9传染病模型与微分方程数值解
数学建模之传染病模型-参考模板
第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模 型假设条件：1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人. 试建立描述()t i 变化的数学模型.解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有i s N dtdiNλ= (1)i s dtdiλ=∴而1=+i s . 又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt diλ 这就是Logistic 模型，其解为 ()te i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11110［结果分析］作出()t t i ~和i dtdi~的图形如下：1. 当21=i 时，dtdi 取到最大值mdt di ⎪⎭⎫⎝⎛，此时刻为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-11ln 01i t m λ2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二. SIS 模 型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.假设1、2同SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然μ1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为i N i Ns dtdiNμλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=001i i i i i dt diμλ解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--- ＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］ 1. 令μλσ=.注意到λ和μ1的含义，可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.()⎪⎩⎪⎨⎧-=∞ 011σi 11≤>σσ1-2. 接触数1=σ是一个阈值.当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零.当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ11-=∞i .3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形.三. SIR 模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为 1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r .1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为μλσ＝.解：由假设1，有()()()1=++t r t i t s 0=++∴dtdrdt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dtdiN μλ-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dt di i dtdrμλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s于是()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dtdsi i s dt diλμλ……………………………………………(2) 我们在相平面上来讨论解的性质. 相轨线的定义域为(){}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()000s sln1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线.---精心整理，希望对您有所帮助。
第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
模型的建立
假设2、3得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
微分方程模型案例分析
微分方程模型案例分析-------传染病传播的数学模型张清华由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。
医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。
以下仅讨论传染病的传播问题。
人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。
这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。
最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。
同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与实际过程比较吻合，这个现象才得到了比较满意的解释。
传染病传播所涉及的因素很多，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡等。
如果还要考虑人员的迁入与迁出，潜伏期的长短以及预防疾病的传播等因素的影响，那么传染病的传播就变得非常复杂。
如果一开始就把所有的因素考虑在内，那么将陷入多如乱麻的头绪中不能自拔，倒不如舍去众多的次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。
将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。
下面由简单到复杂将建模的思考过程作一个示范，读者可以从中得到很好的启发。
1 模型一假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数K 0；假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。
记i t ()表示t 时刻病人数，K 0表示每个病人单位时间内传染的人数，i i ()00=，即最初有i 0个传染病人。
则在∆t 时间内增加的病人数为i t t i t K i t t ()()()+-=∆∆0于是得微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)0()()(i i t i K dt t di (1)， 其解为 i t i e k t ()=00结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。
这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播快，被传染人数按指数函数增长。
