几种复合函数定义域的求法
关于复合函数定义域的求解方法
关于复合函数定义域的求解方法复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其定义为：f(g(x))，其中g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
定义域是指函数能够接受的数值范围。
换而言之，对于给定的函数，定义域是使其有意义的输入值的集合。
要确定复合函数的定义域，需要考虑两个方面：内层函数和外层函数。
首先，我们需要确定内层函数的定义域，然后根据内层函数的结果来确定外层函数的定义域。
内层函数的定义域确定方法如下：1.若内层函数是一个常数函数，定义域为实数集合，即：(-∞,∞)。
2.若内层函数是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
3.若内层函数是一个分式函数，需要注意分母不能为零。
因此，需要将分母不等于零的解集作为内层函数的定义域。
4.若内层函数是一个平方根函数，需要考虑平方根中的值不能为负数，因此需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为内层函数的定义域。
确定内层函数的定义域后，我们需要将内层函数的结果作为外层函数的输入来确定外层函数的定义域。
具体方法如下：1.若外层函数是一个常数函数，定义域与内层函数的定义域相同。
2.若外层函数是一个多项式函数，其定义域与内层函数的定义域相同。
3.若外层函数是一个分式函数，需要将分母不等于零的解集作为外层函数的定义域。
4.若外层函数是一个平方根函数，需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为外层函数的定义域。
需要注意的是，在求解复合函数的定义域时，需要保证两个函数都有定义，并且内层函数的结果必须属于外层函数的定义域。
举个例子来说明复合函数的定义域的求解方法：考虑函数f(x)=√(3-2x)+1和g(x)=x^2-4x+3，我们需要确定复合函数f(g(x))的定义域。
首先，我们需要确定g(x)=x^2-4x+3的定义域。
由于这是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
接下来，我们将g(x)的结果带入f(x)中来确定复合函数f(g(x))的定义域。
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案(总15页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除复合函数一，复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。
二，对高中复合函数的通解法——综合分析法1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1：指出下列函数的复合过程。
（1）y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos√1-x2解：(１) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。
（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。
（3）∵y=sin3x=(sinx)-3∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。
（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。
2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。
看下例题：例２：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。
经典误解１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。
F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。
由g(x),G(x)得：u2=2x-11即：y=f(u2),u2=2x-11∵f(u1)的定义域为[1、2]∴１≤x﹤2∴-9≤2x-11﹤-6即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]经典误解２：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]∴1≤x+3﹤2∴-2≤x﹤-1∴-4≤2x﹤-2∴-9≤2x-5﹤-7∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]（下转2页）注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
几种复合函数定义域的求法
几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。
例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。
这种代换遵循同一函数的原则。
例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。
复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。
即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。
例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。
复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。
x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。
f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。
设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。
对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。
对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。
几种复合函数定义域的求法
配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
复合函数定义域的常见求法
一、复合函数的概念如果y 是u 的函数的函数，，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数复合函数，，u 叫做中叫做中间变量。
间变量。
间变量。
注意：复合函注意：复合函数并不是一数并不是一数并不是一类新的函数类新的函数类新的函数，它只是，它只是，它只是反映某些函反映某些函反映某些函数在结构方数在结构方数在结构方面的某种面的某种面的某种特点，因此特点，因此特点，因此，，根据复合函数根据复合函数结构，将它结构，将它结构，将它折成几个简折成几个简折成几个简单的函数单的函数单的函数时，应从外时，应从外时，应从外到里一层一到里一层一到里一层一层地拆，层地拆，层地拆，注意不要漏注意不要漏注意不要漏层。
层。
另外，在研究另外，在研究有关复合函有关复合函有关复合函数的问题时数的问题时数的问题时，要注意，要注意，要注意复合函数的复合函数的复合函数的存在条件，存在条件，存在条件，即当且仅当即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交的定义域的交集非空时，集非空时，集非空时，它们的复合它们的复合它们的复合函数才有函数才有函数才有意义，否则意义，否则意义，否则这样的复合这样的复合这样的复合函数不存函数不存函数不存在。
在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u 2 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数两个函数复合而成复合而成复合而成。
二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
