北航随机过程总复习资料
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
随机过程复习资料.doc
丄20 25 1. 设｛2V(r)J>0｝是一更新过程，已知P ｛X. =1｝ = 1/3, P ｛X i =2｝ = 2/3,则 P ｛N(3) = 2｝=§ 2.若Markov 链只存在一个类，则称它是不可约的，若状态同属一类,则d ① 与d(j)的大小关系d ⑴=d(j) (<,>,=)丄 423.设Markov 链的状态空间S = (1,2,3),转移矩阵P=-4..设｛B(f),宀 0｝是标准 Brown 运动，则 P(B(2)<0) = |.题目：X(/) = sin",U ~U[0,2刃.试判断X(/)为宽平稳还是严平稳过程.解：EX (t) = E(sin Ut) - ~ sin utdu = 01 ® 1= E(sinUtsinUs) = 一 I ——[cos+ 51) - cos u(t - s)]du2龙力 21 —,t = s =<2 0,心s故｛X(t)｝为宽平稳过程。
又sinU 与sin2U 的分布函数不同，故｛X (t)｝不是严平稳的 题目：MaMov 链的状态空间S = {1,2,3,4}，—步转移概率矩阵‘％0 o '1 0 0 0 0 % % 0%0 丿试对其状态进行分类，确定哪些是常返态,并确定其周期解：1.由转移概率矩阵知：10 2,并且有3 ^2,2^3； 4 T 2,2/4； 4宀3,3“4;故状态空间可以分为：S = {1,2}U ⑶U{4}.2.由转移概率矩阵知：几〉0(心1,2),所以状态1和2都是非周期的，又10 2故状态2也是非周期的.从状态4出发不可能返回到状态4,即集合{zz:z/>l,/^>0}为空集，故状态4的周期无穷大./11=z/H ,,=/H n +/r+/1<13,+-+/r+-n=l=i + 1 +0+---+0+•••2 2=1所以状态1为常返态，又1^-2,故2是常返态. ......... 4分+8f— f（"）= f ⑴ + f ⑵f ⑶+ …丿33 厶丿33 丿33 丁丿33 丁丿33 丁n-12=—+ 0 + 0 +•••3 厶13所以状态3为非常返态.+00f— N' f（"）—f ⑴ + f ⑵+ …J 44 丿44 J 44 ' J 44 ~n=l= 0 + 0 —=0<1故状态3也是非常返态.题目：将两个红球4个白球分别放入甲乙两个盒子中.每次从两个盒子中各取一球交换，以X(“)记第n次交换后甲盒中的红球数.1.说明｛X(n),n> 0｝是一Markov链并求转移矩阵P ；2.试证(X(n), n = 0,1,2, •••｝是遍历的；3.求它的极限分布.解：1.设X(“)为"次交换后甲盒中的红球数，则易见｛X(“)｝是马尔可夫链，状态空间为S =｛0,1,2｝；n 1 02 2转移矩阵为p = 3 4 18 8 80 1 0丿2.山于5 = ｛0,1,2｝有限，且S中状态互通，即不可约的，故｛X(")｝是正常返的，又状态1为非周期的，故1是遍历的，所以｛X®)｝是遍历链.题目：> 0｝为标准Brow”运动，验证｛X(/) = (1 -^―)｝, 0 V / V1｝是Brow”桥.1-t解：因为E[X(t)] = (l-t)E B(—) -01 — t皿⑴］n咕)")吩所以｛X(/)｝是Gauss过程，均值为零，协方差为5(1-0 ,即为Brown。
随机过程复习提纲
X (t ) E (eitX ) e itxk pk k 1
连续型随机变量X： 概率密度函数f (x)
X (t ) E(eitX )
e itx f ( x)dx
对一切随机变量，其特征函数都存在！
X (0) E(ei0X ) 1
23 March 2020
随机过程
常见分布的特征函数
随机过程
严平稳过程与宽平稳过程关系
➢ 严平稳过程不一定是宽平稳过程；反之， 宽平稳过程也不一定是严平稳过程；
➢ 宽平稳正态过程是严平稳过程。
联合平稳过程（平稳相关）
E[X (t)Y(t )] RXY ( ), t, t T
23 March 2020
随机过程
时平均 时相关函数 遍历性的验证
X (t) l.i.m 1
以连续型为例
E(X)
( xfX Y ( x y)dx) fY ( y)dy
xf (x, y)dxdy
xfX ( x)dx
23 March 2020
随机过程
特征函数
定义
X (t) E(eitX ), t (, ).
离散型随机变量X： P( X xk ) pk , k 1, 2,L
T
X (t)dt
T 2T T
X (t)X (t ) l.i.m 1
T
X (t)X (t )dt
T 2T T
均值具有遍历性
P{ X (t) mX } 1
自相关函数具有遍历性
P{ X (t) X (t ) RX ( )} 1
遍历性定理 —— 了解即可！
23 March 2020
绝对分布 X(n)的分布 P(n) [ p1(n), p2(n),L , pi (n),L ]
北航随机过程总复习
假设X(t)为平稳过程，则
稳过程的自相关函数也是可积的， RYY则输出一定也是平稳的！h(u ) h(v)dudv (t1 , t2 ) RXX (t1 u, t2 v)
输入平稳 RXX ( u v)h(u ) h(v)dudv, 注意：积分存在的条件，只有均值与
2
df 这里 2 f
五、冲击响应法
N0 RY ( ) 2
h(u ) h ( u ) du
2 Y
N0 RY (0) 2
h (u )du
2
五、噪声等效通频带
FY ( )
FY 0 e FY d
0
FY (0 )
e
2
N0 RY ( ) 2
+
0
| H ( j ) | cos d
2
输出自相关不再是理想脉冲！
五、频谱法－方差
因为白噪声为零均值，故
N0 CY (0) RY (0) 2
2 Y
0
H j d
2
或 N 0 H jf
2 Y 0
第二章 知识要点－1
随机过程：
– 时间为参量的一族随机变量 – 也可以看成是一族样本信号
四种分类：
– 连续型随机过程 – 离散型随机过程 – 连续随机序列 – 离散随机序列
第二章 知识要点
研究工具1
– 有限维分布函数簇、概率密度函数 【注意】矢量随机过程 – 概念上有用
研究工具2
– 数字特征：均值函数、自相关函数、 相关系数、功率谱密度函数 – 工程应用更多
北航 概率与统计 随机过程
, t1' ,
,
t
' n
)
FX
(x1, ,
xm ; t1, , tm
)
FY
(
y1 ,
,
yn
; t1' ,
,
t
' n
)
都成立,则称两个随机过程相互独立.
