1.3.1圆的极坐标方程

3、已知一个圆的方程是 ＝5 3 cos 5 sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 x ( ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5 2 2
A、 ,0) (5
C、 , ) (5 3
B、 , ) (5 3
2 D、 , ) (5 3


小节： 1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程
意一点，那么 OM AM。
在RtAMO中OM OA cosMOA
即
可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式1) ( 2
＝2a cos .......... 1) .(
所以，等式1)就是圆上任意一点的极 ( 坐标( , )满足的条件，
另一方面，可以验证， 坐标适合等式1)的点都在这个圆上。 (
圆的极坐标方程定义

M

方程
O
＝2a cos
C （a, 0）
A
就是圆心在C(a,0)(a>0)，半径为a的圆 的极坐标方程.
曲线的极坐标方程定义：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中 至少有一个满足方程 f ( , ) 0并且坐标适合方程 ( , ) 0的点都 f 在曲线C上，那么方程 ( , ) 0叫做曲线C的 f 极坐标方程。
4、以极坐标系中的点 (1,1)为圆心， A 1为半径的 圆的方程是
(
C
)
A、 2 cos( ) 4

B、 2 sin( ) 4

C、 2 cos( 1)
D、 2 sin( 1)
3、 5、圆 ＝10 cos(

3
)的圆心坐标是 （ C ）
练习：
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos圆心的坐标是 ,0) ( 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 圆＝sin 的圆心坐标是 , ) ( 2 2 2 所以圆心距是 2
1.3.1
圆的极坐标方程
平面曲线的方程表示
在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用二元方程 f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下关系：
பைடு நூலகம்
（1）曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；
（2）以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用 方程f ( , ) 0表示呢？
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使 圆的极坐标方程简单？ M
解：如果以圆心 为极点， O
从O出发的一条射线为极轴 建立坐标系（如图），


O r x
那么圆上各点的几何特 征就是它们 的极径都等于半径 r
设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比 2a cos简单。
圆的极坐标方程
探究： 如图，半径为 的圆的圆心坐标为 (a,0)(a 0) a C 你能用一个等式表示圆 上任意一点的极坐标 ( , )满足的条件吗？

M

O C（a,0） A
圆的极坐标方程
圆经过极点 。设圆与极轴的另 O 一个交点是 ，那么OA＝2a, A
M


O C（a,0） A
设M ( , )为圆上除点O，A以外的任