传染病的传播模型与分析
传染病的传播模型与分析传染病是指通过接触、空气传播、飞沫传播等途径从一个人传播到另一个人的疾病。
了解传染病的传播模型以及相应的分析方法对预防与控制传染病具有重要意义。
本文将探讨传染病的传播模型以及常用的分析方法。
一、传染病的传播模型1. SIR模型SIR模型将人群分为易感者(Susceptible)、感染者(Infectious)和康复者(Recovered)三个互不重叠的类别，描述了传染病在人群中的传播过程。
在这个模型中，一个人从易感者状态转变为感染者状态后再转变为康复者状态，整个过程是一个动态的流程。
2. SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上增加了一个潜伏期状态(Exposed)，即感染者已经被病原体感染但尚未表现出明显症状。
该模型可以更准确地描述某些疾病的传播特征，例如新冠病毒。
3. 网络传播模型网络传播模型基于人与人之间复杂的联系，将人与人之间的接触关系表示为网络结构，从而可以更好地研究疾病在社交网络中的传播过程。
该模型为防控传染病提供了新的思路和方法。
二、传染病的分析方法1. 流行病学调查流行病学调查是研究传染病传播规律的核心方法之一。
通过对患者、病原体、传播途径等进行全面的调查，可以了解感染源、传播途径、传染力大小等信息，从而为疫情防控提供科学依据。
2. 数学模型数学模型是传染病研究中常用的工具之一。
基于传染病的传播机理以及传染力大小等参数，可以建立相应的数学模型，并通过模型推导出预测结果，如疫情的发展趋势、传播速度等。
常用的数学模型包括微分方程模型、积分方程模型、格点模型等。
3. 统计分析统计分析是对大量传染病数据进行处理和分析的重要手段。
通过对病例数据进行整理、汇总和统计，可以得到病例分布、死亡率、复发率等重要指标。
同时，还可以运用统计学方法对数据进行建模和预测。
4. 传播网络分析传播网络分析是一种基于网络结构的方法，可以研究传染病在社交网络中的传播特征。
通过分析网络拓扑结构、节点特征以及传播路径等信息，可以发现传播的薄弱环节和高风险群体，并制定有针对性的防控策略。
浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈微分方程的起源与发展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展.虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题,所以,他们的研究具有非常重要的现实意义。
这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。
引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征.比如，我们可以试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。
通过这些例子,我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。
最后再通过微分方程求出未知函数.关键字：微分方程起源发展史一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。
微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程,一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为,变量之间的规律是一目了然的。
例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为,就明确的掌握了物体的运动规律。
1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪,简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。
这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。
1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学,物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数，却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式，即微分方程。
传染病的传播模型与传播规律分析
传染病的传播模型与传播规律分析1.引言传染病是指由病原体引起的疾病，在人类历史上造成了无数的灾难。
了解传染病的传播模型和传播规律对于制定有效的预防和控制策略具有重要意义。
本文将探讨传染病的传播模型和传播规律，并提供一些应对传染病的建议。
2.传播模型2.1 SI模型SI模型是最简单的传染病传播模型，将人群分为易感者（Susceptible individuals）和感染者（Infected individuals）两个部分。
在这个模型中，感染者可以传播疾病给易感者，但一旦感染者康复，他们不能再次感染。
SI模型可以用以下微分方程来描述：dS/dt = -βSIdI/dt = βSI其中，S表示易感者数量，I表示感染者数量，β表示传染率。
该模型适用于对于一些单纯感染但没有康复的传染病。
2.2 SIR模型SIR模型在SI模型的基础上引入了康复者（Recovered individuals）部分。
在该模型中，感染者被分为两个亚类别：康复者和死亡者。
相比于SI模型，SIR模型更符合现实情况。
该模型的微分方程可以表示为：dS/dt = -βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，R表示康复者的数量，γ表示康复率。
SIR模型适用于具备一定免疫力的传染病，如流感等。
3.传播规律3.1 直接接触传播许多传染病通过直接接触传播，例如飞沫传播、血液传播等。
这种传播方式的特点是传播速度快，传染性强。
一旦患者被感染，其周围的家庭成员、工作同事等都容易受到传染。
因此，在面对这类传染病时，特别是高传染性的传染病，及时隔离和保持个人卫生非常重要。
3.2 空气传播某些传染病还可以通过空气传播，且病原体可以在空气中较长时间存活。
这类传染病的传播速度相对较慢，但是范围比较广，容易造成集体性感染。
为了有效控制这类传染病的传播，应该保持室内空气流通，提高室外空气质量，并积极配合相关部门做好疫情监测。
3.3 社交网络传播随着社交网络的发展，虚拟社交网络也成为传染病传播的重要途径。
传染病模型—微分方程模型的应用
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
的估计
提高 r0
s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s0
0
忽略i 0
群体免疫
ln s0 ln s
s0 s
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s
s0
i0
s
模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为 i(t), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t), s(t), r(t) 的两个方程