习题10.2 1—4
第三节 随机过程的数字特征
随机变量数字特征复习:
X ,Y 为随机变量, 联合概率密度 f (x, y),
定义1 设随机试验 E 的样本空间 S {e} , T
是非空集合, T (,) .如果对于每个 e S , 对应有参数的函数 X (e,t) , t T (,) ,那么,
t 对于所有的 e S ,得到一 族 的函数{X (e,t),t T,e S}
称为随机过程,简称过程.简记为{X (t),t T} 或 X (t) . T 称为参数集.
的分布律分别为
X(1)
0
1
P
1-p
p
X(2)
0
2
P
1-p
p
一维) x 1 p 0 x 1
1 x 1
0 x 0
F2 (x; 2) PX (2) x 1 p 0 x 2
1 x 2
(
x1
,
,
xm
,
y1
,
,
y
n
;
t1
,
,
t
m
,
t1'
,
,
t
' n
)
称为随机过程X(t)和Y(t)的m+n维联合分布函数.
(完整)随机过程复习试题及答案,推荐文档
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
证明：当12n 0t t t t <<<<<L 时，1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x )≤L =n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n P(X(t)x X(t )=x )≤3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p pl l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
证明：{}(n)ij k IP P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U ={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑ ={}{}k IP X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑g =(l)(n-l)ik kjPP ∑，其意义为n 步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。
4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量，且与{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=。
随机过程复习提纲汇总
随机过程复习提纲汇总随机过程是概率论中研究随机现象的一种数学工具，它描述了随机事件或变量在时间或空间上的演化规律。
随机过程在概率论、统计学以及各个科学领域中都有广泛的应用。
在复习随机过程的过程中，可以按照以下提纲进行系统地总结和复习：一、随机过程的定义和基本概念1.随机过程的定义和基本性质2.随机变量和随机过程的关系3.有限维分布和无限维分布4.随机过程的连续性和可测性二、随机过程的分类1.马尔可夫链和马尔可夫过程2.马尔可夫链的平稳分布和细致平衡条件3.各类随机过程的特性和应用（如泊松过程、布朗运动等）三、随机过程的数学描述1.随机过程的表示方法（如状态空间表示、样本函数表示等）2.随机过程的独立增量性质3.随机过程的平稳性质和相关函数四、随机过程的统计特性1.随机过程的均值和方差2.随机过程的相关函数和自相关函数3.随机过程的功率谱密度和自相关函数之间的关系五、随机过程的极限理论1.强大数定律和中心极限定理在随机过程中的应用2.极限理论在随机过程中的应用（如大数定律、中心极限定理等）六、马尔可夫过程的统计推断1.马尔可夫链的参数估计2.马尔可夫过程的参数估计3.马尔可夫过程的隐马尔可夫模型和参数估计七、随机过程的应用1.随机过程在金融领域的应用2.随机过程在电信领域的应用3.随机过程在信号处理领域的应用以上是一个较为全面的随机过程复习提纲，按照这个提纲进行复习可以帮助系统地回顾和学习随机过程的各个重要概念、定理和应用。
在复习的过程中，可以结合课本、教材以及相关资料进行深入学习和巩固。
同时，通过解答题目、做习题和实际应用案例的分析，可以提高对随机过程的理解和应用能力。
复习随机过程时，要注意理论和实践相结合，注重理论概念的理解和应用技巧的掌握。
随机过程总复习
设{N i ( t ), t 0}( i 1,2, n)是n个 相 互 独 立 的 Poisson 过程，
Poisson 过程，参数为 i .
i 1
n
条件分布函数与条件期望
1、条件分布函数的定义 离散型 若 P（Y
yj) 0
，则称
P（X xi | Y y j )
（ 2） （3 ）
若X和Y相互独立，则
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
二、协方差
Cov ( X , Y ) E[( X E( X ))(Y E(Y ))]
计算协方差时通常用下列关系式：
C ov ( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y )
三、矩母函数
e ku
(teu ) k ( t ) k t t t ( e u 1) t )的 矩 母 函 数 为
u u N (u) N (u) exp 1te 2te (1 2 )t
1 2
N N (u) E[e
为在条件 Y 同样
P（X xi ,Y y j ) P（Y y j )
pij p j
yj
下，随机变量X的条件分布律 。
P（X xi ,Y y j ) pij P（Y y j | X xi ) P（X xi ) pi 为在条件 X x i 下，随机变量Y的条件分布律。
X (t ) e
0
2
itx
1 dx 2
e
2 it
1 2it
设N1 ( t ), t 0和N 2 ( t ), t 0分 别 是 参 数 为 1， 2的 独 立 的 Poisson 过程，令 X( t ) N 1 ( t ) N 2 ( t ), Y ( t ) N 1 ( t ) N 2 ( t ) 证 明 : X ( t )是 具 有 参 数 为 1 2的Poisson 过 程, 而Y ( t )不 是 Poisson 过 程.