的定义域。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。
下面将介绍其中的八种方法。
方法一：根据函数公式求取定义域。
对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。
例如对于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。
方法二：分析函数的基本性质。
有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。
例如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此定义域为实数集。
方法三：考虑函数中的根。
对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的情况。
例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所以定义域为{x，x≥3}。
方法四：考虑函数的分段定义。
对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。
例如对于函数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实数集。
方法五：考虑函数的限制条件。
有时函数在定义域上有一些限制条件。
例如对于对数函数f(x) =ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。
方法六：考虑函数的参数限制。
对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。
例如对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定义域为实数集。
方法七：考虑函数的复合性质。
对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。
例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。
例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的定义域与f(x)的定义域保持一致。
方法八：考虑函数的图像。
对于一些函数，通过画出函数的图像可以直观地确定定义域。
例如对于一个二次函数f(x)=x^2+1，通过函数的图像我们可以看到函数的定义域为实数集。
复合函数定义域三种形式解法
复合函数定义域三种形式解法复合函数是由两个或多个函数组成的一个新函数。
在定义复合函数的时候，需要确定合成函数的定义域以保证合成函数的存在和可行性。
一、基本定义域的合成考虑两个函数f和g，其中g的定义域包含f的值域，即对于任意x属于f的定义域，存在一个数y，使得f(x)=y且y属于g的定义域。
例如，考虑f(x) = x^2和g(x) = sin(x)，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为[-1,1]。
显然，f的值域为非负实数集R+，并且R+在g的定义域[-1,1]内。
因此，f和g的合成函数h(x) = g(f(x))的定义域为实数集R。
二、交集的合成当两个函数的定义域没有包含关系时，可以考虑它们的交集作为合成函数的定义域。
也就是说，要找到两个函数的共同定义域，才能进行合成。
例如，考虑f(x)=√(4-x^2)和g(x)=1/x，其中f的定义域为[-2,2]，g的定义域为(-∞,0)U(0,+∞)。
显然f和g的共同定义域为(0,2]U[-2,0]，即f和g的交集为[-2,2]。
因此，f和g的合成函数h(x)=g(f(x))的定义域为[-2,2]。
三、条件限制的合成有时候，函数之间的合成有些条件限制。
在这种情况下，复合函数的定义域需要根据这些条件来确定。
例如，考虑f(x)=x+2和g(x)=√x，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为非负实数集[0,+∞)。
但是，根据g的定义域的条件，对于g(f(x))来说，只有f(x)>=0时，g(f(x))才有定义。
因此，f(x)>=0，即x>=-2、所以，复合函数g(f(x))的定义域为[-2,+∞)。
综上所述，复合函数的定义域有三种形式的解法：基本定义域的合成、交集的合成和条件限制的合成。
具体的解法需要根据函数的定义域和值域来确定，以确保复合函数的存在和可行性。
复合函数的定义域和解析式
复合函数的定义域和解析式一、复习引入： ⑴已知20()2000x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，，，，则(4)___[(3)]___f f f =-=，．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出，那么((1))___((2))___,((3))___,((4))___f f f g g f g g ====，． ⑶已知函数2()1f x x=+，①求()(1)(1)f a f a f x ++，，； ②若函数()1g x x =+，求(())f g x ． 变题：已知函数xx f =)(，1)(2-=x x g ，求：①)(a f ；②(())f g x ；③(())f g x 的定义域；④))((x f g ．⑷已知函数()21[12]f x x x =-∈-，，，2()32[25]g x x x x =+∈，，，求[()]f g x .点评：2[25]32[12]x x x ∈⎧⎨+∈-⎩，，二、新授知识： 1、复合函数的定义设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。
此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(．注意：)(x g 的值域'M M ⊆．例2．（课时练 2 例1）⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答：⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数． 函数)(x f 的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]． ∴1210≤-≤x ， ∴021≤-≤-x ，即210≤≤x ，∴函数)21(x f -的定义域[0，21]．⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数． )12(-x f 的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]， ∴)(x f y =的定义域是[-3，1]．点评：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。
复合函数定义域三种形式解法
先介绍几个名词汇：（能明白最佳，如果感觉那些名词汇有面晕，您不妨跳过）之阳早格格创做【定义域】：便是初中咱们所教的，函数y=f(x)的自变量x的与值范畴；【值域】：函数y=f(x)的果变量y的与值范畴；【隐函数】：雅称罕睹函数，函数剖析式是精确的，比圆：y=f(x)=2x2+3x-5；【隐函数】：雅称抽象函数，函数剖析式是没有精确的，便用y=f(x)表示，简直f(x)是什么真质是隐躲的；【复合函数】：如果道y=f(x)是一个简朴的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)去代替，便称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是中函数，t=g(x)为内函数.道解之前指示很闭键的一句：通常是函数的定义域，永近是指自变量x的与值范畴.【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，怎么样供复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？思路分解：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范畴，供y=f(g(x))的自变量x的范畴，其中的闭键是，后者的g(x)相称于前者的x.