奥数新讲义-一元二次方程-整数根公共根4学

第三讲 一元二次方程4：整数根、公共根

一、 基础知识

1．一元二次方程的根为有理数

对于有理系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，在240b ac ∆=-≥时，方程有实根，且：

方程有有理根−−→←−−

24b ac ∆=-为完全平方数（有理数平方） 2．一元二次方程的根为整数

（1）对于整系数的一元二次方程20(0)

ax bx c a ++=≠，如果有整数根，则必须满足以下两个条件：24b ac ∆=-为完全平方数（自然数平方）；24b b ac -±-是2a 的整数倍；

（2）在首项系数为1的整系数方程20x px q ++=（p 、q 为整数）的判别式24b ac ∆=-为一个完

全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；

（3）对于整系数的一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠，若a 、b 是偶数，c 是奇数，则该方程无整数根；

（4）整系数的一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠，若a 、b 、c 都是奇数，且240b ac ∆=->，则方程20(0)ax bx c a ++=≠无整数根.

3. 一元二次方程公共根：

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、 整数根问题

例1已知方程22

4(1)3240x m x m m k --+-+=对任意有理数m 都有有理根，求k 的值.

1．整数根讨论：利用判别式

例2不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：

○123180x x +-=；○228590x x +-=；○322450x x +-=；○42323870x x +-=

例3已知420m ≤<，当m 为何值时，方程22

2(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根？

例4整数a 取何值时，方程2(6)0x a x a --+=有两个整数根？

例5设m 、n 为整数，证明方程210530x mx n +-+=没有整数根；

例6当m 为什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数？

2．整数根讨论：利用求根公式

例7 若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程2210mx x m --+=的根，m 为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.

例8 设关于x 的二次方程2222

(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.

3．整数根讨论：利用韦达定理

例9 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根；

例10 当m 为什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m +-++=的两根都是整数？

例11 求满足如下条件的所有k 值，使关于x 的方程2(1)10kx k x k +++-=的根都是整数；

例12 试确定所有的有理数r ，使得关于x 的方程2(2)320rx r x r +++-=有且只有整数根；

4．整数根讨论：变换主元

例13试求所有这样的正整数a ，使方程2

2(21)4(3)0ax a a x a +-+-=至少有一个整数根.

例14设方程222170a x ax a ++-=的两根都是整数，求所有正数a ；

5．整数根讨论：综合运用

例15 求所有的正整数a 、b 、c ，使得关于x 的方程2320x ax b -+=；2320x bx c -+=；2320x cx a -+=的所有根都是正整数.

例16 若方程20x mnx m n -++=有整数根，且m 、n 为自然数，则m 、n 可以分别为多少？

三、公共根问题

【例1】 求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．

【例2】 设,,a b c 为ABC ∆的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：

ABC ∆一定是直角三角形．

【例3】 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．

⑴ 求证：0a b c ++=；

⑵ 求333

a b c abc

++的值．

【例4】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相

异根．

【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和

222

(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b a

b a a b a b --++的值．

练习题

1． b 、c 是整数，如果一元二次方程220x bx c --=有整数根，那么，必有（ ）

A ．0b c ==

B ．20b c +=

C ．2b c +是整数的平方

D ．2b c +是偶数的平方

2．若260x mx +-=的两根都是整数，则m 可以取值的个数是（ ）

3．设二次方程2220x px q ++=有实根，其中p 、q 都是奇数，那么它的根一定是（ ）

A ．奇数

B ．偶数

C ．分数

D ．无理数 4已知关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个不相等的整数根，p 、q 是自然数，且是质数，这个方

程的根为_______；

5．方程2

0x px q ++=的两根都是正整数，且1992p q +=，则方程较大根与较小根的比等于_________；

6．已知p 为质数，且方程24440x px p +-=有两个整数根，则p ＝________；

7．已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则a 的值是多少？

8．方程()(8)10x a x ---=有两个整数根，求a 的值；

9. 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．

10. 已知关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有______个．

11. 当m 为整数时，关于x 的方程()()2212110m x m x --++=是否有有理根？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．