复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z nz z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）二. 填空题. (20分) 1. 设iz -=11，则___Im __,Re ==z z .2. 若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn (i)21______________.3. 函数e z的周期为__________. 4. 函数211)(zz f +=的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________.6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________.7. 设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰Cdz z .8. zz sin 的孤立奇点为________.9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. =)0,(Res n zze _____________.三. 计算题. (40分)1. 解方程013=+z .2. 设1)(2-=z e z f z，求).),((Re ∞z f s3. .))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z. 4. 函数()f z =z e z111--有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分)1. 证明：若函数)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解析.2. 证明0364=+-z z 方程在2||1<<z 内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）二. 填空题.（20分） 1. 设i z 31-=，则____,arg __,||===z z z .2. 当___=z 时，z e 为实数.3. 设1-=z e ，则___=z .4.ze的周期为___.5. 设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰Cdz z .6. ____)0,1(Res =-ze z .7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。

8. 函数211)(zz f +=的幂级数展开式为_________. 9. zz sin 的孤立奇点为________.10. 设C 是以为a 心，r 为半径的圆周，则___)(1=-⎰C n dz a z .（n 为自然数）三. 计算题. (40分)1. 求复数11+-z z 的实部与虚部.2. 计算积分：z z I Ld Re ⎰=，在这里L 表示连接原点到1i +的直线段. 3.求积分：I =⎰+-πθθ202cos 21a a d ，其中0<a<1.4.应用儒歇定理求方程)(z z ϕ=，在|z|<1内根的个数，在这里)(z ϕ在1||≤z 上解析，并且1|)(|<z ϕ.四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外，处处不可微.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个数R及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明:)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题（六）1.一、填空题（20分） 1. 若21(1)1n n n z i n n+=++-，则lim n z =___________. 2. 设21()1f z z =+，则()f z 的定义域为____________________________.3. 函数sin z 的周期为_______________________.4.22sin cos z z +=_______________________.5. 幂级数nn nz+∞=∑的收敛半径为________________.6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点.7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________.8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________.9. 方程532380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________.10. 公式cos sin ixe x i x =+称为_____________________. 二、计算题（30分）1、2lim 6nn i →∞-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2、设2371()C f z d zλλλλ++=-⎰，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+. 3、设2()1ze f z z =+，求Re ((),)s f z i .4、求函数36sin z z 在0z <<∞内的罗朗展式.5、求复数11z w z -=+的实部与虚部. 6、求3i eπ-的值.三、证明题（20分）1、 方程7639610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.2、 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，(,)v x y 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数.3、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()f z 的m 阶极点.６．计算下列积分．（８分） (1)22sin ()2z zdz z π=-⎰； (2) 2242(3)z z dz z z =--⎰． ７．计算积分2053cos d πθθ+⎰．（６分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）(1) 1(1)nnn i z ∞=+∑； (2) 21(!)nn n n z n∞=∑．９．设3232()()f z my nx y i x lxy =+++为复平面上的解析函数，试确定l ，m ，n 的值．（６分）三、证明题．１．设函数()f z 在区域D 内解析，()f z 在区域D 内也解析，证明()f z 必为常数．（５分）２．试证明0az az b ++=的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数．（５分）试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题（一）参考答案二．填空题1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5.16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0；10. ∞. 三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑. 2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→→=+===--,22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内,()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b-+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2)若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =,0y v =.所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.2.证明()f z 0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)if e π-==.《复变函数》考试试题（二）参考答案二. 填空题1.1，2π-， i ；2. 3(1sin 2)i +-；3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1；5. 1m -.6. 2k i π，()k z ∈.7. 0；8. i ±；9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===. 又因为在正实轴去正实值，所以0k =. 所以4()if i e π=. 3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤. 所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数).令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-,因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明令1011()0n n n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=,取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）参考答案二.填空题.1.{},z z i z C ≠±∈且; 2. 2()k i k z π∈; 3. 1ei -+; 4. 1; 5. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩;6. 