高中数学 必修一 教案 充分条件与必要条件1

充分条件和必要条件
【课时安排】
2课时
【第一课时】
【学习目标】
针对具体命题，能说出命题的充分条件、必要条件。

【学习重难点】
对命题条件的充分性、必要性的判断。

【学习过程】
一、新旧知识连接：
请判断下列命题的真假：
（1）若x y =，则22x y =；
（2）若22x y =，则x y =；
（3）若1x ＞，则21x ＞；
（4）若21x ＞，则1x ＞。

二、我能自学：
1．把下列命题改写成“p q ⇒”或“p q ⇒”的形式：
（1）若a b ＞，则ac bc ＞；（2）若a b ＞，则a c b c ++＞；
说出下列命题中p 是q 的什么条件：
（1）p ：若1x =，q ：则2430x x -+=；（2）p ：若x y =，
q ：则22 x y =
（学生自练个别回答教师点评）
2．说出下列各题中p 是q 的什么条件：
→→
（1）命题{} : 1,2p A =，命题{} : 1,3,5q B =
（2）命题{}2|10p A x x =-：＞，命题{}2|50q B x x x =--：＞
（师生共析学生说出答案教师点评）
总结：从集合角度去理解命题：小充分大必要
【第二课时】
【学习目标】
能写出简单命题条件的证明。

【学习重难点】
掌握命题条件的充要性判断。

【学习过程】
一、新旧知识连接：
（1）“a b c ＞＞”是“()()()0a b b c c a ---<”的 条件。

反过来“()()()0a b b c c a ---<”是“a b c ＞＞”的 条件。

（2）若a 、b 都是实数，从①0ab ＞；②0a b +＞；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +＞；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 。

二、例题赏析
1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性
例1：已知:2p x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？
（教师引导学生书写教师点评）
分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性。

从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性，“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 不都是1-，则2x y +=-”真的，“若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的，故p 是q 的充分不必要条件。

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手。

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练习：已知:2p x ＞或23
x ＜；q ：x 2＞或1x <-，则p ⌝是q ⌝的什么条件？
2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性
例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？（师生共同分析）
分析：命题的充分必要性具有传递性M N P Q ⇒⇔⇒，显然M 是Q 的充分不必要条件。

3．充要性的求解是一种等价的转化
例3：求关于x 的一元二次不等式21ax ax +＞于一切实数x 都成立的充要条件。

分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化。

由题可知等价于0a =或0000a a a ≠⎧⎪>⇔=⎨⎪∆<⎩或0404a a ⇔≤＜＜＜.
4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么
例4：证明：对于x y ∈R 、，0xy =是220x y +=的必要不充分条件。

分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件 必要性：对于x y ∈R 、，如果220x y +=
则0x =，0y =即0xy =
故0xy =是220x y +=的必要条件
不充分性：对于x y ∈R 、，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +=
故0xy =是220x y +=的不充分条件
综上所述：对于x y ∈R 、，0xy =是220x y +=的必要不充分条件
【达标检测】
1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件。

（类比例2）
2．对于实数x 、y ，判断“8x y +≠”是“2x ≠或6y ≠”的什么条件。

（类比例1）
3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是：33220a b ab a b ++--=。

（类比例4） （学生自练个别回答教师点评）
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