1
s
1
i
1
i(s)
(s0
i0
)
s
1
ln
s s
i ss0 i0
D
0
i(0) i0 , s(0) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向 im s 1/ , i im t , i 0
P2
P1
P3
s满足
s0
i0
s
1
ln
s s0
1
ln
s s0
0
i0 0, s0 1
x 1 ln(1 x ) 0
s0
i
1x
x<<s0 x(1 s0 2s02 ) 0
数学建模——传染病模型
传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。
关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
传染病数学模型
传染病数学模型传染病是一种严重的公共卫生问题，它可以通过空气、水和食物等媒介传播，对人类社会造成极大的危害。
为了有效地控制传染病的传播，需要对传染病进行数学建模，以便更好地预测和控制其传播。
一、引言传染病数学模型是一种利用数学工具来模拟传染病的传播和扩散的模型。
通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
二、传染病数学模型的建立1、确定模型的基本假设和参数建立传染病数学模型需要先确定模型的基本假设和参数。
这些假设和参数包括：传染病的传播途径、潜伏期、感染期、易感人群的数量、人口的流动等。
2、建立数学方程基于上述假设和参数，可以建立传染病传播的数学方程。
常用的方程包括：SIR（易感者-感染者-康复者）模型、SEIR（易感者-暴露者-感染者-康复者）模型、SEIRD（易感者-暴露者-感染者-康复者-死亡者）模型等。
这些模型可以描述传染病的传播过程，并预测其未来的发展趋势。
三、传染病数学模型的应用1、预测和控制传染病的传播通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
例如，通过模拟不同防控措施的效果，可以找到最有效的防控策略，减少传染病的传播。
2、评估疫苗接种的效果通过建立数学模型，可以评估疫苗接种的效果。
例如，通过比较接种疫苗和不接种疫苗的传播情况，可以得出疫苗接种对控制传染病传播的作用。
四、结论传染病数学模型是一种有效的工具，可以帮助我们更好地理解和控制传染病的传播。
通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
通过评估疫苗接种的效果，可以为制定合理的疫苗接种策略提供支持。
标题：数学模型在数学论文指导传染病模型1中的应用在当今世界，传染病的爆发和传播已经成为全球面临的共同挑战。
为了有效控制疾病的传播，我们需要对传染病模型进行深入研究。
传染病模型的建立与分析
传染病模型的建立与分析首先，传染病模型的建立需要明确研究目标和假设。
研究目标可能是预测传染病的传播趋势、评估不同干预措施的效果、探究传染病的基本传播参数等。
在建立模型之前，需要明确假设，例如传染病的传播方式、传播速率等。
这些假设将在后续模型的建立和分析中起到重要的作用。
其次，传染病模型的建立需要选择合适的数学模型。
常用的数学模型包括常微分方程模型、离散时间模型和代理人模型等。
常微分方程模型是最常用的传染病模型，适用于描述人口总体的平均状态。
离散时间模型适用于描述传染病在离散时间步长内的传播过程。
代理人模型是一种基于个体行为和交互的模型，更贴近真实的传染病传播过程。
选择合适的数学模型需要综合考虑研究目标、数据可用性和计算复杂性等方面因素。
然后，传染病模型的参数估计是模型分析的关键步骤。
传染病模型的参数包括基本再生数、感染率、恢复率等。
基本再生数是衡量传染病传播能力的重要指标，可以用来评估传播趋势。
感染率和恢复率可以通过历史数据的统计分析得到，也可以通过实地调查和实验研究来获得。
在参数估计中，需要考虑数据的可靠性、样本的大小和分布等因素，并借助统计方法进行估计和推断。
最后，传染病模型的分析可以通过数值模拟、灵敏度分析和模型预测等方法来进行。
数值模拟是通过数值计算方法来模拟传染病的传播过程和发展趋势。
灵敏度分析可以评估传染病模型对不同参数变化的敏感性，并确定对于控制传染病传播最关键的参数。
模型预测可以基于模型的分析结果，预测传染病在未来的传播趋势和控制效果，为政府和公众提供决策建议。
总的来说，传染病模型的建立与分析是一个复杂而关键的过程，需要综合考虑研究目标、数据可用性、数学模型的选择和参数估计等多个方面因素。
通过合理的建模和分析，可以更好地理解传染病的传播过程，并为制定有效的传染病控制策略提供科学依据。
数学建模实验答案_微分方程模型
数学建模实验答案_微分⽅程模型实验07 微分⽅程模型（2学时）（第5章微分⽅程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病⼈在总⼈数中所占的⽐例。
k 是每个病⼈每天有效接触的平均⼈数（⽇接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病⼈的⽐例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最⼤值，并在曲线图上标注。
提⽰：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图⽤fplot 函数，调⽤格式如下： fplot(fun,lims)fun 必须为⼀个M ⽂件的函数名或对变量x 的可执⾏字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可⽤fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最⼤值⽤求解边界约束条件下的⾮线性最⼩化函数fminbnd，调⽤格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为⼀个M⽂件的函数名或对变量x的可执⾏字符串。
返回⾃变量x在区间x1本题可⽤x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指⽰最⼤值坐标⽤线性绘图函数plot，调⽤格式如下：plot(x1,y1, '颜⾊线型数据点图标', x2,y2, '颜⾊线型数据点图标',…)本题可⽤hold on; %在上⾯的同⼀张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使⽤⽂本标注函数text，调⽤格式如下：格式1text(x,y,⽂本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注⽂本在图中添加的位置。
传染病的数学模型
For personal use only in study and research; not for commercial use传染病模型详解2.2.2 /,SI SIS SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。
S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。
I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。
SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SI dt N I SId tN ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而得到(1)di i i dtβ=- 对此方程进行求解可得：0000(),01tti e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。
SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。
Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。
假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 2.9 所示。
数学建模实验(传染病模型)
实验二：传染病模型1、SI 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
2、SIS 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数。
即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从染病者中治愈的人与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内治愈的人不具有免疫，将再成为易感者。
3、SIR 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点、给出参数、图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从传染者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γ)(t I 。
求解过程1、SI 模型：由题目条件假设可以得到微分方程：K()()dIK S t I t dtβ=，又因为()()1S t I t +=， 令初始时刻病人的比例为0I ，则有：0()(1()),(0)dII t I t I I dtβ=-= %求平衡点,r 为有效传染率,x 病人比例 syms r xsolve('r*x*(1-x)','x') ans = 0 1 %方程求解syms i r t dsolve('Di=r*i*(1-i)','i(0)=i0','t')ans =1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0) %绘制图形r=0.5,i0=0.01 fplot('1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0)',[0,40]) fplot('1/(1-exp(-0.5*t)*(-1+0.01)/0.01)',[0,40]) function di=isf(t,i)di=0.5*i*(1-i); [t,i]=ode45(@isf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t ♓i♎♓ ♎♦图示4 SI 模型的i~t 曲线 图示5 SI 模型的di/dt~i 曲线2、SIS 模型 根据SI 模型及增加的假设条件，可得：)()()(t KI t I t KS dtdiKγβ-=，即： 0)0(),())(1)((I I t I t I t I dtdi=--=γβ 记 γβσ=， 则方程改写为 )]1([σβ---=i i i dt di%求解方程syms r b i t % b 为有效传染率,r 为治愈率dsolve('Di=b*i*(1-i)-r*i','i(0)=i0','t')ans =(b-r)/(b-exp(-(b-r)*t)*(-b+r+i0*b)/i0/(b-r)*b+exp(-(b-r)*t)*(-b+r +i0*b)/i0/(b-r)*r)%求平衡点syms x %(b=0.5,r=0.2)solve('0.5*x*(1-x)-0.2*x; ')ans =0..60000000000000000000000000000000%绘制图形function di=sisf(t,i)di=0.5*i*(1-i)-0.2*i;[t,i]=ode45(@sisf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t♓t ♓图示6 SIS 模型的i~t 曲线（σ>1） 图示7 SIS 模型的i~t 曲线（σ≤1）fplot('-0.5*x*[x-(1-1/20)]',[0,1]) fplot('-0.5*x*[x-(1-2)]',[ 0,1])i♎♓ ♎♦i♎♓ ♎♦图示8SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ>1） 图示9SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ≤1） 3、 SIR 模型模型的方程为{00()()(),(0)()(),(0)dIS t I t I t I I dtdSS t I t S S dtβγβ=-==-=function dx=sirf(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=0.5*x(1)*x(2)-0.2*x(1); %x(1)表示i,x(2)表示s dx(2)=-0.5*x(1)*x(2);[t,x]=ode45(@sirf,[0 50],[0.01 0.99]);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)),grid00.20.40.60.81s图示10 SIR模型的图形)(),(tStI图示11 SIR模型的相轨线备注：由于Matlab与Word连接不好，所绘制的图形上标的字符在Word中看不清楚。
传染病常微分方程
传染病常微分方程传染病常微分方程是研究传染病传播过程的数学模型。
它可以帮助我们了解疾病的传播规律以及采取相应的防控措施。
传染病的传播过程可以用一个简单的常微分方程来描述。
假设人群总数为N，其中感染者的人数为I。
那么传染病的传播速率可以用以下公式来表示：dI/dt = β * I * (N - I) / N其中，β表示传染率，即一个感染者每天能传染给多少人。
(N - I)/N 表示还未感染的人群比例，乘以I表示与感染者接触的人数。
dI/dt 表示感染者人数的变化率。
通过求解这个微分方程，我们可以得到传染病的传播过程。
初始时刻，感染者的人数为I0，那么在未来的某个时刻t，感染者的人数为I(t)。
通过对微分方程进行求解，我们可以得到传染病的传播曲线。
传染病的传播过程是一个动态的过程。
在传染病暴发初期，感染者的人数急剧增加，传播速度很快。
但是随着时间的推移，感染者的人数逐渐增多，未感染者的人数减少，传播速度逐渐减慢。
最终，感染者的人数趋于一个稳定的值。
通过对传染病常微分方程的研究，我们可以得出以下结论：1. 传染率β越大，传播速度越快。
2. 人群总数N越大，传播速度越快。
3. 初始感染者人数I0越大，传播速度越快。
了解传染病的传播过程对于制定防控策略非常重要。
通过对传染病常微分方程的研究，我们可以预测传染病的传播趋势，及时采取相应的防控措施，减少感染者的人数，保护人民的生命安全。
传染病常微分方程是研究传染病传播过程的数学模型。