1;7. i ±;8. (21)z k i π=+;9. ∞; 10.1(1)!n -.三. 计算题.1. 解 12222011(1)2!!n zn z z e z z z n -+∞==+++⋅⋅⋅=∑.2. 解 11!(1)11lim lim lim()lim(1)(1)!n n n n n n n n n n c n n n e c n n n n +→∞→∞→∞→∞+++=⋅==+=+.所以收敛半径为e .3. 解 令 22()(9)z e f z z z =-, 则 2001Re ()99z z z e s f z z ====--.故原式022Re ()9z i i s f z ππ===-.4. 解 令 962()22f z z z z =-+-, ()8z z ϕ=-.则在:C 1z =上()()f z z ϕ与均解析, 且()6()8f z z ϕ≤<=, 故由儒歇定理有(,)(,)1N f C N f C ϕϕ+=+=. 即在 1z < 内, 方程只有一个根. 四. 证明题.1. 证明 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 220u v +=, 则 ()0f z = 为常数. 2)若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =,0y v =.所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时,()1!()!(0)2nk k kz rk f z k Mr fdz z r π+=≤≤⎰. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有()(0)0k f =.故0()nn nk f z c z==∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.《复变函数》考试试题（四）参考答案.二. 填空题. 1.12, 12; 2. ξ; 3. 2()k i k z π∈; 4.20(1)(1)n nn zz ∞=-<∑; 5. 整函数;6. 亚纯函数;7. 0;8. 0z =;9. ∞; 10.1(1)!n +.三. 计算题. 1.i i z i z ii z k k i k z z 232135sin 35cos1sin cos 23213sin 3cos 2,1,032sin 32cos1:3213-=+=-=+=+=+==+++=⇒-=ππππππππππ解2. 解 11Re ()12z z z e e s f z z ====+, 111Re ()12z z z e es f z z -=-=-==+-. 故原式1112(Re ()Re ())()z z i s f z s f z i e e ππ-==-=+=-.3. 解 原式22Re ()295z iz iz i s f z iz πππ=-=-===-.4. 解 z e z111--=)1(1-+-z ze z e z ，令0)1(=-z e z ，得i k z z π2,0==， ,2,1±±=k而 z z zz z z z z z ze e e z e e z z e +--=-+-=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 00021lim 0-=++-=→z z z z z ze e e e 0=∴z 为可去奇点当i k z π2=时，01),0(≠+-≠ze z k 而[]0212)1(≠=+-=='-ik z ze ei k z zezzzππ i k z π2=∴为一阶极点. 四. 证明题.1. 证明 设()()F z f z =, 在下半平面内任取一点0z , z 是下半平面内异于0z 的点, 考虑 000000000()()()()()()limlim limz z z z z z F z F z f z f z f z f z z z z z z z →→→---==---. 而0z , z 在上半平面内, 已知()f z 在上半平面解析, 因此00()()F z f z ''=, 从而()()F z f z =在下半平面内解析.2. 证明 令()63f z z =-+, 4()z z ϕ=, 则()f z 与()z ϕ在全平面解析,且在1:2C z =上, ()15()16f z z ϕ≤<=,故在2z <内11(,)(,)4N f C N C ϕϕ+==.在2:1C z =上, ()3()1f z z ϕ≥>=,故在1z <内22(,)(,)1N f C N f C ϕ+==.所以f ϕ+在12z <<内仅有三个零点, 即原方程在12z <<内仅有三个根.《复变函数》考试试题（五）参考答案一. 判断题. 1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√. 二. 填空题. 1.2,3π-,1+; 2.2(,)a k i k z a π+∈为任意实数;3. (21)k i π+, ()k z ∈;4. 2,()k i k z π∈;5. 0;6. 0;7. 亚纯函数; 8.20(1)(1)n nn zz ∞=-<∑; 9. 0;10. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩.三. 计算题.1. 解 令z a bi =+, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 2. 解 连接原点及1i +的直线段的参数方程为 (1)01z i tt =+≤≤,故{}11001Re Re[(1)](1)(1)2c izdz i t i dt i tdt +=++=+=⎰⎰⎰.3. 令i z e θ=, 则dz d izθ=. 当0a ≠时212()(1)12cos 1()z a az a a a z z a zθ----+=-++=, 故11()(1)z dz I i z a az ==--⎰, 且在圆1z <内1()()(1)f z z a az =--只以z a =为一级极点, 在1z =上无奇点, 故211Re (),(01)11z a z as f z a aza ====<<--, 由残数定理有 2122Re (),(01)1z a I i s f z a i aππ===≤<-. 4. 解 令(),f z z =- 则(),()f z z ϕ在1z ≤内解析, 且在:C 1z =上, ()1()z f z ϕ<=,所以在1z <内, (,)(,)1N f C N f C ϕ+==, 即原方程在 1z <内只有一个根. 四. 证明题. 1.证明因为22(,),(,)0u x y x y v x y =+≡, 故2,2,0x y x y u x u y v v ====.这四个偏导数在z 平面上处处连续, 但只在0z =处满足..C R -条件, 故()f z 只在除了0z =外处处不可微.2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时,()1!()!(0)2nk k kz rk f z k Mr fdz z r π+=≤≤⎰. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有()(0)0k f =.故0()nn nk f z c z==∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.《复变函数》考试试题（六）参考答案二、填空题：1. 1ei -+ 2. 1z ≠± 3. 2π 4. 1 5. 16. 1m -阶7. 整函数8. 9. 010. 欧拉公式 三、计算题： 1.解：因为21,6i -==< 故2lim()06nn i →∞-=. 2.解：13,i +=<1()()2C f f z d i zλλπλ∴=-⎰2371.C d zλλλλ++=-⎰ 因此 2()2(371)f i λπλλ=++故2()2(371)f z i z z π=++1(1)2(67)2(136)2(613)i f i i z i i i πππ+'+=+=+=-+.3.解：211()12z z e e z z i z i =⋅+++-Re ((),).2ie sf z i ∴=4.解：3213(1)()sin ,(21)!n n n z z n +∞=-=+∑ 36360sin (1).(21)!n n n z z z n ∞-=-∴=+∑5．解：设z x iy =+, 则222211(1)211(1)z x iy x y yiw z z iy x y --++-+===+++++. 22222212Re ,Im .(1)(1)x y yw w x yx y+-∴==++++ 6．解：31cos()sin()(1).332i ei πππ-=-+-=-四、1. 证明：设673()9,()61,f z z z z z ϕ==+-则在1z =上，()9,()1618,f z z ϕ=≤++= 即有()()f z z ϕ>.根据儒歇定理，()f z 与()()f z z ϕ+在单位圆内有相同个数的零点，而()f z 的零点个数为6，故7639610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.2.证明：设(,)v x y a bi =+，则0x y v v ==, 由于()f z u iv =+在内D 解析，因此(,)x y D ∀∈有 0x y u v ==, 0y x u v =-=.于是(,)u x y c di ≡+故()()()f z a c b d i =+++，即()f z 在内D 恒为常数.3.证明：由于0z 是()f z 的m 阶零点，从而可设0()()()mf z z zg z =-，其中()g z 在0z 的某邻域内解析且0()0g z ≠， 于是0111()()()mf z z zg z =⋅-由0()0g z ≠可知存在0z 的某邻域1D ，在1D 内恒有()0g z ≠，因此1()g z 在内1D 解析，故0z 为1()f z 的m 阶极点. 《复变函数》模拟考试试题《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（4x10=40分）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。