高考数学(理)一轮24幂函数与二次函数PPT课件
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第4讲 幂函数与二次函数
知识梳理 1．幂函数
(1)幂函数的定义 形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常 数． (2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
函数 特征 y＝x 性质
定义域 R
值域
R
奇偶性 奇
y＝x2
R [0，＋∞)
偶
y＝x3
R R 奇
y＝x
y＝x－1
[0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶
有整数根的充要条件是n≤4.
(×)
[感悟·提升] 三个防范 一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定 会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交， 则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)． 二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方 求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域． 三 是 一 元 二 次 方 程 有 实 根 的 充 要 条 件 为 Δ≥0 ， 但 还 要 注 意 n∈N*，如(6).
{x|x∈R， 且x≠0}
{y|y∈R， 且y≠0}
奇
单调性
增
(－∞，0]减， [0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)减， (0，＋∞)减
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) 的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝ 0的两实根．
(3)二次函数的图象和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)
a>0
a<0
图象
定义域 值域
对称轴 顶点 坐标
R
R
y∈ 4ac4－a b2，＋∞
y∈－∞，4ac4－a b2
x＝ －2ba
－2ba，4ac4－a b2
奇偶性 递增 区间 递减 区间
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
【训练 2】 (2012·山东卷改编)设函数 f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx， 若 y＝f(x)的图象与 y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2________0，y1＋y2________0(比 较大小)． 解析 由题意知满足条件的两函数图 象如图所示．作B关于原点的对称 点B′，据图可知：x1＋x2>0，y1＋y2<0. 答案 ＞ ＜
考点一 幂函数的图象与性质的应用 【例1】 (1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点
12， 22，则log4f(2)的值为________． (2)函数y＝x 的图象是________．
解析 (1)设 f(x)＝xα，由图象过点12， 22，得12α＝ 22＝12 ⇒ α＝12，log4f(2)＝log42 ＝14. (2)显然 f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当 0＜x ＜1 时，x ＞x；当 x＞1 时，x ＜x，知只有②符合．
象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面 四个结论： ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b. 其中正确的是________．
解析 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac＞0，即 b2＞ 4ac，①正确； 对称轴为 x＝－1，即－2ba＝－1,2a－b＝0，②错误； 结合图象，当 x＝－1 时，y＞0，即 a－b＋c＞0，③错误； 由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以 a ＜0，所以 5a＜2a，即 5a＜b，④正确． 答案 ①④ 规律方法 解决二次函数的图象问题有以下两种方法： (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点； (2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．
考点三 二次函数的综合运用 【例3】 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝
2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m 的取值范围． 审题路线 f(0)＝1求c→f(x＋1)－f(x)＝2x比较系数求a，b→ 构造函数g(x)＝f(x)－2x－m→求g(x)min→由g(x)min＞0可求m的 范围．
解 (1)由 f(0)＝1，得 c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1. 又 f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即 2ax＋a＋b＝2x，∴2aa＋＝b2＝，0， ∴ab＝ ＝1－，1. 因此，f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使 此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在 [－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 规律方法 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二 次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合， 密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方 向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分 析.
－2ba，＋∞
－∞，－2ba
－∞，－2ba
－2ba，＋∞
续表
最值
当 x＝－2ba时，y 有最小 当 x＝－2ba时，y 有最大值 ymax
值
ymin＝
4ac－b2 4a
＝4ac4－a b2
辨析感悟
1．对幂函数的认识
源自文库
(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数． (×)
(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)． (×)
(3)幂函数的图象不经过第四象限．
(√)
2．对二次函数的理解
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)
(5)(教材习题改编)函数f(x)＝
1 2
x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值
为16，最小值为－2.