随机过程复习题二及其答案
随机过程复习题二及其答案一、选择题1. 随机过程的定义是什么？A. 一系列随机变量的集合B. 一系列确定变量的集合C. 一个随机变量D. 一个确定变量2. 什么是马尔可夫链？A. 一个具有时间序列的随机过程B. 一个具有空间序列的随机过程C. 一个具有独立同分布的随机过程D. 一个具有时间依赖性的随机过程3. 随机过程的期望值定义为：A. \( E[X(t)] \)B. \( E[X] \)C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x,t) \, dx \)D. \( \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i \)4. 以下哪个不是随机过程的属性？A. 期望B. 方差C. 协方差D. 导数5. 什么是平稳随机过程？A. 随机过程的期望随时间变化B. 随机过程的方差随时间变化C. 随机过程的统计特性不随时间变化D. 随机过程的协方差随时间变化答案：1. A2. A3. A4. D5. C二、简答题1. 解释什么是遍历定理，并给出其在随机过程分析中的应用。
2. 描述什么是泊松过程，并解释其主要特点。
3. 简述什么是布朗运动，并解释其在金融领域中的应用。
三、计算题1. 给定一个随机过程 \( X(t) \)，其期望 \( E[X(t)] = t \)，方差 \( Var[X(t)] = t^2 \)，计算 \( E[X^2(t)] \)。
2. 假设一个马尔可夫链 \( \{X_n\} \) 有状态空间 \( S = \{1, 2, 3\} \)，转移概率矩阵 \( P \) 为：\[P = \begin{bmatrix}0.1 & 0.8 & 0.1 \\0.5 & 0.3 & 0.2 \\0.2 & 0.6 & 0.2\end{bmatrix}\]计算状态 1 在第 3 步的概率。
四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用，并举例说明。
随机过程复习提纲汇总
随机过程
随机过程的数字特征与特征函数
（1）均值函数 （2）均方值函数 （3）方差函数
mX (t ) E[ X (t )]
2 2 ( t ) E [ X (t )] X
DX (t ) E( X (t ) mX (t ))2
（4）自相关函数 RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] （5）自协方差函数
随机过程
常见分布的特征函数
1.两点分布((0-1)分布)
X ( t ) 1 p p e it
2.二项分布 B(n, p) 3.泊松分布 4.均匀分布
5.指数分布 6.标准正态分布
20 January 2019
X ( t ) (1 p pe it )n
X (t ) e
X (t )
e it
i (e itb e ita ) ( b a )t
2 i t X (t ) 2 2 it t
X (t ) e
t2 2
随机过程
特征函数的基本性质
(1) X (0) 1, X ( t ) X (0), X ( t ) X ( t ).
xf ( x, y )dxdy xf X ( x )dx
20 January 2019
随机过程
特征函数
定义
X ( t ) E (e itX ), t ( , ).
离散型随机变量X： P ( X xk ) pk , k 1, 2,
(6)随机变量的分布函数与其特征函数一一对应.（唯一性）
随机过程总复习
X ( t)W (s )ds , t 0 ，求 { X ( t), t 0 } 的均值 函数与相关函数 .
第三章 随机分析
2. 均方随机微分方程的求解
X () t at () Xt () Yt () ,t t 0 (0) X 0 Xt
t 0 X ( t ) X e 0
2)
对 0st,N ( t)N (s ) 服从参数为
( t s ) 的 poisson 分布
定理 (到达时间间隔分布) 设{N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程， 是其到达时间间隔序列，则 Tn , 1 ,2 , n 是相互独立同服从参数为λ 的指数分布．
第三章 随机分析
1. 均方连续、均方可导、均分积分的判别准 则以及三者之间的关系
均方连续准则
{X(t), t∈T}在t0处均方连续的充要条件是其相关函数 RX(s, t)在(t0, t0)处连续.
均方可导准则
{X(t),t∈T}均方可导的充要条件是 对任意的t∈T, RX(s, t)在（t, t)处一阶偏导数存在，二阶偏导数存在且 连续． m t m () t () X X
x
2 x x 3 2
（ 2 ） F ( 0 ,; x , x ) P (( X 0 ) x , X () x )
3
12
3 A P (A x 2) x 1 2
1
2
P ( A x1 ) x 1 2 x 2 P ( A 2 x2 ) x 1 2 x 2
称 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.