办理战术：供没有等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，供函数y=f(3+2x)的定义域.解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]，闭于抽象复合函数定义域的供法证明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x干了一个换元，此处换元没有克没有及写为令x=3+2x.本果是y=f(x)中的x与y=f(3+2x)的x虽然少得一般，然而是意思分歧，如果令x=3+2x，则等号二边的x便是一模一般了，x只可为-3了.【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，怎么样供抽象函数y=f(x)的的定义域？思路分解：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范畴，供y=f(x)的自变量x的范畴，其中的闭键是，前者的g(x)相称于后者的x.办理战术：供内函数t=g(x)正在区间[m,n]的值域（t的与值范畴），即为y=f(x)的定义域【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，供函数y=f(x)的定义域.解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]证明：函数y=f(x)与y=f(t)是共一个函数，与单个自变量是x仍旧t无闭.其余，题型二是题型一的顺背题目.【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，怎么样供复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？思路分解：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范畴，供y=f(h(x))的自变量x的范畴，其中的闭键是，前者的g(x)相称于后者的h(x)，故先供出“桥梁”函数y=f(x)的定义域.办理战术：用题型二的要领根据y=f(g(x))定义域供y=f(x)的定义域，用题型一的要领根据y=f(x)的定义域供y=f(h(x))的定义域【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，供函数y=f(3+x)的定义域.解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]令t=3+x，则t=3+x∈[-1,5]闭于抽象复合函数定义域的供法故，函数y=f(3+x)定义域为[-4,2]证明：题型三本去是题型一与题型二的概括而已，会了前二个题型，第三个题型自然便会了.。
复合函数定义域三种形式解法
复合函数定义域三种形式解法复合函数的定义域是指使得复合函数有意义的所有可能的输入值的集合。
若已知两个函数f(x)和g(x)，要求它们的复合函数f(g(x))的定义域，可以采用以下三种形式的解法。
解法一：通过视觉法确定定义域这种方法适用于简单的函数组合，可以通过观察得到定义域的范围。
例如，如果已知f(x)=√x，g(x)=2x，则f(g(x))=f(2x)=√(2x)。
根据平方根函数的定义域为非负实数，可以确定复合函数的定义域为所有使得2x≥0的实数，即x≥0。
因此，定义域为[0,+∞)。
解法二：通过函数图像确定定义域这种方法适用于已知函数的图像，并且函数图像比较简单的情况。
例如，如果已知f(x)=1/x，g(x)=x+2，则f(g(x))=f(x+2)=1/(x+2)。
根据1/x函数的图像，可以确定其定义域为除了x=0之外的所有实数。
将所有使得x+2≠0的实数作为复合函数的输入，即x≠-2、因此，定义域为R-{-2}，其中R表示实数集合。
解法三：通过函数定义式确定定义域这种方法适用于通过分析函数定义式来确定定义域的复杂情况。
例如，如果已知f(x)=√(4-x)和g(x)=(x-1)/(x-5)，则f(g(x))=√(4-g(x))=√(4-(x-1)/(x-5))。
为了使得复合函数有意义，需要满足两个条件：1）分母不能为0；2）被开方的表达式必须大于等于0。
首先，对于分母不能为0的条件，需要排除使得x-5=0的值，即x≠5、然后，考虑被开方的表达式必须大于等于0的条件，即4-(x-1)/(x-5)≥0。
通过解不等式可以确定这个条件的范围。
将分式转化为通分形式，得到(4(x-5)-(x-1))/(x-5)≥0。
化简不等式，得到(3x-9)/(x-5)≥0。
根据不等式的性质，需要分析函数在各个区间上的正负性来确定不等式的解集。
当x<5时，分子分母同号，即(3x-9)/(x-5)>0，解为(-∞,5)；当x>5时，分子分母异号，即(3x-9)/(x-5)<0，解为(5,+∞)；当x=5时，分子为0，则这个点需要额外讨论。
复合函数
复合函数一、复合函数的定义如果y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y=f(u),u=g(x)，那么y 关于x 的函数y=f[g(x)]叫做f 与g 的复合函数，u 叫中间变量，其中y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点。
因此，根据复合函数结构，将她拆成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。
所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
二、求复合函数的定义域1、已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域由复合函数的定义可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x ∈(a,b)，求出f[g(x)]中a<g(x)<b 的解x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
例1 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。
分析：函数的定义域是式子当中x 的取值范围，确保两个函数中整体x ，2x 的取值范围相同。
解：依题意有1x 02≤≤，∴1x 1≤≤-。
∴)x (f 2的定义域为]1,1[-。
点评：如果函数)x (f 的定义域为A ，则函数)]x (g [f 的定义域是使函数A )x (g ∈的x 的取值范围。
2、已知)]x (g [f 的定义域，求)x (f 的定义域方法是：若f[g(x)]的定义域为x ∈(a,b)，则由a<x<b 确定g(x)的范围即为f(x)定义域。
例2 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。
解：∵)x 23(f -的定义域为]3,3[-，∴3x 3≤≤-，9x 233≤-≤-。
高一数学必修1复合函数定义域的求法
解:
由y
k
x2
kx 7 4kx
3
的定义域为一切实数, 可知
分母kx2 4kx 3 0对x R恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成立
(2)当K 0时 : 0,解得: 0 k 3 4
综上(1),(2)知,当0 k 3 时 4
y
Байду номын сангаас
kx 7 的定义域是一切实数 kx2 4kx 3
复合函数求定义域的几种题型：
题型(一):已知f (x)的定义域,求f [g(x)]的定义域
例1.若f (x)的定义域是[0,2],求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 x 3
2
2
故 : f (2x 1)的定义域是{x 1 x 3}
2
2
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
题型(二):已知f g x的定义域,求f (x)的定义域
例2:已知f 2x 1的定义域(1,5],求f (x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
f (x)的定义域为 3,9
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
解:∵定义域是R, ax2 ax 1 0恒成立，
当 a 0 时,显然适合题意.