(×)
(6)(2011·陕西卷改编)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0
答案
1 (1)4
(2)②
规律方法 (1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式； (2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比 较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借 助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解 题的关键．
考点二 二次函数的图象与性质 【例2】 (2013·浙江七校模拟) 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图
知识梳理 1．幂函数
(1)幂函数的定义 形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常 数． (2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
函数 特征 y＝x 性质
定义域 R
值域
R
奇偶性 奇
y＝x2
R [0，＋∞)
偶
y＝x3
R R 奇
y＝x
y＝x－1
[0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶
有整数根的充要条件是n≤4.
(×)
[感悟·提升] 三个防范 一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定 会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交， 则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)． 二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方 求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域． 三 是 一 元 二 次 方 程 有 实 根 的 充 要 条 件 为 Δ≥0 ， 但 还 要 注 意 n∈N*，如(6).
{x|x∈R， 且x≠0}
{y|y∈R， 且y≠0}
奇
单调性
增
(－∞，0]减， [0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)减， (0，＋∞)减
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) 的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝ 0的两实根．
(3)二次函数的图象和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)
a>0
a<0
图象
定义域 值域
对称轴 顶点 坐标
R
R
y∈ 4ac4－a b2，＋∞
y∈－∞，4ac4－a b2
x＝ －2ba
－2ba，4ac4－a b2
奇偶性 递增 区间 递减 区间
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
【训练 2】 (2012·山东卷改编)设函数 f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx， 若 y＝f(x)的图象与 y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2________0，y1＋y2________0(比 较大小)． 解析 由题意知满足条件的两函数图 象如图所示．作B关于原点的对称 点B′，据图可知：x1＋x2>0，y1＋y2<0. 答案 ＞ ＜
考点一 幂函数的图象与性质的应用 【例1】 (1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点
12， 22，则log4f(2)的值为________． (2)函数y＝x 的图象是________．
解析 (1)设 f(x)＝xα，由图象过点12， 22，得12α＝ 22＝12 ⇒ α＝12，log4f(2)＝log42 ＝14. (2)显然 f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当 0＜x ＜1 时，x ＞x；当 x＞1 时，x ＜x，知只有②符合．
象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面 四个结论： ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b. 其中正确的是________．
解析 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac＞0，即 b2＞ 4ac，①正确； 对称轴为 x＝－1，即－2ba＝－1,2a－b＝0，②错误； 结合图象，当 x＝－1 时，y＞0，即 a－b＋c＞0，③错误； 由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以 a ＜0，所以 5a＜2a，即 5a＜b，④正确． 答案 ①④ 规律方法 解决二次函数的图象问题有以下两种方法： (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点； (2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．
考点三 二次函数的综合运用 【例3】 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝
2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m 的取值范围． 审题路线 f(0)＝1求c→f(x＋1)－f(x)＝2x比较系数求a，b→ 构造函数g(x)＝f(x)－2x－m→求g(x)min→由g(x)min＞0可求m的 范围．
解 (1)由 f(0)＝1，得 c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1. 又 f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即 2ax＋a＋b＝2x，∴2aa＋＝b2＝，0， ∴ab＝ ＝1－，1. 因此，f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使 此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在 [－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 规律方法 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二 次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合， 密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方 向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分 析.
－2ba，＋∞
－∞，－2ba
－∞，－2ba
－2ba，＋∞
续表
最值
当 x＝－2ba时，y 有最小 当 x＝－2ba时，y 有最大值 ymax
值
ymin＝
4ac－b2 4a
＝4ac4－a b2
辨析感悟
1．对幂函数的认识
源自文库
(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数． (×)
(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)． (×)
(3)幂函数的图象不经过第四象限．
(√)
2．对二次函数的理解
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)
(5)(教材习题改编)函数f(x)＝
1 2
x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值
为16，最小值为－2.
(×)
(6)(2011·陕西卷改编)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0
答案
1 (1)4
(2)②
规律方法 (1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式； (2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比 较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借 助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解 题的关键．
考点二 二次函数的图象与性质 【例2】 (2013·浙江七校模拟) 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图