2 2 E Y , 则 m ( t ) t E Y , D ( t ) t E Y n X n X n
北京航空航天大学概率统计各章试题 概率统计与随机过程各章试题
第1章 随机事件的概率一、事件关系：1、设B A ,为任意两事件,则下列关系成立的是( C ).(A) A B B A =-+)( ; (B) ()A B AB A +-= ;(C) ()()A B AB B A A B -++-=+ ; (D) A B B A =+-)(.1、 设A 、B 为试验E 的两个事件,且1)(0<<B P ，则下列各式中成立的是( D )。
(A) )(1)|(A P B A P -=； (B) )|()|(B A P B A P =；(C) )()()(B P A P AB P =； (D) )|()()(B A P B P B A P = 。
二、古典概率：2、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得到的是红球的概率是（ B ）。
（A ）15； （B ）14； （C ）13 ；（D ）12。
三、（9分）从9~0这十个数码中任意取出4个排成一行数码,求： (1) 所取4个数码恰排成四位偶数的概率;(2) 所取4个数码恰排成四位奇数的概率;(3)没排成四位数的概率.解(1) 设=A 排成四位偶数, (末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0), 9041)(4101139142818=+=A C A C A C A P ; (2) 设=B 排成四位奇数, 9040)(410152818==A C A C B P ; (3)设=C 没排成四位数, 101909)(4103911===A A A C P 6、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：(A)（A ）4190 ;（B ）12；（C ）4090；（D ）3290 。
1、设有n 个球,每个球都能以同样的概率N1落到N 个格子)(n N ≥的每一个格子中, 则恰有n 个格子中各有一个球的概率为 !!()()!n n N N n n n C n A N P B N N N N n ===- 。
18 北航2系随机过程的课件
东南大学无线电工程系
10
稳态方程和解
2012-1-5
东南大学无线电工程系
11
M/M/c排队系统
2012-1-5
东南大学无线电工程系
12
稳态解
2012-1-5
东南大学无线电工程系
13
M/M/c/K
2012-1-5
东南大学无线电工程系
14
稳态解
2012-1-5
东南大学无线电工程系
15
有限源窗口排队系统示意图
2012-1-5 东南大学无线讲 “排队论初步”终。
2012-1-5
东南大学无线电工程系
22
2012-1-5
东南大学无线电工程系
16
状态转移图
2012-1-5
东南大学无线电工程系
17
稳态解
2012-1-5
东南大学无线电工程系
18
M/G/1排队系统
2012-1-5
东南大学无线电工程系
19
稳态方程
2012-1-5
东南大学无线电工程系
20
作业
7.4 小于等于 7.10 7.14 7.16
《随机过程》教程 随机过程》
第18讲 排队论初步 18讲
东南大学移动通信国家重点实验室 陈 明 制作
chenming@ /incoming/document/随机过程 /incoming/document/随机过程
2012-1-5 东南大学无线电工程系 1
4
Little公式
2012-1-5
东南大学无线电工程系
5
M/M/1排队系统
2012-1-5
东南大学无线电工程系
6
稳态方程和解
北航 随机过程 第三章
随机过程理论Stochastic process theory授课教师：李春升教授、徐华平教授第三章随机过程的线性变换Linear transformation of random process目录3.1 随机过程变换的基本概念3.2 均方微积分3.3 随机过程线性变换微分方程法3.4 随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法3.5 白噪声通过线性系统3.1 随机过程变换的基本概念The basic concepts of random process trasformation()X t ()Y t T 1、系统的描述(){()}Y t T X t = 线性系统 2、系统的性质()()y t L x t =⎡⎤⎣⎦线性✓叠加性 ✓比例性时不变性随机性与确定性2、系统的性质 00[()][()]n ni i i i L x t L x t ===∑∑[()][()]L kx t kL x t =()[()]y t L x t ττ+=+()(1)()(1)1010()()()()()()n n m m n n m m a Y t a Y t a Y t b X t a X t b X t ----+++=+++3、确定性输入信号的分析方法 冲激响应—〉传递函数()()()()()()()()()()y t L x t L x t d x L t d x h t d x t h t λδλλλδλλλλλ⎡⎤==-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦=-=⊗⎰⎰⎰线性时不变性()()()Y H X ωωω=3、确定性输入信号的分析方法 频率响应—〉传递函数()()()()()()()()()1lim 21 lim 21 lim 211 22kk j t k k n k j t k k n kj t k k k n k j t y t L x t L X e X L e X H j e X H j e d Y eωωωωωωπωωπωωωπωωωωππ→∞→∞→∞+∞-∞⎡⎤==∆⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∆⎣⎦⎡⎤=∆⎢⎥⎣⎦==∑∑∑⎰j t dt ω+∞-∞⎰()()()Y H X ωωω=()()()y t h t x t =⊗已知求频率响应函数()()2()()Y t X t T X t X t T =--⋅++3.2 均方微积分Mean-square calculus1、随机序列的极限及性质 常规极限（依概率收敛）均方极限 性质{}lim0nnP X Xε→∞->=limPnnX X→∞={}2lim0nnE X X→∞-=l.i.m nnX X→∞={}{}22nn E X XP X Xεε-->≤均方收敛必定常规收敛随机序列中的几种收敛及其关系依概率收敛 依概率1收敛 处处收敛 均方收敛依分布收敛(){}lim 0t t P X t X ε→->=()0lim Pt t X t X→=(){}02lim 0t t EX t X →-=()0l.i.m t t X t X→=2、随机过程的极限常规极限均方极限定义条件性质()(){}2lim 0t E X t t X t ∆→+∆-=()()l.i.m t X t t X t ∆→+∆=在 处连续 均方连续 12(,)X R t t 12t t t ==()X t ()()lim X X t m t t m t ∆→+∆=()()00lim l.i.m t t E X t t E X t t ∆→∆→⎡⎤+∆=+∆⎡⎤⎣⎦⎣⎦平稳过程在 处连续均方连续()X R τ0τ=()X t 3、随机过程的均方连续性均方导数的定义条件()()()()Δt 0d l.i.md X t X t t X t X t t t→+∆-==∆或()()()20lim 0t X t