平行线、相似三角形

AB AC BC DE DF EF
①.两个三角形相似，一定有角相等。当特殊位置时才有平 行，而一旦有了平行就一定有相似三角形对应边以外的成 比例的线段。 ②.对应边成比例提供了等量关系，我们可以借助方程的思 想来解决问题。
相似三角形
1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义 （三边对应成比例，三角相等） 平行于三角形一边的直线（预备定理） 三边对应成比例（SSS） 两边对应成比例且夹角相等（SAS） 两角对应相等 （AA） 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （HL）
两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等， 那么在另一直线上所截得的线段也相等。
因为： l
1
// l2 // l3 ,
2014-2-26

AB=BC DE=EF

AB DE 1 BC EF
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
A B A D E
D E
AB 当 1 BC
常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD 常用的成比例的线段：
B
AC BC AB CD AC 2 AD AB 2 BC BD AB CD 2 AD DB
直角三角形中的射影定理
公边共角(母子型)
• 已知：∠ABD=∠C。 • △ABD∽△ACB • AB² =AD· AC
a c e m a 那么 b d f n 0 . b d f n b
学习“转化”的思想方法
通过比例式 的变形
中间比
例.已知:如图,在△ABC中,
DE∥BC,EF∥AB.
AD BF 试问: 成立吗?为什么? DB FC A A A 等比代换
同旁内角互补
在同一个平面内，垂直于
同一条直线的两条直线平行。
a
b c
初学者容易混淆平行线的判定定理和性质定理
两个方面加深理解： 一是从意义上看 平行的判定是“判定”平行
就是说，在已知两角相等或互补或其它的题设下，得到两直线平行的结果；
平行线的性质是“平行”以后才有的“性质”
就是说，在已知两直线平行的题设下，得出的平行线的某些性质．
判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比 和后两条线段的比是否相等。 若第1，4两个数的积等于第2，3两个数的积，则四条 线段成比例，否则不成比例。
(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段 的积 。
四条线的单位要一致
比例基本性质
a c a c 如果 那么ad bc. 如果ad bc, 那么 . b d b d
A B C
2014-2-26
D E F C
D B
A E F
平行线等分线段定理
E A
P G F
.
.
.
B
D
C
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他 直线上截得的线段也相等。
推论1
推论2
平行线等分线段定理的应用
把线段n等分 证明同一直线上的
L1 L2 F L3
C 平行线等分线段定理：
比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰: 横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘. 用“设k法”，计算。
(b=0,d=0)
线段 a、d 叫做比例外项，线段 b、c 叫做比例内项，线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
合比性质: 等比性质:
a c ab cd 如果 , 那么 . b d b d
a c e m 如果 , b d f n
F
B
C
AB 当 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
2014-2-26
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条 直线, 所得的对应线段成比例. A C
B
M
D E F
平移
A B C
D (E) C
(D) E F
A B F
平移
D A B NE C F
平移
! 注意:应用平行线分线段成比例定理得到的比例式 中,四条线段与两直线的交点位置无关!
相似三角形的性质：
对应角相等。 对应边成比例。 对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。 周长比等于相似比。 面积比等于相似比的 平方 。
相似具有传递性
C E M A N D B
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？ △ADE∽△ABC △AMN∽△ADE △AMN∽△ABC
与比例有关定理
三角形一边的平行线
性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两
平行线分线段成比例
定理(没有逆定理）
判定定理
如果一条直线截三 角形的两边,截得 的对应线段成比例， 那么这条直线平行 于三角形的第三边.
边所在的直线，截得的对应线
段成比例.
三条平行线截两条直线, 所得的对应线段 成比例.