通过对这个模型的研究，我们可以了解传染病的传播规律，预测传播趋势，及时采取有效的防控措施。
这对于保护人民的生命安全具有重要意义。
我们应该重视传染病的防控工作，共同努力，共克时艰。
微分方程模型-传染病模型
数学模型 • 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
问题
5.1 传染病模型
i(0) i0
数学模型 Logistic 模型
1
1/2
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
i(t)
1
1
1 i0
1e t
t
tm
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻
t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
模型4
SIR模型
数学模型
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
N[s(t t) s(t)] Ns(t)i(t)t
di
dt
si
i
ds
dt
si
i(0) i0 , s(0) s0
无法求出 i(t), s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数为,
且使接触的健康人致病
~ 日
接触率
【模型构成】
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di
dt
i(1
i)
i(0)
i 0
传染病的微分方程模型
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(6), 2700-2717 Published Online June 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.126272传染病的微分方程模型陆晓薇，陈敏风广东外语外贸大学数学与统计学院，广东 广州收稿日期：2023年5月13日；录用日期：2023年6月7日；发布日期：2023年6月14日摘要新冠肺炎自爆发以来，严重影响了人们正常的生活秩序，因此有必要利用数学模型将其传播特点数量化，研究其传播规律，并提供预测与防控的理论支撑。
本文将从最简单的SI 传染病数学模型入手，分析得出比较符合此次COVID-19病毒传播规律的SEIR 传染病数学模型。
在此基础上，提出具有检疫隔离、封城措施的新冠肺炎传播模型，另提出具有疫苗接种的传播模型，对比分析其各自优劣之处，给出适当的防疫建议。
关键词新型冠状病毒肺炎，SEIR 传染病数学模型，修正SEIR 传染病数学模型，新冠疫苗Differential Equation Model of Infectious DiseasesXiaowei Lu, Minfeng ChenSchool of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Foreign Studies, Guangzhou GuangdongReceived: May 13th , 2023; accepted: Jun. 7th , 2023; published: Jun. 14th , 2023AbstractSince the outbreak of COVID-19, it has seriously affected people’s normal life order. Therefore, it is necessary to use mathematical models to quantify its transmission characteristics, study its trans-mission laws, and provide theoretical support for prediction and prevention and control. This pa-per will start with the simplest SI infectious disease mathematical model, and analyze the SEIR in-fectious disease mathematical model that is more consistent with the COVID-19 virus transmission law. On this basis, the transmission model of COVID-19 with quarantine isolation and city closure measures is proposed, and the transmission model with vaccination is also proposed. Their advan-tages and disadvantages are compared and analyzed, and appropriate epidemic prevention sug-陆晓薇，陈敏风gestions are given.KeywordsCOVID-19 Virus, SEIR Infectious Disease Mathematical Model, Modified SEIR Infectious Disease Mathematical Model, 2019-nCoV VaccineThis work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 绪论1.1. 研究背景及意义1.1.1. 选题背景2019年12月，武汉市陆续出现不明原因肺炎病人，2020年2月世界卫生组织将其命名为“COVID-19”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
3、使用泰勒公式
以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法
库塔三阶方法 四阶龙格-库塔公式
? ?
yn ? 1
?
?
yn ?
h 6
(K1
?
4K2 ?
K 3 ),
? ?
K
1
?
f ( x n , y n ),
? ?
K
2
?
f ( xn
?
h 2 , yn
?
h 2 K 1 ),
?? K 3 ? f ( x n ? h , y n ? hK 1 ? 2 hK 2 ).
6
4、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为o(hk)时(k为正整数，h为步长)，称它是一个k
阶公式。 k越大，则数值公式的精度越高。
欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。
线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。
北京邮电大学数学系
7
(三)用Matlab 软件求常微分方程的数值解 [t，x]= solver( ‘f', ts, x0, options ）
[t,y]=ode45(@dfun2,[0,20],[2,0]);
1、建立m-文件dfun2.m 如下： function dx=dfun2(t,y)
)]
k ? 0,1,2,?
对于已给的精确度
?，当满足
y ? y ( k ? 1)
(k)
i?1
i?1
?