t X t E X t t ∆→⎧⎫+∆-⎪⎪-=⎨⎬∆⎪⎪⎩⎭在二阶偏导存在 均方可微 12(,)X R t t 12t t t ==()X t 平稳过程在 二阶导数存在均方可微()X R τ0τ=()X t 4、随机过程的均方微分均值()()()()()()()()()000l.i.m lim limd d Y t t X X t X X t t X t m t E X t E t X t t X t E t m t t m t t m t t∆→∆→∆→+∆-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦⎣⎦+∆-⎡⎤=⎢⎥∆⎣⎦+∆-=∆=平稳过程()0Y m t =4、随机过程的均方微分相关函数()()()()()()()()()()()()()222222121210212212021221202122,l.i.m 1lim 1 lim ,, ,XY t t X X t X X t t X t R t t E X t Y t E X t t E X t X t t X t X t t R t t t R t t t R t t t ∆→∆→∆→+∆-⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎣⎦∆⎣⎦=+∆-⎡⎤⎣⎦∆=+∆-⎡⎤⎣⎦∆∂=∂同理 ()()12121,,YX X R t t R t t t ∂=∂()()2121212,,Y X R t t R t t t t ∂=∂∂4、随机过程的均方微分相关函数平稳过程()()dd XY X R R τττ=-()()dd YX X R R τττ=()()000XY YX R R ττττ===-=()()22dd Y X R R τττ=-X (t )与Y (t )正交,互不相关4、随机过程的均方微分功率谱密度()()22dd Y X R R τττ=-傅立叶变换的性质()()()()()()2222X j j Y Y X X d R S R e d e d d j S S ωτωττωττττωωωω+∞+∞---∞-∞==-=-=⎰⎰()()XY X S j S ωωω=-()()YX X S j S ωωω=同理4、随机过程的均方微分n 阶导数()()()nn nd X t Xt dt=()()()()221n nnX nX d R R d τττ=-()()()()()()()1n m nmn mm X n m n mX Y d X t d Y t d R R E dt dt d ττττ++⎧⎫+⎪⎪=⋅=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭X (t )平稳,且相关函数高阶导数存在X (t )与Y (t )联合平稳求随机相位余弦波导数过程的自相关函数、导数过程与该过程的互相关函数定义可积条件（不证明）性质 ()()()1100l.i.m n b k k k a n k n X t dt X t t t -+∆→=→∞'=-∑⎰1212(,)b b X a a R t t dt dt <∞⎰⎰5、随机过程的均方积分 ()()b ba a E X t dt E X t dt⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰均值()X t()Y t()tads⋅⎰()()taY t X s ds a t b=≤≤⎰()()tY Xam t m s ds a t b=≤≤⎰平稳过程()()()t tY Xa am t m s ds cds c t a ===-⎰⎰随机过程的积分变换相关函数()()()()()()12121212, ,t t t t Y aa a a t t X a a R t t E X s X dsd E X s X dsd R s dsd λλλλλλ⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()221212122122,,t t XY X a aR t t E X t Y t E X t X s ds R t s ds ⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()112121,,t YX X a R t t R s t ds =⎰3.3 随机过程线性变换的微分方程法Differetial equation method for linear transformation of random process1、系统的微分方程描述()0()()n i i i x t a y t ==∑,0,,i a i n =2、输出的随机性()00()i i y t y =0,0,,i y i n =()0()()n i i i X t a Y t ==∑微分方程法中的数字特征求解1、均值2、相关函数()0()()n i i i X t a Yt ==∑()0()[()]ni X i i m t a E Y t ==∑121202(,)(,)i n XY X i i i R t t R t t a t =∂=∂∑121201(,)(,)in Y XY i i i R t t R t t a t =∂=∂∑3.4 随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法Impulse response method and spectrum method for linear transformation of random process1、冲激响应法()()()()()()()()()()Y t L X t L X t d X L t d X h t d X t h t λδλλλδλλλλλ⎡⎤==-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦=-=⊗⎰⎰⎰线性时不变性数字特征 均值相关函数()()()Y Xm t m t h t=⊗12122(,)(,)()XY XR t t R t t h t=⊗12121(,)(,)() YX XR t t R t t h t=⊗121212 (,)(,)()() Y XR t t R t t h t h t=⊗⊗平稳过程的数字特征 均值相关函数()()Y X Ym t m h d mλλ==⎰()()()Y X hR R Rτττ=⊗()()()()() hR h h d h h τλλτλττ=-=⊗-⎰()()()YX XR R hτττ=⊗()()()XY XR R hτττ=⊗-对于平稳随机过程：()()Y X Ym t m h d m ττ+∞-∞==⎰()()()XY X R R h τττ=⊗-()()()YX X R R h τττ=⊗()()()()Y X R R h h ττττ=⊗⊗-()()()YX X S S H j ωωω=()()()XY X S S H j ωωω*=2()()()() ()()Y X X S S H j H j S H j ωωωωωω*==2、频谱法+()X t ()Y t T延时()Z t ()tY d λλ-∞⎰-求频响函数H (j ω)() X t()1Y t()2Y t()1H jω()2H jω()1hτ()2hτ求互谱密度S Y1Y2(ω)3.5 白噪声通过线性系统White noise through linear system()2X N S ω=()H j ω()()()()2202Y X N S S H j H j ωωωω==()()()220004Y Y Y N C R H j d