平行于三角形的一边的直线，截其 它两边所在的直线，截得的三角形 的三边与原三角形的三边对应成比 例.
平行线的定义、性质和判定 比例基本性质 三角形一边的平行线 平行线分线段成比例
相似三角形
平行线的定义、性质和判定
(1)定义 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
(2)性质 a.若两直线平行,则同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补 b.平行线间的距离相等,夹在两平行线间的平行线段相等 c.平行公理:过直线外有且只有一条直线和这条直线平行 (3)判定 a.若同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,则两直线平行 b.若a∥c,b∥c,则a∥b c.在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b
平行于三角形一边的直线截其 他两边(或两边的延长线)所得 的线段对应成比例.
如果一条直线截三角形的 两边的延长线(这两边的 延长线在第三边 的同侧), 所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角 形的第三边.
平行线等分线段定理
两条直线被三条平行线所截，如果在一直 线上所截得的线段相等，那么在另一直线 上所截得的线段也相等
二是从作用上看
平行线的判定是证明两直线平行的依据 平行的性质是作为证明两角相等或互补的依据．表达时要特别注意因果关 系．
例1.如图是某市部分街道图，比例尺是1:10000，请你估计三
条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.
解：地图上的比例尺为1：10000，就是地图上的△ABC与实际三角形地 块的相似比为1：10000，量得地图上AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm。 则地图上△ABC的周长为3.4+3.8+2.5=9.7(cm)
特殊 斜交型 斜交型 特殊 一般 平移 双垂直 斜交型 特殊 一般 双垂直 一边平移
翻折180°
判定两个三角形相似的基本思路
已知条件中有平行线截线时，先考虑用预备定理
已知两个三角形中有一个角对应相等时
证明另一个角对应相等 证明夹这一对角的两组边对应成比例 已知两个三角形中有两边对应成比例时 证明这两边的夹角对应相等 证明第三对边与其余两边中的一对边对应成比例 证明有一对角是直角
平行线的判定 条件 同位角相等 结论
平行线的性质 条件 结论 同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行 两直线平行 内错角相等
同旁内角互补
在同一个平面内，垂直于
同一条直线的两条直线平行。
a
b c
平行线的判定 条件 同位角相等 结论
平行线的性质 条件 结论 同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行 两直线平行 内错角相等
A
DE ∥BC
B
C
AB AC 下 下 AD AE 上 上 DB EC 全 全 全 DB EC 全 DE ∥BC DE ∥BC
小结 一、平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形
9.7 1 ∵三角形地块的实际周长 10000
∴三角形地块的实际周长为9.7×104cm，即970m。 量得BC这上的高为2.2cm 1 ∴地图上△ABC的面积为 ×3.8×2.2=4.18cm2 2 ∵
4.18 1 三角形地块的实际面积 10000
2
A D C
B
∴三角形地块的实际面积为4.18×108cm2,即41800m2 答：估计三角形地块的实际周长为970米，实际面积为41800平方米。
相似三角形证明中常用找对应角的方法
①已知角相等； ②已知角度计算得出相等的对应角； ③公共角； ④对顶角； ⑤同（等）角的余（补）角相等； ⑥两直线平行，同位角（内错角）相等； 1、通过证明三角形全等，从而证明角相等。 2、直角三角形余角。 3、分别通过求证对应角的tan相等
B
A
D
E C
DB EC 下 下 AB AC 全 全
DE ∥BC
2.三角形一边的平行线的判定定理的推论
如果一条直线截三角形的两边的延 长线(这两边的延长线在第三边 的 同侧),所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边.
AD AE 上 上 AB C 下下
E D
证明两个直角三角形相似的方法有两个
证明有一个锐角相等 证明有两条边对应成比例 条件中若有等腰关系，可找顶角相等，或找一对底角相等，或 找底和腰对应成比例。
证明比例式或等积的常用方法
“等积”变“比例”，“比例”找“相似” 再找这两个三角形相似所需条件 如果这两个三角形不相似，则采用其它办法（如找中间比代换 等方法：将等式左右两边的比表示出来。） 注意：当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用添 加辅助平行线的方法，实质是构造“A”型或“X”型基本图 形。 一般是选过已知点（或求证）中比在同一直线的点作为 引平行线的出发点。对于中点，常过中点作平行线以等分线段 或利用中位线定理 还可以直接运用射影定理 对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽” 出来的办法处理。