线
段成比例.
三条平行线截两条直线, 所得的对应线段 成比例.
平行于三角形的一边的直线，截其 它两边所在的直线，截得的三角形 的三边与原三角形的三边对应成比 例.
a c e m a 那么 b d f n 0 . b d f n b
学习“转化”的思想方法
通过比例式 的变形
中间比
例.已知:如图,在△ABC中,
DE∥BC,EF∥AB.
AD BF 试问: 成立吗?为什么? DB FC A A A 等比代换
证明两个直角三角形相似的方法有两个
证明有一个锐角相等 证明有两条边对应成比例 条件中若有等腰关系，可找顶角相等，或找一对底角相等，或 找底和腰对应成比例。
证明比例式或等积的常用方法
“等积”变“比例”，“比例”找“相似” 再找这两个三角形相似所需条件 如果这两个三角形不相似，则采用其它办法（如找中间比代换 等方法：将等式左右两边的比表示出来。） 注意：当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用添 加辅助平行线的方法，实质是构造“A”型或“X”型基本图 形。 一般是选过已知点（或求证）中比在同一直线的点作为 引平行线的出发点。对于中点，常过中点作平行线以等分线段 或利用中位线定理 还可以直接运用射影定理 对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽” 出来的办法处理。
相似三角形的性质：
对应角相等。 对应边成比例。 对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。 周长比等于相似比。 面积比等于相似比的 平方 。
相似具有传递性
C E M A N D B
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？ △ADE∽△ABC △AMN∽△ADE △AMN∽△ABC
平行线的定义、性质和判定 比例基本性质 三角形一边的平行线 平行线分线段成比例
相似三角形
平行线的定义、性质和判定
(1)定义 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
(2)性质 a.若两直线平行,则同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补 b.平行线间的距离相等,夹在两平行线间的平行线段相等 c.平行公理:过直线外有且只有一条直线和这条直线平行 (3)判定 a.若同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,则两直线平行 b.若a∥c,b∥c,则a∥b c.在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b
小结
拓展
图形的相似
1.形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同. ②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似
三角形. △ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF. 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
A D
B E C
E
A
D
B
C
字母 A 型
字母 X 型
推 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 论 边的延长线)所得的线段对应成比例.
2014-2-26
1.三角形一边的平行线的判定定理
如果一条直线截三角形的两边,截得 的对应线段成比例，那么这条直线 平行于三角形的第三边.
AD AE 上 上 DB EC 下 下 DE ∥BC AD AE 上 上 全 AB AC 全 DE ∥BC
常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD 常用的成比例的线段：
B
AC BC AB CD AC 2 AD AB 2 BC BD AB CD 2 AD DB
直角三角形中的射影定理
公边共角(母子型)
• 已知：∠ABD=∠C。 • △ABD∽△ACB • AB² =AD· AC
D
B
E
C B
E
C AE BF EC FC
D
B
E
F
F
AD BF DB FC
C
AD AE DB EC
例.已知:如图,在△ABC中,
DE∥BC,EF∥AB.
AB AC BC 试问: AD AE DE A A
成立吗?
A
D
B
等线代换 E E
D
E
C B B F C F C AB AC AC BC AB AC BC AD AE AE BF AD AE DE
1.三角形一边的平行线的性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两 边所在的直线，截得的对应线段成 比例.
字母 A 型
A
复 习
字母 X 型
E D
A
D B
E C
B C
2.三角形一边的平行线的性质定理的推论
平行于三角形的一边的直线，截其它两 边所在的直线，截得的三角形的三边与 原三角形的三边对应成比例.
A B C
2014-2-26
D E F C
D B
A E F
平行线等分线段定理
E A
P G F
.
.
.
B
D
C
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他 直线上截得的线段也相等。
推论1
推论2
平行线等分线段定理的应用
把线段n等分 证明同一直线上的线段相等
a
b
A
B
D
E
L1 L2 F L3
C 平行线等分线段定理：
判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比 和后两条线段的比是否相等。 若第1，4两个数的积等于第2，3两个数的积，则四条 线段成比例，否则不成比例。
(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段 的积 。
四条线的单位要一致
比例基本性质
a c a c 如果 那么ad bc. 如果ad bc, 那么 . b d b d
相似三角形证明中常用找对应角的方法
①已知角相等； ②已知角度计算得出相等的对应角； ③公共角； ④对顶角； ⑤同（等）角的余（补）角相等； ⑥两直线平行，同位角（内错角）相等； 1、通过证明三角形全等，从而证明角相等。 2、直角三角形余角。 3、分别通过求证对应角的tan相等
B A
D A
D
C
C
由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的 比例中项，即若△ABD∽△ACB，则AB² =AD· AC。
相似三角形判定的变化模型
8字型拓展
A
A
E
F G
D
B
C
E
共享性
B
C
一线三等角的变形
一线三直角的变形
∽
平移 平行型
旋转180°
平行型 翻折180° 翻折180° 一般
同旁内角互补
在同一个平面内，垂直于
同一条直线的两条直线平行。
a
b c
初学者容易混淆平行线的判定定理和性质定理
两个方面加深理解： 一是从意义上看 平行的判定是“判定”平行
就是说，在已知两角相等或互补或其它的题设下，得到两直线平行的结果；
平行线的性质是“平行”以后才有的“性质”
就是说，在已知两直线平行的题设下，得出的平行线的某些性质．
AB AC BC DE DF EF
①.两个三角形相似，一定有角相等。当特殊位置时才有平 行，而一旦有了平行就一定有相似三角形对应边以外的成 比例的线段。 ②.对应边成比例提供了等量关系，我们可以借助方程的思 想来解决问题。
相似三角形
1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义 （三边对应成比例，三角相等） 平行于三角形一边的直线（预备定理） 三边对应成比例（SSS） 两边对应成比例且夹角相等（SAS） 两角对应相等 （AA） 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （HL）
平行于三角形一边的直线截其 他两边(或两边的延长线)所得 的线段对应成比例.
如果一条直线截三角形的 两边的延长线(这两边的 延长线在第三边 的同侧), 所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角 形的第三边.
平行线等分线段定理
两条直线被三条平行线所截，如果在一直 线上所截得的线段相等，那么在另一直线 上所截得的线段也相等
比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰: 横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘. 用“设k法”，计算。
(b=0,d=0)
线段 a、d 叫做比例外项，线段 b、c 叫做比例内项，线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
合比性质: 等比性质:
a c ab cd 如果 , 那么 . b d b d
a c e m 如果 , b d f n
A
DE ∥BC
B
C
AB AC 下 下 AD AE 上 上 DB EC 全 全 全 DB EC 全 DE ∥BC DE ∥BC
小结 一、平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形
9.7 1 ∵三角形地块的实际周长 10000
∴三角形地块的实际周长为9.7×104cm，即970m。 量得BC这上的高为2.2cm 1 ∴地图上△ABC的面积为 ×3.8×2.2=4.18cm2 2 ∵
4.18 1 三角形地块的实际面积 10000
2
A D C
B
∴三角形地块的实际面积为4.18×108cm2,即41800m2 答：估计三角形地块的实际周长为970米，实际面积为41800平方米。
B
A
D
E C
DB EC 下 下 AB AC 全 全
DE ∥BC
2.三角形一边的平行线的判定定理的推论
如果一条直线截三角形的两边的延 长线(这两边的延长线在第三边 的 同侧),所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边.
AD AE 上 上 AB C 下下
E D