σωωπ+∞-∞===⎰()()24j Y N R H j ed ωττωωπ+∞-∞=⎰1、频谱法()()2X N R τδτ=00()()()()()()()22Y X h N N R R h h h h R τττττττ=⊗⊗-=⊗-=()()220000(0)()22YY Y h N N C R R h u duσ====⎰()h t 2、冲激响应法0()()2j Y h N S R e d ωτωττ-=⎰0()Y S ω()Y S ω0ωeω∆ω()()00Y e Y S S d ωωωω∞∆=⎰()()()()0220 Y eY S d S H j d H j ωωωωωωω∞∞∆==⎰⎰024e πωτ∆⋅=3 、噪声等效通频带低通滤波4、白噪声通过线性系统白噪声通过RC积分器白噪声通过理想低通网络 白噪声通过理想带通网络 白噪声通过高斯型带通网络白噪声通过RC 积分器1(),0t RCh t et RC-=>()x t ()y t RC||00()()24a Y h N N a R R eτττ-==||0000414a N a e d N a a τττ∞-==⎰||00222()44a j Y N a N a aS e e d a τωτωτω--==⋅+⎰022********e N a ad a aN a a aωωπω∞⋅+==⋅⎰白噪声通过理想低通网络0ω∆-ω∆ωK ()H j ω()0K H j ω⎧=⎨⎩ωωω-∆<<∆其它()()()2002H 20Y X N K S S j ωωωωωω⎧-∆<<∆⎪==⎨⎪⎩其它02πτω=∆20020022e N Kd N K ωωωω∆==∆⎰()200sin ()2Y N KR c ωτωτπ∆=∆白噪声通过理想带通网络0πτω=∆0ω∆0ωωK ()H j ω()2000sin ()cos 22Y N K R c ωωττωτπ∆∆=e ωω=∆()002K H j ωωωω∆⎧±<⎪=⎨⎪⎩其它()()()22000/220Y X N K S S H j ωωωωωω∆⎧±<⎪==⎨⎪⎩其它白噪声通过高斯带通网络K |()|H j ω0ωω()()2002exp 2H j K ωωωβ⎧⎫-⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭22400ed βτπττβ∞-==⎰()()()()2202002exp Y X S S H j N K ωωωωωβ⎧⎫-⎪⎪==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭作业3.1—3.53.9，3.10，3.133.17，3.19，3.21，3.25 3.28选做：3.16。
随机过程总复习
随机过程总复习
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性质：在 X(0)=0 的条件下， 独立增量过程 X (t) 的有限维分布
函数族可用一维增量 X( t ) X( s ), 0 s t 的分布来确定
定义3 若对任意实数 h 和 0 s h t h,X(t+h)-X(s+h)
与 X(t)-X(s) 具有相同的分布，则称增量具有平稳性 。
1）W(0)=0; 2) 具有独立增量；
3）对任意的 t s 0 ，增量
W( t ) W( s ) ~ N( 0, 2( t s )), 且 0;
则称此过程为维纳（Wiener）过程
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15
维纳过程增量的分布只与时间差有关，所以它是齐次的独立增 量过程，它也是独立增量过程。
事实上，对任意 n( n 0 ) 个时刻 0 t1 t2 tn ( 记 t0 0 ),
k
W (tk ) [W (ti ) W (ti1)], k 1, 2, , n i 1
根据1）－3），它们都是独立的正态随机变量的和。由 n 维
正态随机变量的性质知， (W( t1 ),W( t2 ),,W( tn )) 是 n
ai I
aiI
绝对分布的向量形式
ai
aj
p(n) p1(n), p2 (n),, Pj (n),
0
n
p(n) p(0)P(n)
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3、Markoff链的有限维分布
P{Xt1 ai1 ,, Xtn ain }
pi (0) pii1 (t1 ) pin1in (tn tn1 ) ai I
5
13
例: 若随机过程 X (t) At B, A ~ N(0,1), B ~ U(0,2)
北航 研究生 随机过程 2007-2008
2007-2008学年第一学期期末试卷随机过程理论A 卷一、设随机过程t B t A t X 00sin cos )(ωω+=，式中0ω为常数，随机变量A 、B 相互独立且同分布，均服从),0(2σN 。
试问：)(t X 是广义平稳随机过程么？)(t X 是严格平稳随机过程么？)(t X 是各态历经的么？为什么？（10分）二、设联合平稳随机过程)(1t X 和)(2t X ，它们的频域表示为)(1ωX 和)(2ωX ，将它们通过双输入、双输出线性系统，则有)()()()()(),()()()()(22212122121111ωωωωωωωωωωH X H X Y H X H X Y +=+=试求)(1t Y 的功率谱密度)(1ωY S 以及互谱密度)(21ωY Y S 。
（17分）三、设题图1所示的系统的输入)(t X 是平稳高斯随机过程。
若随机过程)(t Z 的功率谱密度为）（0)1)((21)()(2222>++++=βωωββωωπδωZ S 试求)()(t Y t X 、各自的相关函数)()(ττY X R R 、。
（18分）四、设)(t X 为一个零均值高斯过程，其功率谱密度)(ωX S 如题图2所示，若每T 秒对)(t X 取样一次，得到随机变量)()(X )0(NT X T X ，，、…。
求)()(X )0(NT X T X ，，、…的联合概率密度，并说明当T 取何值时，它们相互独立？（17分）ω五、设信号加噪声过程为)(])(2cos[)(0t N t f f a t X d ++=π，其中a 为常数，00002sin )(cos )()(f t t N t t N t N s a πωωω=−=，，)(t N 是理想窄带高斯过程，其双边谱密度为：其他2||02{)(00B f f N f S N ≤±=，并且2B f d <（B 是正常数），于是可写])(2sin[)(])(2cos[)(])(2cos[)(000t f f t q t f f t p t f f a t X d d d +−+++=πππ，试用)(t N c 和)(t N s 表示)(t p 和)(t q ；并求)(t p 的自相关函数)(t R p 及功率谱密度)(ωp S 。
随机过程复习提纲.pptx
=
=
，
故随机过程{X(t)，t>0}的一、二维概率密度分别为
即可.
ft(x)=
exp{-
}，t>0，
fs,t(x1,x2)=
.exp{
[
]},s,t>0,
其中 4、设{X(t)，t≧0}是实正交增量过程，X(0)=0，V 是标准正态随机变量，若对任意的 t≧0， X(t)与 V 相互独立,令 Y(t)=X(t)+V，求随机过程{Y(t)，t≧0}的协方差函数. 解：依题意知EX(t)=0，EV=0,DV=1,所以 EY(t)=E[X(t)+V]=EX(t)+EV=0， BY(t1，t2)=E(X(t1)+V)(X(t2)+V) =E[X(t1)X(t2))]+EV2=σ 2X(min(t1,t2))+1.