当
a
0
时
2.13-2抽象函数(复合函数)定义域的求法讲义
抽象函数的定义域抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。
复合函数的概念：设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数(composite function)，其中x 称为自变量,u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．变式训练：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
三种类型复合函数定义域的求法
三种类型复合函数定义域的求法在数学中，函数是一种映射关系，它将一个或多个元素从一个集合映射到另一个集合。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数。
当我们考虑复合函数的定义时，我们需要考虑两个问题：各个函数的定义域，以及这些函数的组合会产生什么变化。
在本文中，我们将讨论三种类型的复合函数定义域的求法。
类型一：两个函数定义域的交集当我们考虑复合函数的定义域时，最常见的情况是两个函数的定义域求交集。
对于给定的两个函数f(x)和g(x)，我们需要找到一个定义域，使得两个函数在这个定义域内都有定义。
假设f(x)的定义域为A，g(x)的定义域为B，那么复合函数h(x)的定义域为A∩B。
也就是说，只有当x属于A且x属于B时，h(x)才有定义。
例如，假设f(x)=√x，g(x)=x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的定义域。
首先，f(x)=√x在实数范围内有定义，也就是A=[0,∞)。
其次，g(x)=x+1在整个实数范围内有定义，也就是B=(-∞,∞)。
然后，我们求出这两个定义域的交集。
A∩B=[0,∞)∩(-∞,∞)=[0,∞)因此，复合函数h(x)=f(g(x))的定义域为[0,∞)。
类型二：两个函数定义域的并集除了求两个函数定义域的交集之外，我们也经常需要求两个函数定义域的并集。
这种情况通常出现在我们需要考虑复合函数的反函数时。
假设f(x)的定义域为A，g(x)的定义域为B，那么复合函数h(x)的定义域为A∪B。
也就是说，只要x属于A或x属于B，h(x)就有定义。
例如，假设f(x) = √x，g(x) = ln(x)，求复合函数h(x) = f(g(x))的定义域。
首先，f(x) = √x在实数范围内有定义，也就是 A = [0,∞)。
其次，g(x) = ln(x)在(0,∞)范围内有定义，也就是B = (0,∞)。
然后，我们求出这两个定义域的并集。
A∪B=[0,∞)∪(0,∞)=(0,∞)因此，复合函数h(x)=f(g(x))的定义域为(0,∞)。
复合函数(讲义)
复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。
2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。
注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。
3.复合函数的单调性口诀：同增异减。
已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。
4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。
即：f(x)。
偶函数。
偶函数。
奇函数。
奇函数g(x)。
偶函数。
奇函数。
偶函数。
奇函数f(g(x))。
偶函数。
偶函数。
偶函数。
奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。
复合函数定义域的常见求法 [new] [原创]
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复合函数定义域的常见求法 [new] [原创]
定义域是指函数所有可以取值的集合，若给定函数是复合函数，也就是函数的表达式
包含多个函数，那么求这个复合函数的定义域有以下几种常见的求法：
1. 确定最底层函数的定义域：在复合函数中，一般最底层的函数是基础函数，其他
函数均通过对它的运算或变形得出。
因此，首先要分析函数的表达式，明确最底层的函数，然后求出它的定义域，也就是最终的定义域。
2. 排除无效域：在求最终定义域时，要排除后面由函数运算或变形所产生的无效域。
只有当这些域在最终定义域中时，才能算作有效域。
3. 根据运算规律求出定义域：在求复合函数定义域过程中，要熟知运算规律，如正
反乘除、开方、求幂等，这将有助于准确推求出函数的定义域。
4. 根据函数性质求出定义域：有的复合函数会有一些特殊的性质，如绝对值函数、
三角函数等，这些性质可以帮助我们快速求出函数的定义域。
5. 数值试探的求法：有的复合函数定义域比较复杂，可以用数值试探的方法来求出
定义域，其原理是利用反证法对定义域挨个进行试探。
在求复合函数定义域时，应注意条件限制，结合以上常见求法，灵活运用即可求出准
确的定义域。