? 时，取
y i?1
?
y ， （ k ?1） i?1
然后继续下一步 y i? 2 的计算。
此即改进的欧拉法
北京邮电大学数学系
4
? 中点欧拉公式 /* midpoint formula */
中心差商近似导数
北京邮电大学数学系
2
(二)建立数值解法的一些途径
设 x i?1 ? xi ? h, i ? 0,1,2,? n ? 1, 可用以下离散化方法求
? y' ? f(x, y)
? ?
y(x
0
)
?
y0
1、用差商代替导数
解微分方程：
若步长h较小，则有
故有公式：
y'( x) ? y( x ? h) ? y( x) h
第五章 微分方程模型
常微分方程的数值解 5.1 传染病模型
北京邮电大学数学系
1
常微分方程的数值解及实验
(一)常微分方程数值解
高数中微分方程解法在实际中基本不会直接使用
在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题， 一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值 ，或者得到一个满足精确度要求的便 于计算的表达式。
y?( x1 ) ?
y( x2 ) ? y( x0 ) 2h
y￠( x1 )
y( x 2 ) ? y( x 0 ) ? 2 h f ( x 1 , y( x 1 ))
x0
x1
x2
yi ? 1 ? yi ? 1 ? 2 h f ( x i , yi ) i ? 1, ... , n ? 1
北京邮电大学数学系
用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令 为：options=odeset('reltol',rt,'abstol',at), rt, at：分别为设定的相对误差和绝对误差.
北京邮电大学数学系
8
注意: 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分 量形式写成.
2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.
北京邮电大学数学系
9
微分方程求解实例
设取步长
，从
到
用四阶龙格-库塔方法
求解初值问题
建立m-文件dfun1.m如下
function dx=dfun1(x,y) dx=y-2*x/y;
输入命令
h=0.2; ts=0:h:1; y0=1;
[t, x]=ode45('dfun1',ts,y0);
[t, x], plot(t,x)
北京邮电大学数学系
3、结果如图
0
1.0000
0.2000 1.1832
0.4000 1.3416
0.6000 1.4832
0.8000 1.6125
1.0000 1.7321
10
例
? ? ?
d 2x dt 2
?
(x2
?
1)
dx dt
?
x
?
0
?? x(0) ? 2; x '(0) ? 0
解: 令 y1=x，y2=y1',
则微分方程变为一阶微分方程组：
? ? ?
y1 y2
' '
? ?
y2 (1 ?
y12 ) y2
?
y1
?? y1 (0) ? 2, y2 (0) ? 0
2、取t0=0, tf=20, 输入命令：
自变 量值
函数 值
ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s
由待解 方程写 成的m文件名
ts=[0t，tf]，
t0、tf为自变量 的初值和终
值
函数初 值条件
[t,x]=ode23(‘f', ts, x0级) 2阶3龙格 -库塔公式 [t,x]=ode45(@f, ts, x0) 级4阶5 龙格 -库塔公式
? ? ?
yi? 1 ? yi ? hf y0 ? y( x0 )
( xi
,
yi
)
i ? 0,1,2, ?
,n -1
此即欧拉法(向前欧拉法).
对应有隐式欧拉法
北京邮电大学数学系
? ? ?
yi? 1 ? yi ? hf y0 ? y( x0 )
( xi? 1 ,
yi ? 1 )
3
2、使用数值积分
梯形方法/*trapezoid formula*/
对方程y'=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分,并利用梯形公式, 有
? y( xi?1 ) ? y( xi ) ?
xi?1 f ( x, y( x)) dx
xi
?
( xi ? 1
?
xi ) ?
f ( xi ,
y( xi ))
? f ( xi ?1 , 2
y( xi ?1 ))
故有公式
?? ?
yi
因此，研究常微分方程的数值解法十分必要。
对常微分方程
：
? ? ?
y' ? y(x
0
f(x,y) ) ? y0
，其数值解是指由初始点
x 0开始
的若干离散的 xi 处，即对 x0 ? x1 ? x2 ? L ? xn，求出准确值 y(x 1 ),
y( x2 ), L , y( xn ) 的相应近似值 y1 , y2 ,L , yn。
?
1
?
yi
?
h[ 2
f ( xi ,
yi ) ?
f ( xi?1 , yi?1 )]
?? y0 ? y( x0 )
实际应用时，与欧拉公式结合使用
??
y (0 ) i?1
?
yi
?
hf ( xi , yi )
? ??
y(k? i?1
1)
?
yi ?
h 2
[
f
( xi
,
yi
)
?
f
(
xi ? 1
,
y (k ) i?1