C p q pX k
(2)令 X~b(n,p),则
k k nk
n
, q 1 p, k 1,2..n.
e C p q
gt
itk
k
k nk
n
k0
C e p q
k it
n
k nk
k0
有特征函数定义，可知 eit pq n
k
e p( X k) ,0, k 0,1...n
(3)令 X~p(λ),则
解：X 的分布列为P(X=k)=
C
k n
p k q n 1 ,q=1-p,k=0,1,2,...n,
g
n t
e
i
t
k
C
k n
k 0
pkqnk
n
C nk
k 0
peit
北航随机信号复习重点.doc
1、仪器是人们用来对客观世界中的物质实体及其属性进行观察、测定、传输、变换、显示、分析处理与控制的各种器具与系统的总称。
仪器研究内容是信息获取、信息处理和信息利用。
2、一台完整的精密仪器，主要由基准部件即标准器、感受转换部件即传感器、转换放大部件、瞄准部件、数据处理部件、显示部件以及将它们连接起来的特定部件组成。
3、惯性导航系统完全自主、保密性强，且机动灵活，具备多功能参数输出。
误差随时间迅速累积；导航精度随时间而发散，不能长时间单独工作，必须不断校准。
4、主要包括功能、性能、精度、经济实用和外观等方面；1、精度是测量值与真值的接近程度。
中等、高、超高，对应于1 ~10,0.1~1,小于0.1单位微米。
分别以直线位移精度、主轴回转精度和圆分度精度为例进行划分2、精密仪器的主要参数是能基本反映设备的概貌和特点的一些项目。
包括精度参数、尺寸参数、运动参数、动力参数和结构参数等。
3、古典的阿贝原则是阿贝于1890年提出的一项量仪设计的指导性原则：为使仪器能够给出准确的测量结果，必须将被测件布置在基准元件沿运动方向的延长线上。
也就是说，仪器中被测零件的尺寸线和作为读数用的基准线（如线纹尺）应顺次排列成一条直线。
遵守阿贝原则的测量结果：消除了一次误差，保留了二次微小误差。
布莱恩于1979年提议将阿贝原则改成为更具有普遍意义的叙述方式：位移测量系统工作点的路程，应和被测位移作用点的路程位于一条直线上。
如果这不可能，那么就必须使传送位移的导轨没有角运动，或者用实际角运动的数据来计算偏移的影响。
一般认为阿贝原则包含三方面的意思：①一条直线；②没有角运动；③计算出偏移的影响并加以补偿。
遵守了这三条中的任何一条，都是遵守了阿贝原则4、粗精分离原则：高速低精度，低速高精度5、如果温度波动速率足够慢，被测薄壁管件和C形框架都能跟得上温度的变化，则读数头给出的偏差值很小；如果温度变化的速率足够快，即使薄壁管件也来不及对此变化作出反应, 则读数头给出的偏差值也很小。
《随机过程概论》课程复习提纲
哈尔滨工业大学 19
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性
• 1、严平稳与宽平稳定义、二者关系、判断 宽平稳的条件、联合平稳定义及判定 • 2、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差
信息与通信学院 随机信号分析基础
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10
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性 • 3、各态历经性 • 定义、物理含义、判定条件（时间平均、统计 平均） • 平稳性与各态历经性的关系、 • 直流分量、直流功率、总平均功率、交流平均 功率
12
6
第2章 随机信号的基本概念
随机信号(Stochastic Signal)定义
定义1: 定义1: 设随机试验E的样本空间为 i ，对其每一个元素
i i 1, 2, 都以某种法则确定一个样本函数 X t , i xi t
,由全部元素
号 X t , ，简记为 X t 。
h t1
h t2
RYX t1 , t2
h t2
h
RYX
RXY
h
h
RY
RY
RXY t1 , t2
h t1
h
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第5章 随机信号通过线性系统分析
H
2
H
H H 其它
H
0
P Y
H
PY
N 0 /2
1 2
H
PY d
H
0
随机过程总复习 (2).ppt
注:(3)可等价描述为: 自相关函数R(t1, t2 )仅与 t1 t2有关.
R(t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] R( )
因为 均值函数 X (t )
( ) R( ) 2
注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
X (0,1)
x y 1dy x 0x 2
2
4) f XY ( x, y) f X ( x) fY ( y) 所以X ,Y 不独立.
练习:对于随机变量X和Y，满足条件 E( X ) 2, E(Y ) 10,
2 则有 E[E(X Y )]
结论 : (1)若X是随机变量,则E( X ) X , a.s.
当X为连续型随机变量，
则
E(Y ) E[g(X)]
g(x) f (x)dx
2.方差
称随机变量 [X E(X )]2 的期望 为X的方差，即
var(X ) D( X ) E[( X E( X ))2]
计算方差时通常用下列关系式：
var(X ) D(X ) E[X 2][E(X )]2
（n) (0) E[ X n ]
3．和的矩母函数
定理1 设相互独立的随机变量 X1，X2， ，Xr 的
矩母函数分别为 1(t ) ，2 (t ) ，…，r (t ) ，
则其和 Y X1 X2 Xr 的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2(t) …r (t)
两个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它 们的矩母函数之积.
(2)协方差函数的性质
性质1 (0) var[X (t)]
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my稳结(t过)论程：的-如 自m果x相h系(关统)函d是数稳也定m是x的可-，积h输(的入)，d平 RYY则(t1输,t2 )出 一定也RX是X (t平1 稳u,t的2 ！v)h(u) h(v)dudv 输注入意平：稳积 分 存在RXX的(条 u件，v)h只(u有) h(均v)d值ud与v,
仅与 有自关相，关则都输是出有过程限也时是，平才稳成的立。！
RYX
(t1, t2
)
R(t1, t2 t1
)
;
RXY
(t1, t2
)
R(t1, t2 ) t2
RYY
(t1,t2 )
RYX (t1,t2 ) t2
RXY (t1,t2 ) t1
2RXX (t1,t2 ) t1t2
二、随机过程－均方微积分
4、作为平稳随机过程，以上2、3有
更简洁的结论
RXY
( )
协方差定理（平稳过程）
CY ( ) CX ( ) Rh ( )
Rh ( )
h(v)h(v )dv
三、输出自相关的频域法
功率谱定理
GY () | H ( j) |2 GX ()
维纳辛钦定理
RY
( )
1
2
+ -
GY
(
)e
j
d
1
2
+
|
-
H(
j) |2
GX
()e j d
对于实随机过程
– 工程应用更多
第二章、主要知识点 3
重要定理
– 各态历经性定理、维纳-辛钦定理 – 自相关函数与功率谱之间的重要公式
重要性质
– 自相关函数对称性、零点最大、非负 定性、一点连续全区域连续
引用或关联：
定性证明方法
– 转化为一个二阶矩
积分变换：
RX ( ) h( ) h( )
RX ( ) h( ) h( )
RXY ( ) h( )
h()
RXY ()
h( )
RXX ()
RYY ()
h( ) h() RYX ()
四、互谱密度
GXY () H ( j) GX () GYX () H ( j) GX ()
四、互相关定理应用
h (t )
RYY (Rt1,XtX2 )(t1,Rt2XX)(t1,ht2()t1)[h(th1)(t2 h) (t2)]
RXX (t1, t2 ) [h(t1) h(t2 )]
平稳过程通过线性系统的输出
Y (t) X (t - )h( )d X ( )h(t - )d
-
-
假设X(t)为平稳过程，则
现在来看积分变换
注意：当a为负t无穷时，线性时不变；
否则X(就t)不是线性(时)d不s变；Y当(均t)值不为
零时，由于冲a击响应函数积分为无穷 大，因此不能应用前面的结论。
t
Y (t) X ( )d X ( )h(t - )d
-
h(t )
u(t
)
1 0
t0 t0
线性系统 概念示意图
T[ax1(t) bx2(t)] aT[x1(t)] bT[x2(t)]
2、线性系统－电路原理图
x(t)
R
C
y(t)
电路原理图
3、线性变换的数学表示
an y(n)
a y(n-1) n-1
a0 y 微分方程
bm x(m)
b x(m-1) m-1
b0x
(a n sn
a
sn-1
dR( d
) ; RYX
( )
dR( ) d
t1 t2 , dt2 d
RYY ( )
d2
d 2
RX ( )
三、输出响应
Y (t)＝
X (t - )h( )d
-
＝
X ( )h(t - )d
-
＝X (t) h(t)
三、输出自相关的时域法
自相关定理（平稳过程）
RY ( ) RX ( ) Rh ( )
x(t )
线性系统 y(t)
RYX ()
相
关
器
由互相关函数确定系统权函数
四、非平稳过程自相关定理
RY (t1, t2 ) RYX (t1, t2 ) h(t2 )
RYX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) h(t1)
合并以后：
RYY (t1, t2 ) RYX (t1, t2 ) h(t2 )
RY
(
)
1
+ 0
|
H
(
j)
|2GX
()
cos
d
三、时域法与频域法比较
时域法
– 求随机过程线性变换后输出随机过程自 相关函数的一种基本方法
– 也适用于非平稳输出过程的相关函数 – 当系统的冲击响应h(t)比较简单时，应
用此法比较方便
频谱法
– 通常比较简单，但只能用于平稳过程
四、联合平稳，互相关
X (t) d
Y(t) X(t)
dt
– 区间积分与变限区间积分
t
X(t) ()ds Y(t) a
二、随机过程－均方微积分
2、自相关函数刻划随机过程连续、 可导数和可积的条件
– 极限存在的条件 – 连续性的条件 – 导数存在的条件 – 积分存在的条件
二、随机过程－均方微积分
3、微分与积分作为线性变换，来看 输出自相关、输入与输出互相关
RYX ( ) RX ( ) h( )
输出输入过程的互相关函数= 输入自相关函数与系统权函数的卷积
RXY ( ) RX ( ) h( )
输入输出过程的互相关函数= 输入自相关函数与系统权函数的卷积
四、输出自相关与互相关
RY ( ) RYX ( v)h(v)dv
RYX ( ) h( )
n-1
a0 )Y(s)
传输函数
=(bmsm bm-1sm-1 b0 )X(s)
系数决定了线性变换的性质
二、随机过程－均方微积分
1、从普通函数微积分的概念推广到 随机过程均方微积分
– 均方极限 – 均方连续 – 均方导数 – 均方积分
微分变换与积分变换
注意
– 一点导数与定义域上的导函数
– 各态历经性定理、维纳辛钦定理，在证 明过程中对平稳随机过程的积分变换
引用定理：
– 卷积定理、傅立叶变换的性质
随机过程－通过线性系统
一、线性系统 二、随机过程的均方微积分 三、相关函数与功率谱密度 四、互相关函数与互谱密度 五、白噪声通过线性系统
一、线性系统－概念示意图
x(t)
T
y(t)
第二章 知识要点－1
随机过程：
– 时间为参量的一族随机变量 – 也可以看成是一族样本信号
四种分类：
– 连续型随机过程 – 离散型随机过程 – 连续随机序列 – 离散随机序列
第二章 知识要点
研究工具1
– 有限维分布函数簇、概率密度函数 【注意】矢量随机过程
– 概念上有用
研究工具2
– 数字特征：均值函数、自相关函数、 相关系数、功率谱密度函数